CN111985566A - 一种基于Copula函数的分布式电源时序联合出力典型场景生成方法 - Google Patents

一种基于Copula函数的分布式电源时序联合出力典型场景生成方法 Download PDF

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CN111985566A CN202010845989.1A CN202010845989A CN111985566A CN 111985566 A CN111985566 A CN 111985566A CN 202010845989 A CN202010845989 A CN 202010845989A CN 111985566 A CN111985566 A CN 111985566A
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Abstract

本发明公开了一种基于Copula函数的分布式电源时序联合出力典型场景生成方法，在考虑出力分布函数的时序差异性的基础上，对24个时刻的出力分别建立Copula出力相关性模型，并根据所建模型生成完整调度周期的时序联合出力典型场景。本发明误差小，效果好。

Description

一种基于Copula函数的分布式电源时序联合出力典型场景生 成方法
本申请是申请号：201911149382.3、申请日：2019-11-21、名称：“基于Copula函数的分布式电源时序联合出力典型场景生成方法”的分案申请。
技术领域
本发明涉及一种基于Copula函数的分布式电源时序联合出力典型场景生成方法。
背景技术
位于同一地区的分布式电源出力除了具有不确定性，还具有相关性，因此对各个分布式电源的出力单独进行建模会使得到的出力曲线与实际情况差距较大。此外，由于不同调度时刻的出力分布函数具有差异性，仅根据所有调度时刻的出力数据建立一个联合出力模型会增加场景生成误差。
发明内容
本发明的目的在于提供一种误差小，效果好的基于Copula函数的分布式电源时序联合出力典型场景生成方法。
本发明的技术解决方案是：
一种基于Copula函数的分布式电源时序联合出力典型场景生成方法，其特征是：包括：
设单一风电场历史出力样本z的概率密度函数为f(z)，则对该风电场出力的密度函数进行核密度估计的公式如下：
Figure BDA0002643077100000021
式中，N表示历史出力数据的数量；K表示窗宽，即函数图横坐标的小区间；H(·)表示核函数；
估计密度函数的核函数
Figure BDA0002643077100000022
r＝(x-xi)/K，x为样本中心，xi为第i个样本；S(·)为示性函数，当|r|≤1时，S(|r|≤1)＝1；反之，S(|r|≤1)＝0；不同的核函数对核密度估计的影响不大，就光滑程度而言，Gaussian核函数对应的核密度估计函数光滑性较好；
Copula函数是把随机向量z1,z2,…,zN的联合分布函数F(z1,z2,…,zN)与各自的边缘分布函数
Figure BDA0002643077100000023
相连接的连接函数，即存在一个Copula函数C(u1,u2,…,uN)，使得：
Figure BDA0002643077100000024
使用Copula函数对风电场出力进行相关性建模步骤为：
a)采用核密度估计法对多风电场的出力边缘分布函数进行估计；
b)通过参数估计来求取Copula函数中的未知参数；
选择分步估计法对Copula函数的未知参数进行估计，具体步骤如下：
以两风电场为例，设两风电场U和V的出力随机变量边缘分布函数分别为G(u；θ1)和H(v；θ2)，边缘密度函数分别为g(u；θ1)和h(v；θ2)，其中θ1和θ2表示边缘分布函数中的未知参数；设所选的Copula分布函数为C(u,v；ρ)，Copula密度函数为
Figure BDA0002643077100000031
其中ρ表示Copula函数中的未知参数；(U,V)的联合分布函数可表示为：
M(u,v；θ1,θ2,ρ)＝C[G(u；θ1),H(v；θ2)；ρ] (3-39)
(U,V)的联合密度函数可表示为：
Figure BDA0002643077100000032
由联合密度函数可得(Ui,Vi)(i＝1,2,…,N)的似然函数为：
Figure BDA0002643077100000033
对似然函数取对数可得：
Figure BDA0002643077100000034
其中：Ui：风电场U和V的联合分布函数中关于风电场U的第i个辅助变量；
Vi：风电场U和V的联合分布函数中关于风电场V的第i个辅助变量；
u：风电场U的出力随机变量；
v：风电场V的出力随机变量；
ui：风电场U的出力随机变量的似然函数中第i个辅助变量；
vi：风电场V的出力随机变量的似然函数中第i个辅助变量；
针对对数似然函数中的未知参数，先通过极大似然估计法对θ1和θ2进行估计：
Figure BDA0002643077100000041
Figure BDA0002643077100000042
求出θ1和θ2的估计值后，代入式(3-44)，即可通过式(3-44)得到Copula函数中的未知参数估计值：
Figure BDA0002643077100000043
c)对Copula函数进行拟合优度判别；
Copula函数主要有5种类型，分别为正态-Copula、t-Copula、Clayton-Copula、Frank-Copula和Gumbel-Copula；由于无法直接选取最适用于所研究的多风电场的Copula模型，需要对已求得未知参数的各类Copula函数进行拟合优度判别，从而选取最优的Copula函数；拟合优度判别方法有三种，分别为：密度函数图像判别法、相关系数判别法和欧氏距离判别法；
1)密度函数图像判别法是指将多风电场的历史出力数据概率密度函数图像分别与各类Copula函数的概率密度函数图像进行图像比较，选择图像最接近的Copula函数为最优拟合优度；
2)相关系数判别法是指通过Kendall和Spearman秩相关系数来判别Copula函数的拟合优度；在求得各类Copula函数的Kendall和Spearman秩相关系数之后，分别与多风电场历史出力数据的Kendall和Spearman秩相关系数进行比较，秩相关系数越接近，说明该Copula函数的拟合优度越好；
设(u1,v1)和(u2,v2)是两风电场出力(U,V)的任意两个出力样本观测值，它们相互独立；若(u1,v1)(u2,v2)>0，则称(u1,v1)和(u2,v2)具有一致性，反之，则具有不一致性；Kendall秩相关系数ρk和Spearman秩相关系数ρs计算公式如式(3-45)和式(3-46)所示：
Figure BDA0002643077100000051
Figure BDA0002643077100000052
式中，a表示(U,V)中具有一致性的出力样本对数；b表示(U,V)中具有不一致性的出力样本对数；
Figure BDA0002643077100000053
ci表示ui在(u1,u2,…,uN)中的秩；di表示vi在(v1,v2,…,vN)中的秩；
5种Copula函数的相关系数
Figure BDA0002643077100000054
Figure BDA0002643077100000055
为Debye函数；
Figure BDA0002643077100000056
为自由度为k+1的t分布的分布函数在
Figure BDA0002643077100000057
处的函数值；
3)欧氏距离判别法是指计算出Copula函数与多风电场历史出力数据的经验Copula函数的欧氏距离并进行比较，欧氏距离越小，说明该Copula函数的拟合优度越好；
设(ui,vi)(i＝1,2,…,n)为多风电场出力(U,V)的样本观测值，Ge(u)和He(v)分别为U和V的经验分布函数；定义(U,V)的经验Copula分布函数为
Figure BDA0002643077100000061
式中，I[·]为示性函数，当Ge(u)≤u时，
Figure BDA0002643077100000062
否则
Figure BDA0002643077100000063
求得经验Copula函数之后，即可求各类Copula函数与经验Copula函数之间的欧氏距离；以二元t-Copula函数为例，它与经验Copula函数之间的欧氏距离为
Figure BDA0002643077100000064
式中，de-t反映了t-Copula函数对多风电场原始出力数据的相关性建模的拟合优度，de-t越小，表示t-Copula函数具有越高的拟合优度；可以分别求得各类Copula函数与经验Copula函数的欧氏距离，并通过比较大小来判别拟合优度；“CN(ui,vi)”的含义；根据风电场U和V的历史出力数据求得的经验Copula函数；
在选取最优Copula函数之后，对其依概率抽样并拼接生成大量联合出力场景，并通过聚类算法对生成的大量风电联合出力场景进行缩减，即可得到风电联合出力典型场景；
选择K-means聚类算法作为场景缩减算法；
K-means聚类算法的聚类步骤如下：
a)根据事先设定的聚类数K，从所有风电联合出力场景中随机选取K个场景作为各类别的初始聚类中心；
b)分别计算每个场景与各个类别的聚类中心之间的距离，将每个场景归类至与它距离最近的类别；
c)对每个类别的聚类中心重新进行计算，得到各类别所对应的新聚类中心；
d)判断是否满足收敛条件，若满足，聚类结束；否则重新回到步骤b)；
为了验证所建模型的准确性和有效性，引入均方根误差(Root Mean SquaredError,RMSE)和平均绝对误差(Mean Absolute Error,MAE)进行衡量，表达式分别为：
Figure BDA0002643077100000071
Figure BDA0002643077100000072
式中，d为该月的天数；ERMSE,d为典型场景功率与第d天的风电场实际功率的均方根误差；EMAE,d为典型场景功率与第d天的风电场实际功率的平均绝对误差；T为时刻的数量；Psimu,t为第t个时刻的典型场景功率；Pd,actu,t为第d天的第t个时刻的风电场实际功率；
本发明使用中国某地区两个相邻风电场U和V的2019年3月实测功率数据，进行Copula联合出力建模和典型场景生成。每隔1小时进行数据采集，每个风电场共有744个出力数据。两风电场出力数据大部分在对角线上，具有较强的相关性。
首先利用所有调度时刻的历史出力数据建立Copula出力相关性模型，以此说明Copula模型的建立过程；
对风电场的边缘分布函数采用非参数法进行核密度估计；
将求得的风电场U和V的边缘分布函数用于分别构建5种Copula函数，通过参数估计求得Copula函数中的未知参数，构建出5种Copula模型；
接着进行拟合优度判别：
a)根据密度函数图像判别法，由图像可以初步判定Clayton-Copula函数为最优拟合优度；
b)根据相关系数判别法，分别求取5类Copula函数以及两风电场历史出力数据的Kendall和Spearman秩相关系数；由表可知，Gumbel、正态和Clayton-Copula函数与两风电场历史出力数据的秩相关系数均比较接近，说明在反映秩相关性方面，这三类Copula函数较理想；
Copula函数及历史出力数据的秩相关系数
Figure BDA0002643077100000081
c)根据欧氏距离判别法，分别求取5类Copula函数与两风电场历史出力数据的经验Copula函数的欧氏距离；由表可知，Clayton-Copula函数的欧氏距离远小于其他4类Copula函数，具有最高的拟合优度；
5类Copula函数与经验Copula函数的欧氏距离
Figure BDA0002643077100000091
综合上述三个方法的判别结果，得Clayton-Copula函数最适合于建立所有调度时刻的两风电场联合出力模型。
由于每个调度时刻的风电出力分布函数都不完全相同，仅通过1个Copula模型进行典型场景生成就忽略了不同调度时刻的风电出力分布函数差异性，生成的出力场景与实际情况差距较大。因此，本项目对调度周期内24个调度时刻分别建立Copula模型，并通过场景生成和缩减得到考虑风电时序分布函数差异性的联合出力典型场景；
经拟合优度判别，24个调度时刻的最优Copula模型及其参数见表；由表可知，大部分的调度时刻的最优Copula函数为Clayton-Copula函数，这与前文中针对所有历史出力数据建立的最优Copula模型相同，说明前文所选的最优Copula模型能够较好地拟合大部分历史出力数据。但是有一小部分调度时刻的最优Copula模型为其他类型的Copula，即并非所有调度时刻的最优Copula模型都为Clayton-Copula，可见不同调度时刻的风电出力分布函数确实存在差异性。
24个调度时刻的最优Copula模型及其参数
Figure BDA0002643077100000101
分别对24个调度时刻的最优Copula模型依概率抽样，将24个调度时刻的出力场景拼接为完整调度时刻的风电时序联合出力场景，并通过K-means聚类算法缩减为考虑风电时序分布函数差异性的风电时序联合出力典型场景。
本发明误差小，效果好；在考虑出力分布函数的时序差异性的基础上，对24个时刻的出力分别建立Copula出力相关性模型，并根据所建模型生成完整调度周期的时序联合出力典型场景。本项目首先介绍基于Copula函数的时序联合出力典型场景生成方法，并通过所提方法生成风电、光伏分布式电源的时序联合出力典型场景。
附图说明
下面结合附图和实施例对本发明作进一步说明。
图1是Copula出力相关性建模流程图。
图2是K-means聚类算法流程图。
图3是两风电场出力散点图。
图4、图5分别是U和V的频率直方图和核密度估计图。
图6、图7分别是U和V的经验分布函数图和核分布估计图。
具体实施方式
一种基于Copula函数的分布式电源时序联合出力典型场景生成方法，包括：
设单一风电场历史出力样本z的概率密度函数为f(z)，则对该风电场出力的密度函数进行核密度估计的公式如下：
Figure BDA0002643077100000111
式中，N表示历史出力数据的数量；K表示窗宽，即函数图横坐标的小区间；H(·)表示核函数；
估计密度函数的核函数
Figure BDA0002643077100000121
r＝(x-xi)/K，x为样本中心，xi为第i个样本；S(·)为示性函数，当|r|≤1时，S(|r|≤1)＝1；反之，S(|r|≤1)＝0；不同的核函数对核密度估计的影响不大，就光滑程度而言，Gaussian核函数对应的核密度估计函数光滑性较好；
Copula函数是把随机向量z1,z2,…,zN的联合分布函数F(z1,z2,…,zN)与各自的边缘分布函数
Figure BDA0002643077100000122
相连接的连接函数，即存在一个Copula函数C(u1,u2,…,uN)，使得：
Figure BDA0002643077100000123
使用Copula函数对风电场出力进行相关性建模步骤为：
a)采用核密度估计法对多风电场的出力边缘分布函数进行估计；
b)通过参数估计来求取Copula函数中的未知参数；
选择分步估计法对Copula函数的未知参数进行估计，具体步骤如下：
以两风电场为例，设两风电场U和V的出力随机变量边缘分布函数分别为G(u；θ1)和H(v；θ2)，边缘密度函数分别为g(u；θ1)和h(v；θ2)，其中θ1和θ2表示边缘分布函数中的未知参数；设所选的Copula分布函数为C(u,v；ρ)，Copula密度函数为
Figure BDA0002643077100000131
其中ρ表示Copula函数中的未知参数；(U,V)的联合分布函数可表示为：
M(u,v；θ1,θ2,ρ)＝C[G(u；θ1),H(v；θ2)；ρ] (3-39)
(U,V)的联合密度函数可表示为：
Figure BDA0002643077100000132
由联合密度函数可得(Ui,Vi)(i＝1,2,…,N)的似然函数为：
Figure BDA0002643077100000133
对似然函数取对数可得：
Figure BDA0002643077100000134
其中：Ui：风电场U和V的联合分布函数中关于风电场U的第i个辅助变量；
Vi：风电场U和V的联合分布函数中关于风电场V的第i个辅助变量；
u：风电场U的出力随机变量；
v：风电场V的出力随机变量；
ui：风电场U的出力随机变量的似然函数中第i个辅助变量；
vi：风电场V的出力随机变量的似然函数中第i个辅助变量；
针对对数似然函数中的未知参数，先通过极大似然估计法对θ1和θ2进行估计：
Figure BDA0002643077100000135
Figure BDA0002643077100000141
求出θ1和θ2的估计值后，代入式(3-44)，即可通过式(3-44)得到Copula函数中的未知参数估计值：
Figure BDA0002643077100000142
c)对Copula函数进行拟合优度判别；
Copula函数主要有5种类型，分别为正态-Copula、t-Copula、Clayton-Copula、Frank-Copula和Gumbel-Copula；由于无法直接选取最适用于所研究的多风电场的Copula模型，需要对已求得未知参数的各类Copula函数进行拟合优度判别，从而选取最优的Copula函数；拟合优度判别方法有三种，分别为：密度函数图像判别法、相关系数判别法和欧氏距离判别法；
1)密度函数图像判别法是指将多风电场的历史出力数据概率密度函数图像分别与各类Copula函数的概率密度函数图像进行图像比较，选择图像最接近的Copula函数为最优拟合优度；
2)相关系数判别法是指通过Kendall和Spearman秩相关系数来判别Copula函数的拟合优度；在求得各类Copula函数的Kendall和Spearman秩相关系数之后，分别与多风电场历史出力数据的Kendall和Spearman秩相关系数进行比较，秩相关系数越接近，说明该Copula函数的拟合优度越好；
设(u1,v1)和(u2,v2)是两风电场出力(U,V)的任意两个出力样本观测值，它们相互独立；若(u1,v1)(u2,v2)>0，则称(u1,v1)和(u2,v2)具有一致性，反之，则具有不一致性；Kendall秩相关系数ρk和Spearman秩相关系数ρs计算公式如式(3-45)和式(3-46)所示：
Figure BDA0002643077100000151
Figure BDA0002643077100000152
式中，a表示(U,V)中具有一致性的出力样本对数；b表示(U,V)中具有不一致性的出力样本对数；
Figure BDA0002643077100000153
ci表示ui在(u1,u2,…,uN)中的秩；di表示vi在(v1,v2,…,vN)中的秩；
5种Copula函数的相关系数
Figure BDA0002643077100000154
Figure BDA0002643077100000155
为Debye函数；
Figure BDA0002643077100000156
为自由度为k+1的t分布的分布函数在
Figure BDA0002643077100000157
处的函数值；
3)欧氏距离判别法是指计算出Copula函数与多风电场历史出力数据的经验Copula函数的欧氏距离并进行比较，欧氏距离越小，说明该Copula函数的拟合优度越好；
设(ui,vi)(i＝1,2,…,n)为多风电场出力(U,V)的样本观测值，Ge(u)和He(v)分别为U和V的经验分布函数；定义(U,V)的经验Copula分布函数为
Figure BDA0002643077100000161
式中，I[·]为示性函数，当Ge(u)≤u时，
Figure BDA0002643077100000162
否则
Figure BDA0002643077100000163
求得经验Copula函数之后，即可求各类Copula函数与经验Copula函数之间的欧氏距离；以二元t-Copula函数为例，它与经验Copula函数之间的欧氏距离为
Figure BDA0002643077100000164
式中，de-t反映了t-Copula函数对多风电场原始出力数据的相关性建模的拟合优度，de-t越小，表示t-Copula函数具有越高的拟合优度；可以分别求得各类Copula函数与经验Copula函数的欧氏距离，并通过比较大小来判别拟合优度；“CN(ui,vi)”的含义；根据风电场U和V的历史出力数据求得的经验Copula函数；
在选取最优Copula函数之后，对其依概率抽样并拼接生成大量联合出力场景，并通过聚类算法对生成的大量风电联合出力场景进行缩减，即可得到风电联合出力典型场景；
选择K-means聚类算法作为场景缩减算法；
K-means聚类算法的聚类步骤如下：
a)根据事先设定的聚类数K，从所有风电联合出力场景中随机选取K个场景作为各类别的初始聚类中心；
b)分别计算每个场景与各个类别的聚类中心之间的距离，将每个场景归类至与它距离最近的类别；
c)对每个类别的聚类中心重新进行计算，得到各类别所对应的新聚类中心；
d)判断是否满足收敛条件，若满足，聚类结束；否则重新回到步骤b)；
为了验证所建模型的准确性和有效性，引入均方根误差(Root Mean SquaredError,RMSE)和平均绝对误差(Mean Absolute Error,MAE)进行衡量，表达式分别为：
Figure BDA0002643077100000171
Figure BDA0002643077100000172
式中，d为该月的天数；ERMSE,d为典型场景功率与第d天的风电场实际功率的均方根误差；EMAE,d为典型场景功率与第d天的风电场实际功率的平均绝对误差；T为时刻的数量；Psimu,t为第t个时刻的典型场景功率；Pd,actu,t为第d天的第t个时刻的风电场实际功率；
本发明使用中国某地区两个相邻风电场U和V的2019年3月实测功率数据，进行Copula联合出力建模和典型场景生成。每隔1小时进行数据采集，每个风电场共有744个出力数据。两风电场出力数据大部分在对角线上，具有较强的相关性。
首先利用所有调度时刻的历史出力数据建立Copula出力相关性模型，以此说明Copula模型的建立过程；
对风电场的边缘分布函数采用非参数法进行核密度估计；
将求得的风电场U和V的边缘分布函数用于分别构建5种Copula函数，通过参数估计求得Copula函数中的未知参数，构建出5种Copula模型；
接着进行拟合优度判别：
a)根据密度函数图像判别法，由图像可以初步判定Clayton-Copula函数为最优拟合优度；
b)根据相关系数判别法，分别求取5类Copula函数以及两风电场历史出力数据的Kendall和Spearman秩相关系数；由表可知，Gumbel、正态和Clayton-Copula函数与两风电场历史出力数据的秩相关系数均比较接近，说明在反映秩相关性方面，这三类Copula函数较理想；
Copula函数及历史出力数据的秩相关系数
Figure BDA0002643077100000181
c)根据欧氏距离判别法，分别求取5类Copula函数与两风电场历史出力数据的经验Copula函数的欧氏距离；由表可知，Clayton-Copula函数的欧氏距离远小于其他4类Copula函数，具有最高的拟合优度；
5类Copula函数与经验Copula函数的欧氏距离
Figure BDA0002643077100000182
Figure BDA0002643077100000191
综合上述三个方法的判别结果，得Clayton-Copula函数最适合于建立所有调度时刻的两风电场联合出力模型。
由于每个调度时刻的风电出力分布函数都不完全相同，仅通过1个Copula模型进行典型场景生成就忽略了不同调度时刻的风电出力分布函数差异性，生成的出力场景与实际情况差距较大。因此，本项目对调度周期内24个调度时刻分别建立Copula模型，并通过场景生成和缩减得到考虑风电时序分布函数差异性的联合出力典型场景；
经拟合优度判别，24个调度时刻的最优Copula模型及其参数见表；由表可知，大部分的调度时刻的最优Copula函数为Clayton-Copula函数，这与前文中针对所有历史出力数据建立的最优Copula模型相同，说明前文所选的最优Copula模型能够较好地拟合大部分历史出力数据。但是有一小部分调度时刻的最优Copula模型为其他类型的Copula，即并非所有调度时刻的最优Copula模型都为Clayton-Copula，可见不同调度时刻的风电出力分布函数确实存在差异性。
24个调度时刻的最优Copula模型及其参数
Figure BDA0002643077100000192
Figure BDA0002643077100000201
分别对24个调度时刻的最优Copula模型依概率抽样，将24个调度时刻的出力场景拼接为完整调度时刻的风电时序联合出力场景，并通过K-means聚类算法缩减为考虑风电时序分布函数差异性的风电时序联合出力典型场景。
由本发明所提方法生成的5对风电联合出力典型场景具有较强的相关性，且白天出力较小，夜晚出力较大，符合风电出力的实际情况。为验证所得风电时序联合出力典型场景的有效性和准确性，本项目生成同样数量的不考虑风电时序分布函数差异性的典型场景作对比，不考虑风电时序分布函数差异性所得的典型场景在各个调度时刻的出力没有规律，与实际出力情况差距较大。因此，本项目生成的风电时序联合出力典型场景可以更好地反映风电出力实际情况。
无论是否考虑时序分布函数的差异性，所得的两个风电场的典型场景出力都相似，这是因为本项目所采用的风电场数据来自2个相邻风电场，针对的对象数量较少，且2个相邻风电场的地理位置接近，风速相似，出力也相似，存在风电出力相关性，因此所得的5对典型场景出力相似。
两个风电场该月的出力存在大于45MW和小于10MW的情形，典型场景的出力却集中在10MW至45MW之间，这是因为风电场出力取到极大值或极小值的概率较低，因此在生成的典型场景数量较少时，出力大于45MW和小于10MW的情形没有出现。如果生成100个典型出力场景，则风电场出现出力极大值或极小值的情况将会出现。因此，是否出现风电场出力的极大值或极小值的场景与生成的典型场景数量有关，当需要生成典型场景数量较多时，这种概率较小的场景也将会出现。
为进一步验证所得风电时序联合出力典型场景的准确性和有效性，分别将考虑和不考虑时序分布函数差异性所生成的风电出力典型场景与两个风电场该月的实际出力数据进行对比，分别求出该月31天的RMSE和MAE，在该月31天的对比中，考虑时序差异性的风电场出力的RMSE和MAE整体上都要比不考虑时序差异性的RMSE和MAE小，可见本项目所提的基于Copula函数的风电时序联合出力典型场景生成方法在反映同一地区多风电场的实际出力情况方面具有较高的准确性和有效性。
同理，采用所提方法对同一地区多个光伏电场建立Copula时序联合出力模型。

Claims (2)

1.一种基于Copula函数的分布式电源时序联合出力典型场景生成方法，其特征是：包括：
设单一风电场历史出力样本z的概率密度函数为f(z)，则对该风电场出力的密度函数进行核密度估计的公式如下：
Figure FDA0002643077090000011
式中，N表示历史出力数据的数量；K表示窗宽，即函数图横坐标的小区间；H(·)表示核函数；
估计密度函数的核函数
Figure FDA0002643077090000012
r＝(x-xi)/K，x为样本中心，xi为第i个样本；S(·)为示性函数，当|r|≤1时，S(|r|≤1)＝1；反之，S(|r|≤1)＝0；不同的核函数对核密度估计的影响不大，就光滑程度而言，Gaussian核函数对应的核密度估计函数光滑性较好；
Copula函数是把随机向量z1,z2,…,zN的联合分布函数F(z1,z2,…,zN)与各自的边缘分布函数
Figure FDA0002643077090000013
相连接的连接函数，即存在一个Copula函数C(u1,u2,…,uN)，使得：
Figure FDA0002643077090000021
使用Copula函数对风电场出力进行相关性建模步骤为：
a)采用核密度估计法对多风电场的出力边缘分布函数进行估计；
b)通过参数估计来求取Copula函数中的未知参数；
选择分步估计法对Copula函数的未知参数进行估计，具体步骤如下：
以两风电场为例，设两风电场U和V的出力随机变量边缘分布函数分别为G(u；θ1)和H(v；θ2)，边缘密度函数分别为g(u；θ1)和h(v；θ2)，其中θ1和θ2表示边缘分布函数中的未知参数；设所选的Copula分布函数为C(u,v；ρ)，Copula密度函数为
Figure FDA0002643077090000022
其中ρ表示Copula函数中的未知参数；(U,V)的联合分布函数可表示为：
M(u,v；θ1,θ2,ρ)＝C[G(u；θ1),H(v；θ2)；ρ] (3-39)
(U,V)的联合密度函数可表示为：
Figure FDA0002643077090000023
由联合密度函数可得(Ui,Vi)(i＝1,2,…,N)的似然函数为：
Figure FDA0002643077090000024
对似然函数取对数可得：
Figure FDA0002643077090000025
其中：Ui：风电场U和V的联合分布函数中关于风电场U的第i个辅助变量；
Vi：风电场U和V的联合分布函数中关于风电场V的第i个辅助变量；
u：风电场U的出力随机变量；
v：风电场V的出力随机变量；
ui：风电场U的出力随机变量的似然函数中第i个辅助变量；
vi：风电场V的出力随机变量的似然函数中第i个辅助变量；
针对对数似然函数中的未知参数，先通过极大似然估计法对θ1和θ2进行估计：
Figure FDA0002643077090000031
Figure FDA0002643077090000032
求出θ1和θ2的估计值后，代入式(3-44)，即可通过式(3-44)得到Copula函数中的未知参数估计值：
Figure FDA0002643077090000033
c)对Copula函数进行拟合优度判别；
Copula函数主要有5种类型，分别为正态-Copula、t-Copula、Clayton-Copula、Frank-Copula和Gumbel-Copula；由于无法直接选取最适用于所研究的多风电场的Copula模型，需要对已求得未知参数的各类Copula函数进行拟合优度判别，从而选取最优的Copula函数；拟合优度判别方法有三种，分别为：密度函数图像判别法、相关系数判别法和欧氏距离判别法；
1)密度函数图像判别法是指将多风电场的历史出力数据概率密度函数图像分别与各类Copula函数的概率密度函数图像进行图像比较，选择图像最接近的Copula函数为最优拟合优度；
2)相关系数判别法是指通过Kendall和Spearman秩相关系数来判别Copula函数的拟合优度；在求得各类Copula函数的Kendall和Spearman秩相关系数之后，分别与多风电场历史出力数据的Kendall和Spearman秩相关系数进行比较，秩相关系数越接近，说明该Copula函数的拟合优度越好；
设(u1,v1)和(u2,v2)是两风电场出力(U,V)的任意两个出力样本观测值，它们相互独立；若(u1,v1)(u2,v2)>0，则称(u1,v1)和(u2,v2)具有一致性，反之，则具有不一致性；Kendall秩相关系数ρk和Spearman秩相关系数ρs计算公式如式(3-45)和式(3-46)所示：
Figure FDA0002643077090000041
Figure FDA0002643077090000042
式中，a表示(U,V)中具有一致性的出力样本对数；b表示(U,V)中具有不一致性的出力样本对数；
Figure FDA0002643077090000043
ci表示ui在(u1,u2,…,uN)中的秩；di表示vi在(v1,v2,…,vN)中的秩；
5种Copula函数的相关系数
Figure FDA0002643077090000044
Figure FDA0002643077090000051
Figure FDA0002643077090000052
为Debye函数；
Figure FDA0002643077090000053
为自由度为k+1的t分布的分布函数在
Figure FDA0002643077090000054
处的函数值；
3)欧氏距离判别法是指计算出Copula函数与多风电场历史出力数据的经验Copula函数的欧氏距离并进行比较，欧氏距离越小，说明该Copula函数的拟合优度越好；
设(ui,vi)(i＝1,2,…,n)为多风电场出力(U,V)的样本观测值，Ge(u)和He(v)分别为U和V的经验分布函数；定义(U,V)的经验Copula分布函数为
Figure FDA0002643077090000055
式中，I[·]为示性函数，当Ge(u)≤u时，
Figure FDA0002643077090000056
否则
Figure FDA0002643077090000057
求得经验Copula函数之后，即可求各类Copula函数与经验Copula函数之间的欧氏距离；以二元t-Copula函数为例，它与经验Copula函数之间的欧氏距离为
Figure FDA0002643077090000058
式中，de-t反映了t-Copula函数对多风电场原始出力数据的相关性建模的拟合优度，de-t越小，表示t-Copula函数具有越高的拟合优度；可以分别求得各类Copula函数与经验Copula函数的欧氏距离，并通过比较大小来判别拟合优度；“CN(ui,vi)”的含义；根据风电场U和V的历史出力数据求得的经验Copula函数；
在选取最优Copula函数之后，对其依概率抽样并拼接生成大量联合出力场景，并通过聚类算法对生成的大量风电联合出力场景进行缩减，即可得到风电联合出力典型场景；
选择K-means聚类算法作为场景缩减算法；
K-means聚类算法的聚类步骤如下：
a)根据事先设定的聚类数K，从所有风电联合出力场景中随机选取K个场景作为各类别的初始聚类中心；
b)分别计算每个场景与各个类别的聚类中心之间的距离，将每个场景归类至与它距离最近的类别；
c)对每个类别的聚类中心重新进行计算，得到各类别所对应的新聚类中心；
d)判断是否满足收敛条件，若满足，聚类结束；否则重新回到步骤b)；
为了验证所建模型的准确性和有效性，引入均方根误差和平均绝对误差进行衡量，表达式分别为：
Figure FDA0002643077090000061
Figure FDA0002643077090000062
式中，d为该月的天数；ERMSE,d为典型场景功率与第d天的风电场实际功率的均方根误差；EMAE,d为典型场景功率与第d天的风电场实际功率的平均绝对误差；T为时刻的数量；Psimu,t为第t个时刻的典型场景功率；Pd,actu,t为第d天的第t个时刻的风电场实际功率；
使用两个相邻风电场U和V的实测功率数据，进行Copula联合出力建模和典型场景生成；每隔1小时进行数据采集，每个风电场共有744个出力数据；两风电场出力数据大部分在对角线上，具有较强的相关性；
利用所有调度时刻的历史出力数据建立Copula出力相关性模型，以此说明Copula模型的建立过程；
对风电场的边缘分布函数采用非参数法进行核密度估计；
将求得的风电场U和V的边缘分布函数用于分别构建5种Copula函数，通过参数估计求得Copula函数中的未知参数，构建出5种Copula模型；
接着进行拟合优度判别：
a)根据密度函数图像判别法，由图像可以初步判定Clayton-Copula函数为最优拟合优度；
b)根据相关系数判别法，分别求取5类Copula函数以及两风电场历史出力数据的Kendall和Spearman秩相关系数；由表可知，Gumbel、正态和Clayton-Copula函数与两风电场历史出力数据的秩相关系数均比较接近，说明在反映秩相关性方面，这三类Copula函数较理想；
Copula函数及历史出力数据的秩相关系数
Figure FDA0002643077090000071
c)根据欧氏距离判别法，分别求取5类Copula函数与两风电场历史出力数据的经验Copula函数的欧氏距离；由表可知，Clayton-Copula函数的欧氏距离远小于其他4类Copula函数，具有最高的拟合优度；
5类Copula函数与经验Copula函数的欧氏距离
Figure FDA0002643077090000081
综合上述三个方法的判别结果，得Clayton-Copula函数最适合于建立所有调度时刻的两风电场联合出力模型；
进一步验证所得风电时序联合出力典型场景的准确性和有效性，分别将考虑和不考虑时序分布函数差异性所生成的风电出力典型场景与两个风电场该月的实际出力数据进行对比，分别求出该月31天的RMSE和MAE，在该月31天的对比中，考虑时序差异性的风电场出力的RMSE和MAE整体上都要比不考虑时序差异性的RMSE和MAE小。
2.根据权利要求1所述的一种基于Copula函数的分布式电源时序联合出力典型场景生成方法，其特征是：对调度周期内24个调度时刻分别建立Copula模型，并通过场景生成和缩减得到考虑风电时序分布函数差异性的联合出力典型场景；
经拟合优度判别，24个调度时刻的最优Copula模型及其参数见表；
24个调度时刻的最优Copula模型及其参数
Figure FDA0002643077090000091
分别对24个调度时刻的最优Copula模型依概率抽样，将24个调度时刻的出力场景拼接为完整调度时刻的风电时序联合出力场景，并通过K-means聚类算法缩减为考虑风电时序分布函数差异性的风电时序联合出力典型场景。
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