CN111310373A - 基于解析法的轴系统热特性分析方法、热误差建模方法和热误差补偿系统 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于解析法的轴系统热特性分析方法，包括如下步骤：1)创建轴系统的瞬态热特性模型；2)根据轴系统的初始运行条件和与温度相关的变量的初始值，计算得到轴承的热负荷强度、轴系统中所有温度节点的接触热阻和润滑剂的对流传热系数的初始值；3)利用轴系统的瞬态热特性模型对轴系统进行瞬态热分析；4)比较相邻两个迭代子步骤中的滚动元件的温度，满足收敛条件，则进入步骤5)，不满足收敛条件，则进入步骤6)；5)结束分析；6)通过轴系统温度场更新接触热阻、对流传热系数和与温度相关的变量；7)循环步骤3)和步骤4)，直至满足收敛条件。本发明还提出了一种轴系统热误差建模方法和热误差补偿方法。

Description

基于解析法的轴系统热特性分析方法、热误差建模方法和热 误差补偿系统

技术领域

本发明属于热特性分析技术领域，具体的为一种基于解析法的轴系统热特性分析方法、热误差建模方 法和热误差补偿系统。

背景技术

轴系统包括轴和分别位于轴两端的轴承、轴承箱和轴承套圈等。目前轴承和润滑是影响轴转速范围主 要因素，在使用接触式轴承的轴结构中，轴转速越高，发热越严重。轴发热与轴承预紧力有关。预紧力适 当时，对轴轴承精度、刚度、寿命、阻尼和降低噪声的作用比较明显，随着预紧力加大，摩擦增大，发热 增加，降低轴承使用寿命。轴承发热的主要原因是由于转速升高作用在轴承滚珠上的离心力和陀螺力矩增 加而使摩擦加剧，同时温度升高使轴承热膨胀，增加了预紧力，使摩擦力矩增大。

公开号为CN1948775的中国专利申请公开了一种利用金属材料的热特性调节轴承预紧力的方法及装 置，该方法能得到比较准确的设计参数，为调节轴承预紧力的装置提供设计参数，但无法得到轴系统的热 特性。

发明内容

有鉴于此，本发明的目的在于提供一种基于解析法的轴系统热特性分析方法、热误差建模方法和热误 差补偿系统，利用热平衡方程建立轴系统的热平衡方程，进而得到轴系统的瞬态热特性模型，通过该瞬态 热特性模型建立了温度场，进而获得了轴系统各部件的热变形，从而构建轴系统热误差模型。

为达到上述目的，本发明提供如下技术方案：

本发明首先提出了一种基于解析法的轴系统热特性分析方法，包括如下步骤：

1)根据热平衡原理，建立轴系统的滚动元件的热平衡方程，并由热平衡方程创建轴系统的瞬态热特 性模型；

2)根据轴系统的初始运行条件和与温度相关的变量的初始值，计算得到轴承的热负荷强度的初始值、 轴系统中所有温度节点的接触热阻的初始值和润滑剂的对流传热系数的初始值；

3)利用轴系统的瞬态热特性模型对轴系统进行瞬态热分析；

4)比较相邻两个迭代子步骤中的滚动元件的温度，若满足收敛条件，则进入步骤5)；若不满足收敛 条件，则进入步骤6)，所述收敛条件为：

T_n-T_n-1＜1×10^-6

其中，T_n和T_n-1分别为相邻两个迭代子步骤的滚动元件的温度；

5)结束分析，保存轴系统中所有温度节点的温度；

6)更新接触热阻、对流传热系数和与温度相关的变量；

7)循环步骤3)和步骤4)，直至满足收敛条件。

进一步，所述轴系统的滚动元件包括轴承的滚珠、内圈和外圈。

进一步，所述滚珠的热平衡方程为：

其中，T_b表示每个滚珠的温度；C_b表示滚珠的比热容；m_b表示每个滚珠的质量；N表示滚珠的数量； Q_bf为滚珠的热量；Q_bc为滚动体与润滑剂之间的对流传热热量；Q_ib为内圈与滚珠之间的接触传热热量；Q_bo为外圈与滚珠之间的接触传热热量；

所述内圈的热平衡方程为：

其中，T_i表示内圈的温度；c_i表示内圈的比热容；m_i表示内圈的质量；Q_if为内圈的热量；Q_ib为内圈 与滚珠之间的接触传热热量；Q_ic为内圈与润滑剂之间的对流传热热量；Q_is为内圈与轴之间的接触传热热 量；

所述外圈的热平衡方程为：

其中，C_oh表示外圈的比热容；T_oh(r,t)表示外圈的温度；t表示时间；r表示径向位置；Q_of为外圈 的热量；Q_bo为外圈与滚珠之间的接触传热热量；Q_hc为轴承座与润滑剂之间的对流传热热量；Q_oc为外圈 与润滑剂之间的对流传热热量；Q_oh为外圈与轴承座之间的接触传热热量；Moh为外圈的质量。

进一步，所述步骤1)中，由热平衡方程创建轴系统的瞬态热特性模型的方法为：

为了获得温度的瞬态变化过程，将时间离散为

t_k+1＝t_k+Δt_k

其中，Δt_k表示时间增量；

则t_k+1时刻此时的温度为：

其中，

和

分别表示t_k和t_k+1时刻的温度。

进一步，所述步骤2)中的计算方法如下：

内圈与滚珠之间的接触传热热量为：

Q_ib＝(T_i-T_b)/R_ib

其中，R_ib表示内圈与滚珠之间的接触热阻；T_i为内圈的温度；T_b为滚珠的温度；

外圈与滚珠之间的接触传热热量为：

Q_bo＝(T_b-T_o)/R_bo

其中，R_bo表示外圈与滚珠之间的接触热阻；T_b为滚珠的温度；T_o为外圈的温度；

内圈与轴之间的接触传热热量为：

Q_is＝(T_i-T_s)/R_is

其中，R_is表示轴颈与内圈之间的接触热阻；T_i为内圈的温度；T_s为轴颈的温度；

外圈与轴承座之间的接触传热热量为：

Q_oh＝(T_o-T_h∞)/R_oh

其中，R_oh表示外圈与轴承座接口之间的接触热阻；T_o外圈的温度；T_h∞为轴承座接口的温度；

滚珠和润滑剂之间的对流传热热量为：

Q_bc＝h_c·A_b·(T_b-T_l)

外圈与润滑剂之间的对流传热热量为：

Q_oc＝h_c·A_o·(T_o-T_l)

轴承座与空气之间的对流传热热量为：

Q_hc＝h_∞·A_h·(T_h-T_∞)

内圈与润滑剂之间的对流传热热量为：

Q_ic＝h_c·A_i·(T_i-T_l)

其中，h_c为润滑剂的对流传热系数；h_∞为空气的对流传热系数；T_l为润滑剂的温度；T_∞为环境温度； A_b为滚珠与润滑剂之间的接触面积；A_o为外圈与润滑剂之间的接触面积；A_h为轴承座与空气之间的接触 面积；A_i为内圈与润滑剂之间的接触面积。

进一步，与温度相关的变量包括轴承尺寸、轴承预紧力和润滑剂粘度。

进一步，所述步骤6)中，润滑剂粘度v的更新方式为：

T表示润滑剂的当前温度；m₀和m₁为与润滑剂相关的系数；T₀'为润滑剂的初始温度；

对流传热系数h的更新方式为：

其中，λ_h为流体热导率；L_h表示水力半径；Nu表示努塞尔数，且：

其中，m和n表示由朝向换热面确定的常数；C表示常数；Gr和Pr分别表示格拉晓夫数和普朗特数； 且：

其中，g表示重力加速度；β₂表示流体的热伸长系数；v_h表示运动粘度；Δt为部件温度与流体温度之 间的差值；

轴承预紧力F_a的更新方式为：

其中，

K是取决于总曲率B的轴向位移常数，可通过图表查得；α为轴承变形后的接 触角；α°为轴承变性前的接触角；Z为滚珠数目；D为滚珠直径；

外圈与轴承座之间的接触热阻R'_oh的更新方式为：

其中，δ_ring表示轴承外圈的厚度；λ_air和λ_ring分别表示空气和轴承外圈材料的热导率；δ_gap表示轴承外 圈与轴承座之间的间隙；

轴承内圈与轴颈之间的接触热阻R_i'_s的更新方式为：

其中，k₁和k₂表示轴承内圈和轴颈的热导率；A_a表示名义接触面积；k_f表示间隙中介质热导率；δ_v表 示间隙厚度；A_c表示实际接触面积；A_v表示间隙面积；

轴承尺寸的更新方式为轴承初始尺寸与轴承热变形之和，轴承热变形包括内圈径向热位移、外圈径向 热位移和滚珠轴向热位移；

内圈径向热位移为：

其中，

β_i为轴承内圈热伸长系数，T_i为内圈的温度；T₀为初始温度； d_a为轴承内圈外径；d₀为轴承座外径；v_i为轴承内圈泊松比；C₁和C₂为常数；

外圈径向热位移为：

其中，

α_o为初始热伸长系数；T_a为轴承外圈温度；T_L为环境温度； d为滚珠直径；d₂为外圈外径；v_o为外圈泊松比；C₅和C₆为常数：

滚珠轴向热位移为：

u_b＝α_2TD_wΔT₂

其中，ΔT₂表示滚珠的温度变化；α_2T表示滚珠的热膨胀系数，表示为

D_w表示滚珠的 原始直径。

本发明还提出了一种基于解析法的轴系统热误差建模方法，轴系统的热误差模型为：

δ(t)＝δ₀+(δ_t-δ₀)(1-e^-t/τ)

其中，δ₀表示轴初始状态热误差，δ_t表示热平衡状态下的轴的热误差；τ表示热误差平衡过程的时 间常数；

采用如上所述的基于解析法的轴系统热特性分析方法，在迭代子步骤中计算轴热误差E，且当

时，轴系统达到热平衡状态，此时的时间t_i为热平衡时间，则

此时的热误 差E_i为轴热平衡误差δ_t；其中，ΔE_max＝E_max-E₀，E_max和E₀分别表示轴最大热误差和初始热误差；f_i表 示t_i时刻轴热误差变化相对于轴的最大热误差变化的百分比；ΔE_i表示t_i时刻的热误差变化，且ΔE_i＝E_i-E₀。

进一步，轴热误差的计算方法为：

轴的轴向热位移为：

其中，T₀表示轴的初始温度；T(t)表示轴在t时刻的温度；α_1T表示轴随温度变化的热膨胀系数，表 示为

其中L表示轴的初始长度；

轴的总热位移为：

Δδ_a＝Δδ+(α_1TiL₁(T_i(t)-T₀)-α_1ToL₁(T_o(t)-T₀))

其中，α_1Ti和α_1To分别表示内圈和外圈的与温度相关的热膨胀系数，T_i(t)和T_o(t)分别为t时刻内圈和 外圈温度；L₁为轴承内圈宽度。

本发明还提出了一种基于解析法的轴系统热误差补偿系统，包括：

CNC加工中心，包括PLC控制器和温度传感器；

数据采集系统，与所述CNC加工中心相连，用于采集轴系统的运行转速信息和运行时间信息，并将 运行转速信息和运行时间信息经滤波器、放大器和A/D转换器处理后得到轴系统的实际运行时间和转速；

热误差补偿系统，与所述数据采集系统连接，并采用如权利要求8-9任一项所述基于解析法的轴系统 热误差建模方法计算热误差，得到轴在各个方向的补偿分量；

所述PLC控制器与所述热误差补偿系统相连，从所述热误差补偿系统获取轴在各个方向的补偿分量， 并将所述补偿分量反向叠加于伺服控制器的输出指令，通过比较轴系统的实际位置和命令位置来补偿位置 偏差，实现轴系统热误差的实时补偿。

本发明的有益效果在于：

本发明的基于解析法的轴系统热特性分析方法，利用热平衡方程建立轴系统的热平衡方程，进而得到 轴系统的瞬态热特性模型，通过该瞬态热特性模型得到轴系统的温度随时间的变化，同时根据收敛条件， 对于轴系统的轴承尺寸、轴承预紧力、接触热阻、对流系数、润滑剂粘度等参数进行不断地修正，使轴瞬 态热特性模型的解更加精确，能够准确反映轴系统的热特性。

本发明基于解析法的轴系统热误差建模方法，通过轴系统热特性分析方法计算得到每一个迭代子步骤 中的轴热误差，从而可根据轴系统的热平衡条件，分别获得轴在满足热平衡条件的时刻的时间t_i和热误差 E_i，将该时间t_i和热误差E_i代入到热误差模型中，从而构建了准确地轴热误差模型。

附图说明

为了使本发明的目的、技术方案和有益效果更加清楚，本发明提供如下附图进行说明：

图1为本发明基于解析法的轴系统热特性分析方法的流程图；

图2为二维温度系统的热平衡示意图；

图3为轴系统的热模型示意图；

图4为轴承的传热和散热机理示意图；

图5为轴承的热阻网络示意图；

图6为轴承套圈的温度的曲线图；

图7为轴系统热位移的曲线图；

图8为工作条件#1下前后轴承外圈的温度曲线；

图9为工作条件#1下的轴系统在轴向和径向方向上的热误差；

图10为热平衡状态判定原理示意图；

图11为热误差与转速之间的关系曲线图；

图12为稳态条件下的时间常数和热误差；

图13为三种模型预测的轴系统热误差随时间变化的曲线图；

图14为在轴的一端输入热源的热力学模型图；

图15为轴系统单元划分图；

图16为轴系统温度和变形的延迟关系图；

图17为四种工作条件下的前后轴承温度随时间的变化曲线图；

图18为采用热误差平衡过程的时间常数和温度平衡过程的时间常数预测热伸长的曲线图；

图19为基于解析法的轴系统热误差补偿系统的原理图；

图20为轴转速随时间变化的曲线图；

图21为三种模型的补偿结果比较曲线图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例对本发明作进一步说明，以使本领域的技术人员可以更好的理解本发明并 能予以实施，但所举实施例不作为对本发明的限定。

实施例1

本实施例基于解析法的轴系统热特性分析方法，包括如下步骤：

1)根据热平衡原理，建立轴系统的滚动元件的热平衡方程，并由热平衡方程创建轴系统的瞬态热特 性模型。本实施例的轴系统的滚动元件包括轴承的滚珠、内圈和外圈。

具体的，热平衡原理为：根据轴系统的温度传递原理，构造控制体积Ω的热平衡方程：

其中，T_Ω表示控制体积的温度；C表示控制体积的比热容；T_l,T_u,T_r和T_d分别表示与控制体积接 触的物体的温度；R_Ω-l,R_Ω-u,R_Ω-r和R_Ω-d表示控制体积Ω和与其接触的物体之间的接触热阻。

所述滚珠的热平衡方程为：

其中，T_b表示每个滚珠的温度；C_b表示滚珠的比热容；m_b表示每个滚珠的质量；N表示滚珠的数量； Q_bf为滚珠的热量；Q_bc为滚动体与润滑剂之间的对流传热热量；Q_ib为内圈与滚珠之间的接触传热热量；Q_bo为外圈与滚珠之间的接触传热热量；

所述内圈的热平衡方程为：

其中，T_i表示内圈的温度；c_i表示内圈的比热容；m_i表示内圈的质量；Q_if为内圈的热量；Q_ib为内圈 与滚珠之间的接触传热热量；Q_ic为内圈与润滑剂之间的对流传热热量；Q_is为内圈与轴之间的接触传热热 量；

所述外圈的热平衡方程为：

其中，C_oh表示外圈的比热容；T_oh(r,t)表示外圈的温度；t表示时间；r表示径向位置；Q_of为外圈的 热量；Q_bo为外圈与滚珠之间的接触传热热量；Q_hc为轴承座与润滑剂之间的对流传热热量；Q_oc为外圈与 润滑剂之间的对流传热热量；Q_oh为外圈与轴承座之间的接触传热热量；Moh为外圈的质量。

如此，由热平衡方程创建轴系统的瞬态热特性模型的方法为：

为了获得温度的瞬态变化过程，将时间离散为

t_k+1＝t_k+Δt_k

其中，Δt_k表示时间增量；

则t_k+1时刻此时的温度为：

其中，

和

分别表示t_k和t_k+1时刻的温度。

2)根据轴系统的初始运行条件和与温度相关的变量的初始值，计算得到轴承的热负荷强度的初始值、 轴系统中所有温度节点的接触热阻的初始值和润滑剂的对流传热系数的初始值，计算方法如下：

内圈与滚珠之间的接触传热热量为：

Q_ib＝(T_i-T_b)/R_ib

其中，R_ib表示内圈与滚珠之间的接触热阻；T_i为内圈的温度；T_b为滚珠的温度；

外圈与滚珠之间的接触传热热量为：

Q_bo＝(T_b-T_o)/R_bo

其中，R_bo表示外圈与滚珠之间的接触热阻；T_b为滚珠的温度；T_o为外圈的温度；

内圈与轴之间的接触传热热量为：

Q_is＝(T_i-T_s)/R_is

其中，R_is表示轴颈与内圈之间的接触热阻；T_i为内圈的温度；T_s为轴颈的温度；

外圈与轴承座之间的接触传热热量为：

Q_oh＝(T_o-T_h∞)/R_oh

其中，R_oh表示外圈与轴承座接口之间的接触热阻；T_o外圈的温度；T_h∞为轴承座接口的温度；

滚珠和润滑剂之间的对流传热热量为：

Q_bc＝h_c·A_b·(T_b-T_l)

外圈与润滑剂之间的对流传热热量为：

Q_oc＝h_c·A_o·(T_o-T_l)

轴承座与空气之间的对流传热热量为：

Q_hc＝h_∞·A_h·(T_h-T_∞)

内圈与润滑剂之间的对流传热热量为：

Q_ic＝h_c·A_i·(T_i-T_l)

其中，h_c为润滑剂的对流传热系数；h_∞为空气的对流传热系数；T_l为润滑剂的温度；T_∞为环境温度； A_b为滚珠与润滑剂之间的接触面积；A_o为外圈与润滑剂之间的接触面积；A_h为轴承座与空气之间的接触 面积；A_i为内圈与润滑剂之间的接触面积。

具体的，本实施例设摩擦热源的分布在轴承部件的接触界面处，并流入滚珠，则：

Q_f＝Q_bf+Q_if+Qo_f

其中，Q_bf、Q_if和Q_of分别为滚珠、内圈和外圈的热量；且：

Q_bf＝Q_if＝0.25Q_bf

Qo_f＝0.5Q_bf

从而求解得到轴承的热负荷强度的初始值、轴系统中所有温度节点的接触热阻的初始值和润滑剂的对 流传热系数的初始值。

3)利用轴系统的瞬态热特性模型对轴系统进行瞬态热分析；

4)比较相邻两个迭代子步骤中的滚动元件的温度，若满足收敛条件，则进入步骤5)，不满足收敛条 件，则进入步骤6)，所述收敛条件为：

T_n-T_n-1＜1×10^-6

其中T_n和T_n-1分别为相邻两个迭代子步骤的滚动元件的温度；

5)结束分析，保存轴系统中所有温度节点的温度；

6)更新接触热阻、对流传热系数和与温度相关的变量。具体的，与温度相关的变量包括轴承尺寸、 轴承预紧力和润滑剂粘度。

润滑剂粘度v的更新方式为：

T表示润滑剂的当前温度；m₀和m₁为与润滑剂相关的系数；T₀'为润滑剂的初始温度；

本实施例的润滑剂粘度v的更新公式为：

v＝32×e^{-0.0242×(T-40)}

即m₀和m₁与润滑剂本身的特性相关。

对流传热系数h的更新方式为：

提取轴系统热-结构耦合特性分析结果；获取部件温度T与空气温度T_a之间的差值，记为Δt，即：

Δt＝T-T_a

其中，Δt为部件温度与空气温度之间的差值；T为部件温度；T_a为空气温度。

利用提取结果修正轴部件与流体之间的对流换热系数。

对流传热系数下式表示：

其中，λ_h为流体热导率；L_h表示水力半径；Nu表示努塞尔数，且：

m和n表示由朝向换热面确定的常数；C表示常数；Gr和Pr分别表示格拉晓夫数和普朗特数；且：

其中，g表示重力加速度；β₂表示流体的热伸长系数；v_h表示运动粘度；Δt为部件温度与流体温度之 间的差值；

轴承预紧力F_a的更新方式为：

轴承预紧力F_a与内圈径向热位移δ_i和外圈径向热位移δ₀有关，通过有限元法，计算初始热源和热边 界条件下的轴系温度场和热变形，提取前轴承内外圈的轴向变形量，可以看到内外圈均由内向外膨胀，轴 承内圈变形量大，内外圈热位移的差值为Δδ_a，计算方法如下：

Δδ_a＝δ_i-δ_o

根据轴承配置和开口方向，分析热位移对初始轴向位移的方向是否一致，由此得到产生热变形后的轴 承轴向位移量δ_a：

δ_a＝δ_preload±Δδ_a

δ_preload为初始预紧力对应的轴向位移。

通过轴向位移与接触角的关系式，用Newton-Raphson法进行迭代求解出实际变形后的轴承接触角α：

将实际接触角α带入下式，求得热变形后的实际预紧力F_a：

其中，

K是取决于总曲率B的轴向位移常数，可通过图表查得；α为轴承变形后的接 触角；α°为轴承变性前的接触角；Z为滚珠数目；D为滚珠直径；

外圈与轴承座之间的接触热阻R'_oh的更新方式为：

提出轴承外圈和轴承座的平均温度T_ring and T_housing，修正轴承外圈与轴承座接触热阻：

其中，δ_ring表示轴承外圈的厚度；λ_air和λ_ring分别表示空气和轴承外圈材料的热导率；δ_gap表示轴承外 圈与轴承座之间的间隙，且：

δ_gap＝δ_gap0-(T_ring-T_housing)·α·r_housing

其中，δ_gap0表示初始间隙，α表示热伸长率；r_housing表示轴承座半径。

轴承内圈与轴颈之间的接触热阻R'_is的更新方式为：

轴承内圈与轴颈之间的接触热阻是过盈量的函数。过盈量随着轴颈和轴承内圈的热变形产生变化，

因此，需要获取轴颈径向变形δ_s和轴承内圈径向变形δ_d，求出过盈配合量变化值Δ，该值为正表示 过盈量增大，为负表示过盈量减小：

Δ＝δ_s-δ_d

δ_s为与内圈配合的轴颈的径向热变形；δ_d为轴承内圈的径向热变形；Δ为过盈配合量变化值。

根据过盈量变化值Δ，求出过盈量p：

E₁为轴承内圈材料弹性模量；E₂为轴颈材料弹性模量；D为滚珠直径；D₁为轴承内圈直径；D₂为轴 颈直径；D₃为轴轴芯内径；v₁为轴承内圈材料泊松比；v₂为轴颈材料泊松比。

求解热平衡过程中轴承内圈与轴颈之间的动态接触热阻。

轴承内圈与轴颈接触热阻表示为：

其中，k₁和k₂表示轴承内圈和轴颈的热导率；A_a表示名义接触面积；k_f表示间隙中介质热导率；δ_v表 示间隙厚度；A_c表示实际接触面积；A_v表示间隙面积；

实际接触面积A_c表示为：

其中，D为分形维数；a_L为最大微凸体接触面积；

间隙厚度δ_v表示为：

δ_v＝2(z-G^D-1a_L ^(2-D/2))

其中，z为微凸体高度；G为尺度常数；

接触界面上的接触载荷表示为：

其中，k表示屈服系数；σ_s表示屈服强度；n(a)表示微凸体分布；a表示微凸体面积；a_ec表示临界弹 性面积；a_pc表示临界塑性面积；P_ep表示弹塑性接触压力；P_e表示弹性接触压力；k₃，k₄及k₅表示常数； E表示弹性模量。

接触载荷与外部载荷平衡，即：

F＝F_ex＝p·A_a

其中，F_ex为外部载荷；

接触热阻R_c和实际接触面积A_c是最大接触面积a_L的函数。由于旋转轴和轴承温度不同，材料线膨胀 系数也不同，会使旋转轴外圆柱面和轴承内圈径向热变形大小不同，从而导致配合过盈量发生变化。轴系 热变形分析可以预知轴承与轴初始配合在实际转动时温度升高后配合量的变化。由温度变化所引起的配合 变化量，在开始设计时给出相应的配合尺寸补偿值，以保证在实际工作温度变化后仍具有优良的配合。

轴承尺寸的更新方式为轴承初始尺寸与轴承热变形之和，轴承热变形包括内圈径向热位移、外圈径向 热位移和滚珠轴向热位移；

轴的温度场为：

其中，d_a为轴承内圈外径；d₀为轴承座外径；r表示径向位置；；T_i为内圈的温度；T_s为轴的 温度；

内圈径向热位移为：

其中，

β_i为轴承内圈热伸长系数，T_i为内圈的温度；T₀为初始温度； d_a为轴承内圈外径；d₀为轴承座外径；v_i为轴承内圈泊松比；C₁和C₂为常数；

常数C₁和C₂表示为：

其中，P表示接触压力；

α_i和v_i表示热伸长系数和泊松比；

α₁为内圈热伸长系数；C₃和C₄为常数；v₁为内圈泊松比；d为径向位置； K为常数；E为弹性模量；E₁为内圈弹性模量；

轴承座的温度场为

其中，d₂为轴承座外径；T_h为环境温度；T_o为外圈温度；

外圈的径向热位移为：

其中，

α_o为初始热伸长系数；T_a为轴承外圈温度；T_L为环境温度； d为滚珠直径；d₂为外圈外径；v_o为外圈泊松比；C₅和C₆为常数：且常数C₅和C₆表示为：

其中，D_w表示滚珠的原始直径；T_a、v_o、d分别为轴承外圈温度、轴承座泊松比、径向位置；

轴颈的径向位移为：

其中，α_s为轴芯热伸长系数；v_s为轴的泊松比；T轴的温度；ρ轴的密度；E为轴的弹性模量；d₁为 轴芯内径；P₁为接触压力；ω轴的角速度；g为重力加速度。

轴承套圈的轴向位移为：

u_a＝α_1TL₁ΔT

其中，L₁和ΔT分别表示轴承套圈的宽度和温度变化；α_1T表示轴承套圈的热膨胀系数，表示为

L₁表示轴承套圈的原始宽度；

滚珠的轴向位移为：

u_b＝α_2TD_wΔT₂

其中，ΔT₂表示球的温度上升；α_2T表示滚珠的热膨胀系数，表示为

D_w表示滚珠的原 始直径。

7)循环步骤3)和步骤4)，直至满足收敛条件。

根据以上分析，温升受接触热阻TCR，粘度-温度效应和热致预紧力等因素影响。然后有必要确定不同 因素对温升的影响程度。然后通过迭代算法计算轴系统的温升，以查看上述因素的影响。为了验证轴系统 的热-位移相互作用建模方法的有效性，在设定工作条件下测量了轴承套圈的温度，然后将实验数据与上 述预测温度进行了比较，如图6所示。测得的温度随着运行时间的增加而升高，然后在轴系统关闭时开始 降低。而且，在开始1000s，温度显着升高，并且当热源强度等于空气散发的热量时，温度是稳定的。此 外，由于冷却气体的作用，测得的温度明显波动。更重要的是，预测数据与实验温度吻合良好，验证了轴 系统热特性建模方法的有效性。后轴承的测量数据与实验温度之间的平均偏差分别为前轴承的4.36％和前 轴承的3.15％。前轴承和后轴承的预测温度和实测数据之间的最大偏差分别为6.5％和5.8％。偏差的原 因是由于润滑耗散的热量不足，这对轴承的冷却起着至关重要的作用。当轴系统关闭时，温度会急剧下降， 因为热源已消失。描绘了接触热阻对温度升高的影响是显着的。

TCR限制了从轴承箱流向轴承箱的热量，然后在外圈上造成局部热量积聚，从而导致轴承外圈的温度 降低。因此，在建立轴系统的热特性模型时，必须考虑TCR的影响。粘度温度效应和热预紧力对轴承外圈 温度的影响也很重要。此外，粘度-温度效应对生热的影响比热诱导的预紧力要明显得多，因此，不考虑 粘度-温度效应的温度高于不考虑粘度-温度效应的温度，如图5示。当考虑热诱导的预紧力和粘度-温度 效应时，轴承的热量会减少。那么所获得的结果是合理的。因此，对于轴系统的热特性建模，应考虑粘度 -温度效应和热诱导的预紧力。结论是，所提出的建模方法具有较高的预测精度，这归因于以下因素的考虑：TCR，粘度-温度效应和热致预紧力以及每一个子步中的热力负载和热边界条件的更新。通过更新热负 荷和热边界条件，可以实现重复的闭环迭代过程。

图7显示了在设定工作条件下轴系统的轴向和径向热位移。预测的位移与实测数据非常吻合，然后验 证了模型的有效性。而且，测得的轴系统的轴向位移很大，最大值为-18.38μm。在X轴和Y轴方向上测 得的最大热位移分别为16.09μm和-17.00μm。此外，热位移在最初的800s内明显增加，然后在平衡值处 逐渐稳定。测量的热位移大于所提出的模型获得的预测值，因为测量的数据包括热位移，偏心误差和振动， 并且在模型中未考虑后两者。对于Z方向，X方向和Y方向，测量数据与实验热位移之间的平均偏差分别 为3.62％，3.80％和3.74％。轴向的热位移为负，这意味着轴系统沿Z轴的正方向扩展。X，Y和Z方向 上的所有热位移表明，粘度-温度效应的影响比TCR和热诱导的预紧力的影响要大得多。当不考虑包括TCR， 热致预紧力和粘度-温度效应在内的重要因素的影响时，预计的热位移会增加。原因如下。当根据图7和 图9不考虑粘度-温度效应和热引起的预紧力时，轴承的热量产生更大。热位移是温度升高的体现，当上 述两种情况导致温度升高时，不考虑因素。对于TCR的效果，当不考虑TCR时，TCR不会发热。然后，轴 承产生的更多热量进入轴，从而导致轴系统在X，Y和Z方向上产生更大的热位移。结果表明，热位移相 互作用建模方法的全闭环迭代过程通过更新热负荷和热边界条件，实现了轴系统热位移的精确建模。

实施例2

轴系统中的轴会受到前后轴承的热负荷的加热作用，轴温度可表示为

其中，T(x,t)表示t时刻轴上x位置处受到的热负荷；T_fb(x,t)和T_rb(x,t)分别表示前后轴承对轴施加的 热负荷；C₁、C₂、C₃和C₄均为系数；h为对流系数；λ轴芯膨胀系数；d为轴的直径；ρ为轴的密度；c 为轴芯比热容；

对端部自由的轴系统，即轴的至少一端仅有径向约束，无轴向约束的轴系统，其热膨胀为：

式中，α表示轴热伸长系数；L表示轴的长度；T_∞表示环境温度。

由于无法确定系数C₁,C₂,C₃和C₄，因此很难准确预测轴系统的热误差，但为热误差建模提供了基本 的思想。上述通用型的热误差模型具有重要意义，其给出的定积分表达式是轴系统运行时间的指数函数。 根据热误差的行为，该模型本质上是运行时间的指数函数，并且以热误差平衡过程的时间常数、及初始和 稳态时的热误差作为输入。

因此，本实施例基于解析法的轴系统热误差建模方法将通用型的轴系统热误差模型表达为：

δ(t)＝δ₀+(δ_t-δ₀)(1-e^-tτ)

其中，δ₀表示轴初始状态热误差，δ_t表示热平衡状态下的轴的热误差；τ表示热误差平衡过程的时间 常数。

初始状态下的热误差δ₀为0，所以，热误差建模的核心是确定热误差平衡过程的时间常数τ和稳态下 的热误差δ_t。采用上述实施例1中的基于解析法的轴系统热特性分析方法获取热误差平衡过程的时间常数 τ和稳态下的热误差δ_t。

转速和环境温度是影响热平衡温度及热平衡时间等轴系统热特性的两个最重要的因素。在不同的工作 条件下测试轴系统的热特性，以验证理论热误差建模方法，如表1所示。

表1轴系统工况

计算不同工况下的热源载荷和热边界条件，如表2所示。

表2热源载荷和热边界条件

将热源载荷强度和热耗散边界条件施加于实施例1中的基于解析法的轴系统热特性模型，使用闭环迭 代算法求解轴系统热特性模型。为了验证热特性模型的有效性，在工作条件#1下测量前后轴承的温度， 然后将预测温度与实验数据进行了比较，如图8所示。随着运行时间的增加，测得的温度开始升高。此外， 在第一开始800s中温度显着升高并且当热源强度等于空气耗散的热量时稳定。由于压缩空气的作用，测得 的温度明显波动。更重要的是，预测数据与实验温度吻合，这验证了实施例1中的基于解析法的轴系统热 特性模型的有效性。后轴承和前轴承的测量数据与实验温度之间的平均偏差分别为4.36％和3.15％。前轴 承和后轴承的预测温度和实测数据之间的最大偏差分别为6.5％和5.8％。当轴单元关闭时，温度会急剧下 降，这是因为热源消失并且空气冷却。

根据以上分析，温升受TCR，粘度-温度效应和热诱导预紧力等因素的影响。然后有必要确定主要影 响因素对温升的影响程度。描绘了TCR对温度升高的影响是显着的。TCR限制了从轴承圈流到轴承箱的 热量，并导致热量在外圈上局部积聚，从而导致外圈温度升高。因此，必须考虑TCR的作用。粘度-温度 效应和热诱导预紧力对外圈温度的影响也很明显。因此，对于基于解析法的轴系统热特性模型，应考虑粘 度-温度效应和热诱导的预紧力。所以，可得到的结论是，较高的预测准确性归因于在每个子步骤中考虑了 诸如TCR，粘度-温度效应和热诱导预紧力等因素的动态变化。

根据本实施例的轴系统热误差模型就算热误差，应确定热误差平衡过程的时间常数τ和稳态下的热误 差δ_t。利用基于解析法的轴系统热特性模型获得在工作条件#1下的轴向和径向热误差，如图9所示。不 同方向上的预测误差与实测数据吻合良好，提出的基于解析法的轴系统热特性模型的有效性得到验证。此 外，在Z，X和Y方向上测得的最大热误差分别为-27.4μm，25.1”和-17.8”。此外，热误差在最初的800s 内显著增加，然后在平衡值处逐渐稳定。测得的热误差大于所提出模型获得的预测值，因为测得的数据包 括偏心误差和振动等误差。模型中均未考虑这两个因素。对于Z方向，X方向和Y方向，测量数据与实验 热误差之间的平均偏差分别为5.62％，6.80％和5.74％。轴向方向的热误差为负，这意味着轴系统沿正Z 方向伸长。X，Y和Z方向上的所有热位移都表明，黏温效应的影响比TCR和热诱导的预紧力的影响大 得多。如果不考虑热误差的主要影响因素，则预计的热误差会很大，因为如果不考虑上述主要影响因素， 轴承的热量就会产生较大的影响。TCR对热量有阻碍作用，当不考虑TCR时，轴承产生的更多热量会进 入轴系统，从而导致X，Y和Z方向的热误差更大。当忽略粘度-温度效应和热引起的预紧力时，前后轴承 会产生更多的热量。结果表明，采用闭环迭代法求解基于解析法的轴系统热特性建模模型，更新每个子步 骤中的热源载荷和热边界条件，实现了热误差的精确建模。

温度平衡过程的时间常数的定义如下：如果轴系统在空载工作条件下以恒定的转速运行，则当温度上 升到最大温升的95％时，可以判断轴系统达到热平衡状态。根据本实施例的轴系统热误差模型，应该确定 误差平衡过程的时间常数τ，而不是温度平衡过程的时间常数。当轴系统达到热平衡状态时，单位时间内 流入和流出的热量相等，因此热特性稳定。热平衡时间是轴系统达到热平衡状态所需的时间，是表征轴系 统热特性的重要指标。

以温度平衡过程的时间常数的定义作为参考，定义误差平衡过程的时间常数τ。采用实施例1中的基 于解析法的轴系统热特性分析方法，在迭代子步骤中计算轴热误差E，且当

时，轴 系统达到热平衡状态，此时的时间t_i为热平衡时间，则

此时的热误差E_i为轴热平衡误差δ_t；其中， ΔE_max＝E_max-E₀，E_max和E₀分别表示轴最大热误差和初始热误差；f_i表示t_i时刻轴热误差变化相对于轴的 最大热误差变化的百分比；ΔE_i表示t_i时刻的热误差变化，且ΔE_i＝E_i-E₀，如图10所示。

然后基于解析法的轴系统热特性建模方法，求得不同转速条件下的轴系统轴向和径向稳态热误差，如 图11所示。稳态下的热误差呈线性变化，可以认为当旋转速度为0时，热误差为0。因此，使用分段直线 拟合确定热误差与旋转速度之间的关系。拟合方程如下：

对于轴向热误差，其热误差与旋转速度之间的拟合方程为：

δ_E＝-2.919×10^-3n-14.490 n≥2500r/min

δ_E＝-7.920×10^-3n n＜2500r/min

对于热偏摆角，其热误差与旋转速度之间的拟合方程为：

对于热俯仰角，其热误差与旋转速度之间的拟合方程为：

轴系统以恒定转速运行，然后在基本达到热平衡状态后关闭，然后在空气中自然冷却。数据采集系统 在热平衡过程和冷却过程中每隔一秒钟收集一次前后轴承的温度。根据表1进行四组实验。实验结果如图 12所示。通过基于解析法的轴系统热特性模型确定热误差平衡过程的时间常数τ，并获得在不同工作条件 下的稳态热误差δ_t，并将模拟的热误差与实测数据进行比较。可以看出，在整个热平衡过程中，通过基于 解析法的轴系统热特性模型确定的热误差与实测数据一致。验证通过基于解析法的轴系统热特性建模方法 的有效性。然后计算轴系统在不同工作条件下的热误差平衡过程的时间常数τ。可以看出，旋转速度越大， 热伸长率越大，热误差平衡过程的时间常数越短。

根据以上分析，当热误差变化达到最大热误差的95％时，判断轴系统已达到热平衡。根据图12所示 的建模结果，获得每种转速下的热误差平衡过程的时间常数τ。表3列出了在不同转速下的热平衡过程的 时间常数。在升温阶段，各速度下的热平衡时间常数相差不大，轴系统的热误差平衡过程的时间常数τ取 热平衡时间常数的平均值。即，轴系统的热平衡约为τ＝281.5s。在误差增加阶段，转速越高，稳态温度越 高，并且热平衡过程的时间常数越短。在误差减小阶段，可以基于转速的间隔通过线性插值确定热误差平 衡过程的时间常数τ，热平衡过程的时间常数为τ＝234.9s。在降温阶段，转速越高，稳态温度越高，并且热误差平衡过程的时间常数τ越大。

表3.热误差平衡过程的时间常数

即轴系统已经达到热平衡，并且当f_i＝95％，热平衡时间为t_i，且时间常数为

如图11所示的 时间。根据上面的分析，为本实施例的轴系统建立了热误差模型：

如果δ(t)≥δ₀，热误差方程表示为：

轴向热误差：

δ_t(E)＝(-2.919×10^-3n-14.490)·(1-e^-t/281.5) n≥2500r/min

δ_t(E)＝-7.920×10^-3n·(1-e^-t/281.5) n＜2500r/min

热偏摆角热误差：

δ_t(γ_x)＝(2.293×10^-3n+14.62)·(1-e^-t/281.5) n≥2500r/min

δ_t(γ_x)＝7.200×10^-3n·(1-e^-t/281.5) n＜2500r/min

热俯仰角热误差：

δ_t(γ_y)＝(-2.744×10^-3n-4.156)·(1-e^-t/281.5) n≥2500r/min

δ_t(γ_y)＝-3.680×10^-3n·(1-e^-t/281.5) n＜2500r/min

如果δ(t)＜δ₀，热误差方程表示为：

轴向热误差：

δ_t(E)＝(-2.919×10^-3n-14.490)·(1-e^-t/234.9) n≥2500r/min

δ_t(E)＝-7.920×10^-3n·(1-e^-t/234.9) n＜2500r/min

热偏摆角热误差：

δ_t(γ_x)＝(2.293×10^-3n+14.62)·(1-e^-t/234.9) n≥2500r/min

δ_t(γ_x)＝7.200×10^-3n·(1-e^-t/234.9) n＜2500r/min

热俯仰角热误差：

δ_t(γ_y)＝(-2.744×10^-3n-4.156)·(1-e^-t/234.9) n≥2500r/min

δ_t(γ_y)＝-3.680×10^-3n·(1-e^-t/234.9) n＜2500r/min

采用本实施例的轴系统误差模型、时间序列模型和MLRA模型预测轴系统三个方向的热误差，如图 13所示。预测的热误差与三个方向的测得的热误差一致，本文提出模型的预测性能远优于时间序列模型和 MLRA模型。主要原因是本模型揭示了轴系统热误差产生机理。热误差与轴系统的温度密切相关，将轴系 统的温度视为中间变量，然后将热误差表示为具有稳态热误差δ_t和热误差平衡时间常数τ的指数函数，并 将运行时间作为其独立变量。采用闭环迭代方法求解基于解析法的轴系统热特性模型，准确获得轴系统稳 态下的热误差和热误差平衡过程的时间常数τ。基于解析法的轴系统热特性模型揭示了热源载荷、对流传 热、TCR，温度升高以及由此产生的热误差等因素之间的耦合关系。时间序列模型不能很好地准确预测具 有强时变、非线性和非平稳特性的热误差数据。MLRA模型因为引入了关键温度之间的多重共线性，模 型不够精确；且热误差与关键温度间接相关，而与轴温度直接相关。因此，本模型的预测性能是上述三种 模型中最好的。

如表4中所列，以预测优度评估预测性能。表明本模型的预测能力η最好，其次是时间序列模型， MLRA模型的预测能力η最差。上面的讨论验证了本模型的有效性。本模型对热伸长δ_E、热偏摆角

和 热俯仰角

的预测能力η分别为97.85％，93.26％和93.56％。时间序列模型对热伸长δ_E、热偏摆角

和 热俯仰角

的预测能力η分别为88.08％，81.03％和74.81％。MLRA模型对热伸长δ_E、热偏摆角

和 热俯仰角

的预测能力η分别为90.21％，89.26％和83.69％。预测性能很好地说明了热误差模型的泛化 能力。时间序列模型和MLRA模型的泛化能力远不如当前模型，证明了该模型的有效性。

表4.预测模型的性能评价

一般而言，热误差平衡过程的时间常数τ与温度平衡过程的时间常数近似，因为温度平衡过程的时间 常数的测量很容易实现，而热误差平衡过程的时间常数τ的确定较为复杂。但是温度平衡过程的时间常数 不等于热误差平衡过程的时间常数τ。

如果我们将热通量定义为

将该可变热源作为系统的输入。如图14所示，建立一个简化的轴系统热力学模型，热通量从轴的左 端作为一个单一的热源输入。

采用直接耦合法，用于分析轴系统热-结构场。在热力学模型中使用了PLANE13单元，它是低阶单元。 在ANSYS有限元软件中建立了有限元模型。为了方便后续数据处理，每个节点的编号都通过网格进行编 号，如图15所示。

由于温度升高很小，因此可以假定材料的热物理性质相对独立于温度，如表5所示。将诸如热物理性 质，热源负载，对流系数和TCR的边界条件加载到有限元模型中。

表5.材料的热物理性质.

对轴系统温度场进行模拟，如图16所示。可以看出，相对于温度响应，轴向热膨胀存在时间延迟。 热误差的平衡稍稍落后于温度的平衡，所以，很多学者将热误差平衡过程的时间常数大致替换为温度平衡 过程的时间常数。轴系统以特定的转速旋转，然后在基本达到热平衡状态后关闭，然后在空气中自然冷却。 数据采集系统在热平衡过程和冷却过程中每隔一秒钟收集一次前后轴承的温度。图17所示为不同转速下 进行的四组实验。可以看出，转速越高，温度升高越高。

表6列出了根据图17所示的温度计算出的每个转速下的时间常数。在升温阶段，在不同速度下温度 平衡过程的时间常数相差不大，将每个速度下时间常数的平均值作为轴系统的时间常数。即，时间常数约 为264.1。在降温阶段，转速越高，稳态温度越高，时间常数越大。在温度下降阶段，可以基于转速的间 隔通过线性插值确定时间常数。比较表3和表6所示，由于热误差相对于温度具有一定的滞后性，因此热 误差平衡过程的时间常数比温度平衡处理的时间常数稍长，这与图16所示的结果一致。因此，将温度平 衡过程的时间常数用于温度平衡过程会导致预测误差。

表6温度平衡过程的时间常数

在随机转速下，采用热误差平衡过程的时间常数和温度平衡过程的时间常数预测热伸长，如图18所 示。采用热误差平衡过程的时间常数预测得到的热伸长残差比采用温度平衡过程的时间常数预测的热伸长 残差小得多。这验证了以下说法：在理论热误差模型中应使用热误差平衡过程的时间常数，并且将时间常 数用于温度平衡过程可以得出热误差预测。

实施例3

如图19所示，本实施例的基于解析法的轴系统热误差补偿系统，包括：

CNC加工中心，包括PLC控制器和温度传感器；

数据采集系统，与所述CNC加工中心相连，用于采集轴系统的运行转速信息和运行时间信息，并将 运行转速信息和运行时间信息经滤波器、放大器和A/D转换器处理后得到轴系统的实际运行时间和转速；

热误差补偿系统，与所述数据采集系统连接，并采用实施例2所述基于解析法的轴系统热误差建模方 法计算热误差，得到轴在各个方向的补偿分量；

所述PLC控制器与所述热误差补偿系统相连，从所述热误差补偿系统获取轴在各个方向的补偿分量， 并将所述补偿分量反向叠加于伺服控制器的输出指令，通过比较轴系统的实际位置和命令位置来补偿位置 偏差，实现轴系统热误差的实时补偿。

为了充分验证热误差模型的有效性，将转速按照图20所示进行分布设置，转速逐步增加，然后下降 并保持稳定。利用实施例2建立的热误差补偿模型，并将热误差补偿模型嵌入补偿器中，然后进行误差补 偿。

将本实施例的误差补偿模型、时间序列模型和MLRA模型用于热误差补偿。图21所示为三种热误差 模型的补偿结果。通过三个热误差补偿模型可以减小三个方向的热误差。MLRA模型和时间序列模型的 热误差残差波动要比当前模型大得多，在上述三个补偿模型中，本实施例的误差补偿模型的补偿效果最好， 其次是时间序列模型，MLRA模型的补偿效果最差，验证了基于解析法的轴系统热误差建模和补偿方法。

本实施例的误差补偿模型，热伸长误差的绝对平均和最大残差分别约为0.40μm和1.24μm。对于MLRA 模型，热伸长误差的绝对平均和最大残差分别约为2.30μm和9.58μm。对于时间序列模型，热伸长误差的 平均和最大残差分别约为2.06μm和6.62μm。本实施例的误差补偿模型的补偿效果远优于时序模型和 MLRA模型，验证了本实施例的误差补偿模型和补偿方法的有效性，该方法足够准确，可以在后续的加工 过程中进行热误差补偿。本实施例的误差补偿模型的出色补偿效果归因于误差产生机理的揭示和精确的热 特性建模。误差生成机制使它能够将热误差表示为运行时间的指数函数，该热误差模型以稳态时热误差δ_t， 热误差平衡过程的时间常数τ以及运行时间t为其自变量。基于解析法的轴系统热特性建模准确确定稳态 热误差δ_t和热误差平衡过程的时间常数τ。

以上所述实施例仅是为充分说明本发明而所举的较佳的实施例，本发明的保护范围不限于此。本技术 领域的技术人员在本发明基础上所作的等同替代或变换，均在本发明的保护范围之内。本发明的保护范围 以权利要求书为准。

Claims (10)

1.一种基于解析法的轴系统热特性分析方法，其特征在于：包括如下步骤：

1)根据热平衡原理，建立轴系统的滚动元件的热平衡方程，并由热平衡方程创建轴系统的瞬态热特性模型；

2)根据轴系统的初始运行条件和与温度相关的变量的初始值，计算得到轴承的热负荷强度的初始值、轴系统中所有温度节点的接触热阻的初始值和润滑剂的对流传热系数的初始值；

3)利用轴系统的瞬态热特性模型对轴系统进行瞬态热分析；

4)比较相邻两个迭代子步骤中的滚动元件的温度，若满足收敛条件，则进入步骤5)；若不满足收敛条件，则进入步骤6)，所述收敛条件为：

T_n-T_n-1＜1×10^-6

其中，T_n和T_n-1分别为相邻两个迭代子步骤的滚动元件的温度；

5)结束分析，保存轴系统中所有温度节点的温度；

6)更新接触热阻、对流传热系数和与温度相关的变量；

7)循环步骤3)和步骤4)，直至满足收敛条件。

2.根据权利要求1所述的基于解析法的轴系统热特性分析方法，其特征在于：所述轴系统的滚动元件包括轴承的滚珠、内圈和外圈。

3.根据权利要求2所述的基于解析法的轴系统热特性分析方法，其特征在于：

所述滚珠的热平衡方程为：

其中，T_b表示每个滚珠的温度；C_b表示滚珠的比热容；m_b表示每个滚珠的质量；N表示滚珠的数量；Q_bf为滚珠的热量；Q_bc为滚动体与润滑剂之间的对流传热热量；Q_ib为内圈与滚珠之间的接触传热热量；Q_bo为外圈与滚珠之间的接触传热热量；

所述内圈的热平衡方程为：

其中，T_i表示内圈的温度；c_i表示内圈的比热容；m_i表示内圈的质量；Q_if为内圈的热量；Q_ib为内圈与滚珠之间的接触传热热量；Q_ic为内圈与润滑剂之间的对流传热热量；Q_is为内圈与轴之间的接触传热热量；

所述外圈的热平衡方程为：

其中，C_oh表示外圈的比热容；T_oh(r,t)表示外圈的温度；t表示时间；r表示径向位置；Q_of为外圈的热量；Q_bo为外圈与滚珠之间的接触传热热量；Q_hc为轴承座与润滑剂之间的对流传热热量；Q_oc为外圈与润滑剂之间的对流传热热量；Q_oh为外圈与轴承座之间的接触传热热量；Moh为外圈的质量。

4.根据权利要求3所述的基于解析法的轴系统热特性分析方法，其特征在于：所述步骤1)中，由热平衡方程创建轴系统的瞬态热特性模型的方法为：

为了获得温度的瞬态变化过程，将时间离散为

t_k+1＝t_k+Δt_k

其中，Δt_k表示时间增量；

则t_k+1时刻此时的温度为：

其中，

和

分别表示t_k和t_k+1时刻的温度。

5.根据权利要求1所述的基于解析法的轴系统热特性分析方法，其特征在于：所述步骤2)中的计算方法如下：

内圈与滚珠之间的接触传热热量为：

Q_ib＝(T_i-T_b)/R_ib

其中，R_ib表示内圈与滚珠之间的接触热阻；T_i为内圈的温度；T_b为滚珠的温度；

外圈与滚珠之间的接触传热热量为：

Q_bo＝(T_b-T_o)/R_bo

其中，R_bo表示外圈与滚珠之间的接触热阻；T_b为滚珠的温度；T_o为外圈的温度；

内圈与轴之间的接触传热热量为：

Q_is＝(T_i-T_s)/R_is

其中，R_is表示轴颈与内圈之间的接触热阻；T_i为内圈的温度；T_s为轴颈的温度；

外圈与轴承座之间的接触传热热量为：

Q_oh＝(T_o-T_h∞)/R_oh

其中，R_oh表示外圈与轴承座接口之间的接触热阻；T_o外圈的温度；T_h∞为轴承座接口的温度；

滚珠和润滑剂之间的对流传热热量为：

Q_bc＝h_c·A_b·(T_b-T_l)

外圈与润滑剂之间的对流传热热量为：

Q_oc＝h_c·A_o·(T_o-T_l)

轴承座与空气之间的对流传热热量为：

Q_hc＝h_∞·A_h·(T_h-T_∞)

内圈与润滑剂之间的对流传热热量为：

Q_ic＝h_c·A_i·(T_i-T_l)

其中，h_c为润滑剂的对流传热系数；h_∞为空气的对流传热系数；T_l为润滑剂的温度；T_∞为环境温度；A_b为滚珠与润滑剂之间的接触面积；A_o为外圈与润滑剂之间的接触面积；A_h为轴承座与空气之间的接触面积；A_i为内圈与润滑剂之间的接触面积。

6.根据权利要求1所述的基于解析法的轴系统热特性分析方法，其特征在于：与温度相关的变量包括轴承尺寸、轴承预紧力和润滑剂粘度。

7.根据权利要求6所述的基于解析法的轴系统热特性分析方法，其特征在于：所述步骤6)中，润滑剂粘度v的更新方式为：

T表示润滑剂的当前温度；m₀和m₁为与润滑剂相关的系数；T'₀为润滑剂的初始温度；

对流传热系数h的更新方式为：

其中，λ_h为流体热导率；L_h表示水力半径；Nu表示努塞尔数，且：

其中，m和n表示由朝向换热面确定的常数；C表示常数；Gr和Pr分别表示格拉晓夫数和普朗特数；且：

其中，g表示重力加速度；β₂表示流体的热伸长系数；v_h表示运动粘度；Δt为部件温度与流体温度之间的差值；

轴承预紧力F_a的更新方式为：

其中，

K是取决于总曲率B的轴向位移常数，可通过图表查得；α为轴承变形后的接触角；α^o为轴承变性前的接触角；Z为滚珠数量；D为滚珠直径；

外圈与轴承座之间的接触热阻R'_oh的更新方式为：

其中，δ_ring表示轴承外圈的厚度；λ_air和λ_ring分别表示空气和轴承外圈材料的热导率；δ_gap表示轴承外圈与轴承座之间的间隙；

轴承内圈与轴颈之间的接触热阻R'_is的更新方式为：

其中，k₁和k₂表示轴承内圈和轴颈的热导率；A_a表示名义接触面积；k_f表示间隙中介质热导率；δ_v表示间隙厚度；A_c表示实际接触面积；A_v表示间隙面积；

轴承尺寸的更新方式为轴承初始尺寸与轴承热变形之和，轴承热变形包括内圈径向热位移、外圈径向热位移和滚珠轴向热位移；

内圈径向热位移为：

其中，

β_i为内圈初始热伸长系数，T_i为内圈的温度；T₀为初始温度；d_a为轴承内圈外径；d₀为轴承座外径；v_i为轴承内圈泊松比；C₁和C₂为常数；

外圈径向热位移为：

其中，

α_o为外圈初始热伸长系数；T_a为外圈的温度；T_L为环境温度；d为滚珠直径；d₂为外圈外径；v_o为外圈泊松比；C₅和C₆为常数：

滚珠轴向热位移为：

u_b＝α_2TD_wΔT₂

其中，ΔT₂表示滚珠的温度变化；α_2T表示滚珠的热膨胀系数，表示为

D_w表示滚珠的原始直径。

8.一种基于解析法的轴系统热误差建模方法，其特征在于：轴系统的热误差模型为：

δ(t)＝δ₀+(δ_t-δ₀)(1-e^-t/τ)

其中，δ₀表示轴初始状态热误差，δ_t表示热平衡状态下的轴的热误差；τ表示热误差平衡过程的时间常数；

采用如权利要求1-7任一项所述的基于解析法的轴系统热特性分析方法，在迭代子步骤中计算轴热误差E，且当

时，轴系统达到热平衡状态，此时的时间t_i为热平衡时间，则

此时的热误差E_i为轴热平衡误差δ_t；其中，ΔE_max＝E_max-E₀，E_max和E₀分别表示轴最大热误差和初始热误差；f_i表示t_i时刻轴热误差变化相对于轴的最大热误差变化的百分比；ΔE_i表示t_i时刻的热误差变化，且ΔE_i＝E_i-E₀。

9.根据权利要求8所述的基于解析法的轴系统热误差建模方法，其特征在于：轴热误差的计算方法为：

轴的轴向热位移为：

其中，T₀表示轴的初始温度；T(t)表示轴在t时刻的温度；α_1T表示轴随温度变化的热膨胀系数，表示为

其中L表示轴的初始长度；

轴的总热位移为：

Δδ_a＝Δδ+(α_1TiL₁(T_i(t)-T₀)-α_1ToL₁(T_o(t)-T₀))

其中，α_1Ti和α_1To分别表示内圈和外圈的与温度相关的热膨胀系数，T_i(t)和T_o(t)分别为t时刻内圈和外圈温度；L₁为轴承内圈宽度。

10.一种基于解析法的轴系统热误差补偿系统，其特征在于：包括：

CNC加工中心，包括PLC控制器和温度传感器；

数据采集系统，与所述CNC加工中心相连，用于采集轴系统的运行转速信息和运行时间信息，并将运行转速信息和运行时间信息经滤波器、放大器和A/D转换器处理后得到轴系统的实际运行时间和转速；

热误差补偿系统，与所述数据采集系统连接，并采用如权利要求8-9任一项所述基于解析法的轴系统热误差建模方法计算热误差，得到轴在各个方向的补偿分量；

所述PLC控制器与所述热误差补偿系统相连，从所述热误差补偿系统获取轴在各个方向的补偿分量，并将所述补偿分量反向叠加于伺服控制器的输出指令，通过比较轴系统的实际位置和命令位置来补偿位置偏差，实现轴系统热误差的实时补偿。

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