CN111628857A - 一种可产生无限多共存吸引子的三阶分数阶混沌系统及其构造方法 - Google Patents

一种可产生无限多共存吸引子的三阶分数阶混沌系统及其构造方法 Download PDF

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Abstract

本发明提供一种可产生无限多共存吸引子的三阶分数阶混沌系统及其构造方法。本发明基于Caputo微积分，构建三阶分数阶混沌系统的数学模型；利用Adomain分解法，求解上述三阶分数阶混沌系统的数值解；对三阶分数阶混沌系统产生的无限多共存吸引子进行数值仿真；采用数字信号处理技术，基于TMS320F28335物理实现三阶分数阶混沌系统产生的无限多共存吸引子。本发明利用Adomain分解法构造了一个具有无限多共存吸引子的三阶分数阶混沌系统，解决了现有具有无限共存特殊物理现象的分数阶系统因结构复杂不利于教学演示以及由于序列产生时间较长不利于其应用于实时加密等技术问题。

Description

一种可产生无限多共存吸引子的三阶分数阶混沌系统及其构 造方法
技术领域
本发明涉及保密通信、信息安全、计算机图像加密技术领域，具体而言，尤其涉及一种可产生无限多共存吸引子的三阶分数阶混沌系统及其构造方法。
背景技术
分数微积分是一种古老的计算方法。由于分数阶导数算子的非局部性，其对时间的分数阶导数特别适用于描述记忆的过程，对空间的分数阶导数特别适用于描述反常扩散的过程。近年来，对分数阶扩散方程的数值解法进行了大量的研究。随着自然科学和社会科学的发展，人们逐渐发现传统的积分阶常微分方程不能有效地表示具有特定结构的系统的某些特征。特别是在计算复杂系统的数值解时，一些积分阶微分方程的计算结果与实际结果相差很大，速度非常慢。但由于分数微积分不受约束的特点，在处理这类问题时具有独特的优势。
无限多共存吸引子是近期发现的一种具有特殊物理现象。最近的研究发现，可以通过以下两种方式得到这类混沌。一种是可以通过改变系统初始值自发的产生该现象。另外一种是可以通过偏执控制在适当的系统构造得到。但是，现有具有无限共存特殊物理现象的分数阶混沌系统，其结构复杂不利于混沌教学演示以及由于序列产生时间较长不利于其应用于实时加密等缺点。
发明内容
根据上述提出的技术问题，而提供一种可产生无限多共存吸引子的三阶分数阶混沌系统及其构造方法。本发明主要利用Adomian分解法构造了一个具有无穷多吸引子的三阶分数阶混沌系统，构造的三阶分数阶混沌系统具有比整数阶系统更复杂的动力学特征。解决了现有具有无限共存特殊物理现象的分数阶混沌系统因结构复杂不利于混沌教学演示以及由于序列产生时间较长不利于其应用于实时加密等技术问题。
本发明采用的技术手段如下：
一种可产生无限多共存吸引子的三阶分数阶混沌系统，三阶分数阶混沌系统表示如下：
Figure BDA0002531422550000021
Figure BDA0002531422550000022
Figure BDA0002531422550000023
Figure BDA0002531422550000024
Figure BDA0002531422550000025
Figure BDA0002531422550000026
其中，xm,ym,zm分别表示该分数阶分解的一阶初始状态变量值，C10,C11.....C35分别表示利用Adomain分解法的从第一阶到第五阶迭代的状态变量，a,b分别表示三阶分数阶混沌系统的参数，q表示三阶分数阶混沌系统的阶数，Г表示伽马函数。
一种可产生无限多共存吸引子的三阶分数阶混沌系统的构造方法，包括如下步骤：
S1、基于Caputo微积分，构建三阶分数阶混沌系统的数学模型；
S2、利用Adomain分解法，求解上述三阶分数阶混沌系统的数值解；
S3、对三阶分数阶混沌系统产生的无限多共存吸引子进行数值仿真；
S4、采用数字信号处理技术，基于TMS320F28335物理实现三阶分数阶混沌系统产生的无限多共存吸引子。
进一步地，所述步骤S1具体为：
S11、确定Caputo微积分，Caputo微积分的公式表示如下：
Figure BDA0002531422550000031
其中，
Figure BDA0002531422550000032
表示Caputo算子微分定义下的数学方程，Γ表示伽马函数，m表示积分函数，τ表示时间常数，dm表示Caputo微分算子；
S12、基于Caputo微积分，构建三阶分数阶混沌系统的数学模型，具体如下：
Figure BDA0002531422550000033
其中，
Figure BDA0002531422550000034
分别表示Caputo微积分定义下的微分算子，x、y、z分别表示三阶分数阶混沌系统的状态变量，a、b分别表示三阶分数阶混沌系统的参数变量。
进一步地，所述步骤S2利用五阶Adomain分解法求出的三阶分数阶混沌系统的数值解具体为：
Figure BDA0002531422550000041
Figure BDA0002531422550000042
Figure BDA0002531422550000043
Figure BDA0002531422550000044
Figure BDA0002531422550000045
Figure BDA0002531422550000046
其中，xm,ym,zm分别表示该分数阶分解的一阶初始状态变量值，C10,C11.....C35分别表示利用Adomain分解法的从第一阶到第五阶迭代的状态变量，a,b分别表示三阶分数阶混沌系统的参数，q表示三阶分数阶混沌系统的阶数，Г表示伽马函数。
进一步地，所述步骤S4具体为：
S41、初始化DSP芯片，进行GPIO的端口配置；
S42、利用五阶Adomain分解法进行迭代并调入三阶分数阶混沌系统的主函数；
S43、将DSP芯片输出端连接示波器探头，得到数字混沌吸引子。
较现有技术相比，本发明具有以下优点：
本发明提供的可产生无限多共存吸引子的三阶分数阶混沌系统，结构简单且产生序列时间较快，利于混沌教学演示，为信息安全、保密通信、计算机图像加密等领域做出了理论指导和实验验证。
基于上述理由本发明可在保密通信、信息安全、计算机图像加密等领域广泛推广。
附图说明
为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图做以简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动性的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。
图1为本发明系统产生的无限多共存吸引子相图。
图2为本发明基于TMS320F28335芯片的硬件关系图。
图3为本发明DSP实现流程图。
图4为本发明DSP实现的系统产生的混沌吸引子图。
具体实施方式
为了使本技术领域的人员更好地理解本发明方案，下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分的实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都应当属于本发明保护的范围。
需要说明的是，本发明的说明书和权利要求书及上述附图中的术语“第一”、“第二”等是用于区别类似的对象，而不必用于描述特定的顺序或先后次序。应该理解这样使用的数据在适当情况下可以互换，以便这里描述的本发明的实施例能够以除了在这里图示或描述的那些以外的顺序实施。此外，术语“包括”和“具有”以及他们的任何变形，意图在于覆盖不排他的包含，例如，包含了一系列步骤或单元的过程、方法、系统、产品或设备不必限于清楚地列出的那些步骤或单元，而是可包括没有清楚地列出的或对于这些过程、方法、产品或设备固有的其它步骤或单元。
本发明提供了一种可产生无限多共存吸引子的三阶分数阶混沌系统，三阶分数阶混沌系统表示如下：
Figure BDA0002531422550000061
Figure BDA0002531422550000062
Figure BDA0002531422550000063
Figure BDA0002531422550000064
Figure BDA0002531422550000065
Figure BDA0002531422550000066
其中，xm,ym,zm分别表示该分数阶分解的一阶初始状态变量值，C10,C11.....C35分别表示利用Adomain分解法的从第一阶到第五阶迭代的状态变量，a,b分别表示三阶分数阶混沌系统的参数，q表示三阶分数阶混沌系统的阶数，Г表示伽马函数。
本发明还提供了一种可产生无限多共存吸引子的三阶分数阶混沌系统的构造方法，包括如下步骤：
S1、基于Caputo微积分，构建三阶分数阶混沌系统的数学模型；
优选地，所述步骤S1具体为：
S11、确定Caputo微积分，Caputo微积分的公式表示如下：
Figure BDA0002531422550000071
其中，
Figure BDA0002531422550000072
表示Caputo算子微分定义下的数学方程，Γ表示伽马函数，m表示积分函数，τ表示时间常数，dm表示Caputo微分算子；
S12、基于Caputo微积分，构建三阶分数阶混沌系统的数学模型，具体如下：
Figure BDA0002531422550000073
其中，
Figure BDA0002531422550000074
分别表示Caputo微积分定义下的微分算子，x、y、z分别表示三阶分数阶混沌系统的状态变量，a、b分别表示三阶分数阶混沌系统的参数变量。
S2、利用Adomain分解法，求解上述三阶分数阶混沌系统的数值解；
优选地，所述步骤S2利用五阶Adomain分解法求出的三阶分数阶混沌系统的数值解具体为：
Figure BDA0002531422550000075
Figure BDA0002531422550000081
Figure BDA0002531422550000082
Figure BDA0002531422550000083
Figure BDA0002531422550000084
Figure BDA0002531422550000085
其中，xm,ym,zm分别表示该分数阶分解的一阶初始状态变量值，C10,C11.....C35分别表示利用Adomain分解法的从第一阶到第五阶迭代的状态变量，a,b分别表示三阶分数阶混沌系统的参数，q表示三阶分数阶混沌系统的阶数，Г表示伽马函数。
S3、对三阶分数阶混沌系统产生的无限多共存吸引子进行数值仿真；令a＝12,b＝0.6,q＝0.85。通过调节状态变量z的初始条件分别取-6π,-4π,-2π,π,3π,利用matlab仿真软件可以得到如图1所示的该系统的无限共存吸引子。
S4、采用数字信号处理技术，基于TMS320F28335物理实现三阶分数阶混沌系统产生的无限多共存吸引子。如图2所示，为主板芯片与DA转换器、示波器之间的关系图，任何一个分数阶系统均可以利用该平台实现。
优选地，如图3所示，所述步骤S4具体为：
S41、初始化DSP芯片，进行GPIO的端口配置；
S42、利用五阶Adomain分解法进行迭代并调入三阶分数阶混沌系统的主函数；
S43、将DSP芯片输出端连接示波器探头，得到数字混沌吸引子。如图4所示，为DSP实现的混沌吸引子图。
最后应说明的是：以上各实施例仅用以说明本发明的技术方案，而非对其限制；尽管参照前述各实施例对本发明进行了详细的说明，本领域的普通技术人员应当理解：其依然可以对前述各实施例所记载的技术方案进行修改，或者对其中部分或者全部技术特征进行等同替换；而这些修改或者替换，并不使相应技术方案的本质脱离本发明各实施例技术方案的范围。

Claims (5)

1.一种可产生无限多共存吸引子的三阶分数阶混沌系统，其特征在于，三阶分数阶混沌系统表示如下：
Figure FDA0002531422540000011
Figure FDA0002531422540000012
Figure FDA0002531422540000013
Figure FDA0002531422540000014
Figure FDA0002531422540000015
Figure FDA0002531422540000016
其中，xm,ym,zm分别表示该分数阶分解的一阶初始状态变量值，C10,C11.....C35分别表示利用Adomain分解法的从第一阶到第五阶迭代的状态变量，a,b分别表示三阶分数阶混沌系统的参数，q表示三阶分数阶混沌系统的阶数，Г表示伽马函数。
2.一种基于权利要求1所述的三阶分数阶混沌系统的构造方法，其特征在于，包括如下步骤：
S1、基于Caputo微积分，构建三阶分数阶混沌系统的数学模型；
S2、利用Adomain分解法，求解上述三阶分数阶混沌系统的数值解；
S3、对三阶分数阶混沌系统产生的无限多共存吸引子进行数值仿真；
S4、采用数字信号处理技术，基于TMS320F28335物理实现三阶分数阶混沌系统产生的无限多共存吸引子。
3.根据权利要求2所述的构造方法，其特征在于，所述步骤S1具体为：
S11、确定Caputo微积分，Caputo微积分的公式表示如下：
Figure FDA0002531422540000021
其中，
Figure FDA0002531422540000022
表示Caputo算子微分定义下的数学方程，Γ表示伽马函数，m表示积分函数，τ表示时间常数，dm表示Caputo微分算子；
S12、基于Caputo微积分，构建三阶分数阶混沌系统的数学模型，具体如下：
Figure FDA0002531422540000023
其中，
Figure FDA0002531422540000024
分别表示Caputo微积分定义下的微分算子，x、y、z分别表示三阶分数阶混沌系统的状态变量，a、b分别表示三阶分数阶混沌系统的参数变量。
4.根据权利要求2所述的可产生无限多共存吸引子的三阶分数阶混沌系统的构造方法，其特征在于，所述步骤S2利用五阶Adomain分解法求出的三阶分数阶混沌系统的数值解具体为：
Figure FDA0002531422540000025
Figure FDA0002531422540000031
Figure FDA0002531422540000032
Figure FDA0002531422540000033
Figure FDA0002531422540000034
Figure FDA0002531422540000035
其中，xm,ym,zm分别表示该分数阶分解的一阶初始状态变量值，C10,C11.....C35分别表示利用Adomain分解法的从第一阶到第五阶迭代的状态变量，a,b分别表示三阶分数阶混沌系统的参数，q表示三阶分数阶混沌系统的阶数，Г表示伽马函数。
5.根据权利要求2所述的可产生无限多共存吸引子的三阶分数阶混沌系统的构造方法，其特征在于，所述步骤S4具体为：
S41、初始化DSP芯片，进行GPIO的端口配置；
S42、利用五阶Adomain分解法进行迭代并调入三阶分数阶混沌系统的主函数；
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