CN111045420B - 一对线性约束控制分量下过驱动系统控制可达集确定方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出一对线性约束控制分量下过驱动系统控制可达集确定方法，属于过驱动系统动力学控制分配技术领域。该方法首先将控制集所有边界面进行分组；然后对每一分组找出准关键边界面和关键边界面，并进一步判断准关键边界面是否是关键边界面，最终确定所有关键边界面；将每个关键边界面的所有顶点经过映射得到对应控制可达集边界面的所有顶点，从而确定一个控制可达集边界面；所有关键边界面确定对应的控制可达集边界面，构成控制可达集边界。本发明解决了控制可达集为三维空间，且控制效率矩阵的任意三列线性无关，仅存在一对线性约束控制分量、其余控制分量均为独立分量的并联构型过驱动系统控制可达集的确定问题。

Description

一对线性约束控制分量下过驱动系统控制可达集确定方法

技术领域

本发明属于过驱动系统动力学控制分配技术领域，特别涉及一对线性约束控制分量下过驱动系统控制可达集确定方法。

背景技术

过驱动系统的控制可达集(Control Attainable Subset)能够对系统的控制能力进行定量表征，其计算是控制分配的逆问题。控制分配负责将期望的系统控制向量分配至各冗余执行器分别予以执行，控制可达集的计算是在各执行器变化范围已知的情况下，确定所有执行器同时作用而能够达到的系统控制可达向量的边界，从而获知过驱动系统的控制能力，特别是部分执行器失效后的系统控制能力。基于控制可达集的控制分配方法已成为控制分配领域研究的热点问题。

并联构型过驱动系统控制可达集在数学上可表达为：

Φ＝{v|v＝B·u,u∈Ω} (1)

式中，u为控制向量，u＝(u₁,...,u_m)^T，表示过驱动系统的控制输入，其中T为矩阵转置符号，第i个控制分量u_i为对应的第i个执行器的控制作用量，1≤i≤m，m为执行器的数目；u_imin≤u_i≤u_imax,其中，u_imin为第i个执行器控制作用量的约束最小值，u_imax为第i个执行器控制作用量的约束最大值；u_i之间往往存在线性或非线性约束；Ω为控制集，Ω＝{u}；v为过驱动系统的控制可达向量，v＝(v₁,…,v_n)^T，表示过驱动系统的控制输出，其中v_j为第j个控制可达分量，1≤j≤n，n为控制可达向量的维数，n＜m；Φ为控制可达集；B为n行m列的控制效率矩阵。

上述式(1)表述的物理意义是：已知过驱动系统m个控制输入构成的控制向量的集合Ω，如何通过控制效率矩阵B确定其n个控制输出构成的控制可达向量的集合Φ？以四轮独立驱动-独立转向车辆为例，其控制可达集物理意义如下：

1)已知4个车轮的4个纵向力分别为F_L1、F_L2、F_L3、F_L4，4个车轮的4个侧向力分别为F_T1、F_T2、F_T3、F_T4；

2)令包含8个控制分量的四轮独立驱动-独立转向车辆控制向量

u_V＝(F_L1,F_T1,F_L2,F_T2,F_L3,F_T3,F_L4,F_T4)^T，F_{Li min}≤F_Li≤F_{Li max}，F_{Ti min}≤F_Ti≤F_{Ti max},(i＝1,···,4),F_{Li min}、F_{Ti min}分别为各车轮纵向力、侧向力的最小值，F_{Li max}、F_{Ti max}分别为各车轮纵向力、侧向力的最大值；u_V的分量之间往往存在非线性约束关系或经线性化后的线性约束关系；

3)所有u_V构成四轮独立驱动-独立转向车辆的控制集Ω_V＝{u_V}；

4)Ω_V中的一组特定数据u_VS∈Ω_V，经车轮力控制效率矩阵B_V作用，生成特定的车辆整体纵向力F_LS、特定的车辆整体侧向力F_TS和特定的车辆整体横摆力矩M_S，记为v_VS＝(F_LS,F_TS,M_S)^T，则有v_VS＝B_V·u_VS；

5)所有的v_VS构成四轮独立驱动-独立转向车辆的控制可达集Φ_V，即

Φ_V＝{v_VS|v_VS＝B_V·u_VS,u_VS∈Ω_V}。

文献“Attainable Moments for the Constrained Control AllocationProblem”以及专利“一种基于几何直观构建可达集的过驱系统控制分配方法”(申请号：201810131251.1)公开了各执行器的控制作用量之间相互独立，即u_i、u_j(1≤i≤m，1≤j≤m,i≠j)之间不存在约束关系情况下控制可达集确定问题，其控制可达集数学上表示为：

但是，对于很多过驱动系统，执行器之间往往存在约束关系，现有方法无法确定其控制可达集，本发明解决了其中仅有一对执行器存在线性约束关系的过驱动系统控制可达集的确定问题，其控制达集可由式(3)表示:

其中，u为仅存在一对线性约束控制分量、其余分量均为独立控制分量的过驱动系统的控制向量，重新记其为控制向量u_SLR，u_SLR＝(u₁,...,u_m)^T，u_imin≤u_i≤u_imax,i＝1,…,m，(u_kmax-u_kmin)u_k+1+(u_k+1max-u_k+1min)u_k≤u_k+1maxu_kmax-u_k+1minu_kmin，

表示唯一存在。

为后文表述方便，将式(3)重写为式(4)：

式中，u_k、u_k+1为一对线性约束控制分量，Φ_SLR为仅存在一对线性约束控制分量的过驱动系统的控制可达集，控制集Ω_SLR＝{u_SLR}，用

表示Ω_SLR的边界，

表示Φ_SLR的边界。这样，一对线性约束控制分量下过驱动系统的控制可达集确定问题即为：给定Ω_SLR和B，如何确定

？

发明内容

本发明的目的是为解决已有技术存在的不足之处，提出一对线性约束控制分量下过驱动系统控制可达集确定方法。本发明解决了控制可达集为三维空间，且控制效率矩阵B的任意三列线性无关，仅存在一对线性约束控制分量、其余控制分量均为独立分量的并联构型过驱动系统控制可达集的确定问题。

本发明提出一对线性约束控制分量下过驱动系统控制可达集确定方法，其特征在于，包括以下步骤:

1)将控制集Ω_SLR所有边界面分为

个分组；

Ω_SLR为一对线性约束控制分量下过驱动系统的控制集，Ω_SLR的边界

由矩形或三角形构成，将构成

的所有矩形和三角形称为控制集的边界面；Ω_SLR＝{u_SLR}，u_SLR为仅存在一对线性约束控制分量、其余分量均为独立控制分量的过驱动系统的控制向量，u_SLR＝(u₁,...,u_m)^T，u_imin≤u_i≤u_imax，i＝1,...,m；

(u_kmax-u_kmin)u_k+1+(u_k+1max-u_k+1min)u_k≤u_k+1maxu_kmax-u_k+1minu_kmin，

表示唯一存在；第i个分量u_i为对应的第i个执行器的控制作用量，m为执行器的数目；u_imin为第i个执行器控制作用量的约束最小值，u_imax为第i个执行器控制作用量的约束最大值；若u_SLR的两个分量取值在对应最小值和最大值之间，其余m-2个分量取值为对应的最小或最大值，则所述m个分量形成2^m-2个控制集的边界面；

记u_SLR中任意两个分量为第p个分量和第q个分量，第p个分量和第q个分量取值在对应最小值和最大值之间，1≤p≤m，1≤q≤m,p＜q，其余m-2个分量取值为对应最小或最大值，形成2^m-2个边界面分为一组，称为p-q分组；则控制集所有边界面共得到

个分组，每组有2^m-2个边界面，控制集的边界面共

个；

2)对步骤1)的

个分组中的每一个分组，确定准关键边界面和关键边界面；

一对线性约束控制分量下过驱动系统的控制可达集Φ_SLR为三维空间，表达式如下：

其中，v为过驱动系统的控制可达向量，v＝(v₁,v₂,v₃)^T，其中v_j为第j个控制可达分量，1≤j≤3，m＞3；B为3行m列的控制效率矩阵；

令

表示Φ_SLR的边界；记映射到Φ_SLR的像可能在边界

的Ω_SLR中边界面为准关键边界面，记映射到Φ_SLR的像一定在边界

的Ω_SLR中边界面为关键边界面；记Γ₁为准关键边界面集合，Γ₂为关键边界面集合，Γ₃为准关键边界面和关键边界面集合；三个集合初始化为空集；

2-1)任意选取一个未完成确定准关键边界面和关键边界面的分组记为p-q分组；对p-q分组，构造旋转变换矩阵R，使得控制可达集Φ_SLR的坐标系进行旋转变换后，第1个坐标轴v₁垂直于该p-q分组边界面在Φ_SLR的像；具体构造方法如下：

令C＝R·B，B为3行m列的控制效率矩阵，B中任意三列线性无关，C为两个矩阵相乘得到的矩阵；

记

将R、B代入C＝R·B，则c_1p＝0，c_1q＝0，即：

计算得到r₁₁、r₁₂、r₁₃；

2-2)利用C＝R·B计算C矩阵的第一行(c₁₁,...,c_1m)；

由于矩阵B的任意三列线性无关，其中有且只有c_1p＝0,c_1q＝0,其余c_1i≠0,1≤i≤m,i≠p,i≠q；

当c_1i＞0时,令u_i＝u_imax；当c_1i＜0时,令u_i＝u_imin；令u_p＝u_pmax或u_pmin,u_q＝u_qmax或u_qmin，得到四个顶点，确定一个矩形，记为γ₁；

同时，当c_1i＞0时，令u_i＝u_imin；当c_1i＜0时,令u_i＝u_imax；令u_p＝u_pmax或u_pmin,u_q＝u_qmax或u_qmin，得到四个顶点，确定一个矩形，记为γ₂；

2-3)确定p-q分组的准关键边界面和关键边界面；具体步骤如下：

2-3-1)对p和q进行判定：

记k为一对线性约束控制分量对应的正奇数；若第p个和第q个控制分量都不是线性约束控制分量，即当{p≠k}且{p≠k+1}且{q≠k}且{q≠k+1}时，则进入步骤2-3-2)；若第p个和第q个控制分量中有且仅有一个是线性约束控制分量，当{p＝k,q≠k+1}或{p＝k+1}或{q＝k}或{p≠k且q＝k+1}时，则进入步骤2-3-3)；若第p个和第q个控制分量是一对线性约束控制分量，即当{p＝k,q＝k+1}时，则进入步骤2-3-4)；

2-3-2)对步骤2-2)得到的γ₁、γ₂依次处理如下：

2-3-2-1)若γ₁的四个顶点的第k个分量、第k+1个分量均为对应约束最大值，即分别为u_kmax、u_k+1max，则按下式计算d₀₁、d₀₂：d₀₁＝|c_1k·(u_kmax-u_kmin)|，d₀₂＝|c_{1 k+1}·(u_k+1max-u_k+1min)|；d₀₁为c_{1 k}与u_kmax-u_kmin之积的绝对值，d₀₂为c_{1 k+1}与u_k+1max-u_k+1min之积的绝对值；

若d₀₁≤d₀₂，则将γ₁的四个顶点的第k个分量改为u_kmin，其余各分量不变，γ₁修改后的四个顶点确定一个矩形，为一个准关键边界面，记为γ₁₁，将γ₁₁加入集合Γ₁，进入步骤2-3-2-2)；

若d₀₁＞d₀₂，则将γ₁的四个顶点的第k+1个分量改为u_k+1min，其余各分量不变，γ₁修改后的四个顶点确定一个矩形，为一个准关键边界面，记为γ₁₁，将γ₁₁加入集合Γ₁，进入步骤2-3-2-2)；

若γ₁的四个顶点的第k个分量、第k+1个分量不满足均为对应约束最大值，则γ₁为一个关键边界面，将γ₁加入集合Γ₂，进入步骤2-3-2-2)；

2-3-2-2)若γ₂的四个顶点的第k个分量、第k+1个分量均为对应约束最大值，即分别为u_kmax、u_k+1max，则按下式计算d₀₁、d₀₂：d₀₁＝|c_1k·(u_kmax-u_kmin)|，d₀₂＝|c_{1 k+1}·(u_k+1max-u_k+1min)|；

若d₀₁≤d₀₂，则将γ₂的四个顶点的第k个分量修改为u_kmin，其余各分量不变，γ₂修改后的四个顶点确定一个矩形，为一个准关键边界面，记为γ₂₁，将γ₂₁加入集合Γ₁，进入步骤2-3-5)；

若d₀₁＞d₀₂，则将γ₂的四个顶点的第k+1个分量改为u_k+1min，其余各分量不变，γ₂修改后的四个顶点确定一个矩形，为一个准关键边界面，记为γ₂₁，将γ₂₁加入集合Γ₁，进入步骤2-3-5)；

若γ₂的四个顶点的第k个分量、第k+1个分量不满足均为对应约束最大值，则γ₂为一个关键边界面，将γ₂加入集合Γ₂，进入步骤2-3-5)；

2-3-3)对步骤2-2)得到的γ₁、γ₂依次处理如下：

2-3-3-1)判定：若{p＝k,q≠k+1}或{q＝k}，则进入步骤2-3-3-2)；若{p＝k+1}或{p≠k,q＝k+1}，则进入步骤2-3-3-6)；

2-3-3-2)步骤2-2)得到两个矩形γ₁、γ₂中，存在一个矩形的四个顶点中第k+1个分量均为u_k+1min，将该矩形重新记为γ₀，γ₀即为一个关键边界面，将γ₀加入集合Γ₂；γ₁、γ₂中存在一个矩形的四个顶点中第k+1个分量均为u_k+1max，将该矩形重新记为π₀，π₀的四个顶点中存在两个顶点的第k个分量为u_kmax，将这两个顶点的第k+1个分量改为u_k+1min，将π₀修改后的两个顶点与π₀中未修改的两个顶点确定的矩形记为π₁，然后进入步骤2-3-3-3)；

2-3-3-3)构造旋转变换矩阵G，使得控制可达集Φ_SLR的坐标系进行旋转变换后，第1个坐标轴v₁垂直于π₁在Φ_SLR的像；具体方法如下：

令H＝G·B；记

H为矩阵G与矩阵B相乘得到的矩阵；

将G、B代入H＝G·B，当p＝k时，r＝q；当q＝k时，r＝p：

求解得到g₁₁、g₁₂、g₁₃；

2-3-3-4)利用H＝G·B计算H矩阵的第一行(h₁₁,...,h_1m)；

当h_1i＞0时，1≤i≤m,i≠k,k+1,r,调整π₁四个顶点的第i个分量为u_imax；当h_1i＜0时,调整π₁四个顶点的第i个分量为u_imin；调整完毕后，得到四个新顶点确定一个矩形，记为π₁₁；

同时，当h_1i＞0时,调整π₁四个顶点的第i个分量为u_imin；当h_1i＜0时,调整π₁四个顶点的第i个分量为u_imax；调整完毕后，得到四个新顶点，确定一个矩形，记为π₁₂；

2-3-3-5)π₁₁的四个顶点经映射v＝B·u_SLR得到的四个点确定一个平面方程，记为f₁(v₁,v₂,v₃,d)＝0，对应的多项式记为δ＝f₁(v₁,v₂,v₃,d)；将γ₀的四个顶点经映射v＝B·u_SLR得到的四个点代入δ＝f₁(v₁,v₂,v₃,d)，所得结果记为δ₁、δ₂、δ₃、δ₄；

若δ₁、δ₂、δ₃、δ₄中正、负数都有，则π₁₂为准关键边界面，将π₁₂加入集合Γ₁，然后进入步骤2-3-5)；若δ₁、δ₂、δ₃、δ₄均为非负数或均为非正数，则将π₁₂的四个顶点经映射v＝B·u_SLR得到的四个顶点代入δ＝f₁(v₁,v₂,v₃,d)，所得结果记为δ₅、δ₆、δ₇、δ₈；若δ₁、δ₅、δ₆、δ₇、δ₈中正、负数都有，则π₁₂为准关键边界面，将π₁₂加入集合Γ₁，然后进入步骤2-3-5)；若δ₁、δ₅、δ₆、δ₇、δ₈均为非负数或均为非正数，则π₁₁为准关键边界面，将π₁₁加入集合Γ₁，然后进入步骤2-3-5)；

2-3-3-6)步骤2-2)得到两个矩形γ₁、γ₂中，存在一个矩形的四个顶点中第k+1个分量均为u_k+1min，该矩形即为一个关键边界面，将该矩形加入集合Γ₂，进入步骤2-3-5)；

2-3-4)对步骤2-2)得到的γ₁、γ₂依次处理如下：

将γ₁的四个顶点中第k个分量为u_kmax且第k+1个分量为u_k+1max的顶点去掉，剩余三个顶点形成的三角形即为一个关键边界面,记为γ₁₁，将γ₁₁加入集合Γ₂；将γ₂的四个顶点中第k个分量为u_kmax且第k+1个分量为u_k+1max的顶点去掉，剩余三个顶点形成的三角形即为一个关键边界面，记为γ₂₁，将γ₂₁加入集合Γ₂,进入步骤2-3-5)；

2-3-5)重新返回步骤2-1)，选取下一个未完成确定准关键边界面和关键边界面的分组，直至所有分组均已确定准关键边界面和关键边界面，将集合Γ₁中的所有边界面与集合Γ₂中的所有边界面加入集合Γ₃，然后进入步骤3)；

3)确定控制可达集边界

具体步骤如下：

3-1)对Γ₁进行判定：若Γ₁为空集，则进入步骤3-3)；否则，进入步骤3-2)；

3-2)在Γ₁中任意取一个准关键边界面，记为γ₃，对γ₃处理如下：

将γ₃的四个顶点经映射v＝B·u_SLR得到的四个点确定一个平面方程，记为f₂(v₁,v₂,v₃,d)＝0，对应的多项式记为

在Γ₂中任意选取一个三角形关键边界面，记为γ₄，将γ₄的三个顶点经映射v＝B·u_SLR得到的三个点代入

所得结果记为

若

中正、负数都有，则将γ₃从Γ₁中去掉，重新返回步骤3-1)；否则，若

均为非负数或均为非正数，则在

中任选一个不为0的数，记为

并依次将Γ₃中每个边界面的每个顶点经映射v＝B·u_SLR得到的点代入

所得结果依次记为

τ为Γ₃中边界面的个数；若存在整数i,1≤i≤4τ,使得

则将γ₃从Γ₁中去掉，重新返回步骤3-1)；否则，若存在整数i,1≤i≤4τ,使得

则将γ₃加入Γ₂中，然后重新返回步骤3-1)；

3-3)Γ₂中的所有边界面即控制集的所有关键边界面；将Γ₂中每一个关键边界面的所有顶点经过映射v＝B·u_SLR得到对应控制可达集边界面的所有顶点，从而确定一个控制可达集边界面，该控制可达集边界面为四边形或三角形；Γ₂中所有关键边界面确定的控制可达集边界面，构成控制可达集边界

本发明的特点及有益效果：

1、本发明给出存在一对线性约束控制分量的并联构型过驱动系统的控制可达集确定方法，突破了文献“Attainable Moments for the Constrained Control AllocationProblem”及专利“一种基于几何直观构建可达集的过驱系统控制分配方法”(申请号：201810131251.1)要求所有控制分量需相互独立的限制。

2、该方法能够用于先进卫星、飞机、船舶、汽车、并联机器人等具有过驱动特性和存在一对线性约束控制分量的并联构型系统控制能力的评估，可为系统控制分配提供基础，并用于部分执行器失效后的系统容错控制。

具体实施方式

本发明提出一对线性约束控制分量下过驱动系统控制可达集确定方法，下面结合具体实施例对本发明进一步详细说明如下。

本发明提出一对线性约束控制分量下过驱动系统控制可达集确定方法，控制可达集为三维空间且控制效率矩阵B的任意三列线性无关，该方法包括以下步骤:

1)将控制集Ω_SLR所有边界面分为

个分组。

Ω_SLR为一对线性约束控制分量下过驱动系统的控制集，在几何上为一凸多面体，其边界

由矩形或三角形构成，将构成

的矩形或三角形通称为控制集的边界面。Ω_SLR＝{u_SLR}，u_SLR为仅存在一对线性约束控制分量、其余分量均为独立控制分量的过驱动系统的控制向量，u_SLR＝(u₁,...,u_m)^T，u_imin≤u_i≤u_imax，i＝1,...,m；

(u_kmax-u_kmin)u_k+1+(u_k+1max-u_k+1min)u_k≤u_k+1maxu_kmax-u_k+1minu_kmin，

第i个分量u_i为对应的第i个执行器的控制作用量，m为执行器的数目。u_imin为第i个执行器控制作用量的约束最小值，u_imax为第i个执行器控制作用量的约束最大值。若u_SLR的两个分量取值在对应最小值和最大值之间，其余m-2个分量取值为对应的最小或最大值，则所述m个分量形成2^m-2个控制集的边界面。

设第p个和第q个分量为取值在对应最小值和最大值之间的两个分量，1≤p≤m，1≤q≤m,p＜q，其余m-2个分量取值为对应最小或最大值，把这样形成的2^m-2个边界面分为一组，称为p-q分组。p和q可以是m个分量中的任意两个，控制集所有边界面按照此方法可分为

个分组，每组有2^m-2个边界面，控制集的边界面共

个。

2)对步骤1)的

个分组中的每一个分组，确定准关键边界面和关键边界面。

一对线性约束控制分量下过驱动系统的控制可达集Φ_SLR为三维空间，表达式如下：

其中，v为过驱动系统的控制可达向量，v＝(v₁,v₂,v₃)^T，其中v_j为第j个控制可达分量，1≤j≤3，m＞3；B为3行m列的控制效率矩阵。

令

表示Φ_SLR的边界。记映射到Φ_SLR的像可能在边界

的Ω_SLR中边界面为准关键边界面，记映射到Φ_SLR的像一定在边界

的Ω_SLR中边界面为关键边界面。记Γ₁为准关键边界面集合，Γ₂为关键边界面集合，Γ₃为准关键边界面和关键边界面集合。三个集合初始化为空集。

2-1)任意选取一个未完成确定准关键边界面和关键边界面的分组记为p-q分组。对p-q分组，构造旋转变换矩阵R，使得控制可达集Φ_SLR的坐标系进行旋转变换后，第1个坐标轴v₁垂直于该p-q分组边界面在Φ_SLR的像。本发明只考虑第1个坐标轴，则只要构造旋转变换矩阵R的第1行；具体构造方法如下：令C＝R·B，B为3行m列的控制效率矩阵，B中任意三列线性无关，C为两个矩阵相乘得到的矩阵；

记

将R、B代入C＝R·B，则c_1p＝0，c_1q＝0，即：

计算可得r₁₁、r₁₂、r₁₃。

2-2)利用C＝R·B计算C矩阵的第一行(c₁₁,...,c_1m)。由于矩阵B的任意三列线性无关，其中有且只有c_1p＝0,c_1q＝0,其余c_1i≠0,1≤i≤m,i≠p,i≠q。

当c_1i＞0时,令u_i＝u_imax；当c_1i＜0时,令u_i＝u_imin；令u_p＝u_pmax或u_pmin,u_q＝u_qmax或u_qmin，得到四个顶点，确定一个矩形，记为γ₁。

同时，当c_1i＞0时，令u_i＝u_imin；当c_1i＜0时,令u_i＝u_imax；令u_p＝u_pmax或u_pmin,u_q＝u_qmax或u_qmin，得到四个顶点，确定一个矩形，记为γ₂。

2-3)在p-q分组中确定准关键边界面和关键边界面。具体步骤如下：

2-3-1)对p和q进行判定：

记k为一对线性约束控制分量对应的正奇数。若第p个和第q个控制分量都不是线性约束控制分量，即当{p≠k}且{p≠k+1}且{q≠k}且{q≠k+1}时，则进入步骤2-3-2)；若第p个和第q个控制分量中有且仅有一个是线性约束控制分量，即当{p＝k,q≠k+1}或{p＝k+1}或{q＝k}或{p≠k且q＝k+1}时，则进入步骤2-3-3)；若第p个和第q个控制分量是一对线性约束控制分量，即当{p＝k,q＝k+1}时，则进入步骤2-3-4)。

2-3-2)对步骤2-2)得到的γ₁、γ₂依次处理如下：

2-3-2-1)若γ₁的四个顶点的第k个分量、第k+1个分量均为对应约束最大值，即分别为u_kmax、u_k+1max，则按如下公式计算d₀₁、d₀₂：d₀₁＝|c_{1 k}·(u_kmax-u_kmin)|，d₀₂＝|c_{1 k+1}·(u_k+1max-u_k+1min)|。d₀₁为c_{1 k}与u_kmax-u_kmin之积的绝对值，d₀₂为c_{1 k+1}与u_k+1max-u_k+1min之积的绝对值。

若d₀₁≤d₀₂，则将γ₁的四个顶点的第k个分量修改为u_kmin，其余各分量不变，γ₁修改后的四个顶点确定一个矩形，为一个准关键边界面，记为γ₁₁，将γ₁₁加入集合Γ₁，进入步骤2-3-2-2)；

若d₀₁＞d₀₂，则将γ₁的四个顶点的第k+1个分量改为u_k+1min，其余各分量不变，γ₁修改后的四个顶点确定一个矩形，为一个准关键边界面，记为γ₁₁，将γ₁₁加入集合Γ₁，进入步骤2-3-2-2)；

若γ₁的四个顶点的第k个分量、第k+1个分量不满足均为对应约束的最大值，则γ₁为一个关键边界面，将γ₁加入集合Γ₂，进入步骤2-3-2-2)。

2-3-2-2)若γ₂的四个顶点的第k个分量、第k+1个分量均为对应约束最大值，即分别为u_kmax、u_k+1max，则按如下公式计算d₀₁、d₀₂：d₀₁＝|c_{1 k}·(u_kmax-u_kmin)|，d₀₂＝|c_{1 k+1}·(u_k+1max-u_k+1min)|；

若d₀₁≤d₀₂，则将γ₂的四个顶点的第k个分量修改为u_kmin，其余各分量不变，γ₂修改后的四个顶点确定一个矩形，为一个准关键边界面，记为γ₂₁，将γ₂₁加入集合Γ₁，进入步骤2-3-5)；

若d₀₁＞d₀₂，则将γ₂的四个顶点的第k+1个分量修改为u_k+1min，其余各分量不变，γ₂修改后的四个顶点确定一个矩形，为一个准关键边界面，记为γ₂₁，将γ₂₁加入集合Γ₁，进入步骤2-3-5)；

若γ₂的四个顶点的第k个分量、第k+1个分量不满足均为对应约束最大值，则γ₂为一个关键边界面，将γ₂加入集合Γ₂，进入步骤2-3-5)。

2-3-3)对步骤2-2)得到的γ₁、γ₂依次处理如下：

2-3-3-1)判定：若{p＝k,q≠k+1}或{q＝k}，则进入步骤2-3-3-2)；若{p＝k+1}或{p≠k,q＝k+1}，则进入步骤2-3-3-6)。

2-3-3-2)步骤2-2)得到两个矩形γ₁、γ₂中，存在一个矩形的四个顶点中第k+1个分量均为u_k+1min，将该矩形重新记为γ₀，γ₀即为一个关键边界面，将γ₀加入集合Γ₂；γ₁、γ₂中存在一个矩形的四个顶点中第k+1个分量均为u_k+1max，将该矩形重新记为π₀，π₀的四个顶点中存在两个顶点的第k个分量为u_kmax，将这两个顶点的第k+1个分量改为u_k+1min，将π₀修改后的两个顶点与π₀没做改变的两个顶点确定的矩形记为π₁，然后进入步骤2-3-3-3)。

2-3-3-3)构造旋转变换矩阵G，使得控制可达集Φ_SLR的坐标系进行旋转变换后，第1个坐标轴v₁垂直于π₁在Φ_SLR的像。由于只考虑第1个坐标轴，只要构造G的第1行。具体方法如下：

令H＝G·B。记

H为矩阵G与矩阵B相乘得到的矩阵；将G、B代入H＝G·B，当p＝k时，r＝q；当q＝k时，r＝p：

解此线性方程组可得g₁₁、g₁₂、g₁₃。

2-3-3-4)利用H＝G·B计算H矩阵的第一行(h₁₁,...,h_1m)。当h_1i＞0时(1≤i≤m,i≠k,k+1,r),调整π₁四个顶点的第i个分量为u_imax；当h_1i＜0时,调整π₁四个顶点的第i个分量为u_imin；所有调整完毕后，确定一个矩形，记为π₁₁。

同时，当h_1i＞0时,调整π₁四个顶点的第i个分量为u_imin；当h_1i＜0时,调整π₁四个顶点的第i个分量为u_imax；调整完毕后，得到四个新顶点，确定一个矩形，记为π₁₂。

2-3-3-5)π₁₁的四个顶点经映射v＝B·u_SLR得到的四个点确定一个平面方程，记为f₁(v₁,v₂,v₃,d)＝0，对应的多项式记为δ＝f₁(v₁,v₂,v₃,d)。将γ₀的四个顶点经映射v＝B·u_SLR得到的四个点代入δ＝f₁(v₁,v₂,v₃,d)，所得结果记为δ₁、δ₂、δ₃、δ₄。若δ₁、δ₂、δ₃、δ₄中正、负数都有，则π₁₂为准关键边界面，将π₁₂加入集合Γ₁，然后进入步骤2-3-5)；若δ₁、δ₂、δ₃、δ₄均为非负数或均为非正数，则将π₁₂的四个顶点经映射v＝B·u_SLR得到的四个顶点代入δ＝f₁(v₁,v₂,v₃,d)，所得结果记为δ₅、δ₆、δ₇、δ₈；若δ₁、δ₅、δ₆、δ₇、δ₈中正、负数都有，则π₁₂为准关键边界面，将π₁₂加入集合Γ₁，然后进入步骤2-3-5)；若δ₁、δ₅、δ₆、δ₇、δ₈均为非负数或均为非正数，则π₁₁为准关键边界面，将π₁₁加入集合Γ₁，然后进入步骤2-3-5)。

2-3-3-6)步骤2-2)得到的两个矩形γ₁、γ₂中，存在一个矩形的四个顶点中第k+1个分量均为u_k+1min，该矩形即为一个关键边界面，将该矩形加入集合Γ₂，然后进入步骤2-3-5)；(这一分组只确定一个关键边界面，另外一个为准关键边界面，与其他分组的重合，本分组不再重复计算)。

2-3-4)对步骤2-2)得到的γ₁、γ₂依次处理如下：

2-3-4-1)将γ₁的四个顶点中第k个分量为u_kmax且第k+1个分量为u_k+1max的顶点去掉，剩余三个顶点形成的三角形即为一个关键边界面记为γ₁₁，将γ₁₁加入集合Γ₂，进入步骤2-3-4-2)；

2-3-4-2)将γ₂的四个顶点中第k个分量为u_kmax且第k+1个分量为u_k+1max的顶点去掉，剩余三个顶点形成的三角形即为一个关键边界面,记为γ₂₁，将γ₂₁加入集合Γ₂，进入步骤2-3-5)。

2-3-5)重新返回步骤2-1)，选取下一个未完成确定准关键边界面和关键边界面的分组，直至所有分组均已确定准关键边界面和关键边界面，将集合Γ₁中的所有准关键边界面与集合Γ₂中的所有关键边界面加入集合Γ₃，然后进入步骤3)。

3)确定所有关键边界面以及控制可达集边界

具体步骤如下：

3-1)对Γ₁进行判定：若Γ₁为空集，则进入步骤3-3)；否则，进入步骤3-2)。

3-2)在Γ₁中任意选取一个准关键边界面，记为γ₃，对γ₃处理如下：

将γ₃的四个顶点经映射v＝B·u_SLR得到的四个点确定一个平面方程，记为f₂(v₁,v₂,v₃,d)＝0，对应的多项式记为

在Γ₂中任意选取一个三角形关键边界面，记为γ₄，将γ₄的三个顶点经映射v＝B·u_SLR得到的三个点代入

所得结果记为

若

中正、负数都有，则将γ₃从Γ₁中去掉，重新返回步骤3-1)；否则，若

均为非负数或均为非正数，则在

中任选一个不为0的数，记为

并依次将Γ₃中每个边界面的每个顶点经映射v＝B·u_SLR得到的点代入

所得结果依次记为

τ为Γ₃中边界面的个数；若存在整数i,1≤i≤4τ,使得

则将γ₃从Γ₁中去掉，重新返回步骤3-1)；否则，若存在整数i,1≤i≤4τ,使得

则将γ₃加入Γ₂中，然后重新返回步骤3-1)。

3-3)Γ₂中的所有边界面即控制集的所有关键边界面。将Γ₂中每一个关键边界面的所有顶点经过映射v＝B·u_SLR得到对应控制可达集边界面的所有顶点，从而确定一个控制可达集边界面，为四边形或三角形。Γ₂中所有关键边界面确定的控制可达集边界面，构成控制可达集边界

实施例

本实施例为确定四轮独立驱动-独立转向车辆的控制可达集。

已知4个车轮的4个纵向力分别为F_L1、F_L2、F_L3、F_L4，4个侧向力分别为F_T1、F_T2、F_T3、F_T4，令u_V＝(F_L1,F_T1,F_L2,F_T2,F_L3,F_T3,F_L4,F_T4)^T，F_{Li min}≤F_Li≤F_{Li max}，F_{Ti min}≤F_Ti≤F_{Ti max}，i＝1,...,4，F_{Li min}、F_{Ti min}为各车轮纵向力、侧向力的最小值，F_{Li max}、F_{Ti max}为各车轮纵向力、侧向力的最大值，[F_{L1 min},...,F_{L4 min}]＝[-16,-16,-19.3,-19.3]；[F_T1min,...,F_T4min]＝[-5,-5,-9.21,-9.21]；[F_L1max,...,F_L4max]＝[16,16,9.3,9.3]；

[F_T1max,...,F_T4max]＝[5,5,9.21,9.21]；第一个纵向力和第一个侧向力之间具有如下线性关系：(F_L1max-F_L1min)F_T1+(F_T1max-F_T1min)F_L1≤F_T1maxF_L1max-F_{T1 min}F_L1min；所有u_V构成四轮独立驱动-独立转向车辆的控制集Ω_V＝{u_V}；同时，已知车轮力控制效率矩阵B_V，

确定四轮独立驱动-独立转向车辆的控制可达集Φ_V，Φ_V＝{v_VS|v_VS＝B_V·u_VS＝(F_LS,F_TS,M_S)^T，u_VS∈Ω_V}，其中，F_LS为特定的车辆整体纵向力，F_TS为特定的车辆整体侧向力，M_S为特定的车辆整体横摆力矩。

本实施例中各物理量与前文所用术语对应关系如下：Ω_V对应Ω_SLR，B_V为对应B，Φ_V对应Φ_SLR，u_V＝(F_L1,F_T1,F_L2,F_T2,F_L3,F_T3,F_L4,F_T4)^T对应u_SLR＝(u₁,...,u₈)^T。该实施例解决的问题即为：

确定一个8维控制向量u_SLR＝(u₁,...,u₈)^T的控制可达集，其中u₁和u₂为一对控制分量，u₃和u₄为一对控制分量，u₅和u₆为一对控制分量，u₇和u₈为一对控制分量；每一个控制分量u_i有一个取值范围，即u_imin≤u_i≤u_imax，i＝1,...,8，

[u_1min,...,u_8min]＝[-16,-5,-16,-5,-19.3,-9.21,-19.3,-9.21]，

[u_1max,...,u_8max]＝[16,5,16,5,19.3,9.21,19.3,9.21]；

其中，第1、2个控制分量即第1对控制分量之间具有如下线性关系：

(u_1max-u_1min)u₂+(u_2max-u_2min)u₁≤u_2maxu_1max-u_2minu_1min；

令Ω_SLR＝{u_SLR}，其中，

u_SLR＝(u₁,...,u₈)^T

s.t.

u_imin≤u_i≤u_imax,i＝1,…,8；

(u_1max-u_1min)u₂+(u_2max-u_2min)u₁≤u_2maxu_1max-u_2minu_1min；

Ω_SLR的每个控制向量u_SLR通过下列映射产生控制可达向量v，v＝B·u_SLR，其中，B:R⁸→R³，

要求：确定控制可达集

本实施例提出一种一对线性约束控制分量下过驱动系统控制可达集确定方法，本实施例中k＝1，包括以下步骤：

1)将控制集边界面分为

个分组。

第p个和第q个控制分量u_p、u_q(1≤p≤8,1≤q≤8,p＜q)取值在对应最小值和最大值之间的两个分量，其余6个分量u_i(1≤i≤8,i≠p,i≠q)取值为对应最小或最大值，即u_i＝u_imax或u_imin，这样组合共得到2⁶个边界面，分在一组，称为p-q分组。将控制集所有边界面分为1-2分组，1-3分组，…，7-8分组，共28个。

2)对步骤1)的

个分组中的每一个分组，确定准关键边界面和关键边界面。

在28个分组中，以1-2分组，1-3分组，2-3分组，7-8分组为例，说明准关键边界面和关键边界面的确定过程。

在1-2分组中确定准关键边界面和关键边界面：

2-1)构造坐标旋转变换矩阵¹R，令¹C＝¹R·B，设

将¹R、B代入¹C＝¹R·B，必有¹c₁₁＝0，¹c₁₂＝0，即：

令¹r₁₃＝1，计算可得¹r₁₁＝-1.4，¹r₁₂＝-0.7。

2-2)根据¹C＝¹R·B，计算得¹C矩阵的第一行为(¹c₁₁,...,¹c₁₈)＝(0,0,0.4093,

-1.3388,-2.8738,-2.0252,-2.5334,-0.5849)。据此确定两个矩形¹γ₁₁、¹γ₂₁，其顶点坐标见表1。

表1本发明实施例的¹γ₁₁、¹γ₂₁顶点坐标列表

	<sup>1</sup>γ<sub>11</sub>的顶点坐标	<sup>1</sup>γ<sub>21</sub>的顶点坐标
			顶点1	(16,-5,16,-5,-19.3,-9.21,-19.3,-9.21)	(16,-5,-16,5,19.3,9.21,19.3,9.21)
顶点2	(-16,-5,16,-5,-19.3,-9.21,-19.3,-9.21)	(-16,-5,-16,5,19.3,9.21,19.3,9.21)
			顶点3	(-16,5,16,-5,-19.3,-9.21,-19.3,-9.21)	(-16,5,-16,5,19.3,9.21,19.3,9.21)
顶点4	(16,5,16,-5,-19.3,-9.21,-19.3,-9.21)	(16,5,-16,5,19.3,9.21,19.3,9.21)

2-3)确定1-2分组的准关键边界面和关键边界面；具体步骤如下：

2-3-1)对1和2进行判定：

由于1＝k,2＝k+1，进入步骤2-3-4)。将¹γ₁₁、¹γ₂₁的第四个顶点去掉，得到两个三角形¹γ₁₂、¹γ₂₂，为关键边界面，其顶点坐标见表2。

表2本发明实施例的¹γ₁₂、¹γ₂₂顶点坐标列表

	<sup>1</sup>γ<sub>12</sub>的顶点坐标	<sup>1</sup>γ<sub>22</sub>的顶点坐标
			顶点1	(16,-5,16,-5,-19.3,-9.21,-19.3,-9.21)	(16,-5,-16,5,19.3,9.21,19.3,9.21)
顶点2	(-16,-5,16,-5,-19.3,-9.21,-19.3,-9.21)	(-16,-5,-16,5,19.3,9.21,19.3,9.21)
			顶点3	(-16,5,16,-5,-19.3,-9.21,-19.3,-9.21)	(-16,5,-16,5,19.3,9.21,19.3,9.21)

将¹γ₁₂、¹γ₂₂加入集合Γ₂。

在1-3分组中确定准关键边界面和关键边界面：

2-1)构造坐标旋转变换矩阵²R，令²C＝²R·B，设

将²R、B代入²C＝²R·B，必有²c₁₁＝0，²c₁₃＝0，即:

令²r₁₃＝1，计算可得²r₁₁＝-4.0775，²r₁₂＝-8.0567。

2-2)根据²C＝²R·B，计算得²C矩阵的第一行为(²c₁₁,...,²c₁₈)＝(0,-5.9974,0,-7.5911,-7.3638,-9.8239,-6.7968,-8.3554)。据此确定两个矩形²γ₁₁、²γ₂₁，其顶点坐标见表3。

表3本发明实施例的²γ₁₁、²γ₂₁顶点坐标列表

	<sup>2</sup>γ<sub>11</sub>的顶点坐标	<sup>2</sup>γ<sub>21</sub>的顶点坐标
			顶点1	(16,-5,-16,-5,-19.3,-9.21,-19.3,-9.21)	(16,5,-16,5,19.3,9.21,19.3,9.21)
顶点2	(-16,-5,-16,-5,-19.3,-9.21,-19.3,-9.21)	(-16,5,-16,5,19.3,9.21,19.3,9.21)
			顶点3	(-16,-5,16,-5,-19.3,-9.21,-19.3,-9.21)	(-16,5,16,5,19.3,9.21,19.3,9.21)
顶点4	(16,-5,16,-5,-19.3,-9.21,-19.3,-9.21)	(16,5,16,5,19.3,9.21,19.3,9.21)

2-3)确定1-3分组的准关键边界面和关键边界面；具体步骤如下：

2-3-1)对1和3进行判定：由于1＝k,3≠k+1，进入步骤2-3-3)。

2-3-3)对步骤2-2)得到的γ₁、γ₂依次处理如下：

2-3-3-1)由于1＝k,3≠k+1，进入步骤2-3-3-2)；

2-3-3-2)²γ₁₁四个顶点的第2个分量均为u_2min，此为一个关键边界面，记为γ₀，将γ₀加入集合Γ₂；²γ₂₁四个顶点的第2个分量均为u_2max，四个顶点中必有两个顶点的第1个分量为u_1max，将这两个顶点的第2个分量改为u_2min，将修改后的四个顶点确定的矩形记为π₁。进入步骤2-3-3-2)。

2-3-3-3)构造坐标旋转变换矩阵G，令H＝G·B，设

将G、B代入H＝G·B，得:

令h₁₁＝1，计算可得g₁₁＝6.9678、g₁₂＝6.5280、g₁₃＝-3.0804。再根据H＝G·B可确定H矩阵的第一行(h₁₁,...,h₁₈)＝(1,3.2,0,7.5281,12.5483,11.1481,11.3743,6.6586)，进入步骤2-3-3-4)。

2-3-3-4)根据H矩阵的第一行，调整π₁四个顶点的第4到第8个分量，据此确定两个矩形π₁₁、π₁₂，其顶点坐标见表4。然后进入步骤2-3-3-5)。

表4本发明实施例的π₁₁、π₁₂顶点坐标列表

	π<sub>11</sub>的顶点坐标	π<sub>12</sub>的顶点坐标
			顶点1	(16,-5,-16,5,19.3,9.21,19.3,9.21)	(16,-5,-16,-5,-19.3,-9.21,-19.3,-9.21)
顶点2	(-16,5,-16,5,19.3,9.21,19.3,9.21)	(-16,5,-16,-5,-19.3,-9.21,-19.3,-9.21)
			顶点3	(-16,5,16,5,19.3,9.21,19.3,9.21)	(-16,5,16,-5,-19.3,-9.21,-19.3,-9.21)
顶点4	(16,-5,16,5,19.3,9.21,19.3,9.21)	(16,-5,16,-5,-19.3,-9.21,-19.3,-9.21)

2-3-3-5)将π₁₁的四个顶点映射到控制可达集得到四个点，其确定的平面方程对应的多项式为δ＝-0.0105v₁-0.0098v₂+0.0046v₃+1。将γ₀的四个顶点经映射v＝B·u_SLR，得到控制可达集四个点，将其代入δ＝-0.0105v₁-0.0098v₂+0.0046v₃+1，所得结果为δ₁＝2,δ₂＝2.0482,δ₃＝2.0482,δ₄＝2。由于δ₁、δ₂、δ₃、δ₄全为正数，π₁₂的四个顶点经映射v＝B·u_SLR得到控制可达集的四个点，将其代入δ＝-0.0105v₁-0.0098v₂+0.0046v₃+1，所得结果为δ₅＝2，δ₆＝2，δ₇＝2，δ₈＝2。由于δ₁、δ₅、δ₆、δ₇、δ₈全为正数，所以π₁₁为准关键边界面，将π₁₁加入集合Γ₁。

在2-3分组中确定准关键边界面和关键边界面：

2-1)构造坐标旋转变换矩阵³R。令³C＝³R·B。设

将³R、B代入³C＝³R·B，必有³c₁₂＝0，³c₁₃＝0，即:

令³r₁₃＝1，计算可得³r₁₁＝-1.8817，³r₁₂＝-0.8753。

2-2)根据³C＝³R·B，计算得到³C矩阵的第一行为

(³c₁₁,...,³c₁₈)＝(-0.3926,0,0,-1.3656,-3.3843,-2.3191,-3.0422,-0.8640)。据此确定两个矩形³γ₁₁、³γ₂₁，其顶点坐标见表5。

表5本发明实施例的³γ₁₁、³γ₂₁顶点坐标列表

	<sup>3</sup>γ<sub>11</sub>的顶点坐标	<sup>3</sup>γ<sub>21</sub>的顶点坐标
			顶点1	(-16,5,-16,-5,-19.3,-9.21,-19.3,-9.21)	(16,5,-16,5,19.3,9.21,19.3,9.21)
顶点2	(-16,-5,-16,-5,-19.3,-9.21,-19.3,-9.21)	(16,-5,-16,5,19.3,9.21,19.3,9.21)
			顶点3	(-16,-5,16,-5,-19.3,-9.21,-19.3,-9.21)	(16,-5,16,5,19.3,9.21,19.3,9.21)
顶点4	(-16,5,16,-5,-19.3,-9.21,-19.3,-9.21)	(16,5,16,5,19.3,9.21,19.3,9.21)

2-3)确定2-3分组的准关键边界面和关键边界面；具体步骤如下：

2-3-1)对2和3进行判定：由于2＝k+1，进入步骤2-3-3-5)。

2-3-3-5)³γ₁₁四个顶点的第1个分量均为u_1min，此为一个关键边界面，将³γ₁₁加入集合Γ₂。

在7-8分组中确定准关键边界面和关键边界面：

2-1)引入坐标旋转变换矩阵⁴R，令⁴C＝⁴R·B，设

将⁴R、B代入⁴C＝⁴R·B，必有⁴c₁₇＝0，⁴c₁₈＝0，即:

令⁴r₁₃＝1，计算可得⁴r₁₁＝1.1999,⁴r₁₂＝-0.6999。

2-2)根据⁴C＝⁴R·B，计算得到⁴C矩阵的第一行为(⁴c₁₁,...,⁴c₁₈)＝(2.4431,-0.8890,2.8956,-2.0989,-0.3624,-1.3522,0,0)。据此确定两个矩形⁴γ₁₁、⁴γ₂₁，其顶点坐标见表6。

表6本发明实施例的⁴γ₁₁、⁴γ₂₁顶点坐标列表

	<sup>4</sup>γ<sub>11</sub>的顶点坐标	<sup>4</sup>γ<sub>21</sub>的顶点坐标
			顶点1	(16,-5,16,-5,-19.3,-9.21,19.3,-9.21)	(-16,5,-16,5,19.3,9.21,19.3,-9.21)
顶点2	(16,-5,16,-5,-19.3,-9.21,-19.3,-9.21)	(-16,5,-16,5,19.3,9.21,-19.3,-9.21)
			顶点3	(16,-5,16,-5,-19.3,-9.21,-19.3,9.21)	(-16,5,-16,5,19.3,9.21,-19.3,9.21)
顶点4	(16,-5,16,-5,-19.3,-9.21,19.3,9.21)	(-16,5,-16,5,19.3,9.21,19.3,9.21)

2-3)确定7-8分组的准关键边界面和关键边界面；具体步骤如下：

2-3-1)对7和8进行判定：由于7≠k，8≠k+1，进入步骤2-3-2)。

2-3-2)⁴γ₁₁的第2个分量为u_2min，⁴γ₁₁为关键边界面，将⁴γ₁₁加入集合Γ₂。⁴γ₂₁的第1个分量为u_1min，⁴γ₂₁为关键边界面，将⁴γ₂₁加入集合Γ₂。

按照本发明实施步骤2-1)至步骤2-3-4)，可针对每一分组确定准关键边界面和关键边界面。限于篇幅，不再执行步骤2-3-5)，也即不再把所有准关键边界面和关键边界面确定出来，因此以上步骤没有给出集合Γ₁、Γ₂的所有元素，无法执行步骤3-2)，故省略步骤2-3-5)和步骤3)。

按照本发明实施步骤可计算出本实施例控制可达集的所有边界面，共50个。

综上所述，以上仅为本发明的较佳实施例而已，并非用于限定本发明的保护范围.凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (1)

1.一对线性约束控制分量下过驱动系统控制可达集确定方法，其特征在于，包括以下步骤:

1)将控制集Ω_SLR所有边界面分为

个分组；

Ω_SLR为一对线性约束控制分量下过驱动系统的控制集，Ω_SLR的边界

由矩形或三角形构成，将构成

的所有矩形和三角形称为控制集的边界面；Ω_SLR＝{u_SLR}，u_SLR为仅存在一对线性约束控制分量、其余分量均为独立控制分量的过驱动系统的控制向量，u_SLR＝(u₁,...,u_m)^T，u_{i min}≤u_i≤u_{i max}，i＝1,...,m；

表示唯一存在；第i个分量u_i为对应的第i个执行器的控制作用量，m为执行器的数目；u_{i min}为第i个执行器控制作用量的约束最小值，u_{i max}为第i个执行器控制作用量的约束最大值；若u_SLR的两个分量取值在对应最小值和最大值之间，其余m-2个分量取值为对应的最小或最大值，则所述m个分量形成2^m-2个控制集的边界面；

记u_SLR中任意两个分量为第p个分量和第q个分量，第p个分量和第q个分量取值在对应最小值和最大值之间，1≤p≤m，1≤q≤m,p＜q，其余m-2个分量取值为对应最小或最大值，形成2^m-2个边界面分为一组，称为p-q分组；则控制集所有边界面共得到

个分组，每组有2^m-2个边界面，控制集的边界面共

个；

2)对步骤1)的

个分组中的每一个分组，确定准关键边界面和关键边界面；

一对线性约束控制分量下过驱动系统的控制可达集Φ_SLR为三维空间，表达式如下：

其中，v为过驱动系统的控制可达向量，v＝(v₁,v₂,v₃)^T，其中v_j为第j个控制可达分量，1≤j≤3，m＞3；B为3行m列的控制效率矩阵；

令

表示Φ_SLR的边界；记映射到Φ_SLR的像可能在边界

的Ω_SLR中边界面为准关键边界面，记映射到Φ_SLR的像一定在边界

的Ω_SLR中边界面为关键边界面；记Γ₁为准关键边界面集合，Γ₂为关键边界面集合，Γ₃为准关键边界面和关键边界面集合；三个集合初始化为空集；

2-1)任意选取一个未完成确定准关键边界面和关键边界面的分组记为p-q分组；对p-q分组，构造旋转变换矩阵R，使得控制可达集Φ_SLR的坐标系进行旋转变换后，第1个坐标轴v₁垂直于该p-q分组边界面在Φ_SLR的像；具体构造方法如下：

令C＝R·B，B为3行m列的控制效率矩阵，B中任意三列线性无关，C为两个矩阵相乘得到的矩阵；

记

将R、B代入C＝R·B，则c_1p＝0，c_1q＝0，即：

计算得到r₁₁、r₁₂、r₁₃；

2-2)利用C＝R·B计算C矩阵的第一行(c₁₁,...,c_1m)；

由于矩阵B的任意三列线性无关，其中有且只有c_1p＝0,c_1q＝0,其余c_1i≠0,1≤i≤m,i≠p,i≠q；

当c_1i＞0时,令u_i＝u_{i max}；当c_1i＜0时,令u_i＝u_{i min}；令

u_p＝u_{p max}或u_{p min},u_q＝u_{q max}或u_{q min}，得到四个顶点，确定一个矩形，记为γ₁；

同时，当c_1i＞0时，令u_i＝u_{i min}；当c_1i＜0时,令u_i＝u_{i max}；令

u_p＝u_{p max}或u_{p min},u_q＝u_{q max}或u_{q min}，得到四个顶点，确定一个矩形，记为γ₂；

2-3)确定p-q分组的准关键边界面和关键边界面；具体步骤如下：

2-3-1)对p和q进行判定：

记k为一对线性约束控制分量对应的正奇数；若第p个和第q个控制分量都不是线性约束控制分量，即当{p≠k}且{p≠k+1}且{q≠k}且{q≠k+1}时，则进入步骤2-3-2)；若第p个和第q个控制分量中有且仅有一个是线性约束控制分量，当{p＝k,q≠k+1}或{p＝k+1}或{q＝k}或{p≠k且q＝k+1}时，则进入步骤2-3-3)；若第p个和第q个控制分量是一对线性约束控制分量，即当{p＝k,q＝k+1}时，则进入步骤2-3-4)；

2-3-2)对步骤2-2)得到的γ₁、γ₂依次处理如下：

2-3-2-1)若γ₁的四个顶点的第k个分量、第k+1个分量均为对应约束最大值，即分别为u_{k max}、u_{k+1 max}，则按下式计算d₀₁、d₀₂：d₀₁＝|c_{1 k}·(u_{k max}-u_{k min})|，d₀₂＝|c_{1 k+1}·(u_{k+1 max}-u_{k+1 min})|；d₀₁为c_{1 k}与u_{k max}-u_{k min}之积的绝对值，d₀₂为c_{1 k+1}与u_{k+1 max}-u_{k+1 min}之积的绝对值；

若d₀₁≤d₀₂，则将γ₁的四个顶点的第k个分量改为u_{k min}，其余各分量不变，γ₁修改后的四个顶点确定一个矩形，为一个准关键边界面，记为γ₁₁，将γ₁₁加入集合Γ₁，进入步骤2-3-2-2)；

若d₀₁＞d₀₂，则将γ₁的四个顶点的第k+1个分量改为u_{k+1 min}，其余各分量不变，γ₁修改后的四个顶点确定一个矩形，为一个准关键边界面，记为γ₁₁，将γ₁₁加入集合Γ₁，进入步骤2-3-2-2)；

若γ₁的四个顶点的第k个分量、第k+1个分量不满足均为对应约束最大值，则γ₁为一个关键边界面，将γ₁加入集合Γ₂，进入步骤2-3-2-2)；

2-3-2-2)若γ₂的四个顶点的第k个分量、第k+1个分量均为对应约束最大值，即分别为u_{k max}、u_{k+1 max}，则按下式计算d₀₁、d₀₂：d₀₁＝|c_{1 k}·(u_{k max}-u_{k min})|，d₀₂＝|c_{1 k+1}·(u_{k+1 max}-u_{k+1 min})|；

若d₀₁≤d₀₂，则将γ₂的四个顶点的第k个分量修改为u_{k min}，其余各分量不变，γ₂修改后的四个顶点确定一个矩形，为一个准关键边界面，记为γ₂₁，将γ₂₁加入集合Γ₁，进入步骤2-3-5)；

若d₀₁＞d₀₂，则将γ₂的四个顶点的第k+1个分量改为u_{k+1 min}，其余各分量不变，γ₂修改后的四个顶点确定一个矩形，为一个准关键边界面，记为γ₂₁，将γ₂₁加入集合Γ₁，进入步骤2-3-5)；

若γ₂的四个顶点的第k个分量、第k+1个分量不满足均为对应约束最大值，则γ₂为一个关键边界面，将γ₂加入集合Γ₂，进入步骤2-3-5)；

2-3-3)对步骤2-2)得到的γ₁、γ₂依次处理如下：

2-3-3-1)判定：若{p＝k,q≠k+1}或{q＝k}，则进入步骤2-3-3-2)；若{p＝k+1}或{p≠k,q＝k+1}，则进入步骤2-3-3-6)；

2-3-3-2)步骤2-2)得到两个矩形γ₁、γ₂中，存在一个矩形的四个顶点中第k+1个分量均为u_{k+1 min}，将该矩形重新记为γ₀，γ₀即为一个关键边界面，将γ₀加入集合Γ₂；γ₁、γ₂中存在一个矩形的四个顶点中第k+1个分量均为u_{k+1 max}，将该矩形重新记为π₀，π₀的四个顶点中存在两个顶点的第k个分量为u_{k max}，将这两个顶点的第k+1个分量改为u_{k+1 min}，将π₀修改后的两个顶点与π₀中未修改的两个顶点确定的矩形记为π₁，然后进入步骤2-3-3-3)；

2-3-3-3)构造旋转变换矩阵G，使得控制可达集Φ_SLR的坐标系进行旋转变换后，第1个坐标轴v₁垂直于π₁在Φ_SLR的像；具体方法如下：

令H＝G·B；记

H为矩阵G与矩阵B相乘得到的矩阵；

将G、B代入H＝G·B，当p＝k时，r＝q；当q＝k时，r＝p：

求解得到g₁₁、g₁₂、g₁₃；

2-3-3-4)利用H＝G·B计算H矩阵的第一行(h₁₁,...,h_1m)；

当h_1i＞0时，1≤i≤m,i≠k,k+1,r,调整π₁四个顶点的第i个分量为u_{i max}；当h_1i＜0时,调整π₁四个顶点的第i个分量为u_{i min}；调整完毕后，得到四个新顶点确定一个矩形，记为π₁₁；

同时，当h_1i＞0时,调整π₁四个顶点的第i个分量为u_{i min}；当h_1i＜0时,调整π₁四个顶点的第i个分量为u_{i max}；调整完毕后，得到四个新顶点，确定一个矩形，记为π₁₂；

2-3-3-5)π₁₁的四个顶点经映射v＝B·u_SLR得到的四个点确定一个平面方程，记为f₁(v₁,v₂,v₃,d)＝0，对应的多项式记为δ＝f₁(v₁,v₂,v₃,d)；将γ₀的四个顶点经映射v＝B·u_SLR得到的四个点代入δ＝f₁(v₁,v₂,v₃,d)，所得结果记为δ₁、δ₂、δ₃、δ₄；

若δ₁、δ₂、δ₃、δ₄中正、负数都有，则π₁₂为准关键边界面，将π₁₂加入集合Γ₁，然后进入步骤2-3-5)；若δ₁、δ₂、δ₃、δ₄均为非负数或均为非正数，则将π₁₂的四个顶点经映射v＝B·u_SLR得到的四个顶点代入δ＝f₁(v₁,v₂,v₃,d)，所得结果记为δ₅、δ₆、δ₇、δ₈；若δ₁、δ₅、δ₆、δ₇、δ₈中正、负数都有，则π₁₂为准关键边界面，将π₁₂加入集合Γ₁，然后进入步骤2-3-5)；若δ₁、δ₅、δ₆、δ₇、δ₈均为非负数或均为非正数，则π₁₁为准关键边界面，将π₁₁加入集合Γ₁，然后进入步骤2-3-5)；

2-3-3-6)步骤2-2)得到两个矩形γ₁、γ₂中，存在一个矩形的四个顶点中第k+1个分量均为u_{k+1 min}，该矩形即为一个关键边界面，将该矩形加入集合Γ₂，进入步骤2-3-5)；

2-3-4)对步骤2-2)得到的γ₁、γ₂依次处理如下：

将γ₁的四个顶点中第k个分量为u_{k max}且第k+1个分量为u_{k+1 max}的顶点去掉，剩余三个顶点形成的三角形即为一个关键边界面,记为γ₁₁，将γ₁₁加入集合Γ₂；将γ₂的四个顶点中第k个分量为u_{k max}且第k+1个分量为u_{k+1 max}的顶点去掉，剩余三个顶点形成的三角形即为一个关键边界面，记为γ₂₁，将γ₂₁加入集合Γ₂,进入步骤2-3-5)；

2-3-5)重新返回步骤2-1)，选取下一个未完成确定准关键边界面和关键边界面的分组，直至所有分组均已确定准关键边界面和关键边界面，将集合Γ₁中的所有边界面与集合Γ₂中的所有边界面加入集合Γ₃，然后进入步骤3)；

3)确定控制可达集边界

具体步骤如下：

3-1)对Γ₁进行判定：若Γ₁为空集，则进入步骤3-3)；否则，进入步骤3-2)；

3-2)在Γ₁中任意取一个准关键边界面，记为γ₃，对γ₃处理如下：

将γ₃的四个顶点经映射v＝B·u_SLR得到的四个点确定一个平面方程，记为f₂(v₁,v₂,v₃,d)＝0，对应的多项式记为

在Γ₂中任意选取一个三角形关键边界面，记为γ₄，将γ₄的三个顶点经映射v＝B·u_SLR得到的三个点代入

所得结果记为

若

中正、负数都有，则将γ₃从Γ₁中去掉，重新返回步骤3-1)；否则，若

均为非负数或均为非正数，则在

中任选一个不为0的数，记为

并依次将Γ₃中每个边界面的每个顶点经映射v＝B·u_SLR得到的点代入

所得结果依次记为

τ为Γ₃中边界面的个数；若存在整数i,1≤i≤4τ,使得

则将γ₃从Γ₁中去掉，重新返回步骤3-1)；否则，若存在整数i,1≤i≤4τ,使得

则将γ₃加入Γ₂中，然后重新返回步骤3-1)；

3-3)Γ₂中的所有边界面即控制集的所有关键边界面；将Γ₂中每一个关键边界面的所有顶点经过映射v＝B·u_SLR得到对应控制可达集边界面的所有顶点，从而确定一个控制可达集边界面，该控制可达集边界面为四边形或三角形；Γ₂中所有关键边界面确定的控制可达集边界面，构成控制可达集边界