CN111162537A - 基于组合Copula函数的拉丁超立方抽样法概率潮流计算方法 - Google Patents

基于组合Copula函数的拉丁超立方抽样法概率潮流计算方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种基于组合Copula函数的拉丁超立方抽样法概率潮流计算方法，包括步骤如下：根据分布式能源发电功率变量的相关性和分布式能源出力的尾部对称特性选择多个Copula函数构成一个组合Copula函数；再利用组合Copula函数生成随机数矩阵；利用拉丁超立方抽样法对随机数矩阵进行抽样，建立拉丁超立方抽样后的样本矩阵；采用三次样条插值法求出分布式能源发电功率变量的累积分布函数的逆函数；对于分布式能源发电功率变量Xm，其累积分布函数为y＝Fm(x)，和累积分布函数的逆函数，根据样本矩阵，建立分布式能源发电功率变量的样本矩阵；将样本矩阵作为输入量进行潮流计算，得到输出变量的离散结果，最后利用核密度估计对输出变量的离散结构进行拟合，得到概率密度函数。

Description

基于组合Copula函数的拉丁超立方抽样法概率潮流计算方法
技术领域
本发明涉及分析电力系统技术领域，更具体的，涉及一种基于组合Copula函数的拉丁超立方抽样法概率潮流计算方法。
背景技术
在传统电力系统分析中，负荷的波动、发电机的停运和电网运行方式的变化等因素造成了电力系统一定程度上的不确定性。随着电力工业的飞速发展，以太阳能和风能为代表的可再生能源接入电网，因光照强度和风速的不确定性，给电网带来了明显的间歇性和随机性，其结果直接导致了电力系统不稳定性的显著增加，因此用于电力系统分析的概率潮流算法的研究日益重要。为了得到精确的概率潮流计算结果来进行潮流分析，需要得到输出变量的概率密度函数，但前提是先得到输入变量的累积分布函数，并同时考虑输入随机变量之间的相关性。
传统的蒙特卡洛模拟利用随机抽样原理采用随机采样法获得输入变量的样本矩阵，但是需要大量样本的确定性潮流计算才能得到精度较高的输出变量概率分布，导致计算量大、计算时间过长。中国专利《结合拉丁超立方抽样的双向迭代并行概率潮流计算方法》，其申请号为201510231147.6，公开了采用基于拉丁超立方抽样的改进蒙特卡洛模拟法，利用分层抽样的原理，抽取较少的样本即可得到足够精度的随机变量概率分布，速度优于传统的蒙特卡洛模拟法。但该方法的适用前提是随机变量相互独立，而实际上地理位置相近的可再生能源发电出力是具有较强的相关性的。在保证计算速度的同时考虑随机变量之间的相关性，并提高计算精度是研究概率潮流计算方法亟待解决的问题。
中国专利《基于正态Copula函数的拉丁超立方抽样法概率潮流计算方法》申请号为201610147698.9，其公开了采用基于正态Copula函数的拉丁超立方抽样法，生成满足新能源发电功率相关性的随机数矩阵，进而用拉丁超立方抽样法对其进行分层抽样，提高计算精度的同时也减少了计算时间。但是从理论上讲，正态Copula函数更适用于正态相关变量的变换，其对于正态化程度较好的变量(如正态变量或对数变量)计算结果精确，而对于其他非正态分布，则有较大的误差。实际上，电力系统实际运行中存在大量含相关性的非正态变量，尤其目前研究较热的分布式能源(如太阳能和风能)都是含有相关性的非正态变量。另外，传统的拉丁超立方抽样方法中，根据变量的累积分布函数的逆函数建立变量的样本矩阵这一方面，对于满足双参数威布尔模型的风速模型和满足贝塔分布的光照强度模型，很难求出它们逆函数的解析解，一般根据经验法去估计函数的参数值，这样难免会带来很大误差。
发明内容
本发明为了解决正态Copula函数不适用描述非正态相关变量的变换问题，提供了一种基于组合Copula函数的拉丁超立方抽样法概率潮流计算方法，其利用组合Copula函数去精准描述电力系统中多个变量之间的相关关系，生成满足分布式能源发电功率变量相关性的随机数矩阵。
为实现上述本发明目的，采用的技术方案如下：一种基于组合Copula函数的拉丁超立方抽样法概率潮流计算方法，所述方法包括步骤如下：
S1：根据分布式能源发电功率变量的相关性和分布式能源出力的尾部对称特性选择多个相应的Copula函数构成一个组合Copula函数；
S2：再利用组合Copula函数生成满足分布式能源发电功率变量相关系数矩阵为ρX的随机数矩阵DM×N；
S3：利用拉丁超立方抽样法对步骤S2中所生成的随机数矩阵DM×N进行抽样，并记录所抽样本在随机数矩阵第一列的位置；根据所记录的位置，在随机样本矩阵的第二列至最后一列选取对应的样本，建立拉丁超立方抽样后的样本矩阵DLK×M；
S4：采用三次样条插值法求出分布式能源发电功率变量的累积分布函数的逆函数；
S5：对于分布式能源发电功率变量Xm，其中m＝1，2，...,M，其累积分布函数为y＝Fm(x)，和步骤S4得到的累积分布函数的逆函数，根据拉丁超立方抽样后的样本矩阵DLK×M，建立分布式能源发电功率变量的样本矩阵XK×M；
S6：将步骤S5所建立的分布式能源发电功率变量的样本矩阵XK×M作为确定性潮流计算模型的输入量进行潮流计算，得到输出变量的离散结果，最后利用核密度估计对输出变量的离散结构进行拟合，从而得到概率密度函数。
优选地，步骤S1中，假设所述的分布式能源发电功率变量有M个随机变量，分别为X1,X2，...,XM，其相关系数矩阵为ρX，随机数的个数为N；根据分布式能源发电功率变量的相关性和分布式能源出力的尾部对称特性选择多个相应的Copula函数构成一个组合Copula函数，
其中所述的Copula函数包括t-Copula函数、Normal-Copula函数、Clayton-Copula函数、Gumbel-Copula函数、Frank-Copula函数。
进一步地，构建的组合Copula函数表达式如下：
Figure BDA0002369771130000031
式中：C(u,v)为由n个Copula函数
Figure BDA0002369771130000032
线性组合所得的组合Copula函数；
Figure BDA0002369771130000033
为相关系数；ρ1,ρ2,...,ρn∈[0,1]为权重系数，且ρ1+ρ2+…+ρn＝1。
进一步地，步骤S1中，所述随机数矩阵DM×N如下：
Figure BDA0002369771130000034
其中，di,j表示第i行第j列元素。
再进一步地，步骤S3中，具体步骤如下：
S301：在生成的随机数矩阵DM×N中选取第一列数据DⅠ：
S302：设拉丁超立方抽样的次数设为K，其中K<N，将[0，1]区间等分成K个子区间，分别为
Figure BDA0002369771130000035
对于第t个子区间
Figure BDA0002369771130000036
其中t＝1,...,K，在DI中寻找一个样本ds,1满足子区间
Figure BDA0002369771130000037
并记录样本ds,1在DI中的位置Ct＝s，对所有子区间完成抽样后，所得位置向量为C＝[c1,c2,...,cK]，根据位置向量C在随机数矩阵DM×N的第二列至第M列中选取对应的样本，建立拉丁超立方抽样后的样本矩阵DLK×M。
再进一步地，步骤S5，所述建立分布式能源发电功率变量的样本矩阵XK×M，表达式如下：
Figure BDA0002369771130000041
再进一步地，步骤S6，具体步骤如下：
S601：将步骤S5所建立的分布式能源发电功率变量的样本矩阵XK×M作为确定性潮流计算模型的输入量循环计算；
S602：每次循环计算提取分布式能源发电功率变量样本矩阵的某一行向量作为输入量；
S603：根据循环密度估计计算所得的输出变量的离散结果建立输出变量的数据矩阵；
S604：最后利用核密度估计对输出变量的离散结构进行拟合，从而得到概率密度函数。
本发明的有益效果如下：
1.在电力系统中多个变量之间的相关性比较复杂，单一的Copula函数很难准确描述变量之间的相关关系，所以本发明采用组合Copula函数对输入随机变量的相关关系进行建模，更真实的反映非对称变化的相关结构。
2.另外针对类似于双参数威布尔函数和贝塔概率分布函数这样的逆函数很难求出解析解的问题，本发明提出三次样条插值法重构概率密度函数，很好地避免建模中因选取已知参数分布的假设或者用经验公式计算参数带来的误差。即采用结合三次样条插值法的拉丁超立方采样方法对随机数矩阵进行抽样，大大提高计算精度和准确度。
附图说明
图1是实施例1所述潮流计算方法的步骤流程图。
具体实施方式
下面结合附图和具体实施方式对本发明做详细描述。
实施例1
如图1所示，一种基于组合Copula函数的拉丁超立方抽样法概率潮流计算方法，具体步骤如下：
S1：根据分布式能源发电功率变量的相关性和分布式能源出力的尾部对称特性选择多个相应的Copula函数构成一个组合Copula函数；
S2：再利用组合Copula函数生成满足分布式能源发电功率变量相关系数矩阵为ρX的随机数矩阵DM×N；
S3：利用拉丁超立方抽样法对步骤S2中所生成的随机数矩阵DM×N进行抽样，并记录所抽样本在随机数矩阵第一列的位置；根据所记录的位置，在随机样本矩阵的第二列至最后一列选取对应的样本，建立拉丁超立方抽样后的样本矩阵DLK×M；
S4：采用三次样条插值法求出分布式能源发电功率变量的累积分布函数的逆函数；
S5：对于分布式能源发电功率变量Xm，其中m＝1，2，...,M，其累积分布函数为y＝Fm(x)，和步骤S4得到的累积分布函数的逆函数，根据拉丁超立方抽样后的样本矩阵DLK×M，建立分布式能源发电功率变量的样本矩阵XK×M；
S6：将步骤S5所建立的分布式能源发电功率变量的样本矩阵XK×M作为确定性潮流计算模型的输入量进行潮流计算，得到输出变量的离散结果，最后利用核密度估计对输出变量的离散结构进行拟合，从而得到概率密度函数。
在一个具体的实施例中，假设所述的分布式能源发电功率变量有M个随机变量，分别为X1,X2，...,XM，其相关系数矩阵为ρX，随机数的个数为N，根据分布式能源发电功率变量的相关性和分布式能源出力的尾部对称特性选择多个相应的Copula函数构成一个组合Copula函数，其中所述的组合Copula函数具体构建如下：
根据分布式能源的出力模型和秩相关系数构建组合Copula函数来表述分布式能源之间的相关性。利用分布式能源的出力模型确定随机变量u,v，用Kendall’sτ系数计算Copula函数系数。
Kendall’sτ系数：当随机变量(X1,Y1),(X2,Y2)独立同分布，定义
τ＝P((X1-X2)(Y1-Y2)＞0)-P((X1-X2)(Y1-Y2)＜0)，
Copula系数计算公示：
Figure BDA0002369771130000051
Kendall’sτ系数反映随机变量X和Y变化的一致性程度，τ的取值范围是[-1,1]。
构建的组合Copula函数表达式如下：
Figure BDA0002369771130000064
式中：C(u,v)为由n个Copula函数
Figure BDA0002369771130000065
线性组合所得的组合Copula函数；
Figure BDA0002369771130000066
为相关系数；ρ1,ρ2,...,ρn∈[0,1]为权重系数，且ρ1+ρ2+…+ρn＝1；
由于式中存在权重系数和相关系数为未知参数，本实施例采用期望最大化方法(EM)对组合Copula函数进行参数估计。
再利用组合Copula函数去生成满足分布式能源发电功率变量相关系数矩阵为ρX的随机数矩阵DM×N。随机数矩阵DM×N为：
Figure BDA0002369771130000061
其中di,j表示第i行第j列元素。
所述的组合Copula函数的作用有两个：一是描述随机变量的相关性；二是得到随机变量的联合函数。利用随机变量的联合函数得到随机变量的抽样矩阵。
本实施例所述的Copula函数能够准确描述随机变量之间的相关性，捕捉到随机变量之间的尾部相关关系，同时能够将多元随机变量的联合函数和各自边缘函数连接起来。
根据Sklar定理，令多维随机变量X1,X2,...Xn的联合函数为F(x1,x2,...,xn)，各自的边缘分布函数为F1(x1),F2(x2),...,Fn(xn)，那么可以定义一个Copula函数C：
F(x1,x2,...,xn)＝C(F1(x1),F2(x2),...,Fn(xn))
定义
Figure BDA0002369771130000062
分别为边缘函数F1(x1),F2(x2),...,Fn(xn)的伪逆函数，则
Figure BDA0002369771130000063
根据Sklar定理，当确定了边缘函数F1(x1),F2(x2),...,Fn(xn)和合适的Copula函数后，就可以得到联合函数F(x1,x2,...,xn)。
所述的Copula函数主要包括以下5类，5类Copula函数的特性如表1所示：
表1 Copula函数的性质
Copula函数 性质
t-Copula 对称尾部，且尾部相关
Normal-Copula 对称尾部，且尾部渐进独立
Clayton-Copula 非对称尾部，且下尾部相关
Gumbel-Copula 非对称尾部，且上尾部相关
Frank-Copula 对称尾部，且尾部渐进独立
在一个具体的实施例中，步骤S3中，具体步骤如下：
S301：在生成的随机数矩阵DM×N中选取第一列数据DI：
Figure BDA0002369771130000071
S302：设拉丁超立方抽样的次数设为K，其中K<N，将[0，1]区间等分成K个子区间，分别为
Figure BDA0002369771130000072
对于第t个子区间
Figure BDA0002369771130000073
其中t＝1,...,K，在DI中寻找一个样本ds,1满足子区间
Figure BDA0002369771130000074
并记录样本ds,1在DI中的位置Ct＝s，对所有子区间完成抽样后，所得位置向量为C＝[c1,c2,...,cK]，根据位置向量C在随机数矩阵DM×N的第二列至第M列中选取对应的样本，建立拉丁超立方抽样后的样本矩阵DLK×M：
Figure BDA0002369771130000075
式中，
Figure BDA0002369771130000076
为从DM×N中抽样的数据。
在一个具体的实施例中，步骤S4中，采用三次样条插值法求出分布式能源发电功率变量的累积分布函数的逆函数，所述的三次样条插值法的基本原理步骤如下：
D：将随机变量X的定义域[a,b]均分为n个点(a＝x1＜x2＜...＜xn-1＜xn＝b)，已知该定义域的n+1个节点和相应的函数值f(xi)＝yi,(i＝0,1,2,...,n)，即已知f(x)所表示的函数曲线上的(n+1)个样本点(x0,y0),(x1,y1),...,(xn,yn)，此时可以构造一个定义在[a,b]上的函数H(x)，该函数满足以下条件：
①H(xi)＝yi,(i＝0,1,2,...,n)。
②H(x)在每个小区间[xi,xi+1](i＝0,1,2,...,n-1)上的表述如下：
Hi(x)＝ai0+ai1x+ai2x2+ai3x3
③H(x)及其一阶和二阶导函数在区间[a,b]上均连续。
D2：三次样条插值函数H(x)是由n个小区间上的分段函数组成的。由条件②可知，一共有n个Hi(x)，而且每个Hi(x)都有四个待定系数ai0,ai1,ai2,ai3，这样总共就需要求解4n个未知数，只需要找到4n个独立方程即可。
由条件①可知，每个样本点xi都对应一个方程H(xi)＝yi，这样总共就可以得到(n+1)个方程：
H(xi)＝yi,(i＝0,1,2,...,n)
通过条件③所表述的“H(x)及其一阶和二阶导函数在区间[a,b]上均连续”即可得到3(n-1)个方程，需要注意的是，两个端点(x0,y0)和(xn,yn)不包含在内：
Figure BDA0002369771130000081
通过条件①和③已经得到了(4n-2)个独立方程，总共需要4n个，还需要找到两个独立方程。这两个独立方程一般通过边界条件来实现，即在端点a和b上各加一个限制条件，这样就得到了4n个独立方程，从而可以求解出4n个未知数。常见的边界条件主要有以下三种：
(1)给出两个端点处的一阶导数值H'(x0)＝y'0,H'(xn)＝y'n。
(2)给出两个端点处的二阶导数值H”(x0)＝y″0,H”(xn)＝y″n，如果这两个二阶导数值均为零，则称之为自然边界条件，满足自然边界条件的三次样条插值函数称为自然样条插值函数。
(3)当y＝f(x)是周期为b-a的函数时，要求H(x)及其导数都是以b-a为周期的函数，相应的边界条件为：H'(x0+0)＝H'(xn-0),H”(x0+0)＝H”(xn-0)。
根据三次样条插值法求得分布式能源发电功率变量的累积分布函数的逆函数为
Figure BDA0002369771130000091
在一个具体的实施例中，对于分布式能源发电功率变量Xm(m＝1，2，...,M)，其累积分布函数为y＝Fm(x)，和步骤S4得到的累积分布函数的逆函数为
Figure BDA0002369771130000092
根据拉丁超立方抽样后的样本矩阵DLK×M，所述的样本矩阵XK×M:
Figure BDA0002369771130000093
在一个具体的实施例中，步骤S6，具体步骤如下：
S601：将步骤S5所建立的分布式能源发电功率变量的样本矩阵XK×M作为确定性潮流计算模型的输入量循环计算；
S602：每次循环计算提取分布式能源发电功率变量样本矩阵的某一行向量作为输入量；
S603：根据循环密度估计计算所得的输出变量的离散结果建立输出变量的数据矩阵；
S604：最后利用核密度估计对输出变量的离散结构进行拟合，从而得到概率密度函数。
也就是将分布式能源发电功率变量的样本矩阵XK×M作为输入量进行循环计算，对于第n次循环计算，提取样本矩阵XK×M的第n行行向量作为确定性潮流计算模型的输入量进行潮流计算，得到输出变量的结果Zn；
设置n＝n+1，进行下一次循环计算，直到XK×M的所有行向量都参与过计算后结束循环。根据输出变量的结果Zn(n＝1,2,...,K)建立输出变量的样本矩阵：Z＝[Z1,Z2,...,ZK]；
利用核密度估计拟合输出变量的概率密度函数f(z):
Figure BDA0002369771130000094
其中，h为窗宽，Zi为输出变量的离散数据，S(·)为核函数。
显然，本发明的上述实施例仅仅是为清楚地说明本发明所作的举例，而并非是对本发明的实施方式的限定。凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明权利要求的保护范围之内。

Claims (7)

1.一种基于组合Copula函数的拉丁超立方抽样法概率潮流计算方法，其特征在于：所述方法包括步骤如下：
S1：根据分布式能源发电功率变量的相关性和分布式能源出力的尾部对称特性选择多个相应的Copula函数构成一个组合Copula函数；
S2：再利用组合Copula函数生成满足分布式能源发电功率变量相关系数矩阵为ρX的随机数矩阵DM×N；
S3：利用拉丁超立方抽样法对步骤S2中所生成的随机数矩阵DM×N进行抽样，并记录所抽样本在随机数矩阵第一列的位置；根据所记录的位置，在随机样本矩阵的第二列至最后一列选取对应的样本，建立拉丁超立方抽样后的样本矩阵DLK×M；
S4：采用三次样条插值法求出分布式能源发电功率变量的累积分布函数的逆函数；
S5：对于分布式能源发电功率变量Xm，其中m＝1，2，...,M，其累积分布函数为y＝Fm(x)，和步骤S4得到的累积分布函数的逆函数，根据拉丁超立方抽样后的样本矩阵DLK×M，建立分布式能源发电功率变量的样本矩阵XK×M；
S6：将步骤S5所建立的分布式能源发电功率变量的样本矩阵XK×M作为确定性潮流计算模型的输入量进行潮流计算，得到输出变量的离散结果，最后利用核密度估计对输出变量的离散结构进行拟合，从而得到概率密度函数。
2.根据权利要求1所述的基于组合Copula函数的拉丁超立方抽样法概率潮流计算方法，其特征在于：步骤S1中，假设所述的分布式能源发电功率变量有M个随机变量，分别为X1,X2，...,XM，其相关系数矩阵为ρX，随机数的个数为N；根据分布式能源发电功率变量的相关性和分布式能源出力的尾部对称特性选择多个相应的Copula函数构成一个组合Copula函数，
其中所述的Copula函数包括t-Copula函数、Normal-Copula函数、Clayton-Copula函数、Gumbel-Copula函数、Frank-Copula函数。
3.根据权利要求2所述的基于组合Copula函数的拉丁超立方抽样法概率潮流计算方法，其特征在于：步骤S1中，构建的组合Copula函数表达式如下：
Figure FDA0002369771120000011
式中：C(u,v)为由n个Copula函数
Figure FDA0002369771120000026
线性组合所得的组合Copula函数；
Figure FDA0002369771120000027
为相关系数；ρ1,ρ2,...,ρn∈[0,1]为权重系数，且ρ1+ρ2+…+ρn＝1。
4.根据权利要求3所述的基于组合Copula函数的拉丁超立方抽样法概率潮流计算方法，其特征在于：步骤S1中，所述随机数矩阵DM×N如下：
Figure FDA0002369771120000021
其中，di,j表示第i行第j列元素。
5.根据权利要求4所述的基于组合Copula函数的拉丁超立方抽样法概率潮流计算方法，其特征在于：步骤S3中，具体步骤如下：
S301：在生成的随机数矩阵DM×N中选取第一列数据DⅠ：
S302：设拉丁超立方抽样的次数设为K，其中K<N，将[0，1]区间等分成K个子区间，分别为
Figure FDA0002369771120000022
对于第t个子区间
Figure FDA0002369771120000023
其中t＝1,...,K，在DI中寻找一个样本ds,1满足子区间
Figure FDA0002369771120000024
并记录样本ds,1在DI中的位置Ct＝s，对所有子区间完成抽样后，所得位置向量为C＝[c1,c2,...,cK]，根据位置向量C在随机数矩阵DM×N的第二列至第M列中选取对应的样本，建立拉丁超立方抽样后的样本矩阵DLK×M。
6.根据权利要求5所述的基于组合Copula函数的拉丁超立方抽样法概率潮流计算方法，其特征在于：步骤S5，所述建立分布式能源发电功率变量的样本矩阵XK×M，表达式如下：
Figure FDA0002369771120000025
7.根据权利要求6所述的基于组合Copula函数的拉丁超立方抽样法概率潮流计算方法，其特征在于：步骤S6，具体步骤如下：
S601：将步骤S5所建立的分布式能源发电功率变量的样本矩阵XK×M作为确定性潮流计算模型的输入量循环计算；
S602：每次循环计算提取分布式能源发电功率变量样本矩阵的某一行向量作为输入量；
S603：根据循环密度估计计算所得的输出变量的离散结果建立输出变量的数据矩阵；
S604：最后利用核密度估计对输出变量的离散结构进行拟合，从而得到概率密度函数。
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