CN111462319A - 一种盆山耦合场地地震动的三维数值模拟方法 - Google Patents

一种盆山耦合场地地震动的三维数值模拟方法 Download PDF

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Abstract

本发明属于地震模拟技术领域，具体涉及一种盆山耦合场地地震动的三维数值模拟方法，包括S1、建立盆山耦合场地三维地震动计算模型图；S2、在模型图中引入虚拟的半椭球面，将地形划分为闭合域和开口域，同时，将总波场分解为自由波场和散射波场；S3、利用全空间格林函数模拟闭合域内的散射波场；S4、利用半空间动力格林函数模拟开口域内的散射波场；S5、利用直接刚度法对开口域的自由波场进行求解；S6、设置边界条件，建立原盆山耦合地形模型，并求解整体方程组。与现有技术相比，本发明充分使用全空间和半空间格林函数进行求解，在保证计算精度的同时显著地提高了求解效率，同时，在并行计算方面还能快速求得问题的解。

Description

一种盆山耦合场地地震动的三维数值模拟方法
技术领域
本发明属于地震模拟技术领域，具体涉及一种盆山耦合场地地震动的三维数值模拟方法。
背景技术
近年来全球大地震频发，其高风险性加剧了工程中对场地条件复杂地区精确可靠地震动参数及其分布特征的需求，一方面，我国西南、西北、华北和东南沿海地区的众多城市位于地震背景发育的复杂场地，另一方面，众多超高复杂建筑、重大交通工程和大型水利设施等不断涌现，此类工程多位于场地条件复杂的高烈度地区且投资巨大。而多次地震观测和震害调查已证实了复杂场地条件对地震动有着显著的影响。1997年意大利中部城市Umbria-Marche地震对距震中以南15km的小镇造成了严重损害，该地区位于San Salvatore山脉与Verchiano盆地的过渡地带，对地震的放大作用明显，地震使得大量建筑物倒塌并造成人员伤亡。盆山耦合作为一种典型的复合地形，地震波在山体和盆地之间发生多次散射，其相干效应十分复杂，某些区域可能会成为能量汇聚的“焦点”，从而造成地震动的显著放大。
在复杂场地地震效应的理论计算中，盆山耦合地形可视为凸起地形和沉积谷地的组合。目前，对于复杂场地的研究主要集中在单一地形复杂场地反应方面，但是凸起(山体)和盆地(沉积)多以复合形式存在，且调查表明实际场地中相邻不规则地形之间的相互作用是不可忽略的，而针对盆山耦合复杂场地三维地震动数值模拟的方法还较为欠缺。
因此，为适应工程上对地震动参数及其分布特征的实际需求，有必要对三维盆山地形地震效应的数值模拟方法展开研究，从而指导场地条件复杂地区的震害预测、地震区划和重大工程的抗震设防等工作。
发明内容
本发明的目的在于：针对现有技术的不足，而提供的一种盆山耦合场地地震动的三维数值模拟方法，通过该方法在保证计算精度的同时显著提高了求解效率。
为实现上述目的，本发明采用如下技术方案：
一种盆山耦合场地地震动的三维数值模拟方法，包括以下步骤：
步骤1、建立盆山耦合场地三维地震动计算模型图；
步骤2、在模型图中的不规则散射体附近引入一个虚拟的半椭球面，使所有的不规则体包含在半椭圆球面内，将地形划分为两个凸起的闭合域、沉积闭合域、不规则边界与虚拟椭球面形成的附加闭合域以及开口域，同时，将总波场分解为自由波场和散射波场，其中，所述自由波场为从基岩界面入射P波、SV波和SH波时产生的动力响应，所述散射波为由于凸起、沉积谷地和附加区域的存在而产生的附加的波场；
步骤3、利用全空间格林函数模拟闭合域内的散射波场；
步骤4、利用半空间动力格林函数模拟开口域内的散射波场；
步骤5、利用直接刚度法对开口域的自由波场进行求解；
步骤6、设置边界条件，建立原盆山耦合地形模型，并求解整体方程组。
作为对本发明中所述的盆山耦合场地地震动的三维数值模拟方法的改进，所述步骤3的具体计算过程为：设K1＝Kh1+K0h1，Kh1和K0h1分别为闭合域Ωh1边界面
Figure BDA0002388869960000031
和Γ0h离散得到的面单元个数，每个面单元的面积记为ΔSm(m＝1～K)，在闭合域Ωh1内任意点X＝(x,y,z)在x、y和z方向的位移和牵引力仅为散射波场引起的位移和牵引力，其表达式为
Figure BDA0002388869960000032
Figure BDA0002388869960000033
其中，在上述式(1)和式(2)中，上标t和s表示总波场和散射波场，
Figure BDA0002388869960000034
和
Figure BDA0002388869960000035
分别为三维全空间均布荷载位移和牵引力格林函数，即将j方向的虚拟均布荷载施加在边界上的第m个面单元上时所引起点X在i方向的位移和牵引力，
Figure BDA0002388869960000036
为施加在边界上第m个面单元上沿j方向的虚拟均布荷载密度，均布荷载动力格林函数通过将相应的集中荷载动力格林函数在该单元上进行曲面积分得到：
Figure BDA0002388869960000037
Figure BDA0002388869960000038
其中，在上述式(3)和式(4)中，δ是迪拉克函数，
Figure BDA0002388869960000039
和
Figure BDA00023888699600000310
分别是三维全空间集中荷载位移和牵引力格林函数，即将j方向的集中荷载施加在边界上第m个面单元的中心ξm上时所引起点X在i方向的位移和牵引力，当X与ξm重合时，
Figure BDA0002388869960000041
和
Figure BDA0002388869960000042
的表达式根据下式求得：
Figure BDA0002388869960000043
Figure BDA0002388869960000044
其中，
Figure BDA0002388869960000045
kP和ks分别为P波和SV波的波数，μ为介质的剪切模量，R为面单元的半径，nx、ny和nz分别为点x的方向余弦。
作为对本发明中所述的盆山耦合场地地震动的三维数值模拟方法的改进，所述步骤4的具体计算过程为：设Γ0l为开口域Ωl的半椭球面边界，可离散为K0l个面单元，面单元均连续覆盖且任意两个面单元无重叠区域，每个面单元的面积记为ΔSm(m＝1～K0l)，在开口域Ωl内任意点X＝(x,y,z)在x、y和z方向的位移和牵引力为散射波场和自由波场引起的位移和牵引力之和，其表达式为：
Figure BDA0002388869960000046
Figure BDA0002388869960000047
其中，在式(7)和式(8)中，上标s和f分别表示散射波场和自由波场，
Figure BDA0002388869960000048
和
Figure BDA0002388869960000049
分别为半空间斜面均布荷载位移和牵引力格林函数，即将j方向的虚拟均布荷载施加在边界上的第m个面单元上时在点X处引起的i方向位移和牵引力；斜面均布荷载动力格林函数通过沿每个曲面单元进行积分集中力源动力格林函数求得：
Figure BDA0002388869960000051
Figure BDA0002388869960000052
其中，
Figure BDA0002388869960000053
和
Figure BDA0002388869960000054
分别是三维半空间集中力源位移和牵引力格林函数，即将j方向的集中荷载施加在边界上的第m个面单元的中心ξm上时所引起点X在i方向的位移和牵引力。
作为对本发明中所述的盆山耦合场地地震动的三维数值模拟方法的改进，所述步骤5的具体计算过程为：绕oz轴旋转直角坐标系，得到新的直角坐标系x'y'z'，坐标系x'y'z'内的自由场可解耦为平面内和平面外的情况，其中，平面内为P波和SV波，平面外为SH波，令坐标系x'y'z'中计算点X'＝(x',y',z')，半空间中的平衡方程为：
Figure BDA0002388869960000055
其中，[SP-SV-SH]为整体刚度矩阵，由平面内整体刚度矩阵[SP-SV]和平面外整体刚度矩阵[SSH]组合得到：
Figure BDA0002388869960000056
基岩表面的荷载P0、Q0和R0和基岩露头位移ux0、uy0和uz0的关系式为：
Figure BDA0002388869960000057
将计算出的基岩处荷载代入式(11)得到各层交界面处的位移幅值和地表以及边界个点的位置，再利用应力-位移关系求得相应各点的应力，最后通过坐标转换公式将自由场响应转换为坐标系xyz中，转换的具体步骤为：
Figure BDA0002388869960000061
Figure BDA0002388869960000062
其中，C为坐标转换矩阵，具体形式为：
Figure BDA0002388869960000063
求出各点应力后，将其通过应力合成求得三个方向的牵引力tfx(X)、tfy(X)和tfz(X)。
作为对本发明中所述的盆山耦合场地地震动的三维数值模拟方法的改进，所述步骤6中的边界条件包括两个凸起闭合域Ωh1和Ωh2的自由边界
Figure BDA0002388869960000064
和
Figure BDA0002388869960000065
的零牵引力条件、沉积闭合域Ωv的自由边界
Figure BDA0002388869960000066
的零牵引力条件、附加闭合域Ω0的自由边界面
Figure BDA0002388869960000067
的零牵引力条件、两凸起闭合域Ωh1和Ωh2分别与附加闭合域Ω0的公共交界面Γ0h1和Γ0h2的位移和牵引力连续条件、沉积闭合域Ωv与附加闭合域Ω0的公共交界面Γ0v的位移和牵引力连续条件以及附加闭合域Ω0和半椭球开口域Ωl的公共交界面Γ0l的位移和牵引力连续条件，
对于两凸起闭合域Ωh1和Ωh2的自由边界
Figure BDA0002388869960000068
和
Figure BDA0002388869960000069
上各个面单元的零牵引力条件为：
Figure BDA00023888699600000610
Figure BDA00023888699600000611
其中，在式(17)和式(18)中，上标h1和h2分别表示凸起闭合域Ωh1和Ωh2中的散射波场，Kh1和Kh2分别为自由边界面
Figure BDA0002388869960000071
和
Figure BDA0002388869960000072
离散的面单元数；
对于沉积闭合域Ωv的自由边界
Figure BDA0002388869960000073
上各个面单元的零牵引力条件为：
Figure BDA0002388869960000074
其中，在式(19)中，上标v表示沉积闭合域Ωv的散射波场，Kv为自由边界面
Figure BDA0002388869960000075
的离散面单元数；
对于附加闭合域Ω0的自由边界面
Figure BDA0002388869960000076
上各个面单元的零牵引力条件为：
Figure BDA0002388869960000077
其中，在式(20)中，上标0表示附加闭合域Ω0的散射波场，K0为自由边界面
Figure BDA0002388869960000078
的离散面单元数；
对于两凸起闭合域Ωh1和Ωh2分别与附加闭合域Ω0的公共交界面Γ0h1和Γ0h2的位移和牵引力连续条件为：
Figure BDA0002388869960000079
Figure BDA00023888699600000710
其中，在式(21)和式(22)中，中，K0h1和K0h2分别为公共交界面Γ0h1和Γ0h2的离散面单元数；
对于沉积闭合域Ωv与附加闭合域Ω0的公共交界面Γ0v的位移和牵引力连续条件为：
Figure BDA0002388869960000081
其中，在式(23)中，K0v为公共交界面Γ0v的离散面单元数；
对于附加闭合域Ω0和半椭球开口域Ωl的公共交界面Γ0l的位移和牵引力连续条件为：
Figure BDA0002388869960000082
其中，在式(24)中，上标l和f分别表示半空间开口域Ωl中的散射波场和自由波场，K0l为公共交界面Γ0l的离散面单元数，
最后将式(1)、式(2)、式(5)和式(6)代入式(17)～(24)中，通过求解该方程组，得到施加在相应边界面上的虚拟均布荷载密度，再将虚拟均布荷载米度代入式(1)和式(5)中即求得盆山耦合地形任意位置的地震动响应。
本发明的有益效果在于：与现有技术相比，本发明提出的新方法充分利用了全空间格林函数和半空间格林函数的优势，具体为①全空间动力格林函数形式简单，求解速度快，用于复合地形中闭合域的波场模拟；②层状半空间动力格林函数能同时自动满足自由表面零应力及各地层交界面连续条件，用于复合地形中开口层状半空间域的波场模拟。因此，在保证计算精度的同时显著提高了求解效率。其次，借助新方法在并行计算方面的天然优势，计算过程可明确分解为各独立域波场构造和最终方程组的求解，进而可快速求得问题的解。
附图说明
此处所说明的附图用来提供对本发明的进一步理解，构成本发明的一部分，本发明的示意性实施方式及其说明用于解释本发明，并不构成对本发明的不当限定。在附图中：
图1为本发明中盆山耦合场地三维地震动计算模型图；
图2为本发明中盆山耦合地形截面分域示意模型图；
图3为本发明中半空间格林函数的轮换对称示意图；
图4.1为本发明实施例中P波入射下盆山耦合地形附近地表位移幅值云图之一；
图4.2为本发明实施例中P波入射下盆山耦合地形附近地表位移幅值云图之二；
图4.3为本发明实施例中P波入射下盆山耦合地形附近地表位移幅值云图之三；
图5.1为本发明实施例中SV波入射下盆山耦合地形附近地表位移幅值云图之一；
图5.2为本发明实施例中SV波入射下盆山耦合地形附近地表位移幅值云图之二；
图5.3为本发明实施例中SV波入射下盆山耦合地形附近地表位移幅值云图之三；
图6.1为本发明实施例中SH波入射下盆山耦合地形附近地表位移幅值云图之一；
图6.2为本发明实施例中SH波入射下盆山耦合地形附近地表位移幅值云图之二；
图6.3为本发明实施例中SH波入射下盆山耦合地形附近地表位移幅值云图之三。
具体实施方式
如在说明书及权利要求当中使用了某些词汇来指称特定组件。本领域技术人员应可理解，硬件制造商可能会用不同名词来称呼同一个组件。本说明书及权利要求并不以名称的差异来作为区分组件的方式，而是以组件在功能上的差异来作为区分的准则。如在通篇说明书及权利要求当中所提及的“包含”为一开放式用语，故应解释成“包含但不限定于”。“大致”是指在可接受的误差范围内，本领域技术人员能够在一定误差范围内解决所述技术问题，基本达到所述技术效果。
在本发明的描述中，需要理解的是，术语“上”、“下”、“前”、“后”、“左”、“右”、水平”等指示的方位或位置关系为基于附图所示的方位或位置关系，仅是为了便于描述本发明和简化描述，而不是指示或暗示所指的装置或元件必须具有特定的方位、以特定的方位构造和操作，因此不能理解为对本发明的限制。
在本发明中，除非另有明确的规定和限定，术语“安装”、“相连”、“连接”、“固定”等术语应做广义理解，例如，可以是固定连接，也可以是可拆卸连接，或一体地连接；可以是机械连接，也可以是电连接；可以是直接相连，也可以通过中间媒介间接相连，可以是两个元件内部的连通。对于本领域的普通技术人员而言，可以根据具体情况理解上述术语在本发明中的具体含义。
以下结合附图对本发明作进一步详细说明，但不作为对本发明的限定。
一种盆山耦合场地地震动的三维数值模拟方法，包括以下步骤：
步骤1、建立盆山耦合场地三维地震动计算模型图；
步骤2、在模型图中的不规则散射体附近引入一个虚拟的半椭球面，使所有的不规则体包含在半椭圆球面内，将地形划分为两个凸起的闭合域、沉积闭合域、不规则边界与虚拟椭球面形成的附加闭合域以及开口域，同时，将总波场分解为自由波场和散射波场，其中，自由波场为从基岩界面入射P波、SV波和SH波时产生的动力响应，散射波为由于凸起、沉积谷地和附加区域的存在而产生的附加的波场；
步骤3、利用全空间格林函数模拟闭合域内的散射波场；
步骤4、利用半空间动力格林函数模拟开口域内的散射波场；
步骤5、利用直接刚度法对开口域的自由波场进行求解；
步骤6、设置边界条件，建立原盆山耦合地形模型，并求解整体方程组。
其中，计算模型如图1中所示，需要说明的是，盆山耦合地形位于层状半空间中，半空间由单一土层和其下的基岩组成，山体Ωh1和Ωh2的自由边界面分别为
Figure BDA0002388869960000111
和
Figure BDA0002388869960000112
山体和不规则边界与虚拟椭球面形成的附加闭合域Ω0的公共交界面分别为Γ0h1和Γ0h2，盆地Ωv的自由边界面为
Figure BDA0002388869960000113
盆地Ωv和附加闭合域Ω0的公共交界面为Γ0v，附加闭合域Ω0的自由边界面为
Figure BDA0002388869960000121
附加闭合域Ω0和半椭球开口域Ωl的公共交界面为Γ0l。入射波包括平面P波和S波，即纵波和横波，其中，S波可以分解为具有相同相速度的SV波和SH波，其波阵面的法线方向与xoy平面的夹角为θv，在水平面上的投影与y轴的夹角为θh。
另外，如图2中所示，为盆山耦合场地的截面图，在不规则散射体附近引入一个虚拟的半椭球面，将所有的不规则体包含在半椭球面内，这样整体模型便分解为各个不规则散射体闭合域、不规则散射体与半椭球面之间各个闭合域和半椭球开口半空间域。显然，前两者因为包括了不规则边界，用全空间格林函数处理比较方便，而后者可借助层状半空间格林函数结合轮换对称性质大幅减少计算所需时间。轮换对称示意图如图3所示，由于半椭球体的中心对称性，沿深度方向每层的单元是相同的，这样只需计算每层第一个单元作用荷载的格林函数，该层其他单元作用荷载的格林函数便可由相应的坐标变换求得，这样整个开口层状半空间中的半椭圆边界所有单元对应格林函数的计算可缩减为仅计算沿深度方向一列单元作用荷载的格林函数。
优选的，步骤3的具体计算过程为：设K1＝Kh1+K0h1，Kh1和K0h1分别为闭合域Ωh1边界面
Figure BDA0002388869960000122
和Γ0h离散得到的面单元个数，每个面单元的面积记为ΔSm(m＝1～K)，在闭合域Ωh1内任意点X＝(x,y,z)在x、y和z方向的位移和牵引力仅为散射波场引起的位移和牵引力，其表达式为
Figure BDA0002388869960000123
Figure BDA0002388869960000124
其中，在上述式(1)和式(2)中，上标t和s表示总波场和散射波场，
Figure BDA0002388869960000131
和
Figure BDA0002388869960000132
分别为三维全空间均布荷载位移和牵引力格林函数，即将j方向的虚拟均布荷载施加在边界上的第m个面单元上时所引起点X在i方向的位移和牵引力，
Figure BDA0002388869960000133
为施加在边界上第m个面单元上沿j方向的虚拟均布荷载密度，均布荷载动力格林函数通过将相应的集中荷载动力格林函数在该单元上进行曲面积分得到：
Figure BDA0002388869960000134
Figure BDA0002388869960000135
其中，在上述式(3)和式(4)中，δ是迪拉克函数，
Figure BDA0002388869960000136
和
Figure BDA0002388869960000137
分别是三维全空间集中荷载位移和牵引力格林函数，即将j方向的集中荷载施加在边界上第m个面单元的中心ξm上时所引起点X在i方向的位移和牵引力，当X与ξm重合时，
Figure BDA0002388869960000138
和
Figure BDA0002388869960000139
的表达式根据下式求得：
Figure BDA00023888699600001310
Figure BDA00023888699600001311
其中，
Figure BDA00023888699600001312
kP和ks分别为P波和SV波的波数，μ为介质的剪切模量，R为面单元的半径，nx、ny和nz分别为点x的方向余弦。
优选的，步骤4的具体计算过程为：设Γ0l为开口域Ωl的半椭球面边界，可离散为K0l个面单元，面单元均连续覆盖且任意两个面单元无重叠区域，每个面单元的面积记为ΔSm(m＝1～K0l)，在开口域Ωl内任意点X＝(x,y,z)在x、y和z方向的位移和牵引力为散射波场和自由波场引起的位移和牵引力之和，其表达式为：
Figure BDA0002388869960000141
Figure BDA0002388869960000142
其中，在式(7)和式(8)中，上标s和f分别表示散射波场和自由波场，
Figure BDA0002388869960000143
和
Figure BDA0002388869960000144
分别为半空间斜面均布荷载位移和牵引力格林函数，即将j方向的虚拟均布荷载施加在边界上的第m个面单元上时在点X处引起的i方向位移和牵引力；斜面均布荷载动力格林函数通过沿每个曲面单元进行积分集中力源动力格林函数求得：
Figure BDA0002388869960000145
Figure BDA0002388869960000146
其中，
Figure BDA0002388869960000147
和
Figure BDA0002388869960000148
分别是三维半空间集中力源位移和牵引力格林函数，即将j方向的集中荷载施加在边界上的第m个面单元的中心ξm上时所引起点X在i方向的位移和牵引力。
优选的，步骤5的具体计算过程为：绕oz轴旋转直角坐标系，得到新的直角坐标系x'y'z'，坐标系x'y'z'内的自由场可解耦为平面内和平面外的情况，其中，平面内为P波和SV波，平面外为SH波，令坐标系x'y'z'中计算点X'＝(x',y',z')，半空间中的平衡方程为：
Figure BDA0002388869960000149
其中，[SP-SV-SH]为整体刚度矩阵，由平面内整体刚度矩阵[SP-SV]和平面外整体刚度矩阵[SSH]组合得到：
Figure BDA0002388869960000151
基岩表面的荷载P0、Q0和R0和基岩露头位移ux0、uy0和uz0的关系式为：
Figure BDA0002388869960000152
将计算出的基岩处荷载代入式(11)得到各层交界面处的位移幅值和地表以及边界个点的位置，再利用应力-位移关系求得相应各点的应力，最后通过坐标转换公式将自由场响应转换为坐标系xyz中，转换的具体步骤为：
Figure BDA0002388869960000153
Figure BDA0002388869960000154
其中，C为坐标转换矩阵，具体形式为：
Figure BDA0002388869960000155
求出各点应力后，将其通过应力合成求得三个方向的牵引力tfx(X)、tfy(X)和tfz(X)。
优选的，步骤6中的边界条件包括两个凸起闭合域Ωh1和Ωh2的自由边界
Figure BDA0002388869960000156
和
Figure BDA0002388869960000157
的零牵引力条件、沉积闭合域Ωv的自由边界
Figure BDA0002388869960000158
的零牵引力条件、附加闭合域Ω0的自由边界面
Figure BDA0002388869960000159
的零牵引力条件、两凸起闭合域Ωh1和Ωh2分别与附加闭合域Ω0的公共交界面Γ0h1和Γ0h2的位移和牵引力连续条件、沉积闭合域Ωv与附加闭合域Ω0的公共交界面Γ0v的位移和牵引力连续条件以及附加闭合域Ω0和半椭球开口域Ωl的公共交界面Γ0l的位移和牵引力连续条件，
对于两凸起闭合域Ωh1和Ωh2的自由边界
Figure BDA0002388869960000161
和
Figure BDA0002388869960000162
上各个面单元的零牵引力条件为：
Figure BDA0002388869960000163
Figure BDA0002388869960000164
其中，在式(17)和式(18)中，上标h1和h2分别表示凸起闭合域Ωh1和Ωh2中的散射波场，Kh1和Kh2分别为自由边界面
Figure BDA0002388869960000165
和
Figure BDA0002388869960000166
离散的面单元数；
对于沉积闭合域Ωv的自由边界
Figure BDA0002388869960000167
上各个面单元的零牵引力条件为：
Figure BDA0002388869960000168
其中，在式(19)中，上标v表示沉积闭合域Ωv的散射波场，Kv为自由边界面
Figure BDA0002388869960000169
的离散面单元数；
对于附加闭合域Ω0的自由边界面
Figure BDA00023888699600001610
上各个面单元的零牵引力条件为：
Figure BDA00023888699600001611
其中，在式(20)中，上标0表示附加闭合域Ω0的散射波场，K0为自由边界面
Figure BDA00023888699600001612
的离散面单元数；
对于两凸起闭合域Ωh1和Ωh2分别与附加闭合域Ω0的公共交界面Γ0h1和Γ0h2的位移和牵引力连续条件为：
Figure BDA0002388869960000171
Figure BDA0002388869960000172
其中，在式(21)和式(22)中，中，K0h1和K0h2分别为公共交界面Γ0h1和Γ0h2的离散面单元数；
对于沉积闭合域Ωv与附加闭合域Ω0的公共交界面Γ0v的位移和牵引力连续条件为：
Figure BDA0002388869960000173
其中，在式(23)中，K0v为公共交界面Γ0v的离散面单元数；
对于附加闭合域Ω0和半椭球开口域Ωl的公共交界面Γ0l的位移和牵引力连续条件为：
Figure BDA0002388869960000174
其中，在式(24)中，上标l和f分别表示半空间开口域Ωl中的散射波场和自由波场，K0l为公共交界面Γ0l的离散面单元数，
最后将式(1)、式(2)、式(5)和式(6)代入式(17)～(24)中，通过求解该方程组，得到施加在相应边界面上的虚拟均布荷载密度，再将虚拟均布荷载米度代入式(1)和式(5)中即求得盆山耦合地形任意位置的地震动响应。
为了研究三维盆山耦合地形中两侧山体高度对入射地震动(P波、SV波和SH波)散射效应的影响，本实施例中以均匀半空间中盆山耦合地形为例进行研究和分析。左右两相同山体和盆地相连，半球型沉积谷地的半宽设为a，高斯型凸起地形的半宽设为a/2，它们的轮廓面方程依次为：
1)左侧山体轮廓线：
Figure BDA0002388869960000181
其中ξ1＝|(x+2a)/a|，0≤ξ1≤1；
2)中间盆地轮廓线：
Figure BDA0002388869960000182
其中ξ2＝|x/a|，0≤ξ2≤1；
3)右侧山体轮廓线：
Figure BDA0002388869960000185
其中ξ3＝|(x-2a)/a|，0≤ξ3≤1。
计算参数如下：沉积、凸起和半空间的剪切波速比为
Figure BDA0002388869960000183
质量密度比为ρV:ρH:ρL＝2:3:3，泊松比为vV＝vH＝vL＝1/3，不考虑材料的阻尼，实际计算时取为0.001。无量纲频率定义为
Figure BDA0002388869960000184
P波、SV波和SH波的水平入射角为θh＝90°，竖直入射角考虑θv＝90°和30°。其中，图4.1～4.3、图5.1～5.3、图6.1～6.3分别给出了P波、SV波和SH波入射下均匀半空间中盆山耦合地形附近的位移幅值分布情况。两边的凸起高度分别取为h/a＝0.25，0.5和1.0三种情况，图中|μx/AP|、|μy/AP|、|μz/AP|、|μx/ASV|、|μy/ASV|、|μz/ASV|、|μx/ASH|、|μy/ASH|和|μz/ASH|为无量纲位移幅值，其中，μx、μy和μz分别为x、y和z轴方向的位移，AP、ASV和ASH分别为P波、SV波和SH波的幅值。通过结合前述公式计算可以得到盆山耦合地形任意位置的地震动响应，有效地保证了计算的精度，同时，也显著提高了求解的效率。
上述说明示出并描述了本发明的若干优选实施方式，但如前所述，应当理解本发明并非局限于本文所披露的形式，不应看作是对其他实施方式的排除，而可用于各种其他组合、修改和环境，并能够在本文所述发明构想范围内，通过上述教导或相关领域的技术或知识进行改动。而本领域人员所进行的改动和变化不脱离本发明的精神和范围，则都应在本发明所附权利要求的保护范围内。

Claims (5)

1.一种盆山耦合场地地震动的三维数值模拟方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤1、建立盆山耦合场地三维地震动计算模型图；
步骤2、在模型图中的不规则散射体附近引入一个虚拟的半椭球面，使所有的不规则体包含在半椭球面内，将地形划分为两个凸起的闭合域、沉积闭合域、不规则边界与虚拟椭球面形成的附加闭合域以及开口域，同时，将总波场分解为自由波场和散射波场，其中，所述自由波场为从基岩界面入射P波、SV波和SH波时产生的动力响应，所述散射波为由于凸起、沉积谷地和附加区域的存在而产生的附加的波场；
步骤3、利用全空间格林函数模拟闭合域内的散射波场；
步骤4、利用半空间动力格林函数模拟开口域内的散射波场；
步骤5、利用直接刚度法对开口域的自由波场进行求解；
步骤6、设置边界条件，建立原盆山耦合地形模型，并求解整体方程组。
2.根据权利要求1中所述的盆山耦合场地地震动的三维数值模拟方法，其特征在于，所述步骤3的具体计算过程为：设K1＝Kh1+K0h1，Kh1和K0h1分别为闭合域Ωh1边界面
Figure FDA0002388869950000011
和Γ0h离散得到的面单元个数，每个面单元的面积记为ΔSm(m＝1～K)，在闭合域Ωh1内任意点X＝(x,y,z)在x、y和z方向的位移和牵引力仅为散射波场引起的位移和牵引力，其表达式为
Figure FDA0002388869950000021
Figure FDA0002388869950000022
其中，在上述式(1)和式(2)中，上标t和s表示总波场和散射波场，
Figure FDA0002388869950000023
和
Figure FDA0002388869950000024
分别为三维全空间均布荷载位移和牵引力格林函数，即将j方向的虚拟均布荷载施加在边界上的第m个面单元上时所引起点X在i方向的位移和牵引力，
Figure FDA0002388869950000025
为施加在边界上第m个面单元上沿j方向的虚拟均布荷载密度，均布荷载动力格林函数通过将相应的集中荷载动力格林函数在该单元上进行曲面积分得到：
Figure FDA0002388869950000026
Figure FDA0002388869950000027
其中，在上述式(3)和式(4)中，δ是迪拉克函数，
Figure FDA0002388869950000028
和
Figure FDA0002388869950000029
分别是三维全空间集中荷载位移和牵引力格林函数，即将j方向的集中荷载施加在边界上第m个面单元的中心ξm上时所引起点X在i方向的位移和牵引力，当X与ξm重合时，
Figure FDA00023888699500000210
和
Figure FDA00023888699500000211
的表达式根据下式求得：
Figure FDA00023888699500000212
Figure FDA00023888699500000213
其中，
Figure FDA0002388869950000031
kP和ks分别为P波和SV波的波数，μ为介质的剪切模量，R为面单元的半径，nx、ny和nz分别为点x的方向余弦。
3.根据权利要求2中所述的盆山耦合场地地震动的三维数值模拟方法，其特征在于，所述步骤4的具体计算过程为：设Γ0l为开口域Ωl的半椭球面边界，可离散为K0l个面单元，面单元均连续覆盖且任意两个面单元无重叠区域，每个面单元的面积记为ΔSm(m＝1～K0l)，在开口域Ωl内任意点X＝(x,y,z)在x、y和z方向的位移和牵引力为散射波场和自由波场引起的位移和牵引力之和，其表达式为：
Figure FDA0002388869950000032
Figure FDA0002388869950000033
其中，在式(7)和式(8)中，上标s和f分别表示散射波场和自由波场，
Figure FDA0002388869950000034
和
Figure FDA0002388869950000035
分别为半空间斜面均布荷载位移和牵引力格林函数，即将j方向的虚拟均布荷载施加在边界上的第m个面单元上时在点X处引起的i方向位移和牵引力；斜面均布荷载动力格林函数通过沿每个曲面单元进行积分集中力源动力格林函数求得：
Figure FDA0002388869950000036
Figure FDA0002388869950000037
其中，
Figure FDA0002388869950000038
和
Figure FDA0002388869950000039
分别是三维半空间集中力源位移和牵引力格林函数，即将j方向的集中荷载施加在边界上的第m个面单元的中心ξm上时所引起点X在i方向的位移和牵引力。
4.根据权利要求3中所述的盆山耦合场地地震动的三维数值模拟方法，其特征在于，所述步骤5的具体计算过程为：绕oz轴旋转直角坐标系，得到新的直角坐标系x'y'z'，坐标系x'y'z'内的自由场可解耦为平面内和平面外的情况，其中，平面内为P波和SV波，平面外为SH波，令坐标系x'y'z'中计算点X'＝(x',y',z')，半空间中的动力平衡方程为：
Figure FDA0002388869950000041
其中，[SP-SV-SH]为整体刚度矩阵，由平面内整体刚度矩阵[SP-SV]和平面外整体刚度矩阵[SSH]组合得到：
Figure FDA0002388869950000042
基岩表面的荷载P0、Q0和R0和基岩露头位移ux0、uy0和uz0的关系式为：
Figure FDA0002388869950000043
将计算出的基岩处荷载代入式(11)得到各层交界面处的位移幅值和地表以及边界个点的位置，再利用应力-位移关系求得相应各点的应力，最后通过坐标转换公式将自由场响应转换为坐标系xyz中，转换的具体步骤为：
Figure FDA0002388869950000044
Figure FDA0002388869950000051
其中，C为坐标转换矩阵，具体形式为：
Figure FDA0002388869950000052
求出各点应力后，将其通过应力合成求得三个方向的牵引力
Figure FDA0002388869950000053
和
Figure FDA0002388869950000054
5.根据权利要求4中所述的盆山耦合场地地震动的三维数值模拟方法，其特征在于：所述步骤6中的边界条件包括两个凸起闭合域Ωh1和Ωh2的自由边界
Figure FDA0002388869950000055
和
Figure FDA0002388869950000056
的零牵引力条件、沉积闭合域Ωv的自由边界
Figure FDA0002388869950000057
的零牵引力条件、附加闭合域Ω0的自由边界面
Figure FDA0002388869950000058
的零牵引力条件、两凸起闭合域Ωh1和Ωh2分别与附加闭合域Ω0的公共交界面Γ0h1和Γ0h2的位移和牵引力连续条件、沉积闭合域Ωv与附加闭合域Ω0的公共交界面Γ0v的位移和牵引力连续条件以及附加闭合域Ω0和半椭球开口域Ωl的公共交界面Γ0l的位移和牵引力连续条件，
对于两凸起闭合域Ωh1和Ωh2的自由边界
Figure FDA0002388869950000059
和
Figure FDA00023888699500000510
上各个面单元的零牵引力条件为：
Figure FDA00023888699500000511
Figure FDA00023888699500000512
其中，在式(17)和式(18)中，上标h1和h2分别表示凸起闭合域Ωh1和Ωh2中的散射波场，Kh1和Kh2分别为自由边界面
Figure FDA00023888699500000513
和
Figure FDA00023888699500000514
离散的面单元数；
对于沉积闭合域Ωv的自由边界
Figure FDA0002388869950000061
上各个面单元的零牵引力条件为：
Figure FDA0002388869950000062
其中，在式(19)中，上标v表示沉积闭合域Ωv的散射波场，Kv为自由边界面
Figure FDA0002388869950000063
的离散面单元数；
对于附加闭合域Ω0的自由边界面
Figure FDA0002388869950000064
上各个面单元的零牵引力条件为：
Figure FDA0002388869950000065
其中，在式(20)中，上标0表示附加闭合域Ω0的散射波场，K0为自由边界面
Figure FDA0002388869950000066
的离散面单元数；
对于两凸起闭合域Ωh1和Ωh2分别与附加闭合域Ω0的公共交界面Γ0h1和Γ0h2的位移和牵引力连续条件为：
Figure FDA0002388869950000067
Figure FDA0002388869950000068
其中，在式(21)和式(22)中，中，K0h1和K0h2分别为公共交界面Γ0h1和Γ0h2的离散面单元数；
对于沉积闭合域Ωv与附加闭合域Ω0的公共交界面Γ0v的位移和牵引力连续条件为：
Figure FDA0002388869950000071
其中，在式(23)中，K0v为公共交界面Γ0v的离散面单元数；
对于附加闭合域Ω0和半椭球开口域Ωl的公共交界面Γ0l的位移和牵引力连续条件为：
Figure FDA0002388869950000072
其中，在式(24)中，上标l和f分别表示半空间开口域Ωl中的散射波场和自由波场，K0l为公共交界面Γ0l的离散面单元数，
最后将式(1)、式(2)、式(5)和式(6)代入式(17)～(24)中，通过求解该方程组，得到施加在相应边界面上的虚拟均布荷载密度，再将虚拟均布荷载米度代入式(1)和式(5)中即求得盆山耦合地形任意位置的地震动响应。
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