CN111158340A - 效率矩阵列向量成比例下过驱动系统控制可达集确定方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出一种效率矩阵列向量成比例下过驱动系统控制可达集确定方法，属于过驱动系统动力学控制分配技术领域。该方法首先将控制集所有边界面进行分组；然后判定控制效率矩阵所有列向量是否均成比例，并在不同情况下得到控制可达集。本发明解决了控制效率矩阵为3行多列，其中两个或多个列向量成比例情况下，并联构型过驱动系统控制可达集的确定问题。

Description

效率矩阵列向量成比例下过驱动系统控制可达集确定方法

技术领域

本发明属于过驱动系统动力学控制分配技术领域，特别涉及效率矩阵列向量成比例下过驱动系统控制可达集确定方法。

背景技术

过驱动系统的控制可达集(Control Attainable Subset)能够对系统的控制能力进行定量表征，其计算是控制分配的逆问题。控制分配负责将期望的系统控制向量分配至各冗余执行器分别予以执行，控制可达集的计算是在各执行器变化范围已知的情况下，确定所有执行器同时作用而能够达到的系统控制可达向量的边界，从而获知过驱动系统的控制能力，特别是部分执行器失效后的系统控制能力。基于控制可达集的控制分配方法已成为控制分配领域研究的热点问题。

各执行器之间不存在约束关系情况下并联构型过驱动系统控制可达集表达式如下：

Φ＝{v|v＝B·u,u∈Ω} (1)

式中，u为控制向量，u＝(u₁,...,u_m)^T，表示过驱动系统的控制输入，其中T为矩阵转置符号，第i个控制分量u_i为对应的第i个执行器的控制作用量，1≤i≤m，m为执行器的数目，u_{i min}≤u_i≤u_{i max},u_{i min}为第i个执行器控制作用量的最小值，u_{i max}为第i个执行器控制作用量的最大值；Ω为控制集，Ω＝{u}；v为过驱动系统的控制可达向量，v＝(v₁,…,v_n)^T，表示过驱动系统的控制输出，其中v_j为第j个控制可达分量，1≤j≤n，n为控制可达向量的维数，n＜m；Φ为控制可达集；B为n行m列的控制效率矩阵。

上述式(1)表述的物理意义是：已知过驱动系统m个控制输入构成的控制向量的集合Ω，如何通过控制效率矩阵B确定其n个控制输出构成的控制可达向量的集合Φ？以四轮独立驱动-独立转向车辆为例，其控制可达集物理意义如下：

1)已知4个车轮的4个纵向力分别为F_L1、F_L2、F_L3、F_L4，4个车轮的4个侧向力分别为F_T1、F_T2、F_T3、F_T4；

2)令包含8个控制分量的四轮独立驱动-独立转向车辆控制向量u_V＝(F_L1,F_T1,F_L2,F_T2,F_L3,F_T3,F_L4,F_T4)^T，F_{Li min}≤F_Li≤F_{Li max}，F_{Ti min}≤F_Ti≤F_{Ti max},(i＝1,···,4),F_{Li min}、F_{Ti min}为各车轮纵向力、侧向力的最小值，F_{Li max}、F_{Ti max}为各车轮纵向力、侧向力的最大值；

3)所有u_V构成四轮独立驱动-独立转向车辆的控制集Ω_V＝{u_V}；

4)Ω_V中的一组特定数据u_VS∈Ω_V，经车轮力控制效率矩阵B_V作用，生成特定的车辆整体纵向力F_LS、特定的车辆整体侧向力F_TS和特定的车辆整体横摆力矩M_S，记为v_VS＝(F_LS,F_TS,M_S)^T，则有v_VS＝B_V·u_VS；

5)所有的v_VS构成四轮独立驱动-独立转向车辆的控制可达集Φ_V，即Φ_V＝{v_VS|v_VS＝B_V·u_VS,u_VS∈Ω_V}。

文献“Attainable Moments for the Constrained Control AllocationProblem”以及专利“一种基于几何直观构建可达集的过驱系统控制分配方法”(申请号：201810131251.1)公开了各执行器的控制作用量之间相互独立，即u_i、u_j(1≤i≤m，1≤j≤m,i≠j)之间不存在约束关系情况下控制可达集确定问题，其控制可达集数学上表示为：

但是，以上方法都没有精确地解决控制效率矩阵B的列向量成比例情况下控制可达集的确定问题。在控制效率矩阵B的列向量成比例情况下，目前所公开方法确定的控制可达集均会产生误差。

为后文表述方便，将式(2)重写为式(3)：

式中，B_CR为效率矩阵，其两个或多个列向量成比例，Φ_CR为控制效率矩阵B_CR的两个或多个列向量成比例情况下过驱动系统的控制可达集，Ω为控制集，Ω＝{u}，用

表示Ω的边界，

表示Φ_CR的边界。这样，控制效率矩阵的列向量成比例情况下过驱动系统的控制可达集确定问题即为：给定Ω和B_CR，如何确定

发明内容

本发明的目的是为解决已有技术存在的问题，提出一种效率矩阵列向量成比例下过驱动系统控制可达集确定方法。本发明解决了控制效率矩阵B_CR为3行m列(m＞3)，两个或多个列向量成比例情况下，并联构型过驱动系统控制可达集的确定问题。

本发明提出一种效率矩阵列向量成比例下过驱动系统控制可达集确定方法，其特征在于，包括以下步骤:

1)将控制集Ω所有边界面分为

个分组；

Ω为过驱动系统的控制集，Ω的边界

由矩形构成，将构成

的矩形称为控制集的边界面；Ω＝{u}，u为过驱动系统的控制向量，u＝(u₁,...,u_m)^T，u_{i min}≤u_i≤u_{i max}，i＝1,...,m，第i个分量u_i为对应的第i个执行器的控制作用量，m为执行器的数目；u_{i min}为第i个执行器控制作用量的约束最小值，u_{i max}为第i个执行器控制作用量的约束最大值；u的两个分量取值在对应最小值和最大值之间，其余m-2个分量取值为对应的最小或最大值，则所述m个分量形成2^m-2个控制集的边界面；

记u中任意两个分量为第p个分量和第q个分量，第p个分量和第q个分量取值在对应最小值和最大值之间，1≤p≤m，1≤q≤m,p＜q，其余m-2个分量取值为对应最小或最大值，形成2^m-2个边界面分为一组，称为p-q分组；则控制集所有边界面共得到

个分组，每组有2^m-2个边界面，控制集的边界面共

个；

2)对Ω的控制效率矩阵B_CR进行判定：

若B_CR的所有列向量均成比例，则控制可达集为线段，进入步骤3)；若B_CR只有一列与其他列不成比例，其余m-1列均成比例，则控制可达集为一个有边界的平面，进入步骤5)；若B_CR至少三个列向量不成比例，则进入步骤7)；

3)在步骤1)的

个分组的每一个分组中，确定该分组映射到控制可达集Φ_CR的线段；具体步骤如下：

3-1)任意选取一个未完成确定映射到Φ_CR的线段的分组记为p-q分组；将p-q分组的一个边界面的四个顶点代入v＝B_CR·u，即得到该边界面四个顶点映射到Φ_CR的四个顶点，其中v为过驱动系统的控制可达向量，Φ_CR的四个顶点对应Φ_CR的三条线段的端点，所述三条线段即p-q分组的一个边界面映射到Φ_CR的线段；p-q分组共对应2^m-2个控制集的边界面，因此该分组共对应3·2^m-2条Φ_CR线段；进入步骤3-2)；

3-2)重新返回步骤3-1)，选取下一个未完成确定映射到Φ_CR的线段的分组，直至所有分组均已确定映射到Φ_CR的线段；进入步骤4)；

4)

个分组映射到Φ_CR的线段构成了控制可达集Φ_CR，方法结束；

5)在步骤1)的

个分组的每一个分组中，确定该分组映射到控制可达集Φ_CR的边界面；具体步骤如下：

5-1)任意选取一个未完成确定映射到Φ_CR的边界面的分组记为p-q分组；将p-q分组的一个边界面的四个顶点代入v＝B_CR·u，即得到该边界面四个顶点映射到Φ_CR的四个顶点，从而得到p-q分组该边界面映射到Φ_CR的边界面；p-q分组共对应2^m-2个控制集的边界面，因此该分组共对应2^m-2个Φ_CR边界面；进入步骤5-2)；

5-2)重新返回步骤5-1)，选取下一个未完成确定映射到Φ_CR的边界面的分组，直至所有分组均已确定映射到Φ_CR的边界面，进入步骤6)；

6)

个分组映射到Φ_CR的边界面构成了控制可达集Φ_CR，方法结束；

7)对步骤1)中

个分组中的每一个分组，确定关键边界面；

控制效率矩阵为3行m列，m＞3，其中两个或多个列向量成比例,且至少三个列向量不成比例情况下过驱动系统的控制可达集为三维空间，表达式如下：

其中，v＝(v₁,v₂,v₃)^T，v_j为第j个控制可达分量，1≤j≤3，m＞3；B_CR为3行m列的控制效率矩阵，其两个或多个列向量成比例且至少三个列向量不成比例；记B_CR＝(b₁,...,b_m)，b_i(i＝1,...,m)为B_CR的列向量，

是成比例列向量组，每个组内所有列向量相互成比例，不同组内列向量不成比例；t为成比例向量组的个数；l₁,...,l_t分别为第1,...,t个成比例向量组中向量的个数，

令

表示Φ_CR的边界；Ω的边界面中映射到Φ_CR的像部分在Φ_CR内部，部分在边界

称映射到Φ_CR的像在边界

的Ω中边界面为关键边界面；具体步骤如下：

7-1)记

对任意p-q分组，若p∈I,q∈I，进入步骤7-2)；否则，进入步骤7-3)；

7-2)若p、q属于同一个成比例向量组，p∈I_τ且q∈I_τ,τ∈{1,...,t}，则该p-q分组边界面在Φ_CR的像为线段，且在其他分组的关键边界面映射到Φ_CR的像上，因此，不计算该p-q分组的关键边界面，进入步骤7-5)；若p、q属于不同的成比例向量组，也即

则进入步骤7-3)；

7-3)构造旋转变换矩阵R，使得控制可达集Φ_CR的坐标系进行旋转变换后，第1个坐标轴v₁垂直于该p-q分组边界面在Φ_CR的像；具体构造方法如下：

令C＝R·B_CR，B_CR为3行m列控制效率矩阵，其两个或多个列向量成比例,且至少三个列向量不成比例，C为两个矩阵相乘得到的矩阵；

记

将R、B_CR代入C＝R·B_CR，得到c_1p＝0，c_1q＝0，即：

计算得到r₁₁、r₁₂、r₁₃；进入步骤7-4)；

7-4)利用C＝R·B_CR计算C矩阵的第一行(c₁₁,...,c_1m)；

当c_1i＞0时,令u_i＝u_{i max}；当c_1i＜0时,令u_i＝u_{i min}；当c_1i＝0且1≤i≤m,i≠p,i≠q时,令u_i＝u_{i max}或u_{i min}；并令u_p、u_q取值为u_{p max}、u_{p min}与u_{q max}、u_{q min}的组合，共四种组合；得到四个顶点，确定一个矩形；记满足c_1i＝0,1≤i≤m,i≠p,i≠q的c_1i的个数为r，c_1i对应的u_i取值为u_{i max}或u_{i min}，这样组合共得到2^r个矩形，该2^r个矩形均为该p-q分组的关键边界面；

同时，当c_1i＞0时，令u_i＝u_{i min}；当c_1i＜0时,令u_i＝u_{i max}；当c_1i＝0且1≤i≤m,i≠p,i≠q时,令u_i＝u_{i max}或u_{i min}；并令u_p、u_q取值为u_{p max}、u_{p min}与u_{q max}、u_{q min}的组合，共四种组合；得到四个顶点，确定一个矩形；满足c_1i＝0且1≤i≤m,i≠p,i≠q的c_1i对应的u_i取值为u_{i max}或u_{i min}，得到2^r个矩形，该2^r个矩形均为该p-q分组的关键边界面；进入步骤7-5)；

7-5)重新返回步骤7-1)，选取下一个未完成确定关键边界面的分组，直至所有分组均已确定关键边界面，进入步骤8)；

8)确定控制可达集边界

每一个关键边界面的所有顶点经过映射v＝B_CR·u，得到对应控制可达集边界面的所有顶点，从而确定一个控制可达集边界面；所有分组的关键边界面确定的控制可达集边界面，构成控制可达集边界

本发明的特点及有益效果：

1、本发明给出控制效率矩阵B_CR为3行m列(m＞3)，两个或多个列向量成比例情况下并联构型过驱动系统的控制可达集的精确计算方法，弥补了文献“Attainable Momentsfor the Constrained Control Allocation Problem”及专利“一种基于几何直观构建可达集的过驱系统控制分配方法”(申请号：201810131251.1)所提供方法存在误差的缺陷。

2、该方法能够用于先进卫星、飞机、船舶、汽车、并联机器人等具有过驱动特性和控制效率矩阵B_CR为3行m列(m＞3)，两个或多个列向量成比例情况下并联构型系统控制能力的评估，可为系统控制分配提供基础，并用于部分执行器失效后的系统容错控制。

具体实施方式

本发明提出一种效率矩阵列向量成比例下过驱动系统控制可达集确定方法，下面结合具体实施例对本发明进一步详细说明如下。

本发明提出一种效率矩阵列向量成比例下过驱动系统控制可达集确定方法，该方法为控制效率矩阵B_CR为3行m列(m＞3)，两个或多个列向量成比例情况下，并联构型过驱动系统控制可达集的确定方法，包括以下步骤:

1)将控制集Ω所有边界面分为

个分组。

Ω为过驱动系统的控制集，在几何上为一凸多面体，Ω的边界

由矩形构成，将构成

的矩形称为控制集的边界面。Ω＝{u}，u为过驱动系统的控制向量，u＝(u₁,...,u_m)^T，u_{i min}≤u_i≤u_{i max}，i＝1,...,m，第i个分量u_i为对应的第i个执行器的控制作用量，m为执行器的数目。u_{i min}为第i个执行器控制作用量的约束最小值，u_{i max}为第i个执行器控制作用量的约束最大值。u的两个分量取值在对应最小值和最大值之间，其余m-2个分量取值为对应的最小或最大值，则所述m个分量形成2^m-2个控制集的边界面。

设第p个和第q个分量为取值在对应最小值和最大值之间的两个分量，1≤p≤m，1≤q≤m,p＜q，其余m-2个分量取值为对应最小或最大值，把这样形成的2^m-2个边界面分为一组，称为p-q分组。p和q可以是m个分量中的任意两个，控制集所有边界面按照此方法可分为

个分组，每组有2^m-2个边界面，控制集的边界面共

个。进入步骤2)。

2)对B_CR进行判定：若B_CR的所有列向量均成比例，则控制可达集为线段，进入步骤3)；若B_CR只有一列与其他列不成比例，其余m-1列均成比例，则控制可达集为一个有边界的平面，进入步骤5)；若B_CR至少三个列向量不成比例，则进入步骤7)。

3)在步骤1)的

个分组的每一个分组中，确定该分组映射到控制可达集Φ_CR的线段。具体步骤如下：

3-1)任意选取一个未完成确定映射到Φ_CR的线段的分组记为p-q分组。将p-q分组的一个边界面的四个顶点代入v＝B_CR·u，即得到该边界面四个顶点映射到Φ_CR的四个顶点，其中u为控制集任一顶点对应的向量，v为控制集顶点向量映射到控制可达集对应的顶点向量，Φ_CR的四个顶点对应Φ_CR的三条线段的端点，所述三条线段即p-q分组的一个边界面映射到Φ_CR的线段。p-q分组共对应2^m-2个控制集的边界面，因此该分组共对应3·2^m-2条Φ_CR线段。进入步骤3-2)。

3-2)重新返回步骤3-1)，选取下一个未完成确定映射到Φ_CR的线段的分组，直至所有分组均已确定映射到Φ_CR的线段。进入步骤4)。

4)

个分组映射到Φ_CR的线段构成了控制可达集Φ_CR，方法结束。

5)在步骤1)的

个分组的每一个分组中，确定该分组映射到控制可达集Φ_CR的边界面。具体步骤如下：

5-1)任意选取一个未完成确定映射到Φ_CR的边界面的分组记为p-q分组。将p-q分组的一个边界面的四个顶点代入v＝B_CR·u，即得到该边界面四个顶点映射到Φ_CR的四个顶点，映射后的四个顶点对应Φ_CR的一个边界面的四个顶点，因此得到p-q分组的该边界面映射到Φ_CR的边界面。p-q分组共对应2^m-2个控制集的边界面，因此该分组共对应2^m-2个Φ_CR边界面。进入步骤5-2)。

5-2)重新返回步骤5-1)，选取下一个未完成确定映射到Φ_CR的边界面的分组，直至所有分组均已确定映射到Φ_CR的边界面。进入步骤6)。

6)

个分组映射到Φ_CR的边界面构成了控制可达集Φ_CR，方法结束。

7)对步骤1)中

个分组中的每一个分组，确定关键边界面。

控制效率矩阵为3行m列(m＞3)，其两个或多个列向量成比例,且至少三个列向量不成比例情况下过驱动系统的控制可达集为三维空间，表达式如下：

其中，v＝(v₁,v₂,v₃)^T，v_j为第j个控制可达分量，1≤j≤3，m＞3；B_CR(为3行m列的控制效率矩阵，其两个或多个列向量成比例且至少三个列向量不成比例；记B_CR＝(b₁,...,b_m)，b_i(i＝1,...,m)为B_CR的列向量，

是成比例列向量组，每个组内所有列向量相互成比例，不同组内列向量不成比例；t为成比例向量组的个数；l₁,...,l_t分别为第1,...,t个成比例向量组中向量的个数，

令

表示Φ_CR的边界；Ω的边界面中映射到Φ_CR的像部分在Φ_CR内部，部分在边界

称映射到Φ_CR的像在边界

的Ω中边界面为关键边界面。

具体步骤如下：

7-1)记

对任意p-q分组，若p∈I,q∈I，进入步骤7-2)；否则，进入步骤7-3)。

7-2)若p、q属于同一个成比例向量组，也即p∈I_τ且q∈I_τ,τ∈{1,...,t}，则该p-q分组边界面在³Φ_CR的像为线段，且在其他分组的关键边界面映射到³Φ_CR的像上，因此，不必计算该p-q分组的关键边界面，进入步骤7-5)。若p、q属于不同的成比例向量组，也即

则进入步骤7-3)。

7-3)构造旋转变换矩阵R，使得控制可达集Φ_CR的坐标系进行旋转变换后，第1个坐标轴v₁垂直于该p-q分组边界面在Φ_CR的像。由于只考虑第1个坐标轴，则只要构造旋转变换矩阵R的第1行。具体构造方法如下：

令C＝R·B_CR，B_CR为3行m列控制效率矩阵，其两个或多个列向量成比例,且至少三个列向量不成比例，C为两个矩阵相乘得到的矩阵；

记

将R、B_CR代入C＝R·B_CR，必有c_1p＝0，c_1q＝0，即：

计算可得r₁₁、r₁₂、r₁₃；进入步骤7-4)。

7-4)利用C＝R·B_CR计算C矩阵的第一行(c₁₁,...,c_1m)。

当c_1i＞0时,令u_i＝u_{i max}；当c_1i＜0时,令u_i＝u_{i min}；当c_1i＝0且1≤i≤m,i≠p,i≠q时,令u_i＝u_{i max}或u_{i min}；并令u_p、u_q取值为u_{p max}、u_{p min}与u_{q max}、u_{q min}的组合，共四种，见表1；这样可得四个顶点，确定一个矩形。记满足c_1i＝0,1≤i≤m,i≠p,i≠q的c_1i的个数为r，c_1i对应的u_i取值有u_{i max}或u_{i min}两种情况，这样组合共得到2^r个矩形，该2^r个矩形均为该p-q分组的关键边界面。

表1本发明实施例中u_p、u_q取值列表

	u<sub>p</sub>	u<sub>q</sub>
			1	u<sub>p min</sub>	u<sub>q min</sub>
2	u<sub>p min</sub>	u<sub>q max</sub>
			3	u<sub>p max</sub>	u<sub>q max</sub>
4	u<sub>p max</sub>	u<sub>q min</sub>

同时，当c_1i＞0时，令u_i＝u_{i min}；当c_1i＜0时,令u_i＝u_{i max}；当c_1i＝0且1≤i≤m,i≠p,i≠q时,令u_i＝u_{i max}或u_{i min}；并令u_p、u_q取值为u_{p max}、u_{p min}与u_{q max}、u_{q min}的组合，共四种，见表1；这样可得四个顶点，确定一个矩形。满足c_1i＝0且1≤i≤m,i≠p,i≠q的c_1i对应的u_i取值有u_{i max}或u_{i min}两种情况，这样组合也得到2^r个矩形，该2^r个矩形均为该p-q分组的关键边界面。进入步骤7-5)。

7-5)重新返回步骤7-1)，选取下一个未完成确定关键边界面的分组，直至所有分组均已确定关键边界面，进入步骤8)。

8)确定控制可达集边界

每一个关键边界面的所有顶点经过映射v＝B_CR·u，得到对应控制可达集边界面的所有顶点，从而确定一个控制可达集边界面。所有分组的关键边界面确定的控制可达集边界面，构成控制可达集边界

Claims (1)

1.一种效率矩阵列向量成比例下过驱动系统控制可达集确定方法，其特征在于，包括以下步骤:

1)将控制集Ω所有边界面分为

个分组；

Ω为过驱动系统的控制集，Ω的边界

由矩形构成，将构成

的矩形称为控制集的边界面；Ω＝{u}，u为过驱动系统的控制向量，u＝(u₁,...,u_m)^T，u_{i min}≤u_i≤u_{i max}，i＝1,...,m，第i个分量u_i为对应的第i个执行器的控制作用量，m为执行器的数目；u_{i min}为第i个执行器控制作用量的约束最小值，u_{i max}为第i个执行器控制作用量的约束最大值；u的两个分量取值在对应最小值和最大值之间，其余m-2个分量取值为对应的最小或最大值，则所述m个分量形成2^m-2个控制集的边界面；

记u中任意两个分量为第p个分量和第q个分量，第p个分量和第q个分量取值在对应最小值和最大值之间，1≤p≤m，1≤q≤m,p＜q，其余m-2个分量取值为对应最小或最大值，形成2^m-2个边界面分为一组，称为p-q分组；则控制集所有边界面共得到

个分组，每组有2^m-2个边界面，控制集的边界面共

个；

2)对Ω的控制效率矩阵B_CR进行判定：

若B_CR的所有列向量均成比例，则控制可达集为线段，进入步骤3)；若B_CR只有一列与其他列不成比例，其余m-1列均成比例，则控制可达集为一个有边界的平面，进入步骤5)；若B_CR至少三个列向量不成比例，则进入步骤7)；

3)在步骤1)的

个分组的每一个分组中，确定该分组映射到控制可达集Φ_CR的线段；具体步骤如下：

3-1)任意选取一个未完成确定映射到Φ_CR的线段的分组记为p-q分组；将p-q分组的一个边界面的四个顶点代入v＝B_CR·u，即得到该边界面四个顶点映射到Φ_CR的四个顶点，其中v为过驱动系统的控制可达向量，Φ_CR的四个顶点对应Φ_CR的三条线段的端点，所述三条线段即p-q分组的一个边界面映射到Φ_CR的线段；p-q分组共对应2^m-2个控制集的边界面，因此该分组共对应3·2^m-2条Φ_CR线段；进入步骤3-2)；

3-2)重新返回步骤3-1)，选取下一个未完成确定映射到Φ_CR的线段的分组，直至所有分组均已确定映射到Φ_CR的线段；进入步骤4)；

4)

个分组映射到Φ_CR的线段构成了控制可达集Φ_CR，方法结束；

5)在步骤1)的

个分组的每一个分组中，确定该分组映射到控制可达集Φ_CR的边界面；具体步骤如下：

5-1)任意选取一个未完成确定映射到Φ_CR的边界面的分组记为p-q分组；将p-q分组的一个边界面的四个顶点代入v＝B_CR·u，即得到该边界面四个顶点映射到Φ_CR的四个顶点，从而得到p-q分组该边界面映射到Φ_CR的边界面；p-q分组共对应2^m-2个控制集的边界面，因此该分组共对应2^m-2个Φ_CR边界面；进入步骤5-2)；

5-2)重新返回步骤5-1)，选取下一个未完成确定映射到Φ_CR的边界面的分组，直至所有分组均已确定映射到Φ_CR的边界面，进入步骤6)；

6)

个分组映射到Φ_CR的边界面构成了控制可达集Φ_CR，方法结束；

7)对步骤1)中

个分组中的每一个分组，确定关键边界面；

控制效率矩阵为3行m列，m＞3，其中两个或多个列向量成比例,且至少三个列向量不成比例情况下过驱动系统的控制可达集为三维空间，表达式如下：

其中，v＝(v₁,v₂,v₃)^T，v_j为第j个控制可达分量，1≤j≤3，m＞3；B_CR为3行m列的控制效率矩阵，其两个或多个列向量成比例且至少三个列向量不成比例；记B_CR＝(b₁,...,b_m)，b_i(i＝1,...,m)为B_CR的列向量，

是成比例列向量组，每个组内所有列向量相互成比例，不同组内列向量不成比例；t为成比例向量组的个数；l₁,...,l_t分别为第1,...,t个成比例向量组中向量的个数，

令

表示Φ_CR的边界；Ω的边界面中映射到Φ_CR的像部分在Φ_CR内部，部分在边界

称映射到Φ_CR的像在边界

的Ω中边界面为关键边界面；具体步骤如下：

7-1)记

对任意p-q分组，若p∈I,q∈I，进入步骤7-2)；否则，进入步骤7-3)；

7-2)若p、q属于同一个成比例向量组，p∈I_τ且q∈I_τ,τ∈{1,...,t}，则该p-q分组边界面在Φ_CR的像为线段，且在其他分组的关键边界面映射到Φ_CR的像上，因此，不计算该p-q分组的关键边界面，进入步骤7-5)；若p、q属于不同的成比例向量组，也即

则进入步骤7-3)；

7-3)构造旋转变换矩阵R，使得控制可达集Φ_CR的坐标系进行旋转变换后，第1个坐标轴v₁垂直于该p-q分组边界面在Φ_CR的像；具体构造方法如下：

令C＝R·B_CR，B_CR为3行m列控制效率矩阵，其两个或多个列向量成比例,且至少三个列向量不成比例，C为两个矩阵相乘得到的矩阵；

记

将R、B_CR代入C＝R·B_CR，得到c_1p＝0，c_1q＝0，即：

计算得到r₁₁、r₁₂、r₁₃；进入步骤7-4)；

7-4)利用C＝R·B_CR计算C矩阵的第一行(c₁₁,...,c_1m)；

当c_1i＞0时,令u_i＝u_{i max}；当c_1i＜0时,令u_i＝u_{i min}；当c_1i＝0且1≤i≤m,i≠p,i≠q时,令u_i＝u_{i max}或u_{i min}；并令u_p、u_q取值为u_{p max}、u_{p min}与u_{q max}、u_{q min}的组合，共四种组合；得到四个顶点，确定一个矩形；记满足c_1i＝0,1≤i≤m,i≠p,i≠q的c_1i的个数为r，c_1i对应的u_i取值为u_{i max}或u_{i min}，这样组合共得到2^r个矩形，该2^r个矩形均为该p-q分组的关键边界面；

同时，当c_1i＞0时，令u_i＝u_{i min}；当c_1i＜0时,令u_i＝u_{i max}；当c_1i＝0且1≤i≤m,i≠p,i≠q时,令u_i＝u_{i max}或u_{i min}；并令u_p、u_q取值为u_{p max}、u_{p min}与u_{q max}、u_{q min}的组合，共四种组合；得到四个顶点，确定一个矩形；满足c_1i＝0且1≤i≤m,i≠p,i≠q的c_1i对应的u_i取值为u_{i max}或u_{i min}，得到2^r个矩形，该2^r个矩形均为该p-q分组的关键边界面；进入步骤7-5)；

7-5)重新返回步骤7-1)，选取下一个未完成确定关键边界面的分组，直至所有分组均已确定关键边界面，进入步骤8)；

8)确定控制可达集边界

每一个关键边界面的所有顶点经过映射v＝B_CR·u，得到对应控制可达集边界面的所有顶点，从而确定一个控制可达集边界面；所有分组的关键边界面确定的控制可达集边界面，构成控制可达集边界