CN111600821B - 一种基于分数傅里叶变换域的线性调频信号稀疏采样与重建方法 - Google Patents

一种基于分数傅里叶变换域的线性调频信号稀疏采样与重建方法 Download PDF

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CN111600821B CN202010369428.9A CN202010369428A CN111600821B CN 111600821 B CN111600821 B CN 111600821B CN 202010369428 A CN202010369428 A CN 202010369428A CN 111600821 B CN111600821 B CN 111600821B
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Abstract

本发明是一种基于分数傅里叶变换域的线性调频信号稀疏采样与重建方法。所述方法为进行参数初始化，使得所述一伪随机码的低频段同时保留模拟线性调频信号的信息；滤除所述模拟线性调频信号与一伪随机码的信号的高分数傅里叶变换谱成分，输出滤波信号；对输出的滤波信号以低速模数转换器进行采样，得到采样值；通过匹配追踪算法计算出模拟线性调频信号在分数傅里叶变换域的稀疏表示系数；采用分数傅里叶变换域稀疏表示得到重构处的原始模拟线性调频信号。本发明利用线性调频信号在分数傅里叶变换域的稀疏特性，从而能够解决在频域无法完成的压缩采样问题。

Description

一种基于分数傅里叶变换域的线性调频信号稀疏采样与重建 方法
技术领域
本发明涉及信号与信息处理技术领域，是一种基于分数傅里叶变换域的线性调频信号稀疏采样与重建方法。
背景技术
在信息化高度发达的今天，数字信息无处不在，数字技术带来的便捷和智能已经渗入到能源、教育、医疗、社区等社会领域的方方面面，构筑了人们的数字化新生活，数字经济也逐渐成为我国经济增长的新引擎。然而，模拟是自然界的本质，实际中遇到的信号通常都是模拟的。采样是模拟的物理世界通向数字的信息世界的必备手段，它的理论基础是香农-奈奎斯特采样定理。为了确保采样后模拟信号所蕴含的信息不丢失，传统采样要求采样率不低于奈奎斯特频率，即模拟信号最高频率的两倍。因此，在进一步降低采样率上，传统采样面临着瓶颈效应的制约。
随着电子信息系统信号频率范围和带宽的提高，对采样效率及信号重建方法的研究越来越受到人们的重视。未来电子信息系统越来越侧重在软件平台上实现对信号的数字化处理，多速率数字信号处理技术的应用也会越来越广泛。因此，尽可能降低采样率仍然是降低系统开销、提高算法运算效率和信道有效信息传输率的有效手段。为克服传统采样所面临的瓶颈效应的制约，近年来在压缩感知理论基础上发展起来的模拟信息转换技术备受关注，能够从亚奈奎斯特采样中实现信号的完全重建。然而，现有模拟信息转换技术仅适用于多谱线或多频带的频域带限稀疏信号，对那些在频域非带限的信号，显得无能为力。在自然界普遍存在的线性调频信号就是典型的频域非带限信号，它广泛应用于雷达、声纳、通信、语音、地球物理和生物医学信号处理等领域。
线性调频信号是分数傅里叶变换的基函数，它在分数傅里叶变换域是带限的，且其分数傅里叶变换谱呈现为冲激函数特性。也就是说，在分数傅里叶变换域线性调频信号的能量只集中在少数分数傅里叶变换谱点上，这表明线性调频信号在分数傅里叶变换域是稀疏的。利用分数傅里叶变换域的稀疏特性，可以在信息不损失的情况下，从亚奈奎斯特采样中实现对线性调频信号的完全重建。
发明内容
本发明为克服突破传统香农-奈奎斯特采样定理的限制，本发明提供了一种基于分数傅里叶变换域的线性调频信号稀疏采样与重建方法，本发明提供了以下技术方案：
一种基于分数傅里叶变换域的线性调频信号稀疏采样与重建方法，包括以下步骤：
步骤1：进行参数初始化；
步骤2：将模拟线性调频信号与一伪随机码相乘，使得所述一伪随机码的低频段同时保留模拟线性调频信号的信息；
步骤3：将模拟线性调频信号与一伪随机码的乘积通过一时域冲激响应的分数傅里叶变换域低通滤波器，滤除所述模拟线性调频信号与一伪随机码的信号的高分数傅里叶变换谱成分，只保留低分数傅里叶变换谱成分，输出滤波信号；
步骤4：对输出的滤波信号以低速模数转换器进行采样，得到采样值；
步骤5：根据模拟线性调频信号在分数傅里叶变换域的稀疏特性、伪随机码、分数傅里叶变换域低通滤波器构造稀疏采样矩阵；
步骤6：根据步骤4中的采样值和步骤5中的稀疏采样矩阵，通过匹配追踪算法计算出模拟线性调频信号在分数傅里叶变换域的稀疏表示系数；
步骤7：根据步骤6中的稀疏系数，采用分数傅里叶变换域稀疏表示得到重构处的原始模拟线性调频信号。
优选地，所述步骤1具体为：
根据待采样模拟线性调频信号的调频率k和最高分数阶频率umax确定分数傅里叶变换的旋转角度α以及伪随机码的码元宽度Tc，即a＝-arccot(k)；根据采样率fs，确定伪随机码的码长N，满足N≥2/fsTc，完成参数初始化。
优选地，所述步骤2具体为：
步骤2.1：进行分数阶频谱搬移，将模拟线性调频信号x(t)与一伪随机码c(t)相乘，c(t)由幅值在0和1之间交替跳变的伪随机序列生成，跳变的频率不小于x(t)的最高分数阶频率um＝max{ui}，伪随机序列的每一比特变换为宽度为Tc、幅度为1的波形函数，当伪随机序列为0元素时，波形函数取正极性，否则取负极性，通过这样变换后，周期为N的伪随机序列就变换为码元宽度为Tc、周期为NTc的伪随机码，且
Figure BDA0002476759630000021
通过下式表示模拟线性调频信号x(t)与c(t)的乘积信号xc(t)：
Figure BDA0002476759630000022
xc(t)的分数傅里叶变换通过下式表示：
Figure BDA0002476759630000031
步骤2.2：对于单分量的模拟线性调频信号x(t)，即R＝1，乘积信号xc(t)的分数傅里叶变换谱是离散线状谱，谱线间隔为
Figure BDA0002476759630000032
且包络为sinc函数，谱线中心分数阶频率为u1，靠近谱中心分数阶频率较低的第一个零点在k＝-N处，即
Figure BDA0002476759630000033
当
Figure BDA0002476759630000034
时，在分数阶频率区间
Figure BDA0002476759630000035
内
Figure BDA0002476759630000036
处存在一根谱线，符号
Figure BDA0002476759630000037
表示向下取整，谱线除了分数阶频率与原始单分量模拟线性调频信号x(t)不同外，保留了x(t)的所有信息；
步骤2.3：对于多分量模拟线性调频信号x(t)，即R≥2，乘积信号xc(t)的分数傅里叶变换谱作为是R簇离散线状谱的叠加，每一簇谱线间隔为
Figure BDA0002476759630000038
且包络为sinc函数，第n簇谱线中心分数阶频率为un，其靠近谱中心分数阶频率较低的第一个零点在k＝-N处，即
Figure BDA0002476759630000039
记
Figure BDA00024767596300000310
和
Figure BDA00024767596300000311
则当
Figure BDA00024767596300000312
且
Figure BDA00024767596300000313
时，在分数阶频率区间
Figure BDA00024767596300000314
内
Figure BDA00024767596300000315
处存在R根谱线，1≤n≤R，谱线除了分数阶频率与原始多分量模拟线性调频信号x(t)不同外，保留了x(t)的所有信息。
优选地，所述步骤3具体为：
步骤3.1：构造分数域低通滤波器，利用截止分数阶频率为
Figure BDA00024767596300000316
的分数域低通滤波器h(t)获取乘积信号xc(t)在分数阶频率区间
Figure BDA00024767596300000317
内的分数阶频率成分，记滤波输出信号为y(t)，通过下式表示y(t)：
Figure BDA00024767596300000318
其中，*表示分数阶常规卷积算子。
优选地，所述步骤4的采样过程具体为：
步骤4.1：构建模拟线性调频信号的稀疏表示，通过下式确定模拟线性调频信号的稀疏表示：
Figure BDA00024767596300000319
Figure BDA0002476759630000041
其中，x(t)为模拟线性调频信号的稀疏表示，λn为稀疏表示系数，
Figure BDA0002476759630000042
为稀疏表示的基函数；
步骤4.2：对于单分量的模拟线性调频信号x(t)，即R＝1，乘积信号xc(t)的分数傅里叶变换谱是离散线状谱，谱线间隔为
Figure BDA0002476759630000043
且包络为sinc函数，谱线中心分数阶频率为u1，靠近谱中心分数阶频率较低的第一个零点在k＝-N处，即
Figure BDA0002476759630000044
当
Figure BDA0002476759630000045
时，在分数阶频率区间
Figure BDA0002476759630000046
内
Figure BDA0002476759630000047
处存在一根谱线，符号
Figure BDA0002476759630000048
表示向下取整，谱线除了分数阶频率与原始单分量模拟线性调频信号x(t)不同外，保留了x(t)的所有信息；
步骤4.3：对于多分量模拟线性调频信号x(t)，即R≥2，乘积信号xc(t)的分数傅里叶变换谱作为是R簇离散线状谱的叠加，每一簇谱线间隔为
Figure BDA0002476759630000049
且包络为sinc函数，第n簇谱线中心分数阶频率为un，其靠近谱中心分数阶频率较低的第一个零点在k＝-N处，即
Figure BDA00024767596300000410
记
Figure BDA00024767596300000411
和
Figure BDA00024767596300000412
则当
Figure BDA00024767596300000413
且
Figure BDA00024767596300000414
时，在分数阶频率区间
Figure BDA00024767596300000415
内
Figure BDA00024767596300000416
处存在R根谱线，1≤n≤R，谱线除了分数阶频率与原始多分量模拟线性调频信号x(t)不同外，保留了x(t)的所有信息。
优选地，所述步骤4具体为：
根据步骤3中分数域低通滤波器带宽
Figure BDA00024767596300000417
的两倍为分数阶采样频率，对滤波输出信号y(t)进行时域等间隔采样，得到采样值，通过下式表示所述采样值：
Figure BDA00024767596300000418
其中，y[m]为采样值，m为采样点序号。
优选地，所述步骤5具体为:
步骤5.1：构建稀疏采样欠定方程，截取M个点的采样值y[m]作为观测值进行原始模拟线性调频信号x(t)的重构，通过下式表示重构后的y[m]：
Figure BDA0002476759630000051
步骤5.2：记y是长度为M且第m个元素为y[m]的观测向量，Λ是长度为R且第n个元素为λn的稀疏系数向量，Θ为M×R的观测矩阵，通过下式确定第m行第n列的元素：
Figure BDA0002476759630000052
将重构后的y[m]改写成矩阵的形式，通过下式表示重构后的y[m]改写成矩阵的形式：
y＝ΘΛ
其中，观测向量y是已知的，由低速采样获得。
优选地，所述步骤6具体为：
步骤6.1：初始化，设置n＝1,支撑集
Figure BDA0002476759630000053
残差r0＝y；
步骤6.2：确定感知矩阵Θ中与残差相关性最强的列向量所属的位置in
Figure BDA0002476759630000054
并且将其添加到支撑集中，Sn＝Sn-1∪{in}
步骤6.3：确定在支撑集Sn的最佳逼近y的信号
Figure BDA0002476759630000055
步骤6.4：迭代更新残差，使得rn＝y-ΘsΛs，当残差不满足终止判据时，n＝n+1，返回步骤6.2；
步骤6.5：输出稀疏系数向量
Figure BDA0002476759630000056
通过下式表示系数系数向量：
Figure BDA0002476759630000057
其中，||·||0表示向量的零范数，即向量中非零元素的个数，Λ＝[λ1,λ2,...λR]。
优选地，所述步骤7具体为：
利用稀疏表示实现信号重构，基于步骤六中求解出的稀疏系数向量
Figure BDA0002476759630000058
根信号稀疏表示重构出原始模拟线性调频信号，通过下式表示重构处的原始模拟线性调频信号:
Figure BDA0002476759630000061
本发明具有以下有益效果：
现有的压缩采样技术仅适用于多谱线或多频带的频域带限稀疏信号，无法解决频域非带限的线性调频信号压缩采样。本发明利用线性调频信号在分数傅里叶变换域的稀疏特性，从而能够解决在频域无法完成的压缩采样问题。
本发明能够将采样频率降低至奈奎斯特速率之下，使得采样后的数据量大大减少，从而降低前端采样设备的压力。采样和重构的过程较为简单，在硬件方面也易于实现。
附图说明
图1是信号采样过程的原理框图；
图2是信号重构过程的原理框图；
图3是原始信号的时域波形和分数域的频谱图；
图4是信号与伪随机序列相乘结果在分数域的频谱图；
图5是分数域滤波器输出信号的时域波形和分数域频谱图；
图6是重构信号的时域波形和分数域的频谱图；
图7是重构信号与原始信号在时域的对比。
具体实施方式
以下结合具体实施例，对本发明进行了详细说明。
具体实施例一：
本发明提供一种基于分数傅里叶变换域的线性调频信号稀疏采样与重建方法。
步骤1：进行参数初始化；
参照图1信号采样过程的原理框图，构建模拟线性调频信号的稀疏表示。为便于分析，首先引入分数傅里叶变换的概念。信号f(t)的分数傅里叶变换定义为
Figure BDA0002476759630000062
其中，α为变换角度，积分核Kα(u,t)的表达式为
Figure BDA0002476759630000063
其中，k为整数。相应的，分数傅里叶反变换的公式为
Figure BDA0002476759630000071
通常，u轴被称为分数傅里叶变换域，相应的变量u被称为分数阶频率。特别地，当α＝π/2时，分数傅里叶变换便退化为经典傅里叶变换。分数傅里叶变换具有如下调制特性：
Figure BDA0002476759630000072
模拟线性调频信号x(t)在分数傅里叶变换域体现为离散线状谱的冲激函数，其分数傅里叶变换Xα(u)可以建模为
Figure BDA0002476759630000073
其中，λn和un分别表示x(t)在分数傅里叶变换域的第n根离散谱线的幅值和分数阶频率点，n∈{0,1,...,R-1}。若线性调频信号x(t)的分数傅里叶变换谱只在极少的r个分数阶频点上有值，其他绝大部分为零，即r＜＜R，则称x(t)是分数傅里叶变换域稀疏信号。对式(5)两边做关于u的分数傅里叶逆变换，可以得到模拟线性调频信号x(t)的在分数傅里叶变换下的稀疏表示为
Figure BDA0002476759630000074
其中
Figure BDA0002476759630000075
步骤2：将模拟线性调频信号与一伪随机码相乘，使得所述一伪随机码的低频段同时保留模拟线性调频信号的信息；
分数阶频谱搬移：将输入的模拟线性调频信号x(t)与一伪随机码c(t)相乘。c(t)由幅值在0和1之间交替跳变的伪随机序列生成，跳变的频率不小于x(t)的最高分数阶频率um＝max{ui}。伪随机序列的每一比特变换为宽度为Tc、幅度为1的波形函数，当伪随机序列为0元素时，波形函数取正极性，否则取负极性。通过这样变换后，周期为N的伪随机序列就变换为码元宽度为Tc、周期为NTc的伪随机码，且
Figure BDA0002476759630000076
于是，可以将伪随机码展开成傅里叶级数的形式
Figure BDA0002476759630000077
其中，展开系数pk的表达式为
Figure BDA0002476759630000081
其中，C(ω)为c(t)的连续傅里叶变换。式(9)表明，pk可以看成伪随机码c(t)的连续傅里叶变换C(ω)在ω＝k2πNTc处的采样值。根据扩频通信理论可知，码元宽度为Tc、周期为NTc的伪随机码c(t)的功率谱密度函数P2(ω)＝|C(ω)|2为
Figure BDA0002476759630000082
其中，δk为冲激序列，当k＝0时，δk＝1，否则δk＝0；δ(ω)表示冲激函数，只在ω＝0点有定义且
Figure BDA0002476759630000083
而当ω≠0时，有δ(ω)＝0。于是，可以得到
Figure BDA0002476759630000084
于是，模拟线性调频信号x(t)与c(t)的乘积信号xc(t)可以表示为
Figure BDA0002476759630000085
由此并结合式(4)中分数傅里叶变换的调制特性，xc(t)的分数傅里叶变换可以表示为
Figure BDA0002476759630000086
进一步地，可以得到
Figure BDA0002476759630000087
该结果表明，在时域将信号x(t)与伪随机码c(t)相乘，相当于在分数傅里叶变换域将x(t)的分数傅里叶变换与因子
Figure BDA0002476759630000088
乘积的周期复制，在概念上可以将这一周期复制过程分为三步理解：
1)x(t)的分数傅里叶变换乘以线性调频因子
Figure BDA0002476759630000089
进行解线调；
2)解线调的结果以
Figure BDA00024767596300000810
为周期进行周期复制并乘以
Figure BDA00024767596300000811
进行幅度调整；
3)周期复制和幅度调整后得到的结果再乘以线性调频因子
Figure BDA00024767596300000812
进行线性调频。
具体来说，将式(5)代入式(14)，则有
Figure BDA00024767596300000813
基于以上分析，对于单分量的模拟线性调频信号x(t)，即R＝1，乘积信号xc(t)的分数傅里叶变换谱是离散线状谱，谱线间隔为
Figure BDA0002476759630000091
且包络为sinc函数，谱线中心分数阶频率为u1，靠近谱中心分数阶频率较低的第一个零点在k＝-N处，即
Figure BDA0002476759630000092
当
Figure BDA0002476759630000093
时，在分数阶频率区间
Figure BDA0002476759630000094
内
Figure BDA0002476759630000095
(符号
Figure BDA0002476759630000096
表示向下取整)处存在一根谱线，该谱线除了分数阶频率与原始单分量模拟线性调频信号x(t)不同外，保留了x(t)的所有信息。
对于多分量模拟线性调频信号x(t)，即R≥2，乘积信号xc(t)的分数傅里叶变换谱可以看成是R簇离散线状谱的叠加，每一簇谱线间隔为
Figure BDA0002476759630000097
且包络为sinc函数，第n簇谱线中心分数阶频率为un，其靠近谱中心分数阶频率较低的第一个零点在k＝-N处，即
Figure BDA0002476759630000098
记
Figure BDA0002476759630000099
和
Figure BDA00024767596300000910
则当
Figure BDA00024767596300000911
且
Figure BDA00024767596300000912
时，在分数阶频率区间
Figure BDA00024767596300000913
内
Figure BDA00024767596300000914
处存在R根谱线，这些谱线除了分数阶频率与原始多分量模拟线性调频信号x(t)不同外，保留了x(t)的所有信息。
步骤3：将模拟线性调频信号与一伪随机码的乘积通过一时域冲激响应的分数傅里叶变换域低通滤波器，滤除所述模拟线性调频信号与一伪随机码的信号的高分数傅里叶变换谱成分，只保留低分数傅里叶变换谱成分，输出滤波信号；
构造分数域低通滤波器。基于步骤2的分析，利用截止分数阶频率为
Figure BDA00024767596300000915
的分数域低通滤波器h(t)获取乘积信号xc(t)在分数阶频率区间
Figure BDA00024767596300000916
内的分数阶频率成分，记滤波输出为y(t)，即
Figure BDA00024767596300000917
其中，*α和*分别表示分数阶卷积算子和常规卷积算子。根据分数傅里叶变换分数阶卷积定理可知
Figure BDA00024767596300000918
式中，Yα(u)表示y(t)的分数傅里叶变换，H(ucscα)表示分数域滤低通滤波器h(t)的傅里叶变换(变换元做了尺度cscα伸缩)。基于前述分析，H(ucscα)应该满足
Figure BDA00024767596300000919
由此，可得
Figure BDA0002476759630000101
由此并结合式(17)便可以得到滤波输出信号y(t)为
Figure BDA0002476759630000102
步骤4：对输出的滤波信号以低速模数转换器进行采样，得到采样值；
获取低速率采样值。以步骤3中分数域低通滤波器带宽
Figure BDA0002476759630000103
的两倍为分数阶采样频率，对滤波输出信号y(t)进行时域等间隔采样。根据分数傅里叶香农采样定理可知，时域采样间隔Δt满足
Figure BDA0002476759630000104
即模拟数字转换器的采样速率需要满足fs＝1/Δt≥2/NTc，相应的采样值为
Figure BDA0002476759630000105
步骤5：根据模拟线性调频信号在分数傅里叶变换域的稀疏特性、伪随机码、分数傅里叶变换域低通滤波器构造稀疏采样矩阵；
构建稀疏采样欠定方程，截取M(M＜R)点采样值y[m]作为观测值进行原始模拟线性调频信号x(t)的重构，结合式(6)、(17)和(21)得到
Figure BDA0002476759630000106
记y是长度为M且第m个元素为y[m]的观测向量，Λ是长度为R且第n个元素为λn的稀疏系数向量，Θ为M×R的观测矩阵，其第m行第n列的元素为
Figure BDA0002476759630000107
于是，式(23)可以改写成矩阵的形式
y＝ΘΛ (25)
这里，观测向量y是已知的，由低速采样获得；观测矩阵Θ也是已知的，具体由式(24)确定；只有稀疏系数向量Λ＝[λ1,λ2,...λR]是未知。由于M＜R，所以式(25)实质上是以稀疏系数λn(1≤n≤R)为未知量的欠定方程组。根据线性代数知识，若式(25)中欠定方程组的观测矩阵Θ满足约束等距特性，则该欠定方程组具有唯一的稀疏解，即通过式(25)可以唯一求解出稀疏系数向量Λ，再利用式(6)即可恢复出原始模拟线性调频信号。在式(24)中由于c(τ)是伪随机码，所以观测矩阵Θ是随机矩阵，根据稀疏信号表示理论，它满足约束等距特性，因此由式(25)可以唯一恢复出稀疏系数λn(1≤n≤R)。
步骤6：根据步骤4中的采样值和步骤5中的稀疏采样矩阵，通过匹配追踪算法计算出模拟线性调频信号在分数傅里叶变换域的稀疏表示系数；
求解信号稀疏表示系数。根据观测值y和观测矩阵Θ，求解式(25)中的稀疏系数向量Λ＝[λ1,λ2,...λR]的问题可以归结为向量l0范数的最小化问题，即
Figure BDA0002476759630000111
其中，||·||0表示向量的零范数，即向量中非零元素的个数。直接求解l0范数最小化问题属于NP-难问题。压缩感知理论表明，l0范数最小化问题可以转化为求解l1范数的最小化问题，即
Figure BDA0002476759630000112
基于式(27)，原始模拟线性调频模拟信号稀疏采样重构算法的具体实现过程如表1所示。
表1稀疏表示系数求解算法
Figure BDA0002476759630000113
Figure BDA0002476759630000121
步骤7：根据步骤6中的稀疏系数，采用分数傅里叶变换域稀疏表示得到重构处的原始模拟线性调频信号。
利用稀疏表示实现信号重构。基于步骤六中求解出的稀疏系数向量
Figure BDA0002476759630000122
根据式(6)中信号稀疏表示即可重构出原始模拟线性调频信号，即
Figure BDA0002476759630000123
具体实施例二：
根据图2至图6所示，本例采用两个线性调频信号作为输入信号，其中线性调频信号的幅度为B＝100，调频率都为
Figure BDA0002476759630000124
中心角频率ω分别为200Hz和400Hz。由上述推导可知，信号在旋转角度为α＝π/6的分数域中能量最佳聚集，在u＝ωsinα＝100Hz和200Hz处为冲激函数，与中的仿真结果一致。
然后将线性调频信号x(t)与伪随机码c(t)相乘。本例中的伪随机序列c(t)是由最长线性移位寄存器产生的m序列，伪随机序列的周期为NTc＝1，因此在频域谱线的间隔为ω0＝2π/NTc＝2π。如所示，相乘后的信号
Figure BDA0002476759630000125
其分数谱被搬移到了每个等间隔的频率点上。与理论推导中式(15)相符，分数域谱线的间隔为ξ0＝2πsinα/NTc＝π。
之后，经过分数域滤波去除高频的部分，分数域低通滤波器的截止频率需大于谱线间隔ξ0。由前面的分析知，可以通过分数阶卷积的形式从频域设计滤波器。本例中的滤波器采用巴特沃斯滤波器实现，滤波器的频率特性及其滤波结果则如所示。
滤波之后的模拟信号需经过ADC的低速采样，在本例中采样速率为fs＝2/NTc。至此，完成了压缩采样得到了离散的观测值序列。
(2)信号重构结果与分析：
输入采样得到的观测值序列，根据式(24)构造观测矩阵Θ，采用正交匹配追踪(OMP)算法恢复分数域的稀疏向量
Figure BDA0002476759630000126
根据式(28)即可重构出原始模拟线性调频信号
Figure BDA0002476759630000127
信号重构结果如所示，可以看出信号在分数域上的位置和原始信号一样。原始信号与重构信号在时域的对比如所示，可以看出二者基本没有差别。根据图7所示，采用均方误差(NMSE)衡量其恢复效果的话，重构信号与原始信号的均方误差为0.0912，基本上可以认为信号得到了恢复。
以上所述仅是一种基于分数傅里叶变换域的线性调频信号稀疏采样与重建方法的优选实施方式，一种基于分数傅里叶变换域的线性调频信号稀疏采样与重建方法的保护范围并不仅局限于上述实施例，凡属于该思路下的技术方案均属于本发明的保护范围。应当指出，对于本领域的技术人员来说，在不脱离本发明原理前提下的若干改进和变化，这些改进和变化也应视为本发明的保护范围。

Claims (8)

1.一种基于分数傅里叶变换域的线性调频信号稀疏采样与重建方法，其特征是：包括以下步骤：
步骤1：进行参数初始化；
步骤2：将模拟线性调频信号与一伪随机码相乘，使得所述一伪随机码的低频段同时保留模拟线性调频信号的信息；
步骤3：将模拟线性调频信号与一伪随机码的乘积通过一时域冲激响应的分数傅里叶变换域低通滤波器，滤除所述模拟线性调频信号与一伪随机码的信号的高分数傅里叶变换谱成分，只保留低分数傅里叶变换谱成分，输出滤波信号；
所述步骤2具体为：
步骤2.1：进行分数阶频谱搬移，将模拟线性调频信号x(t)与一伪随机码c(t)相乘，c(t)由幅值在0和1之间交替跳变的伪随机序列生成，跳变的频率不小于x(t)的最高分数阶频率um＝max{ui}，伪随机序列的每一比特变换为宽度为Tc、幅度为1的波形函数，当伪随机序列为0元素时，波形函数取正极性，否则取负极性，通过这样变换后，周期为N的伪随机序列就变换为码元宽度为Tc、周期为NTc的伪随机码，且
Figure FDA0003865325700000011
通过下式表示模拟线性调频信号x(t)与c(t)的乘积信号xc(t)：
Figure FDA0003865325700000012
xc(t)的分数傅里叶变换通过下式表示：
Figure FDA0003865325700000013
步骤2.2：对于单分量的模拟线性调频信号x(t)，即R＝1，乘积信号xc(t)的分数傅里叶变换谱是离散线状谱，谱线间隔为
Figure FDA0003865325700000014
且包络为sinc函数，谱线中心分数阶频率为u1，靠近谱中心分数阶频率较低的第一个零点在k＝-N处，即
Figure FDA0003865325700000015
当
Figure FDA0003865325700000016
时，在分数阶频率区间
Figure FDA0003865325700000017
内
Figure FDA0003865325700000018
处存在一根谱线，符号
Figure FDA0003865325700000019
表示向下取整，谱线除了分数阶频率与原始单分量模拟线性调频信号x(t)不同外，保留了x(t)的所有信息；
步骤2.3：对于多分量模拟线性调频信号x(t)，即R≥2，乘积信号xc(t)的分数傅里叶变换谱作为是R簇离散线状谱的叠加，每一簇谱线间隔为
Figure FDA0003865325700000021
且包络为sinc函数，第n簇谱线中心分数阶频率为un，其靠近谱中心分数阶频率较低的第一个零点在k＝-N处，即
Figure FDA0003865325700000022
记
Figure FDA0003865325700000023
和
Figure FDA0003865325700000024
则当
Figure FDA0003865325700000025
且
Figure FDA0003865325700000026
时，在分数阶频率区间
Figure FDA0003865325700000027
内
Figure FDA0003865325700000028
处存在R根谱线，1≤n≤R，谱线除了分数阶频率与原始多分量模拟线性调频信号x(t)不同外，保留了x(t)的所有信息；
步骤4：对输出的滤波信号以低速模数转换器进行采样，得到采样值；
步骤5：根据模拟线性调频信号在分数傅里叶变换域的稀疏特性、伪随机码、分数傅里叶变换域低通滤波器构造稀疏采样矩阵；
步骤6：根据步骤4中的采样值和步骤5中的稀疏采样矩阵，通过匹配追踪算法计算出模拟线性调频信号在分数傅里叶变换域的稀疏表示系数；
步骤7：根据步骤6中的稀疏系数，采用分数傅里叶变换域稀疏表示得到重构处的原始模拟线性调频信号。
2.根据权利要求1所述的一种基于分数傅里叶变换域的线性调频信号稀疏采样与重建方法，其特征是：所述步骤1具体为：
根据待采样模拟线性调频信号的调频率k和最高分数阶频率umax确定分数傅里叶变换的旋转角度α以及伪随机码的码元宽度Tc，即a＝-arccot(k)；根据采样率fs，确定伪随机码的码长N，满足N≥2/fsTc，完成参数初始化。
3.根据权利要求1所述的一种基于分数傅里叶变换域的线性调频信号稀疏采样与重建方法，其特征是：所述步骤3具体为：
步骤3.1：构造分数域低通滤波器，利用截止分数阶频率为
Figure FDA0003865325700000029
的分数域低通滤波器h(t)获取乘积信号xc(t)在分数阶频率区间
Figure FDA00038653257000000210
内的分数阶频率成分，记滤波输出信号为y(t)，通过下式表示y(t)：
Figure FDA00038653257000000211
其中，*表示分数阶常规卷积算子。
4.根据权利要求1所述的一种基于分数傅里叶变换域的线性调频信号稀疏采样与重建方法，其特征是：所述步骤4的采样过程具体为：
步骤4.1：构建模拟线性调频信号的稀疏表示，通过下式确定模拟线性调频信号的稀疏表示：
Figure FDA0003865325700000031
Figure FDA0003865325700000032
其中，x(t)为模拟线性调频信号的稀疏表示，λn为稀疏表示系数，
Figure FDA0003865325700000033
为稀疏表示的基函数；
步骤4.2：对于单分量的模拟线性调频信号x(t)，即R＝1，乘积信号xc(t)的分数傅里叶变换谱是离散线状谱，谱线间隔为
Figure FDA0003865325700000034
且包络为sinc函数，谱线中心分数阶频率为u1，靠近谱中心分数阶频率较低的第一个零点在k＝-N处，即
Figure FDA0003865325700000035
当
Figure FDA0003865325700000036
时，在分数阶频率区间
Figure FDA0003865325700000037
内
Figure FDA0003865325700000038
处存在一根谱线，符号
Figure FDA0003865325700000039
表示向下取整，谱线除了分数阶频率与原始单分量模拟线性调频信号x(t)不同外，保留了x(t)的所有信息；
步骤4.3：对于多分量模拟线性调频信号x(t)，即R≥2，乘积信号xc(t)的分数傅里叶变换谱作为是R簇离散线状谱的叠加，每一簇谱线间隔为
Figure FDA00038653257000000310
且包络为sinc函数，第n簇谱线中心分数阶频率为un，其靠近谱中心分数阶频率较低的第一个零点在k＝-N处，即
Figure FDA00038653257000000311
记
Figure FDA00038653257000000312
和
Figure FDA00038653257000000313
则当
Figure FDA00038653257000000314
且
Figure FDA00038653257000000315
时，在分数阶频率区间
Figure FDA00038653257000000316
内
Figure FDA00038653257000000317
处存在R根谱线，1≤n≤R，谱线除了分数阶频率与原始多分量模拟线性调频信号x(t)不同外，保留了x(t)的所有信息。
5.根据权利要求1所述的一种基于分数傅里叶变换域的线性调频信号稀疏采样与重建方法，其特征是：所述步骤4具体为：
根据步骤3中分数域低通滤波器带宽
Figure FDA00038653257000000318
的两倍为分数阶采样频率，对滤波输出信号y(t)进行时域等间隔采样，得到采样值，通过下式表示所述采样值：
Figure FDA00038653257000000319
其中，y[m]为采样值，m为采样点序号。
6.根据权利要求1所述的一种基于分数傅里叶变换域的线性调频信号稀疏采样与重建方法，其特征是：所述步骤5具体为:
步骤5.1：构建稀疏采样欠定方程，截取M个点的采样值y[m]作为观测值进行原始模拟线性调频信号x(t)的重构，通过下式表示重构后的y[m]：
Figure FDA0003865325700000041
步骤5.2：记y是长度为M且第m个元素为y[m]的观测向量，Λ是长度为R且第n个元素为λn的稀疏系数向量，Θ为M×R的观测矩阵，通过下式确定第m行第n列的元素：
Figure FDA0003865325700000042
将重构后的y[m]改写成矩阵的形式，通过下式表示重构后的y[m]改写成矩阵的形式：
y＝ΘΛ
其中，观测向量y是已知的，由低速采样获得。
7.根据权利要求1所述的一种基于分数傅里叶变换域的线性调频信号稀疏采样与重建方法，其特征是：所述步骤6具体为：
步骤6.1：初始化，设置n＝1,支撑集
Figure FDA0003865325700000043
残差r0＝y；
步骤6.2：确定感知矩阵Θ中与残差相关性最强的列向量所属的位置in
Figure FDA0003865325700000044
并且将其添加到支撑集中，Sn＝Sn-1∪{in}
步骤6.3：确定在支撑集Sn的最佳逼近y的信号
Figure FDA0003865325700000045
步骤6.4：迭代更新残差，使得rn＝y-ΘsΛs，当残差不满足终止判据时，n＝n+1，返回步骤6.2；
步骤6.5：输出稀疏系数向量
Figure FDA0003865325700000051
通过下式表示系数系数向量：
Figure FDA0003865325700000052
其中，||·||0表示向量的零范数，即向量中非零元素的个数，Λ＝[λ1,λ2,...λR]。
8.根据权利要求1所述的一种基于分数傅里叶变换域的线性调频信号稀疏采样与重建方法，其特征是：所述步骤7具体为：
利用稀疏表示实现信号重构，基于步骤六中求解出的稀疏系数向量
Figure FDA0003865325700000053
根信号稀疏表示重构出原始模拟线性调频信号，通过下式表示重构处的原始模拟线性调频信号:
Figure FDA0003865325700000054
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