CN111880305B - 基于地图投影的大型光学望远镜非球面主镜划分的方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于地图投影的大型光学望远镜非球面主镜划分的方法，该方法将平面上的离散点投影到光学非球面上，得到两种非球面划分的投影方程；通过投影方程将望远镜主镜在平面上的子镜分布投影到非球面上，得到两种相应的对非球面主镜进行划分的方法，即等面积划分和等角划分。综合等面积划分和等角划分的投影方程进行插值，对面积和形状差异进行调整，得到更均衡的划分结果。通过本发明的投影方程得到的非球面上的子镜划分，其面积，形状和尺寸差异都较小；对本发明的投影方程进行综合插值得到的新的投影方程，通过调整加权因子，则可以调整非球面上子镜分布的面积和形状差异等参数。

Description

基于地图投影的大型光学望远镜非球面主镜划分的方法

技术领域

本发明属于极大望远镜系统设计领域，具体涉及一种基于地图投影的大型光学望远镜主镜划分的方法。

背景技术

随着天文观测的不断发展，光学望远镜的口径从最初的几厘米增大到现在的8～10米。由于成本和加工工艺的限制，大口径望远镜的主镜无法直接由单镜面加工而成，因此产生了建造地基大型光学望远镜的一项重要技术——镜面拼接。目前，国际上建成的10米级大型光学望远镜都是采用六边形子镜拼接而成，如Keck望远镜，加那利大型望远镜(GranTelescopio Canarias，简称GTC)和南非大望远镜(Southern African Large Telescope，简称SALT)等。下一批超大型光学望远镜也已经在设计和建造中，如美国三十米望远镜(Thirty Meter Telescope，简称TMT)和39.3米的欧洲极大望远镜(European ExtremelyLarge Telescope，简称E-ELT)。其实，除了光学望远镜，大口径的射电望远镜也会采用镜面拼接技术，如500米口径球面射电望远镜(Five-hundred-meter Aperture Sphericalradio Telescope，简称FAST)，采用三角形子镜拼接，是世界上最大的单口径射电望远镜。

望远镜的主镜由子镜拼接而成，就需要对主镜进行划分。大型光学望远镜的主镜面通常为非球面，而非球面的划分存在一个难点。由于曲面上各点的曲率不同，划分的六边形子镜无法同时满足面积，形状和大小都相同。因此，子镜之间存在面积，形状和尺寸差异，并且无法同时消除。在实际的工程设计中，这些差异会增加子镜的制造和支撑设计的难度。此外，这些超大型望远镜造价极其昂贵，需要严格控制每块子镜的成本。因此，对主镜进行科学合理地划分，使得子镜的面积，形状和尺寸差异尽可能的小。这样可以降低子镜的加工难度和支撑系统的复杂度，同时还能降低主镜的制造成本。

目前国际上光学望远镜主镜的划分方法主要有两种，正投影法和径向缩放法。正投影法，是先在平面上把主镜划分为全等的正六边形子镜阵列，然后将平面上子镜的位置正投影到主镜的光学面上。比如已经建成的Keck和GTC望远镜就是采用这种方式。但这种划分方式会造成子镜在径向方向上的拉伸，由此引起的质量分布不均会给镜面支撑系统带来困难。并且当子镜的数量非常多时，越靠近边缘的子镜的拉伸变形越严重。

径向缩放法，由正投影法改进而来，是针对TMT望远镜主镜的划分而提出的。同样地，先在平面上把主镜划分为全等的正六边形子镜阵列，然后预先对平面上的子镜进行缩放来补偿正投影造成的径向拉伸，再正投影到主镜的光学面上。经过缩放后，主镜面上的子镜的拉伸变形会减小。但由于该径向缩放划分方法的核心——缩放公式是作者提出的一个经验性公式，可以说该方法尚不具有普适性。

发明内容

针对现有技术中存在的上述问题，本发明提供一种基于地图投影的大型光学望远镜非球面主镜划分的方法。

为实现上述目的，本发明提供如下技术方案：

基于地图投影的大型光学望远镜非球面主镜划分的方法，该方法将平面上的离散点投影到光学非球面上，如图2所示，得到两种非球面划分的投影方程；通过对投影方程的计算，将望远镜主镜在平面上的分布投影到非球面上，得到两种相应的对非球面主镜进行划分的方法，即等面积划分和等角划分。综合等面积划分和等角划分的投影方程进行插值，对面积和形状差异进行调整，得到更均衡的划分结果为：

r＝β·r_equal-area(ρ)+(1-β)·r_conformal(ρ) (1)

＝β·ρ_equal-area ^-1(r)+(1-β)·ρ_conformal ^-1(r)

其中，r_equal-area(ρ)和r_conformal(ρ)分别为等面积和等角投影方程，ρ_equal-area ^-1(r)和ρ_conformal ^-1(r)分别为r_equal-area(ρ)和r_conformal(ρ)关于ρ的反函数。β为加权因子，且0≤β≤1。

更进一步的，所述大型光学望远镜的主镜面为旋转对称的光学非球面，坐标系统如图1所示，其二次曲面方程为：

其中Z表示曲面沿光轴的高度，r为曲面上的离散点到光轴的距离，R₀为曲面顶点曲率半径，k为二次曲线常数。

更进一步的，所述等面积投影为将平面上的圆的面积等面积地投影为光学非球面的曲面面积，即：

S_aspheric＝S_circle

半径为ρ_equal-area的圆的面积为：

S_circle＝π·ρ_equal-area ²

非球面的曲面面积为：

其中w为投影到非球面上的顶点到光轴的距离的变量，r为所计算表面积部分的曲面上的点到光轴的最大距离。

则可以得到等面积投影从非球面投影到平面上的方程：

本发明采用逆向投影的方法，因此从平面投影到非球面的等面积投影方程为：

r_equal-area(ρ)＝ρ_equal-area ^-1(r)

即等面积投影方程r_equal-area(ρ)为ρ_equal-area(r)关于r的反函数。等面积划分的逆向投影的计算过程，则是将ρ_equal-area映射到r上，即已知平面上离散点所在圆的半径ρ_equal-area，通过投影方程，反求r。

更进一步的，所述等角投影中，对非球面上任一点A点，如图3所示，其经线和纬线方向的长度比分别为m和n，则有：

根据等角条件，m＝n，得到等角投影从非球面投影到平面上的方程：

其中，λ是投影比例系数，由投影边界条件来确定。在本文的实施例中，等角投影的边界条件为ρ_conformal＝15115.5450mm，r＝15000.0000mm，因此确定了λ＝0.9922。

本发明采用逆向投影的方法，因此从平面投影到非球面的等角投影方程为：

r_conformal(ρ)＝ρ_conformal ^-1(r)

即等角投影方程r_conformal(ρ)为ρ_conformal(r)关于r的反函数。

更进一步的，所述投影方程式(1)中，通过调整加权因子，调节子镜的分布情况，进行多目标参数的优化调整。

更进一步的，优先考虑减小子镜分布的面积差异，则增大加权因子β；优先考虑减小子镜分布的形状差异，则减小加权因子β。

与现有的望远镜主镜划分方法相比，本发明基于地图投影的原理，对望远镜主镜进行划分，具有以下有益效果：

(1)由于非球面的特性，将平面上的子镜分布直接垂直投影到非球面上，会产生较大的变形；而基于地图投影的原理，采用逆向投影的方式，通过本发明的投影方程，得到的非球面上的子镜划分，面积，形状和尺寸差异都较小，这对降低子镜的加工难度和主镜的制造成本有很大的意义；

(2)对于本发明的投影方程，对其进行综合插值得到的新的投影方程，具有实际的物理意义。通过调整加权因子，则可以调整非球面上子镜分布的形状和面积差异等参数，这给大口径望远镜主镜的划分提供了新的思路。

附图说明

图1为主镜划分的坐标系统；

图2为逆向投影，即从平面到非球面投影的示意图；

图3为非球面主镜的等角投影的示意图；

图4为实例TMT望远镜主镜基于等面积和等角综合投影方程得到的子镜分布，其评估参数随加权因子β变化的折线图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步详细说明。

大型光学望远镜的主镜面通常为旋转对称的光学非球面，坐标系统如图1所示，其二次曲面方程为：

其中Z表示曲面沿光轴的高度，r为曲面上的离散点到光轴的距离，R₀为曲面顶点曲率半径，k为二次曲线常数。

针对现有大型望远镜主镜划分方法的不足，本发明提出了一种基于地图投影的大型光学望远镜非球面主镜划分的方法。

地图投影是利用一定的数学法则把地球表面的经、纬线转换到平面上的理论和方法。由于地球表面是不可展平的曲面，将地球椭球面投影到平面上，必然会产生变形。按照变形性质进行分类，地图投影可以分为等面积投影、等角投影和任意投影，其中等面积投影和等角投影能分别减小投影造成的面积差异和形状差异。因此，基于这两种地图投影，本发明采用逆向投影的方式，如图2所示，将平面上的离散点投影于光学非球面上，得到两种非球面划分的投影方程。通过对这两种投影方程的计算，把望远镜主镜在平面上的子镜分布投影到非球面上，从而得到两种相应的对非球面主镜进行划分的方法，即等面积划分和等角划分。

1、非球面投影方程

(1)等面积投影方程

等面积投影是按照等面积的条件，将地球的经纬线投影于与其相切的平面，使得平面地图上的面积和地球实体曲面的表面积相等。同样地，对于光学非球面，等面积投影的过程，是将平面上的圆的面积等面积地投影为光学非球面的曲面面积，即：

S_aspheric＝S_circle

半径为ρ_equal-area的圆的面积为：

S_circle＝π·ρ_equal-area ²

非球面的曲面面积为：

其中w为投影到非球面上的顶点到光轴的距离的变量，r为所计算表面积部分的曲面上的点到光轴的最大距离。

则可以得到等面积投影从非球面投影到平面上的方程：

本发明采用逆向投影的方法，因此从平面投影到非球面的等面积投影方程为：

r_equal-area(ρ)＝ρ_equal-area ^-1(r)

即等面积投影方程r_equal-area(ρ)为ρ_equal-area(r)关于r的反函数。等面积划分的逆向投影的计算过程，则是将ρ_equal-area映射到r上，即已知平面上离散点所在圆的半径ρ_equal-area，通过投影方程，反求r。

在计算机上实施具体的计算操作过程中，由于方程中定积分号的存在，反求r时求不出数值解。因此需要对方程进行简化，去掉积分号，过程如下：

非球面的曲面面积：

令

t＝w²，则得到：

等面积投影从非球面投影到平面的方程则化简为：

化简之后，方程去除了定积分号，计算机程序就能解出数值解。r表示非球面上子镜顶点的位置信息，这样就可以由已知的平面上子镜顶点的位置信息ρ_equal-area，计算其投影到非球面上的顶点的位置信息r。

(2)等角投影方程

在等角投影中，在一个点微圆内，投影面上任意两点相对另一参考点所构成的角度不变，因而保证了非球面上的任意一个微分圆投影前后的形状保持不变，所以也叫保形投影。根据等角条件，需要满足一个投影点在各个方向的长度比要一致。在方位正轴投影中，即要满足经线和纬线方向投影的长度比相等。对非球面上任一点A点，如图3所示，其经线和纬线方向的长度比分别为m和n，则有：

根据等角条件，m＝n，得到等角投影从非球面投影到平面上的方程：

其中，λ是投影比例系数，由投影边界条件来确定。在本文的实施例中，等角投影的边界条件为ρ_conformal＝15115.5450mm，r＝15000.0000mm，因此确定了λ＝0.9922。

本发明采用逆向投影的方法，因此从平面投影到非球面的等角投影方程为：

r_conformal(ρ)＝ρ_conformal ^-1(r)

即等角投影方程r_conformal(ρ)为ρ_conformal(r)关于r的反函数。

此外，等角投影只能在局部保持形状不变，因此宏观来看，基于等角投影得到的等角划分，可以很大程度上减小子镜分布的形状差异，但无法完全消除。

同样地，在计算机上实施具体的计算操作过程中，由于方程中不定积分号的存在，反求r时求不出数值解。因此需要对方程进行简化，去掉积分号，过程如下：

首先将ρ_conformal(r)写成：

令

用MATLAB对积分号中的根号项进行泰勒展开，经过计算，第七项影响可以不计，因此取前6项，则有：

其中，

C₀＝1；

然后再去掉不定积分号，得到：

ρ_conformal＝λ·r·exp(f)

其中，多项式f为：

化简之后，方程去除了积分号，计算机程序就能解出数值解。这样就可以由已知的平面上子镜顶点的位置信息ρ_conformal，计算其投影到非球面上的顶点的位置信息r。

2、综合投影方程

对于上述两种在非球面上得到的投影方程，由等面积投影方程得到的子镜划分，面积差异最小；由等角投影得到的子镜划分，形状差异最小。等面积划分和等角划分的子镜分布结果是面积差异和形状差异的两个极端，因此考虑综合等面积划分和等角划分的投影方程进行插值，对面积和形状差异进行调整，以期能得到更均衡的划分结果。

等面积划分和等角划分的投影方程分别为r_equal-area(ρ)，r_conformal(ρ)，则综合投影方程为：

r＝β·r_equal-area(ρ)+(1-β)·r_conformal(ρ) (1)

＝β·ρ_equal-area ^-1(r)+(1-β)·ρ_conformal ^-1(r)

其中，ρ_equal-area ^-1(r)和ρ_conformal ^-1(r)分别为r_equal-area(ρ)和r_conformal(ρ)关于ρ的反函数。β为加权因子，且0≤β≤1。

该投影方程得到的非球面上子镜的分布情况介于等面积投影和等角投影之间。其物理意义在于，通过调整加权因子，可以调节子镜的分布情况。优先考虑减小子镜分布的面积差异，则增大加权因子β；优先考虑减小子镜分布的形状差异，则减小加权因子β。除了形状和面积差异，下文还提及了子镜外接圆直径等一些次要的评估参数，因此可以进行多目标参数的优化调整。

实施例一

实施例TMT望远镜的主镜直径为30m，顶点曲率半径为60m，由492块六边形子镜拼接而成。

(1)在平面上划分一组全等的正六边形子镜阵列，满足最外边的子镜顶点经过等面积投影刚好落在非球面主镜的边缘上，即最外边的子镜顶点所在圆的半径ρ_max和非球面主镜的半径r_max满足等面积投影方程：

其中r_max＝15000mm，即非球面主镜直径的一半。解得平面上对主镜进行划分的边界条件为ρ_max＝15115.5450mm；

(2)计算在平面上TMT望远镜主镜的子镜的分布。根据平面上主镜划分的边界条件，可以求得子镜的边长a。因此可以计算得到每个正六边形子镜的顶点坐标Vertex(x,y,z)，其中z＝0，从而得到平面上子镜的分布；

(3)计算在非球面上TMT望远镜主镜的子镜的分布。在(2)中得到了子镜的顶点坐标Vertex(x,y,z)，则可以求得ρ_equal-area，由等面积投影方程反求r：

其中

反解出r之后，将r代入非球面的二次曲面方程，则可求得非球面上子镜顶点的坐标Vertex'(x',y',z')

其中，z'坐标值为：

x’和y’相比x和y只在半径方向进行了缩放，因此，

(4)对非球面上子镜划分的结果进行评估，计算面积和形状差异等参数。

这里采取两个主要的参数来对子镜的分布情况进行评价：

1、最大面积差异度(Max Area Variation，简称MaxAreaV)。通过所有六边形子镜中最大与最小面积的子镜来衡量，即：

2、最大形状差异度(或者叫最大奇异度，Max RMS Irregularity，简称MaxRMSI)。以非球面上所有六边形子镜的各个顶点与最佳拟合正六边形顶点的距离来衡量，即：

其中，n为子镜的数量，d_i为变形后的六边形子镜的顶点到最佳拟合正六边形相应顶点的距离。

通过这两个参数来评估非球面上子镜分布的情况，最大面积差异度和最大奇异度越小，则表明该主镜划分方式效果越好。此外，评估参数还引入了子镜的最大外接圆直径(Max Circumscribed Diameter，简称MaxCD)和最大外接圆直径差异度(MaxCircumscribed Diameter Variation，简称MaxCDV)两个次要参数。这些参数对于子镜分布也代表着一定的评估意义，比如子镜的最大外接圆直径体现了磨制子镜所需的镜胚材料大小，直接与主镜制造的成本相关。

等角投影划分的实施类似，此处不再赘述。

最后应用等面积和等角综合投影方程，在加权因子β不同的取值下，计算非球面上子镜不同的分布。随着加权因子β的变化，子镜分布的最大面积差异度和最大奇异度等参数也随之改变，结果如图4所示。其中最大外接圆直径参数的折线，是在加权因子β不同取值下的值与其中最小值之差的结果。当β＝0.644时，最大外接圆直径有最小值，MaxCD＝1443.9579mm。

上述实施例是为说明本发明方法的一个较佳实施方式，本发明不限于上述实施例，一切采用等同替换或等效替换形成的技术方案均属于本发明要求保护的范围。

Claims (6)

1.基于地图投影的大型光学望远镜非球面主镜划分的方法，其特征在于，将平面上的离散点投影到光学非球面上，得到两种非球面划分的投影方程，即等面积划分的投影方程r_equal-area(ρ)和等角划分的投影方程r_conformal(ρ)；通过投影方程的计算，将望远镜主镜在平面上的子镜分布投影到非球面上，得到两种相应的对非球面主镜进行划分的方法，即等面积划分和等角划分；综合等面积划分和等角划分的投影方程进行插值，对面积和形状差异进行调整，得到更均衡的划分结果为：

r＝β·r_equal-area(ρ)+(1-β)·r_conformal(ρ) (1)

r_equal-area(ρ)＝ρ_equal-area ^-1(r)

r_conformal(ρ)＝ρ_conformal ^-1(r)

其中，ρ是平面上点距离中心的径向距离；r是映射后非球面上点到对称轴的距离；r_equal-area(ρ)和r_conformal(ρ)为从平面向非球面投影的函数，且分别满足等面积条件和等角条件；ρ_equal-area(r)和ρ_conformal(r)为从非球面到平面的投影函数，且分别满足等面积条件和等角条件；r_equal-area(ρ)和ρ_equal-area(r)互为反函数，r_conformal(ρ)和ρ_conformal(r)互为反函数；β为插值的加权因子，且0≤β≤1。

2.根据权利要求1所述的基于地图投影的大型光学望远镜非球面主镜划分的方法，其特征在于，所述大型光学望远镜的主镜面为旋转对称的光学非球面，其二次曲面方程为：

其中Z表示曲面沿光轴的高度，r为曲面上的离散点到光轴的距离，R₀为曲面顶点曲率半径，k为二次曲线常数。

3.根据权利要求2所述的基于地图投影的大型光学望远镜非球面主镜划分的方法，其特征在于，所述等面积投影为将平面上圆的面积等面积地投影为光学非球面的曲面面积，即：

S_aspheric＝S_circle

半径为ρ_equal-area的圆的面积为：

S_circle＝π·ρ_equal-area ²

非球面的曲面面积为：

其中w为投影到非球面上的顶点到光轴的距离的变量，r为所计算表面积部分的曲面上的点到光轴的最大距离；

则可以得到等面积投影从非球面投影到平面上的方程：

本发明采用逆向投影的方法，因此从平面投影到非球面的等面积投影方程为：

r_equal-area(ρ)＝ρ_equal-area ^-1(r)

即等面积投影方程r_equal-area(ρ)为ρ_equal-area(r)关于r的反函数；所述等面积划分的逆向投影的计算过程，则是将ρ_equal-area映射到r上，即已知平面上离散点所在圆的半径ρ_equal-area，通过投影方程，反求r。

4.根据权利要求2所述的基于地图投影的大型光学望远镜非球面主镜划分的方法，其特征在于，所述等角投影中，对非球面上任一点A点，其经线和纬线方向的长度比分别为m和n，则有：

根据等角条件，m＝n，得到等角投影从非球面投影到平面上的方程：

其中，λ是投影比例系数，由投影边界条件来确定；在本文的实施例中，等角投影的边界条件为ρ_conformal＝15115.5450mm，r＝15000.0000mm，因此确定了λ＝0.9922；

本发明采用逆向投影的方法，因此从平面投影到非球面的等角投影方程为：

r_conformal(ρ)＝ρ_conformal ^-1(r)

即等角投影方程r_conformal(ρ)为ρ_conformal(r)关于r的反函数。

5.根据权利要求1所述的基于地图投影的大型光学望远镜非球面主镜划分的方法，其特征在于，所述投影方程式(1)中，通过调整加权因子，调节子镜的分布情况，进行多目标参数的优化调整。

6.根据权利要求5所述的基于地图投影的大型光学望远镜非球面主镜划分的方法，其特征在于，优先考虑减小子镜分布的面积差异，则增大加权因子β；优先考虑减小子镜分布的形状差异，则减小加权因子β。

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