CN111159936B - 一种基于广义时域有限差分的电缆接头热场计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于广义时域有限差分的电缆接头热场计算方法。此发明包括以下步骤：建立电缆接头的模型，热场场域由发热源及数种导热能力各不相同的材料构成；以导热微分方程为热场场域内部点的数值计算方程；边界条件包括狄利克雷边界条件和纽曼边界条件；采用广义时域有限差分方法，对热场场域在空间和时间尺度上进行离散化，求出下一时刻场域内温度的分布。通过反复计算，便可模拟温度分布关于时间的变化。相较于传统的差分方法，本发明中采用的广义时域有限差分法是一种无网格的时变差分数值计算方法，既可以根据场域内不同材料的几何特征进行自由布点，以降低计算的复杂度，又可以兼顾热场分布在空间和时间两种尺度上的变化。

Description

一种基于广义时域有限差分的电缆接头热场计算方法

技术领域

本发明可用于对电缆接头故障检测及预测等工程领域，计算方法适用于二维及三维模型。

背景技术

电缆接头是连接两段电缆的重要部件。由于电缆接头内部结构相对复杂，绝缘性能相对较差，因此其故障概率明显大于电缆本体的故障概率。电缆接头在投入运行后的发热现象是造成电缆接头老化及故障的重要原因。因此准确地测算电缆接头内部及周围的温度分布，对检测，预测故障，以及延长电缆接头构成材料的使用寿命有重要作用。

发明内容

本发明的目的是为了解决上述问题，提出了一种基于广义时域有限差分的电缆接头热场计算方法。

为达到此目的，本发明采用以下技术方案：一种基于广义时域有限差分的电缆接头热场计算方法，其具体方式是，建立热场场域的模型，研究的热场场域由发热源及数种导热能力各不相同的材料构成，以导热微分方程为热场场域内部离散点的数值计算方程，边界条件包括狄利克雷边界条件(第一类边界条件)和纽曼边界条件(第二、三类边界条件)。

热场计算包括以下步骤：

S1：给定场域内热源及各种构成材料的形状和位置；

S2：给定初始时刻热场场域内的温度分布；

S3：确定热场场域的边界条件；

S4：根据热场场域内不同材料的几何特征，布置相应的离散点；

S5：采用广义时域有限差分法，对热场场域进行离散化；

S6：根据当前时刻已知的场域内温度分布和变化趋势，计算下一时刻的温度分布；

S7：将计算出的下一时刻温度分布作为当前时刻已知的温度分布，并重复步骤 S6～S7，直到迭代次数达到最大次数或者热场计算误差收敛。

所述建立的热场模型中，建立X为横轴，Y为纵轴，Z为竖轴的三维直角坐标系。其场域内各点的电势符合导热微分方程：

式中，T为该点所在位置的热力学温度，t为时间，ρ、c和λ分别为该点所在材料的密度、比热容和导热系数，Φ是场域内的热源。

所述边界条件包括狄利克雷边界条件(第一类边界条件)和纽曼边界条件(第二类边界条件)，其具体形式如下。

狄利克雷边界条件(第一类边界条件)可以表示为：

T(x,y,z,t)|_Γ＝f₁(x,y,z,t) (2)

热场场域内符合狄利克雷边界条件的边界有：

①热场场域在初始时刻的温度分布

T(x,y,z,t)|_t＝0＝T₀(x,y,z) (3)

②温度为常数的材料表面

③所研究的整个场域边界上的温度分布

纽曼边界条件(第二、三类边界条件)可以表示为：

式中，n可以是x，y，z或t。

热场场域内符合纽曼条件的边界有：

①绝热边界条件

式中，n可以是x，y或z。

②物体边界热量与对流换热能量平衡关系

式中，n可以是x，y或z；h是材料与环境之间的对流换热系数；T_Γ是材料边界的温度；T_E是环境温度。

所述步骤S4～S6的具体形式为：根据场域中各种材料的形状，布置相应的离散点。与传统有网格差分法相比，广义有限差分中，离散点的位置相对自由，无需借助网格划分的方法来确定。

采用广义时域有限差分法，将原有的连续热场场域转换为由一系列离散点P₁～P_n构成的离散场域。利用广义时域差分形式的导热微分方程，计算出下一时刻各离散点所在位置的温度。

有益效果：

本发明采用广义时域有限差分法作为热场场域数值的计算方法。广义时域有限差分法是一种无网格的时变差分数值计算方法。其中的广义有限差分法与传统的有网格差分相比，离散点的布置不需要借助网格划分，位置相对自由。因此其保留了传统有限差分法计算便捷快速的优点，又克服了传统有限差分法不适合处理含有不规则形状边界问题的缺点。广义时域有限差分法既可以根据场域内不同材料的几何特征进行自由布点，以降低计算的复杂度，又可以兼顾热场分布在空间和时间两种尺度上的变化。

附图说明

图1为本发明的流程示意图；

图2为电缆接头的结构示意。

图3以电缆接头应力锥附近的热场场域为例，展示了离散点布置的方式。

图4是广义差分法中“支撑域”的示意。

具体实施方式

下面结合具体实施方式对本发明的技术方案作进一步的介绍。

如图1所示，电缆接头可以看作是多个圆筒壁构成的结构。现将整个电缆接头及其附近周围环境作为研究的热场场域。

本实施示例将基于广义时域有限差分法，计算该热场场域的温度分布，具体步骤如下。

S1：给定场域内热源及各种构成材料的形状和位置。

如图1所示，该电缆接头结构包括电缆芯、交联聚乙烯、应力锥、连接套管和硅橡胶构成，周围环境为空气。

S2：给定初始时刻热场场域内的温度分布。

整个热场场域初始时刻的温度分布设为

T(x,y,z,t)|_t＝0＝T₀(x,y,z) (1)

S3：确定热场场域的边界条件。

①整个热场场域的边界温度设为0，即

S4：根据热场场域内不同材料的几何特征，布置相应的离散点。

广义有限差分是一种“无网格”形式的差分，在热场场域计算中作为空间尺度差分的工具。与传统的有网格差分相比，广义有限差分中离散点的布置不需要借助网格划分，位置相对自由。因此可根据场域内不同材料的具体形状来布置相应的离散点。

在不同材料的交界面处，沿交界面的附近进行布点。在形状较为复杂的材料交界面处或主要场域，布置密集的离散点以得到较高精度；而在材料内部或次要场域，布置稀疏离散点以降低计算的时间和空间复杂度。

S5：采用广义时域有限差分法，对热场场域进行离散化。

如图2所示，首先根据电缆结构，在热场场域内布置离散点。

设在某时刻t_n时，某离散点P_i所在位置的当前时刻温度为待求解温度为并且如图2所示，以P_i为球心，以r_max为半径形成一个球体，该球体所包围的空间称为“支撑域”。在离散点P_i的支撑域内，除包含P_i本身外，还包括其他离散点P₁～P_n，且它们与P_i的距离都小于r_max。

由于广义有限差分的“无网格”特性体现在空间尺度上的差分，而时域差分则负责对时间尺度进行离散化。因此下文分别说明广义有限差分和时域差分的具体步骤。

①广义有限差分：

进行空间尺度的差分时，研究的是点P_i处下一时刻待求解的温度，因此将在P₁～P_n中任一点P_j处的泰勒展开式为

j＝1,2,…,n

式中，h_ij、k_ij和m_ij分别表示点P_i到点P_j在X、Y和Z轴方向的距离，也就是 h_ij＝|x_j-x_i|，k_ij＝|y_j-y_i|，m_ij＝|z_j-z_i|。

根据上述泰勒展开式，定义残量函数B(Tⁿ⁺¹)为

上式的w_j表示点P_j对于点P_i的权重函数，定义如下

式中，r_j表示点点P_j到点P_i的距离。

将B(Tⁿ⁺¹)对和/>求导，得

即[A][D_T]＝[b]。

将[b]矩阵按[b]＝[B][T]的形式分解，得

矩阵[D_T]可以写成另外一种形式，即[D_T]＝[A]^-1[b]＝[A]^-1[B][T]＝[D][T]。其中，[D]矩阵是一个3行，(n+1)列的矩阵，表示如下

式中，(a^-1)_r,c和b_r,c分别表示矩阵[A]^-1([A]的逆阵)和[B]当中位于第r行，第c列的元素。

因此，和/>便可写为

式中，d_r,c表示矩阵[D]当中位于第r行，第c列的元素。

②时域差分：

时域差分的形式为

将广义有限差分和时域差分[式(10)、(11)]应用于导热微分方程，得点P_i处广义时域有限差分形式的导热微分方程：

S6：根据当前时刻已知的场域内温度分布和变化趋势，计算下一时刻的温度分布。

如式(12)所示，在已知当前时刻温度的情况下，通过广义时域有限差分形式的导热微分方程，以及场域内各种边界条件，求出下一时刻热场场域内的温度分布/>

S7：将计算出的下一时刻温度分布作为当前时刻已知的温度分布，并重复步骤 S6～S7，直到迭代次数达到最大次数或者热场计算误差收敛。

在求得的前提下，将/>代替/>作为当前时刻的温度分布，通过广义时域有限差分形式的导热微分方程，求出下一时刻的温度分布/>同样道理，在求得/>后，可继续求解/>等等。如此反复求解，直到迭代次数达到最大次数或者热场计算误差收敛。

Claims (4)

1.一种基于广义时域有限差分的电缆接头热场计算方法，其特征在于，包括以下步骤：建立热场场域的模型，通过广义时域有限差分形式的导热微分方程计算热场场域内部各离散点的数值，从而确定场域内的温度随时间变化的规律；热场计算包括以下步骤：

S1：给定场域内热源及各种构成材料的形状和位置；

S2：给定初始时刻热场场域内的温度分布；

S3：确定热场场域的边界条件,边界条件包括狄利克雷边界条件和纽曼边界条件；

S4：根据热场场域内不同材料的几何特征，布置相应的离散点；

S5：采用广义时域有限差分法，对热场场域进行离散化；广义有限差分的“无网格”特性体现在空间尺度上的差分，而时域差分则负责对时间尺度进行离散化；

S6：根据当前时刻已知的场域内温度分布和变化趋势，计算下一时刻的温度分布；

S7：将计算出的下一时刻温度分布作为当前时刻已知的温度分布，并重复步骤S6～S7，直到迭代次数达到最大次数或者热场计算误差收敛。

2.根据权利要求1所述的一种基于广义时域有限差分的电缆接头热场计算方法，其特征在于：所述的步骤S6中，通过广义时域有限差分形式的导热微分方程，以及场域内边界条件，求出下一时刻热场场域内的温度分布，其场域内各点的电势符合导热微分方程：

式中，T为该点所在位置的热力学温度，t为时间，ρ、c和λ分别为该点所在材料的密度、比热容和导热系数，Φ是场域内的热源。

3.根据权利要求1所述的一种基于广义时域有限差分的电缆接头热场计算方法，其特征在于：所述狄利克雷边界条件和纽曼边界条件其具体形式如下：

狄利克雷边界条件表示为：

T(x，y，z，t)|_Γ＝f₁(x，y，z，t) (2)

热场场域内符合狄利克雷边界条件的边界有：

①热场场域在初始时刻的温度分布

②温度为常数的材料表面

③所研究的整个场域边界上的温度分布

纽曼边界条件表示为：

式中，n是x，y，z或t；

热场场域内符合纽曼条件的边界有：

①绝热边界条件

式中，n是x，y或z；

②物体边界热量与对流换热能量平衡关系

式中，n是x，y或z；h是材料与环境之间的对流换热系数；T_Γ是材料边界的温度；T_E是环境温度。

4.根据权利要求1所述的一种基于广义时域有限差分的电缆接头热场计算方法，其特征在于：所述步骤S4～S6的具体形式如下：

采用广义时域有限差分法，将原有的连续热场场域转换为由一系列离散点P₁～P_n构成的离散场域；利用广义时域差分形式的导热微分方程，计算出下一时刻各离散点所在位置的温度。