CN111144223A - 基于Tikhonov正则化的广义最小化求解的振动速度重建方法 - Google Patents

基于Tikhonov正则化的广义最小化求解的振动速度重建方法 Download PDF

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CN111144223A CN201911222069.8A CN201911222069A CN111144223A CN 111144223 A CN111144223 A CN 111144223A CN 201911222069 A CN201911222069 A CN 201911222069A CN 111144223 A CN111144223 A CN 111144223A
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Abstract

本发明公开了一种基于Tikhonov正则化的广义最小化求解的振动速度重建方法，包括如下步骤：S1建立积分广义误差控制方程；S2求解理想加速度与测量加速度的频域传递函数；S3确定广义化阶数ng与正则化因子；S4建立L2广义误差控制方程；S5求解速度重建系数向量，完成对振动速度的重建。该方法能够克服现有积分算法存在的不足，在有效抑制低频噪声的情况下尽量保留低频信息的数字信号积分算法，可以较好地再现振动信号的时域瞬时特性；并且该方法可通过调节广义化阶数和正则化因子来适应不同的振动测量环境，应用性强。

Description

基于Tikhonov正则化的广义最小化求解的振动速度重建方法
技术领域
本发明涉及环境微振动信号处理技术领域，主要涉及一种基于Tikhonov正则化的广义最小化求解的振动速度重建方法。
背景说明
随着电子工业技术的快速发展，越来越多的高精密生产及检测设备对环境微振动有着较高要求，尤其对环境微振动的低频振动幅值要求甚高。一些特殊类型的高精密设备，其制造厂商会提供对应的振动允许值，也就是防微振指标；若未提供相应指标，可根据其生产或检测精度按照通用微振动标准进行评估。目前我国提出有GB51076-2015《电子工业防微振工程技术规范》以及国际通用振动评价标准，由IEST-RP-CC012.2给出的VC振动标准。
以上提到的两种振动标准以及大多数厂商提供的防微振指标均是基于振动速度幅值高低来进行环境振动评估，但考虑到振动传感器的安装以及指标参数等因素，直接使用振动速度传感器难以实现低频微振动测量，因此需要选用低频高灵敏度的振动加速度传感器获取加速度信号后，再通过数字信号积分算法，重建振动速度信号，以用于后续环境振动评估。
已有的数字信号积分算法主要分为时域积分和频域积分两大方向。时域积分主要是通过滤波或多项式拟合等方法在去除低频噪声及趋势项后，对时域信号进行数值积分得到振动速度信号，但由于环境微振动的目标频率也就是基频往往是较低的，滤波器设计难度较大，且会出现相位失真等现象。频域积分主要包括低频截止和低频衰减等积分算法，对低频噪声抑制以及趋势项控制方面表现良好，但其积分得到的时域速度信号是经过IFFT后各个频率平均后的结果，因此无法很好的再现随机振动信号的瞬时特性。
鉴于已有的信号积分方法存在的种种不足，在环境微振动测试领域迫切需要一种既可以再现振动信号时域瞬时特性，又可以在有效抑制低频噪声的情况下尽量保留低频信息的数字信号积分算法。
发明内容：
本发明的目的在于提出一种基于Tikhonov正则化的广义最小化求解的振动速度重建方法，克服现有积分算法存在的不足，在有效抑制低频噪声的情况下尽量保留低频信息的数字信号积分算法，可以较好地再现振动信号的时域瞬时特性；并且该方法可通过调节广义化阶数和正则化因子来适应不同的振动测量环境，应用性强；该方法在实际应用中，仅需进行简单的向量乘法运算，并且不同积分窗的计算是相互独立的，可通过多线程并行计算提高算法速度，可编程性强。
本发明是通过以下技术方案实现的：
一种基于Tikhonov正则化的广义最小化求解的振动速度重建方法，包括如下步骤：
S1建立积分广义误差控制方程：基于Tikhonov正则化L2形式给出理想速度的微分
Figure BDA0002301129580000021
与测量加速度
Figure BDA0002301129580000022
的差的误差最小化控制方程，并将测量误差的最小化问题进行广义化处理，得出定积分连续形式的积分广义误差控制方程；
S2求解理想加速度与测量加速度的频域传递函数
Figure BDA0002301129580000023
通过对积分广义误差控制方程进行变分法求解、傅里叶变换，再代入理想速度与理想加速度的频域积分传递函数HE(ω)，推导出理想加速度与测量加速度的频域传递函数
Figure BDA0002301129580000024
S3确定广义化阶数ng与正则化因子λ：通过校准实验获取在不同频率正弦振动下，系统测量加速度ac以及校准加速度aacc，在已知不同频率的系统测量加速度ac的情况下，由频域传递函数
Figure BDA0002301129580000025
可得到在不同广义化阶数与正则化因子的情况下理想加速度的最佳结果，由此确定广义化阶数ng与正则化因子λ的取值；
S4建立L2广义误差控制方程：通过梯形积分公式将积分形式广义误差控制方程离散化，并构造Lagrange插值多项式推导数值微分公式，替代各个物理量对时间的求导，经计算整理得出L2范数离散形式的L2广义误差控制方程；
S5求解速度重建系数向量bk+2，完成对振动速度的重建：求解L2广义误差控制方程，经整理可得速度重建系数矩阵B，取其中间行向量即可得到速度重建系数向量bk+2，将其与积分窗内的测量加速度向量
Figure BDA0002301129580000026
相乘即可得到积分窗中心时刻的振动速度，通过移动积分窗重复上述计算，即可完成对振动速度的重建。
进一步的，步骤S1具体包括：
S1-1建立Tikhonov正则化误差控制方程的连续形式为：
Figure BDA0002301129580000027
式(1)中，vst为静态速度，也就是理想速度的先验估计；
Figure BDA0002301129580000028
为测量加速度，
Figure BDA0002301129580000029
为理想速度的微分，λ为正则化因子；
S1-2将测量误差的最小化问题进行广义化处理，也就是求解其高阶导数的差的最小化问题，则积分广义误差控制方程形式为：
Figure BDA00023011295800000210
进一步的，步骤S2具体包括：
S2-1构造目标函数
Figure BDA0002301129580000031
为：
Figure BDA0002301129580000032
S2-2取先验估计vst为零，对式(2)使用变分法求极值：
Figure BDA0002301129580000033
式(4)中E即为步骤S2-1构造的目标函数，
对式(4)进行连续分布积分，整理可得：
Figure BDA0002301129580000034
由式(5)可得微分方程：
Figure BDA0002301129580000035
S2-3对式(6)进行傅里叶变换，并带入HE(ω)＝1/(jω)可得传递函数
Figure BDA0002301129580000036
Figure BDA0002301129580000037
进一步的，步骤S3具体包括：
S3-1通过校准实验获取在目标频率附近的不同频率正弦激振的j组系统测量加速度
Figure BDA0002301129580000038
和j组校准加速度
Figure BDA0002301129580000039
S3-2已知j组系统测量加速度
Figure BDA00023011295800000310
由式(7)可得j组重建加速度
Figure BDA00023011295800000311
由下式所示：
Figure BDA00023011295800000312
式(8)中ωi为每组加速度对应的角频率；
S3-3构建误差计算公式：
Figure BDA00023011295800000313
由此建立在不同广义化阶数ng下，可以通过调整正则化因子λ来使误差达到系统允许误差。
进一步的，步骤S4具体包括：
S4-1由梯形积分公式可得积分形式广义误差控制方程离散化形式：
Figure BDA0002301129580000041
式(10)中，Ki为使用梯形积分公式后经整理所得的系数矩阵；v为离散理想速度向量；
Figure BDA0002301129580000042
为离散测量加速度向量。
S4-2由Lagrange插值多项式(11)可得数值微分公式(12)为：
Figure BDA0002301129580000043
Figure BDA0002301129580000044
S4-3将式(12)代入式(10)经整理可得L2广义误差控制方程：
Figure BDA0002301129580000045
式(13)中系数矩阵K＝Ki·Kc；微分系数矩阵Kc为代入数值微分公式后，经整理得到；T为时间采样常数。
进一步的，步骤S5具体包括：
S5-1式(13)其形式为标准Tikhonov正则化，其正则解为：
Figure BDA0002301129580000046
式(14)中，I为单位矩阵；
S5-2将式(14)中的速度重建系数矩阵B的中间行向量取出，得到速度重建系数向量bk+2，将积分窗长度Nw设为Nw＝2k+1，则一个积分窗内的中间重建速度vk+1可由式(15)求得：
Figure BDA0002301129580000047
S5-3将积分窗沿时间轴向前移动一个采样时间间隔，由式(15)即可得到下一个积分窗内的中间重建速度vk+1；
S5-4不断重复步骤S5-3，即可完成振动速度的重建。
本发明的优点和有益效果为：
本发明克服现了有积分算法存在的不足，在有效抑制低频噪声的情况下尽量保留低频信息的数字信号积分算法，可以较好地再现振动信号的时域瞬时特性；并且该方法可通过调节广义化阶数和正则化因子来适应不同的振动测量环境，应用性强；该方法在实际应用中，仅需进行简单的向量乘法运算，并且不同积分窗的计算是相互独立的，可通过多线程并行计算提高算法速度，可编程性强。
附图说明
图1是算法流程框图。
图2是测量加速度图。
图3是不同广义化阶数下幅频响应图。
图4是不同正则化因子下幅频响应图。
图5是积分过程示意图。
图6是理想速度与重建速度对比图。
图7是理想速度与重建速度对比放大图。
具体实施方式：
下面结合附图和具体的操作方式对本发明的操作流程进行详细说明：
参照图1所示，为本发明的振动速度重建方法的算法流程框图；基于Tikhonov正则化的广义最小化求解方法建立IGEC方程，首先通过对IGEC方程进行变分法以及傅里叶变换推导出理想加速度(通过本算法计算出的加速度)与测量加速度的传递函数，进行误差计算后选取最佳结果，确定广义化阶数与正则化因子。再对IGEC方程进行离散化计算推导，得到LGEC方程，对其进行求解得到速度重建系数向量。最后，用积分窗将测量加速度进行截取，将截取得到的测量加速度向量与速度重建系数向量作向量乘法运算，即可得到积分窗中心时刻的重建加速度，继续移动积分窗重复上述步骤，即可完成振动速度重建。
参照图2为待进行积分的测量加速度，本发明的具体步骤实施如下所示：
S1建立积分广义误差控制方程：基于Tikhonov正则化L2形式给出理想速度的微分
Figure BDA0002301129580000051
与测量加速度
Figure BDA0002301129580000052
的差的误差最小化控制方程，并将测量误差的最小化问题进行广义化处理，得出定积分连续形式的积分广义误差控制方程，简称IGEC方程。步骤S1具体步骤如下：
S1-1建立Tikhonov正则化误差控制方程的连续形式为：
Figure BDA0002301129580000053
式(1)中，vst为静态速度，也就是理想速度的先验估计；
Figure BDA0002301129580000054
为测量加速度，
Figure BDA0002301129580000055
为理想速度的微分，λ为正则化因子；
S1-2将测量误差(理想加速度与测量加速度的差)的最小化问题进行广义化处理，也就是求解其高阶导数的差的最小化问题，则积分广义误差控制方程形式为：
Figure BDA0002301129580000056
式(2)中，ng为广义化阶数，λ为正则化因子。
S2求解理想加速度a与测量加速度
Figure BDA0002301129580000061
的频域传递函数
Figure BDA0002301129580000062
通过对积分广义误差控制方程进行变分法求解、傅里叶变换，再代入理想速度与理想加速度的频域积分传递函数HE(ω)，可推导出理想加速度a与测量加速度
Figure BDA0002301129580000063
的频域传递函数
Figure BDA0002301129580000064
步骤S2具体步骤如下：
S2-1构造目标函数
Figure BDA0002301129580000065
为：
Figure BDA0002301129580000066
S2-2取先验估计vst为零，对式(2)使用变分法求极值：
Figure BDA0002301129580000067
式(4)中E即为步骤S2-1构造的目标函数；
对式(4)进行连续分布积分，整理可得：
Figure BDA0002301129580000068
由式(5)可得微分方程：
Figure BDA0002301129580000069
S2-3对式(6)进行傅里叶变换，并带入HE(ω)＝1/(jω)可得传递函数
Figure BDA00023011295800000610
Figure BDA00023011295800000611
S3确定广义化阶数ng与正则化因子λ：通过校准实验获取在不同频率正弦振动下，系统测量加速度ac以及校准加速度aacc，在已知不同频率的系统测量加速度ac的情况下，由频域传递函数
Figure BDA00023011295800000612
可得到在不同广义化阶数与正则化因子的情况下理想加速度的最佳结果，由此确定广义化阶数ng与正则化因子λ的取值。步骤S3具体步骤如下：
S3-1通过校准实验获取在目标频率附近的不同频率正弦激振的j组系统测量加速度
Figure BDA00023011295800000613
(取其频域幅值谱对应频率幅值)和j组校准加速度
Figure BDA00023011295800000614
(取其频域幅值谱对应频率幅值)。
S3-2将j组系统测量加速度
Figure BDA0002301129580000071
代入式(7)可得j组重建加速度
Figure BDA0002301129580000072
由下式所示：
Figure BDA0002301129580000073
式(8)中ωi为每组加速度对应的角频率。
S3-3构建误差计算公式：
Figure BDA0002301129580000074
由此建立在不同广义化阶数ng下，可以通过调整正则化因子λ来使误差达到系统允许误差。
调整不同广义化阶数ng和正则化因子λ，会改变传递函数
Figure BDA0002301129580000075
的幅频响应，参照图3和图4所示，不断调整两个参数，通过误差计算公式(3)得到最佳结果，本例中选取广义化阶数为ng＝2，正则化因子为λ＝5.64。
S4建立L2广义误差控制方程：通过梯形积分公式将积分形式广义误差控制方程离散化，并构造Lagrange插值多项式推导数值微分公式，替代各个物理量对时间的求导，经计算整理得出L2范数离散形式的广义误差控制方程，简称LGEC方程。步骤S4具体步骤如下：
S4-1由梯形积分公式可得积分形式广义误差控制方程离散化形式：
Figure BDA0002301129580000076
式(10)中，Ki为使用梯形积分公式后经整理所得的系数矩阵；v为离散理想速度向量；
Figure BDA0002301129580000077
为离散测量加速度向量；
S4-2由Lagrange插值多项式(11)可得数值微分公式(12)为：
Figure BDA0002301129580000078
Figure BDA0002301129580000079
S4-3将式(12)代入式(10)经整理可得L2广义误差控制方程：
Figure BDA00023011295800000710
式(13)中系数矩阵K＝Ki·Kc；微分系数矩阵Kc为代入数值微分公式后，经整理得到；T为时间采样常数。
S5求解速度重建系数向量bk+2，完成对振动速度的重建：求解L2广义误差控制方程，经整理可得速度重建系数矩阵B，取其中间行向量即可得到速度重建系数向量bk+2，将其与积分窗内的测量加速度向量
Figure BDA0002301129580000081
相乘即可得到积分窗中心时刻的振动速度，通过移动积分窗重复上述计算，即可完成对振动速度的重建。步骤S5具体步骤如下：
S5-1式(13)其形式为标准Tikhonov正则化，其正则解为：
Figure BDA0002301129580000082
式(14)中，I为单位矩阵；
S5-2将式(14)中的速度重建系数矩阵B的中间行向量取出，得到速度重建系数向量bk+2，将积分窗长度Nw设为Nw＝2k+1，本例中将积分窗长度Nw设为Nw＝3073，则一个积分窗内的中间重建速度vk+1可由式(15)求得：
Figure BDA0002301129580000083
S5-3将积分窗沿时间轴向前移动一个采样时间间隔，由式(15)即可得到下一个积分窗内的中间重建速度vk+1，如图5所示；
S5-4不断重复步骤S5-3，即可完成振动速度的重建，如图6所示。
从图6和图7即可看出，重建后的速度成功抑制了低频趋势项，并且较好地再现振动信号的时域瞬时特性。

Claims (6)

1.一种基于Tikhonov正则化的广义最小化求解的振动速度重建方法，其特征在于，包括如下步骤：
S1建立积分广义误差控制方程：基于Tikhonov正则化L2形式给出理想速度的微分
Figure FDA0002301129570000011
与测量加速度
Figure FDA0002301129570000012
的差的误差最小化控制方程，并将测量误差的最小化问题进行广义化处理，得出定积分连续形式的积分广义误差控制方程；
S2求解理想加速度与测量加速度的频域传递函数
Figure FDA0002301129570000013
通过对积分广义误差控制方程进行变分法求解、傅里叶变换，再代入理想速度与理想加速度的频域积分传递函数HE(ω)，推导出理想加速度与测量加速度的频域传递函数
Figure FDA0002301129570000014
S3确定广义化阶数ng与正则化因子λ：通过校准实验获取在不同频率正弦振动下，系统测量加速度ac以及校准加速度aacc，在已知不同频率的系统测量加速度ac的情况下，由频域传递函数
Figure FDA0002301129570000015
可得到在不同广义化阶数与正则化因子的情况下理想加速度的最佳结果，由此确定广义化阶数ng与正则化因子λ的取值；
S4建立L2广义误差控制方程：通过梯形积分公式将积分形式广义误差控制方程离散化，并构造Lagrange插值多项式推导数值微分公式，替代各个物理量对时间的求导，经计算整理得出L2范数离散形式的L2广义误差控制方程；
S5求解速度重建系数向量bk+2，完成对振动速度的重建：求解L2广义误差控制方程，经整理可得速度重建系数矩阵B，取其中间行向量即可得到速度重建系数向量bk+2，将其与积分窗内的测量加速度向量
Figure FDA0002301129570000016
相乘即可得到积分窗中心时刻的振动速度，通过移动积分窗重复上述计算，即可完成对振动速度的重建。
2.根据权利要求1所述的基于Tikhonov正则化的广义最小化求解的振动速度重建方法，其特征在于，步骤S1具体包括：
S1-1建立Tikhonov正则化误差控制方程的连续形式为：
Figure FDA0002301129570000017
式(1)中，vst为静态速度，也就是理想速度的先验估计；
Figure FDA0002301129570000018
为测量加速度，
Figure FDA0002301129570000019
为理想速度的微分，λ为正则化因子；
S1-2将测量误差的最小化问题进行广义化处理，也就是求解其高阶导数的差的最小化问题，则积分广义误差控制方程形式为：
Figure FDA0002301129570000021
3.根据权利要求2所述的基于Tikhonov正则化的广义最小化求解的振动速度重建方法，其特征在于，步骤S2具体包括：
S2-1构造目标函数
Figure FDA0002301129570000022
为：
Figure FDA0002301129570000023
S2-2取先验估计vst为零，对式(2)使用变分法求极值：
Figure FDA0002301129570000024
式(4)中E即为步骤S2-1构造的目标函数，
对式(4)进行连续分布积分，整理可得：
Figure FDA0002301129570000025
由式(5)可得微分方程：
Figure FDA0002301129570000026
S2-3对式(6)进行傅里叶变换，并带入HE(ω)＝1/(jω)可得传递函数
Figure FDA0002301129570000027
Figure FDA0002301129570000028
4.根据权利要求3所述的基于Tikhonov正则化的广义最小化求解的振动速度重建方法，其特征在于，步骤S3具体包括：
S3-1通过校准实验获取在目标频率附近的不同频率正弦激振的j组系统测量加速度
Figure FDA0002301129570000029
和j组校准加速度
Figure FDA00023011295700000210
S3-2将j组系统测量加速度
Figure FDA00023011295700000211
代入式(7)可得j组重建加速度
Figure FDA00023011295700000212
由下式所示：
Figure FDA00023011295700000213
式(8)中ωi为每组加速度对应的角频率；
S3-3构建误差计算公式：
Figure FDA00023011295700000214
由此建立在不同广义化阶数ng下，可以通过调整正则化因子λ来使误差达到系统允许误差。
5.根据权利要求4所述的基于Tikhonov正则化的广义最小化求解的振动速度重建方法，其特征在于，步骤S4具体包括：
S4-1由梯形积分公式可得积分形式广义误差控制方程离散化形式：
Figure FDA0002301129570000031
式(10)中，Ki为使用梯形积分公式后经整理所得的系数矩阵；v为离散理想速度向量；
Figure FDA0002301129570000032
为离散测量加速度向量。
S4-2由Lagrange插值多项式(11)可得数值微分公式(12)为：
Figure FDA0002301129570000033
Figure FDA0002301129570000034
S4-3将式(12)代入式(10)经整理可得L2广义误差控制方程：
Figure FDA0002301129570000035
式(13)中系数矩阵K＝Ki·Kc；微分系数矩阵Kc为代入数值微分公式后，经整理得到；T为时间采样常数。
6.根据权利要求5所述的基于Tikhonov正则化的广义最小化求解的振动速度重建方法，其特征在于，步骤S5具体包括：
S5-1式(13)其形式为标准Tikhonov正则化，其正则解为：
Figure FDA0002301129570000036
式(14)中，I为单位矩阵；
S5-2将式(14)中的速度重建系数矩阵B的中间行向量取出，得到速度重建系数向量bk+2，将积分窗长度Nw设为Nw＝2k+1，则一个积分窗内的中间重建速度vk+1可由式(15)求得：
Figure FDA0002301129570000037
S5-3将积分窗沿时间轴向前移动一个采样时间间隔，由式(15)即可得到下一个积分窗内的中间重建速度vk+1；
S5-4不断重复步骤S5-3，即可完成振动速度的重建。
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