CN111598766B - 基于预测误差扩展的加密域三维模型可逆信息隐藏方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于预测误差扩展的加密域三维模型可逆信息隐藏方法。在传统方法中，由于加密三维模型的不可见性，无法实现三维模型的数据安全性保护。本方法利用Paillier加密系统对三维模型进行加密，以实现三维模型隐私的保护。首先，利用嵌入信息的顶点互不相邻的特性，将顶点划分为嵌入顶点集和参考顶点集。其次，利用参考顶点集，计算嵌入顶点集的预测误差。最后，并利用嵌入秘钥对预测误差的模长进行扩展从而嵌入秘密信息。在接收端，通过比较预测误差的模长取值范围提取秘密信息，并利用参考顶点集恢复原始模型。本发明相比较于传统方法，在提取秘密信息时比特错误率较低，直接解密后的模型具有更少的失真，在信息隐藏容量上具有一定的提高。

Description

基于预测误差扩展的加密域三维模型可逆信息隐藏方法

技术领域

本发明针对三维模型可逆信息隐藏领域，提出了一种基于预测误差扩展的三维模型可逆信息隐藏方法。

背景技术

随着三维(3D)模型及相关应用的广泛使用，促进了对3D模型数据安全保护的相关研究[1-2]。针对3D模型的安全问题，通常采用嵌入水印的方法。水印主要分为鲁棒水印和脆弱水印，鲁棒水印[3]可以抵抗对数据载体的攻击，而脆弱水印[4]则用于实现完整性认证。可逆信息隐藏(RDH)是脆弱水印的分支，它可以无损的恢复原始数据[5-6]。针对一些对数据认证要求高的场合下，如云环境下的加密数据标注、司法认证等，需要利用RDH。

随着互联网技术和云计算技术的快速发展，用户可通过互联网将资料和数据上传到远程服务器或云端进行存储，当需要时再下载使用。云存储节省了购买设备的开支并提高了获取资源的便利性。然而，云计算技术在方便人们生活的同时，也引发了数据安全和隐私保护的问题。因此，在上传到云端之前通常对数据进行加密以提高数据的安全性。同时，云端管理者希望将一些用户资料相关的信息嵌入到密文数据中实现密文检索和数据保护等功能。因此，加密域可逆信息隐藏技术已经成为近年来大数据云计算背景下信息隐藏领域的研究热点。

传统的RDH方法可以分为三类：差值扩展，直方图移位，无损压缩。差值扩展[7-8]通过对相邻像素的差值进行扩展，从而在载体图像上嵌入信息。预测误差扩展是差值扩展的子类，通过对预测误差进行扩展嵌入信息，其中预测误差是指像素的实际值与预测值的差值。直方图移位通过生成载体图像的直方图，从而在直方图的最小点处嵌入信息。无损压缩对载体图像的指定区域进行压缩，并在压缩区域中嵌入信息。

发明内容

随着三维模型在网络上的广泛运用，三维模型的安全性受到极大重视。为了解决现有技术中存在的问题，保护云计算中三维模型的安全性，本发明提出了一种高容量的同态加密域三维模型可逆信息隐藏方法。本方法利用Paillier加密系统对三维模型进行加密，以实现三维模型隐私的保护。在云端，利用嵌入信息的顶点互不相邻的特性，首先将顶点划分为嵌入顶点集和参考顶点集。其次，利用参考顶点集，计算嵌入顶点集的预测误差。最后，并利用嵌入秘钥对预测误差的模长进行扩展从而嵌入秘密信息。在接收端，通过比较预测误差的模长取值范围提取秘密信息，并利用参考顶点集恢复原始模型。本发明相比较于传统方法，在提取秘密信息时比特错误率较低，直接解密后的模型具有更少的失真，在信息隐藏容量上具有一定的提高。

本发明具体采用的技术方案如下：

一种基于预测误差扩展的加密域三维模型可逆信息隐藏方法，其步骤如下：

S1：对三维模型进行预处理，使三维模型的取值范围为(-1,1)的浮点型顶点坐标转化为正整数，转化方法为：

其中，v_i为三维模型的顶点，v_i,j为顶点v_i的原始j轴坐标,j∈{x,y,z}；v′_i,j为顶点v_i转化后的j轴坐标，k为三维模型显示的有效位数；顶点v_i经过预处理后得到顶点的坐标为v′_i＝(v′_i,x,v′_i,y,v′_i,z)；

S2：利用Paillier加密算法对三维模型进行加密，在加密过程中，需要对顶点的三维坐标分别利用公钥(N,g)进行加密，加密公式如下:

式中：j∈{x,y,z}，c_i,j为加密后的v′_i,j的坐标，r_i,j为随机选择的正整数，E[·]为Paillier加密系统的加密函数；v′_i在加密域中对应的顶点c_i＝(c_i,x,c_i,y,c_i,z)；

S3：将S2中加密后的三维模型的顶点划分为嵌入顶点集S_e和参考顶点集S_r，并保证嵌入顶点集中的顶点互不相邻，划分方法步骤如S31～S36所示：

S31：计算三维模型中每个顶点v′_i的一环邻点集合M_i，以及每个顶点v′_i的度m_i；

S32：找出所有顶点的m_i中的最小值m_low，然后在三维模型中选择所有m_i＝m_low的顶点构成顶点集合V；

S33：将顶点集合V中第一个顶点添加至嵌入顶点集S_e，第一个顶点的一环邻点添加至参考顶点集S_r；

S34：在顶点集合V中删除第一个顶点以及该顶点的一环邻点，同时更新该顶点的所有二环邻点的度；

S35：判断三维模型中所有顶点是否全部划分完毕，若仍然有顶点未被划分，则循环执行S32～S34，直至所有顶点全部划分完毕；

S4：计算嵌入顶点集S_e中每个顶点v′_i的预测误差Δv_i，计算公式如下：

其中：

表示v′_i的预测值，其取值为v′_i的所有一环邻点的均值；

得到的预测误差Δv_i为一个三维向量，Δv_i的模长|Δv_i|取值范围为|Δv_i|∈[0,D]，D为|Δv_i|的最大值；

S5：利用嵌入秘钥，对预测误差的模长进行扩展，从而嵌入秘密信息，嵌入秘密信息的过程如S51～S52：

S51：数据隐藏者将待嵌入的秘密信息转化为若干长度为n个bit的组，n是一个共享参数，记一组秘密信息为w＝(w₀,w₁,…,w_n-1)，s_w表示w的加权和，s_w的计算公式如下：

S52：对于加密域中的嵌入顶点集S_e，利用嵌入秘钥，将S51中的每一组秘密信息w顺次嵌入S_e中不同顶点的加密域中；针对顶点c_i的嵌入公式如下：

其中：c′_i,j为嵌入秘密信息后的密文，

为对s_w·d进行加密后的密文；

为随机选择的一个用于加密的整数；d为嵌入秘钥，满足

所有秘密信息均嵌入三维模型的嵌入顶点集S_e后，形成用于发送至接收方的加密模型；

S6：接收方在接收到一个含有秘密信息的加密模型后，按照S61～S65对其进行秘密信息提取和模型恢复：

S61：通过私钥λ对加密模型进行解密，获得直接解密的三维模型，解密公式为：

式中：v″_i,j表示解密得到的三维模型中顶点v″_i的j轴坐标，D[·]为Paillier加密系统的解密函数；函数L(μ)＝(μ-1)/N；

S62：将解密得到的三维模型的所有顶点，按照S3中的方法划分为嵌入顶点集S_e和参考顶点集S_r；

S63：计算嵌入顶点集S_e中每个顶点v″_i的预测误差Δv′_i，

其中：

表示v″_i的预测值，其取值为v″_i的所有一环邻点的均值；

S64：针对嵌入顶点集S_e中每个顶点v″_i，计算其加权和s_w的取值范围：

在s_w的取值范围中提取出一个且仅有一个整数，作为s_w的取值，并将s_w转化为二进制比特w＝(w₀,w₁,...w_n-1)；

将嵌入顶点集S_e中所有顶点v″_i对应的w按序拼接后，得到嵌入的秘密信息；

S65：针对每个嵌有秘密信息的顶点v″_i，利用参数d与加权和s_w恢复其嵌入秘密信息前的顶点v′_i，恢复过程如下：

其中:向量

在上述技术方案基础上，各步骤可以进一步采用如下优选方式实现。

作为优选，所述的步骤S1中，若三维模型的顶点坐标取值范围不是(-1,1)，则需要对其进行坐标值转换。

作为优选，所述的步骤S1中，三维模型显示的有效位数k＝4。

作为优选，所述的步骤S4中，

的计算公式为：

式中：N_i为v′_i的一环邻点个数，v′_t为v′_i的第t个一环邻点。

作为优选，所述的步骤S51中，待嵌入的秘密信息以n个bit为长度，依次进行连续的分割。

作为优选，所述的步骤S52中，嵌入秘钥满足

作为优选，所述的步骤S64中，秘密信息的拼接顺序与S52中秘密信息的嵌入顺序保持一致。

作为优选，所述的步骤S64中，s_w转化为二进制比的公式如下：

与现有技术相比，本发明的有益效果如下：

1)在传统方法中，由于加密三维模型的不可见性，无法实现三维模型的数据安全性保护。而在本方法中，利用Paillier加密系统的加法同态性，可以实现在密文中对顶点预测误差进行扩展。通过对预测误差的模长进行扩展从而嵌入秘密信息，模长的取值范围与秘密信息一一对应，通过判断模长的取值范围从而提取秘密信息。该模型在接收端直接解密的模型与原模型相似度高，能够实现加密域中水印的可逆嵌入和提取以及原始模型的恢复。

2)该方法利用贪心算法的思想对顶点进行分类，一个顶点被添加至嵌入顶点集，该顶点的一环邻点则被添加至参考顶点集，使得嵌入顶点集中的顶点互不相邻，有利于降低提取秘密信息的错误率。另外，该方法通过优先选择度最小的顶点作为嵌入顶点集，使参考顶点集变小，从而使嵌入顶点集变大，提高了信息隐藏容量。作为嵌入顶点集，提高了信息隐藏的容量。

3)该方法具有更高的容量，这是因为利用一对一映射的方式，可以将一组秘密信息映射为一个方向向量，从而实现在一个顶点上嵌入多位秘密信息比特。

附图说明

图1为本发明方法的流程图；

图2为三维模型“Fairy”及其局部图；

图3为三维模型的顶点分类示意图；

图4为顶点的预测误差示意图；

图5为嵌入秘密信息前后，预测误差与秘密信息对应的方向向量的夹角变化示意图。

图6为三维模型嵌入水印过程示意图，其中(a)原始模型，(b)密文模型，(c)含水印的密文模型，(d)直接解密后的模型，(e)恢复后的模型；

图7为5个原始三维模型；其中(a)Fairy.(b)Boss.(c)Devil.(d)Thing.(e)Lord；

图8为40个三维模型中，每个模型顶点的最大模长；

图9为嵌入秘钥与提取秘密信息的错误率、解密后三维模型、恢复后三维模型的失真度的关系；其中(a)嵌入秘钥与提取秘密信息的错误率的关系.(b)嵌入秘钥与解密后三维模型的失真度的关系.(c)嵌入秘钥与恢复后三维模型的失真度的关系；

图10为在共享参数相同时，改变嵌入秘钥的情况下，三维模型“Boss”的失真度；其中(a)d＝90.(b)d＝110.(c)d＝130.(d)d＝150；

图11位在嵌入秘钥相同时，改变共享参数的情况下，三维模型“Lord”的失真度；其中(a)n＝1.(b)n＝2.(c)n＝3.(d)n＝4。

具体实施方式

下面结合附图，对本发明的具体实施方案作进一步详细描述。

如图1所示，为本发明的一较佳实施例中提供的基于预测误差扩展的加密域三维模型可逆信息隐藏方法，其步骤如下：

S1：对三维模型进行预处理，将三维模型的顶点坐标转化为正整数，以方便对三维模型进行加密。

由于三维模型的坐标为浮点数类型，其一般取值范围为|v_i,j|<1,j∈{x,y,z}，因此无法直接利用Paillier加密系统进行加密。为了对三维模型进行加密，三维模型拥有者需要先对三维模型进行预处理，三维模型及其局部图如图2所示。由于大多数的应用并不需要高精度的顶点信息，而三维模型的前4个有效数字已经能很好地显示三维模型，因此采用如下公式将三维模型的顶点转化为整数。

其中，v_i为三维模型的顶点，v_i,j为顶点v_i的原始j轴坐标,j∈{x,y,z}；v′_i,j为顶点v_i转化后的j轴坐标。另外为了进行加密，采用以下公式将三维模型的顶点坐标转化为正整数。

v′_i,j＝v′_i,j+10000,j∈{x,y,z}

顶点v_i经过预处理后得到顶点的坐标为v′_i＝(v′_i,x,v′_i,y,v′_i,z)。

该三维模型可以进一步发送给信息嵌入端进行秘密信息嵌入。

当然，假如三维模型的顶点坐标取值范围不是(-1,1)，则需要对其进行坐标值转换，将其转换至该范围。

S2：对三维模型进行加密。

利用Paillier加密算法对三维模型进行加密，在加密过程中，需要对顶点的三维坐标分别利用公钥(N,g)进行加密，加密公式如下:

式中：j∈{x,y,z}，c_i,j为加密后的v′_i,j的坐标，r_i,j为随机选择的正整数，E[·]为Paillier加密系统的加密函数；v′_i在加密域中对应的顶点c_i＝(c_i,x,c_i,y,c_i,z)；

Paillier加密系统，是1999年paillier发明的概率公钥加密系统。该加密算法是一种同态加密，满足加法和数乘同态。Paillier加密系统具有很高的安全性，已经被深入研究并推广到了减法同态性。其具体加密过程属于现有技术，本发明不再赘述。

S3：将三维模型的顶点划分为嵌入顶点集S_e和参考顶点集S_r，并保证嵌入顶点集中的顶点互不相邻。

划分方法借鉴了贪心算法的思想，一个顶点被添加至嵌入顶点集，其一环邻点则被添加至参考顶点集。通过该方法，可以避免嵌入顶点集中存在顶点相邻的情况。三维模型中，通常用顶点的度表示顶点的一环邻点数，通过优先选择度最小的顶点添加至嵌入顶点集，可以使得参考顶点集较小，从而使嵌入顶点集较大。

假设M_i表示顶点v′_i的一环邻点集合，m_i表示顶点v′_i的度，m_low表示m_i的最小值，V表示度为m_low的顶点集合。嵌入顶点集S_e和参考顶点集S_r的具体划分步骤如S31～S36所示。

S31：计算三维模型中每个顶点v′_i的一环邻点集合M_i，以及每个顶点v′_i的度m_i。

S32：找出所有顶点的m_i中的最小值m_low，然后在三维模型中选择所有m_i＝m_low的顶点构成顶点集合V。

S33：将顶点集合V中第一个顶点(可根据顶点的索引顺序确定顶点排序，下同)添加至嵌入顶点集S_e，第一个顶点的一环邻点添加至参考顶点集S_r。

S34：在顶点集合V中删除第一个顶点以及该顶点的一环邻点。由于该顶点删除后，周围的二环邻点(顶点的一环邻点的邻点)的度将发生变化，因此需要更新该顶点的所有二环邻点的度，以避免已分类的顶点对未分类的顶点造成干扰。

S35：判断三维模型中所有顶点是否全部划分完毕，若仍然有顶点未被划分，则循环执行S32～S34，直至所有顶点全部划分完毕。

每一次重新选择最小度的时间开销为O(n)，因此算法的时间复杂度为O(n²)。例如图3，第一次遍历，计算所有的顶点的一环邻点，此时度最小为2，选择度为2的顶点集合V₂＝{4,6,11}，将V₂的第一个顶点添加至S_e，

将该顶点的一环邻点添加至S_r，

删除该已分类的顶点，更新未分类顶点的一环邻点。第二次遍历，此时度最小为1，V₁＝{2}，S_e＝{4}∪{2}＝{4,2}，S_r＝{1,5}∪{3}＝{1,5,3}。第三次遍历，此时度最小为1，V₁＝{6}，S_e＝{4,2}∪{6}＝{4,2,6}，S_r＝{1,5,3}∪{7}＝{1,5,3,7}。依次遍历，直至所有的顶点分类完成，此时S_e＝{4,2,6,10,11}。

S4：计算嵌入顶点集S_e中顶点的预测误差。

如图4所示，对于嵌入顶点集S_e中每个顶点v′_i，假设顶点v′_t为v′_i的一环邻点，N_i为v′_i的一环邻点个数。v′_i预测值的计算公式如下。

式中：N_i为v′_i的一环邻点个数，v′_t为v′_i的第t个一环邻点。

v′_i的预测误差是指预测值与实际值的差值，计算公式如下：

Δv_i表示v′_i的预测误差，上述计算差值时需将顶点的x、y、z坐标分别进行差值运算，即

j∈{x,y,z}。

上述得到的预测误差Δv_i为一个三维向量，且其方向是随机的。由于三维模型的空间相关性，Δv_i的模长通常较小。通过实验可得出，|Δv_i|的模长最大值为D，因此|Δv_i|的取值范围为|Δv_i|∈[0,D]。

S5：利用嵌入秘钥，对预测误差的模长进行扩展，从而嵌入秘密信息，嵌入秘密信息的过程如S51～S52。

S51：数据隐藏者将待嵌入的秘密信息以n个bit为长度，依次进行连续的分割，转化为若干长度为n个bit的组，n是一个共享参数，记一组秘密信息为w＝(w₀,w₁,…,w_n-1)，s_w表示w的加权和，s_w的计算公式如下：

S52：对于加密域中的嵌入顶点集S_e，利用嵌入秘钥，将S51中的每一组秘密信息w顺次嵌入S_e中不同顶点的加密域中；针对顶点c_i的嵌入公式如下：

其中：c′_i,j为嵌入秘密信息后的密文，

为对s_w·d进行加密后的密文；

为随机选择的一个用于加密的整数；d为嵌入秘钥。

上述S52中顶点c_i加密域的信息嵌入，对应在明文中顶点的修改为：

在嵌入秘密信息后，顶点预测误差的改变如下:

其中向量

在嵌入秘密信息后，预测误差的模长取值范围将会发生变化。当Δv_i与

的方向一致时，Δv′_i的模长|Δv′_i|最大。当Δv_i与

方向相反时，Δv′_i的模长|Δv′_i|最小。嵌入秘密信息后预测误差的计算公式如下：

因此，嵌入s_w后，|Δv′_i|取值范围为

为了提高提取秘密信息的正确率，嵌入不同的秘密信息后，对应模长的取值范围不能重叠。因此，嵌入s_w+1后的最小值应大于嵌入s_w后的最大值，即：

因此，当满足条件

嵌入不同的s_w，对应的取值范围不同。由于，|Δv_i|∈[0,D)，当d满足

不同的s_w对应的取值范围不重叠。此时，

因此，在本实施例中，d满足

当然若信息提取过程中允许损失部分精度，d也可以小于

在嵌入秘密信息后，预测误差Δv′_i的模长取值范围如下：

图5展示了在共享参数n＝1时，在嵌入秘密信息后100个预测误差的模长。可以发现，在嵌入比特’1’后预测误差的模长均大于嵌入比特’0’后的模长。

所有秘密信息均嵌入三维模型的嵌入顶点集S_e后，原来的三维模型就变成了一个加密模型，发送方可以将该加密模型发送至接收方。

S6：接收方对三维模型进行解密，按照S61～S65对其提取秘密信息并恢复原始三维模型。

S61：接收方在接收到一个含有秘密信息的加密模型后，通过私钥λ，接收者能够对加密模型进行解密，获得直接解密的三维模型，解密公式如下。

式中：v″_i,j表示解密得到的三维模型中顶点v″_i的j轴坐标，D[·]为Paillier加密系统的解密函数，函数L(μ)＝(μ-1)/N，μ为函数变量。

Paillier的解密过程也属于现有技术，不再赘述。直接解密的三维模型与原模型较为相似，因为只在嵌入过程中修改了部分顶点的坐标。

S62：将解密得到的三维模型的所有顶点划分为嵌入顶点集S_e和参考顶点集S_r。具体的划分方法如S3所述，根据三维模型的空间结构不变特性，其划分得到的嵌入顶点集S_e是与S3中一致的。

S63：计算嵌入顶点集S_e中每个顶点v″_i的预测误差Δv′_i，

其中：

表示v″_i的预测值，其取值为v″_i的所有一环邻点的均值。

S64：针对嵌入顶点集S_e中每个顶点v″_i，计算其加权和s_w的取值范围。

由前述的公式推导可知，|Δv′_i|取值范围为

通过下列公式判断秘密信息的取值范围。

由此可见s_w的范围

s_w在该取值范围内有且仅有一个整数，所以比特权重s_w可以被正确提取。

因此，在s_w的取值范围中提取出一个且仅有一个整数，作为s_w的取值。

将s_w转化为二进制比特w(w₀,w₁,...w_n-1)，公式如下。

将嵌入顶点集S_e中所有顶点v″_i对应的w按序拼接后，得到嵌入的秘密信息。秘密信息的拼接顺序与S52中秘密信息的嵌入顺序保持一致。

S65：针对每个嵌有秘密信息的顶点v″_i，利用参数d与加权和s_w恢复其嵌入秘密信息前的顶点，恢复过程如下：

v′_i为恢复后的三维模型顶点坐标。

至此，三维模型中的秘密信息可以被完全提取，而且原始的三维模型也得到了还原。相比较于传统方法，该方法在提取秘密信息时比特错误率较低，直接解密后的模型具有更少的失真，在信息隐藏容量上具有一定的提高。下面将上述方法应用于具体的实施例中，以便于说明其具体技术效果。方法的具体步骤如S1～S6所述，不再赘述，下面主要阐述其具体参数和实现的效果。

实施例

1、方法的性能分析

图6展示了三个模型的实验效果图，从左到右，依次对应着原始模型，加密模型，含有秘密信息的加密模型，直接解密的模型以及恢复的模型。

图7展示了用于实验的五个三维模型。

图8展示了40个三维模型中，每个模型顶点的最大模长。

2、共享参数和嵌入秘钥的取值分析。

通过参数d修改顶点的预测误差的模长嵌入信息。d越大，顶点坐标修改前后的偏移越大，三维模型的失真越高。d越小，顶点坐标修改前后的偏移越小，提取信息时误码率更高。当

可以使嵌入不同的信息后，对应的模长的取值范围不同，此时，模型可以无损恢复。为了平衡三维模型的失真度与提取信息的正确率，通过在[50,290]之间每隔20取一个值进行实验，选择最佳的d值。

共享参数n越大，比特权重s_w的取值范围越大，模型的失真度越高。共享参数n越大，嵌入容量越大。如图9所示，图9(a)显示了提取信息的错误率BER随着d的取值的变化，图9(b)显示了直接解密的模型的平均SNR_D随着d的取值的变化，图9(c)显示了模型恢复后的平均SNR_R随着d的取值的变化。可以发现，当共享参数n为1时，在d＝110，提取信息的错误率BER＝2.89％，此时SNR_D＝22.13,SNR_R＝35.83。当共享参数n为2时，在d＝130，提取信息的误码率BER＝3.18％，此时SNR_D＝15.34,SNR_R＝33.89。当共享参数n为3是，在d＝150，提取信息的误码率BER＝3.34％，此时SNR_D＝10.02,SNR_R＝34.14。当共享参数n为4时，在d＝170，提取信息的误码率BER＝2.95％，此时SNR_D＝6.77,SNR_R＝33.95。通过实验发现，当d＝110，n＝1时，直接解密的模型的失真较小，且提取秘密信息的误码率较低，通过ECC纠错码机制可以进一步降低误码率。图10为当共享参数为1时，在d＝90,d＝110,d＝130,d＝150的情况下，直接解密的三维模型。图11为当d＝110时，在共享参数n＝1,n＝2,n＝3,n＝4的情况下，直接解密的三维模型。可以发现，当d＝110，n＝2时，直接解密的模型与原模型具有较高的相似度。

以上所述的实施例只是本发明的一种较佳的方案，然其并非用以限制本发明。有关技术领域的普通技术人员，在不脱离本发明的精神和范围的情况下，还可以做出各种变化和变型。因此凡采取等同替换或等效变换的方式所获得的技术方案，均落在本发明的保护范围内。

Claims (8)

1.一种基于预测误差扩展的加密域三维模型可逆信息隐藏方法，其特征在于，步骤如下：

S1：对三维模型进行预处理，使三维模型的取值范围为(-1,1)的浮点型顶点坐标转化为正整数，转化方法为：

其中，v_i为三维模型的顶点，v_i,j为顶点v_i的原始j轴坐标,j∈{x,y,z}；v′_i,j为顶点v_i转化后的j轴坐标，k为三维模型显示的有效位数；顶点v_i经过预处理后得到顶点的坐标为v′_i＝(v′_i,x,v′_i,y,v′_i,z)；

S2：利用Paillier加密算法对三维模型进行加密，在加密过程中，需要对顶点的三维坐标分别利用公钥(N,g)进行加密，加密公式如下:

式中：j∈{x,y,z}，c_i,j为加密后的v′_i,j的坐标，r_i,j为随机选择的正整数，E[·]为Paillier加密系统的加密函数；v′_i在加密域中对应的顶点c_i＝(c_i,x,c_i,y,c_i,z)；

S3：将S2中加密后的三维模型的顶点划分为嵌入顶点集S_e和参考顶点集S_r，并保证嵌入顶点集中的顶点互不相邻，划分方法步骤如S31～S36所示：

S31：计算三维模型中每个顶点v′_i的一环邻点集合M_i，以及每个顶点v′_i的度m_i；

S32：找出所有顶点的m_i中的最小值m_low，然后在三维模型中选择所有m_i＝m_low的顶点构成顶点集合V；

S33：将顶点集合V中第一个顶点添加至嵌入顶点集S_e，第一个顶点的一环邻点添加至参考顶点集S_r；

S34：在顶点集合V中删除第一个顶点以及该顶点的一环邻点，同时更新该顶点的所有二环邻点的度；

S35：判断三维模型中所有顶点是否全部划分完毕，若仍然有顶点未被划分，则循环执行S32～S34，直至所有顶点全部划分完毕；

S4：计算嵌入顶点集S_e中每个顶点v′_i的预测误差Δv_i，计算公式如下：

其中：

表示v′_i的预测值，其取值为v′_i的所有一环邻点的均值；

得到的预测误差Δv_i为一个三维向量，Δv_i的模长|Δv_i|取值范围为|Δv_i|∈[0,D]，D为|Δv_i|的最大值；

S5：利用嵌入秘钥，对预测误差的模长进行扩展，从而嵌入秘密信息，嵌入秘密信息的过程如S51～S52：

S51：数据隐藏者将待嵌入的秘密信息转化为若干长度为n个bit的组，n是一个共享参数，记一组秘密信息为w＝(w₀,w₁,…,w_n-1)，s_w表示w的加权和，s_w的计算公式如下：

S52：对于加密域中的嵌入顶点集S_e，利用嵌入秘钥，将S51中的每一组秘密信息w顺次嵌入S_e中不同顶点的加密域中；针对顶点c_i的嵌入公式如下：

其中：c′_i,j为嵌入秘密信息后的密文，

为对s_w·d进行加密后的密文；

为随机选择的一个用于加密的整数；d为嵌入秘钥，满足

所有秘密信息均嵌入三维模型的嵌入顶点集S_e后，形成用于发送至接收方的加密模型；

S6：接收方在接收到一个含有秘密信息的加密模型后，按照S61～S65对其进行秘密信息提取和模型恢复：

S61：通过私钥λ对加密模型进行解密，获得直接解密的三维模型，解密公式为：

式中：v″_i,j表示解密得到的三维模型中顶点v″_i的j轴坐标，D[·]为Paillier加密系统的解密函数；函数L(μ)＝(μ-1)/N；

S62：将解密得到的三维模型的所有顶点，按照S3中的方法划分为嵌入顶点集S_e和参考顶点集S_r；

S63：计算嵌入顶点集S_e中每个顶点v″_i的预测误差Δv′_i，

其中：

表示v″_i的预测值，其取值为v″_i的所有一环邻点的均值；

S64：针对嵌入顶点集S_e中每个顶点v″_i，计算其加权和s_w的取值范围：

在s_w的取值范围中提取出一个且仅有一个整数，作为s_w的取值，并将s_w转化为二进制比特w＝(w₀,w₁,...w_n-1)；

将嵌入顶点集S_e中所有顶点v″_i对应的w按序拼接后，得到嵌入的秘密信息；

S65：针对每个嵌有秘密信息的顶点v″_i，利用参数d与加权和s_w恢复其嵌入秘密信息前的顶点v′_i，恢复过程如下：

其中:向量

2.如权利要求1所述的基于预测误差扩展的加密域三维模型可逆信息隐藏方法，其特征在于，所述的步骤S1中，若三维模型的顶点坐标取值范围不是(-1,1)，则需要对其进行坐标值转换。

3.如权利要求1所述的基于预测误差扩展的加密域三维模型可逆信息隐藏方法，其特征在于，所述的步骤S1中，三维模型显示的有效位数k＝4。

4.如权利要求1所述的基于预测误差扩展的加密域三维模型可逆信息隐藏方法，其特征在于，所述的步骤S4中，

的计算公式为：

式中：N_i为v′_i的一环邻点个数，v′_t为v′_i的第t个一环邻点。

5.如权利要求1所述的基于预测误差扩展的加密域三维模型可逆信息隐藏方法，其特征在于，所述的步骤S51中，待嵌入的秘密信息以n个bit为长度，依次进行连续的分割。

6.如权利要求1所述的基于预测误差扩展的加密域三维模型可逆信息隐藏方法，其特征在于，所述的步骤S52中，嵌入秘钥满足

7.如权利要求1所述的基于预测误差扩展的加密域三维模型可逆信息隐藏方法，其特征在于，所述的步骤S64中，秘密信息的拼接顺序与S52中秘密信息的嵌入顺序保持一致。

8.如权利要求1所述的基于预测误差扩展的加密域三维模型可逆信息隐藏方法，其特征在于，所述的步骤S64中，s_w转化为二进制比的公式如下：

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