CN111132335A - 雷达通信一体化系统子载波聚类与功率联合分配方法 - Google Patents

雷达通信一体化系统子载波聚类与功率联合分配方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了雷达通信一体化系统子载波聚类与功率联合分配方法，包括确定雷达通信一体化系统目标探测与无线通信模型及环境先验知识；分别构建表征目标参数估计性能的互信息表达式和表征通信性能的数据传输速率表达式；根据预先设定的目标参数估计性能互信息阈值ξrad和数据传输速率阈值ξcom，建立雷达通信一体化系统子载波聚类与功率联合分配模型；求解雷达通信一体化系统子载波聚类与功率联合分配模型。可有效降低雷达通信一体化系统的总发射功率，有效提升系统射频隐身性能。

Description

雷达通信一体化系统子载波聚类与功率联合分配方法
技术领域
本发明属于雷达功率分配的技术领域，特别是涉及雷达通信一体化系统子载波聚类与功率联合分配方法。
背景技术
近年来，商业无线通信业务的急剧增长导致了射频电磁频谱拥塞的问题，传统方法已经越来越难以满足雷达系统的实际需要。在提高频谱利用率和降低硬件成本的需求下，雷达通信一体化系统受到了各国科研人员的广泛关注。相比于其他主动传感和无线技术，雷达通信一体化系统具有资源共享，信息交互等优势，已经在航空、航天、航海等行业中得到了较为广泛的应用。
目前，已有研究成果虽然涉及到通过优化发射资源来实现雷达通信一体化系统性能的提升，在系统资源有限的约束下，自适应联合优化子载波聚类与发射功率分配，在一定程度上提升了系统的目标探测性能。然而，以往研究忽略了正交频分复用波形中子载波聚类与功率联合优化设计对雷达通信一体化系统射频隐身性能的影响，具有一定局限性。
发明内容
发明目的：针对雷达通信一体化系统的射频隐身性能优化问题，提出了雷达通信一体化系统子载波聚类与功率联合分配方法，可有效降低雷达通信一体化系统的总发射功率，有效提升系统射频隐身性能。
技术方案：为实现上述发明目的，本发明采用以下技术方案：
雷达通信一体化系统子载波聚类与功率联合分配方法，包括以下步骤：
(1)确定雷达通信一体化系统模型及环境先验知识；
(2)分别构建表征目标参数估计性能的互信息表达式和表征通信性能的数据传输速率表达式；
(3)根据预先设定的目标参数估计性能互信息阈值ξrad和数据传输速率阈值ξcom，建立雷达通信一体化系统子载波聚类与功率联合分配模型；
(4)求解雷达通信一体化系统子载波聚类与功率联合分配模型。
进一步的，步骤(1)中雷达通信一体化系统目标探测与无线通信模型包括雷达通信一体化系统、目标、下行通信用户，雷达通信一体化系统通过目标探测信道探测目标，并反馈探测信息到雷达通信一体化系统，另外，雷达通信一体化系统通过通信信道将信息发送给下行通信用户；
针对雷达通信一体化系统，根据环境先验知识，获取雷达通信一体化系统第k个子载波上目标探测信道频率响应hrad[k]与通信信道频率响应hcom[k]，其中目标探测信道和通信信道的脉冲响应为广义平稳高斯过程，且在观测周期内是平稳的。
进一步的，步骤(2)中表征雷达通信一体化系统目标参数估计性能的互信息MIrad表达式为：
Figure BDA0002319369470000021
其中，k为正交频分复用雷达发射波形子载波索引；Mc为正交频分复用雷达发射信号子载波数目；
Figure BDA0002319369470000022
为背景噪声功率；u[k]为雷达子载波二元分配变量，当u[k]＝1时，表示子载波k分配给雷达波形用于目标探测，当u[k]＝0时，表示子载波k不分配给雷达波形用于目标探测；S[k]为第k个子载波上的正交频分复用发射波形；|S[k]|2表示第k个子载波上的发射功率；|hrad[k]|2表示第k个子载波上目标探测信道功率；
表征雷达通信一体化系统通信性能的数据传输速率Rcom表达式为：
Figure BDA0002319369470000023
其中，|hcom[k]|2表示第k个子载波上通信信道功率。
进一步的，步骤(3)中雷达通信一体化系统子载波聚类与功率联合分配模型为：
Figure BDA0002319369470000031
其中，k为正交频分复用雷达发射波形子载波索引；Mc为正交频分复用雷达发射信号子载波数目；
Figure BDA0002319369470000032
为背景噪声功率；u[k]为雷达子载波二元分配变量，当u[k]＝1时，表示子载波k分配给雷达波形用于目标探测，当u[k]＝0时，表示子载波k不分配给雷达波形用于目标探测；S[k]为第k个子载波上的正交频分复用发射波形；MIrad为表征雷达通信一体化系统目标参数估计性能的互信息；Rcom为表征雷达通信一体化系统通信性能的数据传输速率；Pmax[k]为第k个子载波上发射功率的上限；
Figure BDA0002319369470000033
为Mc个子载波所构成的集合；Mrad为分配给雷达波形用于目标探测的子载波个数；
将近似松弛法应用于二元变量，用0≤u[k]≤1替代u[k]∈{0,1}，同时令：
Figure BDA0002319369470000034
其中，hrad[k]和hcom[k]分别为雷达通信一体化系统第k个子载波上目标探测信道频率响应与通信信道频率响应；
雷达通信一体化系统子载波聚类与功率联合分配模型公式(3)等价转化为以下两个子问题：
Figure BDA0002319369470000041
和
Figure BDA0002319369470000042
进一步的，步骤(4)中将雷达通信一体化系统子载波聚类与功率联合分配模型公式分三步进行优化，并采用循环最小法与KKT必要条件对其进行求解，具体为：
(a)子载波分配问题：
首先，为了解决子问题公式(5)，将uk的权值都设置为1，通过求解以下子问题公式(7)，得到用于雷达目标探测的子载波最优功率分配模型：
Figure BDA0002319369470000043
由于子问题公式(7)是凸问题，采用拉格朗日乘数法对其进行求解，其中，拉格朗日函数为：
Figure BDA0002319369470000044
其中，
Figure BDA0002319369470000045
和
Figure BDA0002319369470000046
表示非负拉格朗日乘数；然后，KKT必要条件对子问题公式(7)的最优解应满足：
Figure BDA0002319369470000051
其中，所有带“*”上标的变量分别表示各参数的最优解；即
Figure BDA0002319369470000052
为sk的最优解，
Figure BDA0002319369470000053
为
Figure BDA0002319369470000054
的最优解，
Figure BDA0002319369470000055
为
Figure BDA0002319369470000056
的最优解，
Figure BDA0002319369470000057
为
Figure BDA0002319369470000058
的最优解；
通过求解式(9)中的KKT必要条件，因此，子问题公式(7)对应的用于雷达目标探测的最优功率分配为：
Figure BDA0002319369470000059
其中，参数
Figure BDA00023193694700000510
由互信息阈值确定：
Figure BDA00023193694700000511
在求解得到用于雷达目标探测的子载波最优功率分配后，得到子问题(5)的最优解为
Figure BDA00023193694700000512
之后，对子问题(12)进行求解：
Figure BDA00023193694700000513
其中，
Figure BDA00023193694700000514
同理，子问题公式(12)也是一个凸优化问题，同样通过KKT必要条件求解，其最优解为：
Figure BDA0002319369470000061
其中，参数
Figure BDA0002319369470000062
由互信息阈值确定：
Figure BDA0002319369470000063
基于上述求解步骤，采用循环最小法，重复求解子问题公式(7)和公式(12)，直到前后两次迭代得到的雷达总发射功率的变化值小于预设阈值为止；然后，将Mrad个最大的
Figure BDA0002319369470000064
值设置为1，其他的设置为0；
(b)雷达功率分配子问题：
确定用于目标探测的最优子载波后，用于雷达目标探测的子载波最优功率分配为：
Figure BDA0002319369470000065
其中，
Figure BDA0002319369470000066
Figure BDA0002319369470000067
表示分配给雷达目标探测的子载波集合，参数
Figure BDA0002319369470000068
由互信息阈值确定：
Figure BDA0002319369470000069
(c)通信功率分配子问题：
在确定了分配给雷达目标探测的子载波集合
Figure BDA00023193694700000610
后，将其余的子载波分配给通信数据传输；在这种情况下，子问题公式(6)重写为：
Figure BDA00023193694700000611
其中，
Figure BDA0002319369470000071
表示分配给通信数据传输的子载波集合，通过KKT必要条件求解子问题公式(17)，得到用于通信数据传输的最优功率分配为：
Figure BDA0002319369470000072
其中，
Figure BDA0002319369470000073
参数
Figure BDA0002319369470000074
由互信息阈值确定：
Figure BDA0002319369470000075
有益效果：与现有技术相比，本发明具有以下优点：
(1)本发明提出了雷达通信一体化系统子载波聚类与功率联合分配方法，该方法主要针对的问题是达通信一体化系统同时跟踪单个目标和保证向下链路用户通信的一般情况下，如何设计子载波聚类与功率联合分配方案来最小化雷达通信一体化系统功耗的问题。针对多载波雷达通信一体化系统，根据先验知识，获取雷达通信一体化系统目标探测信道和通信通道的功率；在此基础上，以满足预先设定的雷达目标参数估计性能互信息阈值和通信数据传输速率阈值为约束条件，分别为雷达和通信共同优化选择最佳的子载波，并在相应的子载波上分配最佳功率资源，最小化雷达通信一体化系统的总辐射功率。
该发明的优点是既满足预先设定的目标参数估计性能和数据传输速率需求，而且有效降低了雷达通信一体化系统的总发射功率。产生该优点的原因是本发明采用了雷达通信一体化系统子载波聚类与功率联合分配方法，该方法以满足预先设定的雷达目标参数估计性能互信息阈值和通信数据传输速率阈值为约束条件，以最小化雷达通信一体化系统的总发射功率为优化目标，构建雷达通信一体化系统子载波聚类与功率联合分配模型，自适应联合优化子载波聚类与发射功率分配；最后，采用循环最小法与KKT必要条件对此混合整数非线性规划问题进行求解，从而最小化雷达通信一体化系统的总发射功率，以达到提升系统射频隐身性能的目的。
(2)与现有技术相比，本发明提出的雷达通信一体化系统子载波聚类与功率联合分配方法，不仅保证了雷达目标参数估计性能和通信速率的要求，而且提升了该系统的射频隐身性能。
附图说明
图1为本发明方法流程图；
图2为雷达通信一体化系统目标探测与无线通信模型示意图；
图3为目标探测信道频率响应的模平方示意图；
图4为通信信道频率响应的模平方示意图；
图5(a)和(b)为雷达通信一体化子载波聚类与功率联合分配结果示意图。
具体实施方式
下面结合附图和具体实施例对本发明的技术方案做进一步说明。
雷达通信一体化系统同时跟踪单个目标和保证向下链路用户通信的一般情况下，如何设计子载波聚类与功率联合分配方案来最小化雷达通信一体化系统功耗的问题。针对多载波雷达通信一体化系统，根据先验知识，获取雷达通信一体化系统目标探测信道和通信通道的功率；在此基础上，以满足预先设定的雷达目标参数估计性能互信息阈值和通信数据传输速率阈值为约束条件，以最小化雷达通信一体化系统的总发射功率为优化目标，构建雷达通信一体化系统子载波聚类与功率联合分配模型，自适应联合优化子载波聚类与发射功率分配；最后，采用循环最小法与卡罗需-库恩-塔克条件(Karush-Kuhn-Tucker，KKT)必要条件对此混合整数非线性规划问题进行求解，从而最小化雷达通信一体化系统的总发射功率，以达到提升系统射频隐身性能的目的。
如图1所示，雷达通信一体化系统子载波聚类与功率联合分配方法，包括以下步骤：
1、确定雷达通信一体化系统目标探测与无线通信模型及环境先验知识：
如图2所示，雷达通信一体化系统目标探测与无线通信模型包括雷达通信一体化系统、目标、下行通信用户，雷达通信一体化系统通过目标探测信道探测目标，并反馈探测信息到雷达通信一体化系统，另外，雷达通信一体化系统通过通信信道将信息发送给下行通信用户。
针对雷达通信一体化系统，根据环境先验知识，获取雷达通信一体化系统第k个子载波上目标探测信道频率响应hrad[k]与通信信道频率响应hcom[k]，其中目标探测信道和通信信道的脉冲响应为广义平稳高斯过程，且在观测周期内是平稳。
2、分别构建表征雷达通信一体化系统目标参数估计性能的互信息表达式和表征通信性能的数据传输速率表达式，如下所示：
表征雷达通信一体化系统目标参数估计性能的互信息MIrad表达式为：
Figure BDA0002319369470000091
其中，k为正交频分复用雷达发射波形子载波索引；Mc为正交频分复用雷达发射信号子载波数目；
Figure BDA0002319369470000092
为背景噪声功率；u[k]为雷达子载波二元分配变量，当u[k]＝1时，表示子载波k分配给雷达波形用于目标探测，当u[k]＝0时，表示子载波k不分配给雷达波形用于目标探测；S[k]为第k个子载波上的正交频分复用发射波形；|S[k]|2表示第k个子载波上的发射功率；|hrad[k]|2表示第k个子载波上目标探测信道功率。
表征雷达通信一体化系统通信性能的数据传输速率Rcom表达式为：
Figure BDA0002319369470000093
其中，|hcom[k]|2表示第k个子载波上通信信道功率。
3、根据预先设定的目标参数估计性能互信息阈值ξrad和数据传输速率阈值ξcom，建立雷达通信一体化系统子载波聚类与功率联合分配模型：
Figure BDA0002319369470000094
其中，Pmax[k]为第k个子载波上发射功率的上限；
Figure BDA0002319369470000095
为Mc个子载波所构成的集合；Mrad为分配给雷达波形用于目标探测的子载波个数。
将近似松弛法应用于二元变量，用0≤u[k]≤1替代u[k]∈{0,1}，同时令：
Figure BDA0002319369470000101
雷达通信一体化系统子载波聚类与功率联合分配模型公式(3)可以等价转化为以下两个子问题：
Figure BDA0002319369470000102
和
Figure BDA0002319369470000103
4、求解雷达通信一体化系统子载波聚类与功率联合分配模型
上述雷达通信一体化系统子载波聚类与功率联合分配模型虽然可以采用穷举搜索或启发式搜索的方法来解决，但计算量大，而且只能得到局部最优解。为了有效的求解该问题，将此混合整数非线性规划模型公式(5)和公式(6)分三步进行优化，并采用循环最小法与KKT必要条件对其进行求解，具体为：
(a)子载波分配问题：
首先，为了解决子问题公式(5)，将uk的权值都设置为1，通过求解以下子问题公式(7)，得到用于雷达目标探测的子载波最优功率分配模型：
Figure BDA0002319369470000111
由于子问题公式(7)是凸问题，采用拉格朗日乘数法对其进行求解，其中，拉格朗日函数为：
Figure BDA0002319369470000112
式中，
Figure BDA0002319369470000113
和
Figure BDA0002319369470000114
表示非负拉格朗日乘数。然后，KKT必要条件对子问题公式(7)的最优解应满足：
Figure BDA0002319369470000115
式中，所有带“*”上标的变量分别表示各参数的最优解，即
Figure BDA0002319369470000116
为sk的最优解，
Figure BDA0002319369470000117
为
Figure BDA0002319369470000118
的最优解，
Figure BDA0002319369470000119
为
Figure BDA00023193694700001110
的最优解，
Figure BDA00023193694700001111
为
Figure BDA00023193694700001112
的最优解。
通过求解式(9)中的KKT必要条件，因此，子问题公式(7)对应的用于雷达目标探测的最优功率分配为：
Figure BDA00023193694700001113
式中，参数
Figure BDA00023193694700001114
可以由互信息阈值确定：
Figure BDA0002319369470000121
在求解得到用于雷达目标探测子载波的最优功率分配后，得到子问题公式(5)的最优解为
Figure BDA0002319369470000122
之后，对子问题公式(12)进行求解：
Figure BDA0002319369470000123
式中，
Figure BDA0002319369470000124
同理，子问题公式(12)也是一个凸优化问题，同样通过KKT必要条件求解，其最优解为：
Figure BDA0002319369470000125
式中，参数
Figure BDA0002319369470000126
可以由互信息阈值确定：
Figure BDA0002319369470000127
基于上述求解步骤，采用循环最小法，重复求解子问题(7)和(12)，直到前后两次迭代得到的雷达总发射功率的变化值小于某一阈值为止。然后，将Mrad个最大的
Figure BDA0002319369470000128
值设置为1，其他的设置为0。
(b)雷达功率分配子问题：
确定用于目标探测的最优子载波后，用于雷达目标探测的最优功率分配为：
Figure BDA0002319369470000129
式中，
Figure BDA0002319369470000131
Figure BDA0002319369470000132
表示分配给雷达目标探测的子载波集合，参数
Figure BDA0002319369470000133
可以由互信息阈值确定：
Figure BDA0002319369470000134
(c)通信功率分配子问题：
在确定了分配给雷达目标探测的子载波集合
Figure BDA0002319369470000135
后，将其余的子载波分配给通信数据传输。在这种情况下，子问题(6)可以重写为：
Figure BDA0002319369470000136
式中，
Figure BDA0002319369470000137
表示分配给通信数据传输的子载波集合，通过KKT必要条件求解子问题(17)，得到用于通信数据传输的最优功率分配为：
Figure BDA0002319369470000138
式中，
Figure BDA0002319369470000139
参数
Figure BDA00023193694700001310
可以由互信息阈值确定：
Figure BDA00023193694700001311
5、仿真结果
假设第2步中的参数如表1所示。
表1仿真参数设置
Figure BDA00023193694700001312
Figure BDA0002319369470000141
目标探测信道频率响应的模平方如图3所示，通信信道频率响应的模平方如图4所示，雷达通信一体化系统子载波聚类与功率联合分配结果如图5(a)和(b)所示。从图3至图5中可以看出，雷达通信一体化系统子载波聚类与功率联合分配结果选择2-41和104-111之间的子载波用于雷达目标探测，优化功率资源分配，因为这些子载波在目标探测信道中功率级较大，同时其余的子载波被分配用于下行通信。结果还表明，在优化过程中，发射功率的分配是通过注水原理实现的。也就是说，分配给子载波的功率资源越多，对应子信道的增益越大。在这种情况下，雷达通信一体化系统的总辐射功率是最小的，同时保证了预定义的雷达目标参数估计性能互信息阈值和通信数据传输速率阈值，从而达到提高雷达通信一体化系统射频隐身性能的目的。
由上述仿真结果可知，雷达通信一体化系统载波聚类与功率联合分配方法，可在满足预定义的雷达目标参数估计性能互信息阈值和通信数据传输速率阈值的条件下，自适应联合优化子载波聚类与发射功率分配，从而最小化雷达通信一体化系统的总发射功率，以达到提升系统射频隐身性能的目的。
工作原理及工作过程：
本发明考虑了一个多载波雷达通信一体化系统，根据先验知识，获取雷达通信一体化系统目标探测信道和通信通道的功率；在此基础上，以满足预先设定的雷达目标参数估计性能互信息阈值和通信数据传输速率阈值为约束条件，以最小化雷达通信一体化系统的总发射功率为优化目标，构建雷达通信一体化系统子载波聚类与功率联合分配模型，自适应联合优化子载波聚类与发射功率分配；最后，采用循环最小法与KKT必要条件对此混合整数非线性规划问题进行求解，从而最小化雷达通信一体化系统的总发射功率，以达到提升系统射频隐身性能的目的。
本发明根据先验知识，获取雷达通信一体化系统目标探测信道和通信通道的功率，在此基础上，分别构建包含子载波聚类方式和发射功率的表征雷达目标参数估计性能的互信息表达式和表征通信性能的数据传输速率表达式；以满足预先设定的雷达目标参数估计性能互信息阈值和通信数据传输速率阈值为约束条件，以最小化雷达通信一体化系统的总发射功率为优化目标，构建雷达通信一体化系统子载波聚类与功率联合分配模型，自适应联合优化子载波聚类与发射功率分配；之后，采用循环最小法与KKT必要条件对此混合整数非线性规划问题进行求解，从而最小化雷达通信一体化系统的总发射功率，以达到提升系统射频隐身性能的目的。

Claims (5)

1.雷达通信一体化系统子载波聚类与功率联合分配方法，其特征在于，包括以下步骤：
(1)确定雷达通信一体化系统目标探测与无线通信模型及环境先验知识；
(2)分别构建表征目标参数估计性能的互信息表达式和表征通信性能的数据传输速率表达式；
(3)根据预先设定的目标参数估计性能互信息阈值ξrad和数据传输速率阈值ξcom，建立雷达通信一体化系统子载波聚类与功率联合分配模型；
(4)求解雷达通信一体化系统子载波聚类与功率联合分配模型。
2.根据权利要求1所述的雷达通信一体化系统子载波聚类与功率联合分配方法，其特征在于，步骤(1)中雷达通信一体化系统目标探测与无线通信模型包括雷达通信一体化系统、目标、下行通信用户，雷达通信一体化系统通过目标探测信道探测目标，并反馈探测信息到雷达通信一体化系统，另外，雷达通信一体化系统通过通信信道将信息发送给下行通信用户；
针对雷达通信一体化系统，根据环境先验知识，获取雷达通信一体化系统第k个子载波上目标探测信道频率响应hrad[k]与通信信道频率响应hcom[k]，其中目标探测信道和通信信道的脉冲响应为广义平稳高斯过程，且在观测周期内是平稳的。
3.根据权利要求1所述的雷达通信一体化系统子载波聚类与功率联合分配方法，其特征在于，步骤(2)中表征雷达通信一体化系统目标参数估计性能的互信息MIrad表达式为：
Figure FDA0002319369460000011
其中，k为正交频分复用雷达发射波形子载波索引；Mc为正交频分复用雷达发射信号子载波数目；
Figure FDA0002319369460000012
为背景噪声功率；u[k]为雷达子载波二元分配变量，当u[k]＝1时，表示子载波k分配给雷达波形用于目标探测，当u[k]＝0时，表示子载波k不分配给雷达波形用于目标探测；S[k]为第k个子载波上的正交频分复用发射波形；|S[k]|2表示第k个子载波上的发射功率；|hrad[k]|2表示第k个子载波上目标探测信道功率；
表征雷达通信一体化系统通信性能的数据传输速率Rcom表达式为：
Figure FDA0002319369460000021
其中，|hcom[k]|2表示第k个子载波上通信信道功率。
4.根据权利要求1所述的雷达通信一体化系统子载波聚类与功率联合分配方法，其特征在于，步骤(3)中雷达通信一体化系统子载波聚类与功率联合分配模型为：
Figure FDA0002319369460000022
其中，k为正交频分复用雷达发射波形子载波索引；Mc为正交频分复用雷达发射信号子载波数目；
Figure FDA0002319369460000023
为背景噪声功率；u[k]为雷达子载波二元分配变量，当u[k]＝1时，表示子载波k分配给雷达波形用于目标探测，当u[k]＝0时，表示子载波k不分配给雷达波形用于目标探测；S[k]为第k个子载波上的正交频分复用发射波形；MIrad为表征雷达通信一体化系统目标参数估计性能的互信息；Rcom为表征雷达通信一体化系统通信性能的数据传输速率；Pmax[k]为第k个子载波上发射功率的上限；
Figure FDA0002319369460000024
为Mc个子载波所构成的集合；Mrad为分配给雷达波形用于目标探测的子载波个数；
将近似松弛法应用于二元变量，用0≤u[k]≤1替代u[k]∈{0,1}，同时令：
Figure FDA0002319369460000025
其中，hrad[k]和hcom[k]分别为雷达通信一体化系统第k个子载波上目标探测信道频率响应与通信信道频率响应；
雷达通信一体化系统子载波聚类与功率联合分配模型公式(3)等价转化为以下两个子问题：
Figure FDA0002319369460000031
和
Figure FDA0002319369460000032
5.根据权利要求4所述的雷达通信一体化系统子载波聚类与功率联合分配方法，其特征在于，步骤(4)中将雷达通信一体化系统子载波聚类与功率联合分配模型公式分三步进行优化，并采用循环最小法与KKT必要条件对其进行求解，具体为：
(a)子载波分配问题：
首先，为了解决子问题公式(5)，将uk的权值都设置为1，通过求解以下子问题公式(7)，得到用于雷达目标探测的子载波最优功率分配模型：
Figure FDA0002319369460000033
由于子问题公式(7)是凸问题，采用拉格朗日乘数法对其进行求解，其中，拉格朗日函数为：
Figure FDA0002319369460000041
其中，
Figure FDA0002319369460000042
和
Figure FDA0002319369460000043
表示非负拉格朗日乘数；然后，KKT必要条件对子问题公式(7)的最优解应满足：
Figure FDA0002319369460000044
其中，所有带“*”上标的变量分别表示各参数的最优解；即
Figure FDA0002319369460000045
为sk的最优解，
Figure FDA0002319369460000046
为
Figure FDA0002319369460000047
的最优解，
Figure FDA0002319369460000048
为
Figure FDA0002319369460000049
的最优解，
Figure FDA00023193694600000410
为
Figure FDA00023193694600000411
的最优解；
通过求解式(9)中的KKT必要条件，因此，子问题公式(7)对应的用于雷达目标探测的最优功率分配为：
Figure FDA00023193694600000412
其中，参数
Figure FDA00023193694600000413
由互信息阈值确定：
Figure FDA00023193694600000414
在求解得到用于雷达目标探测的子载波最优功率分配后，得到子问题(5)的最优解为
Figure FDA00023193694600000415
之后，对子问题(12)进行求解：
Figure FDA0002319369460000051
其中，
Figure FDA0002319369460000052
同理，子问题公式(12)也是一个凸优化问题，同样通过KKT必要条件求解，其最优解为：
Figure FDA0002319369460000053
其中，参数
Figure FDA0002319369460000054
由互信息阈值确定：
Figure FDA0002319369460000055
基于上述求解步骤，采用循环最小法，重复求解子问题公式(7)和公式(12)，直到前后两次迭代得到的雷达总发射功率的变化值小于预设阈值为止；然后，将Mrad个最大的
Figure FDA0002319369460000056
值设置为1，其他的设置为0；
(b)雷达功率分配子问题：
确定用于目标探测的最优子载波后，用于雷达目标探测的子载波最优功率分配为：
Figure FDA0002319369460000057
其中，
Figure FDA0002319369460000058
Figure FDA0002319369460000059
表示分配给雷达目标探测的子载波集合，参数
Figure FDA00023193694600000510
由互信息阈值确定：
Figure FDA00023193694600000511
(c)通信功率分配子问题：
在确定了分配给雷达目标探测的子载波集合
Figure FDA0002319369460000061
后，将其余的子载波分配给通信数据传输；在这种情况下，子问题公式(6)重写为：
Figure FDA0002319369460000062
其中，
Figure FDA0002319369460000063
表示分配给通信数据传输的子载波集合，通过KKT必要条件求解子问题公式(17)，得到用于通信数据传输的最优功率分配为：
Figure FDA0002319369460000064
其中，
Figure FDA0002319369460000065
参数
Figure FDA0002319369460000066
由互信息阈值确定：
Figure FDA0002319369460000067
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