CN111046325B - 一种化合物材料电子非弹性散射截面的确定方法 - Google Patents

一种化合物材料电子非弹性散射截面的确定方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种化合物材料电子非弹性散射截面的确定方法，该方法从化合物材料的微观结构出发，确定材料体系的基态波函数和基态能量，确定体系的激发态性质，如光学能量损失函数，确定电子在材料中的非弹性散射截面。在化合物材料非弹性散射截面难以获取困难的前提下，采用本发明所述方法可以快速、精准获得电子与化合物材料相互作用的非弹性散射截面。

Description

一种化合物材料电子非弹性散射截面的确定方法
技术领域
本发明属于电子科学与技术领域，涉及一种电子束激发二次电子发射过程中化合物材 料电子非弹性散射截面的确定方法
背景技术
电子辐照引起材料内部激发出二次电子是物理电子学中一个基础而重要的问题，同时 也是影响许多相关科学领域的重要因素。如：扫描电镜、俄歇电子能谱仪、空间飞行器表 面带电效应、大功率微波器件的微放电效应、真空电子学和粒子加速器等。二次电子发射 系数(SEY)是表征材料的二次电子发射特性的重要参数。因此，SEY的研究对各类电子器件、二次电子发射特性带来的影响有着重要评估意义。
深入分析电子在材料中的运动过程是研究二次电子发射特性的基础。当电子进入材料 后，电子会在材料内部与原子及分子发生散射。散射分为弹性散射和非弹性散射。弹性散 射仅仅改变原电子的运动方向，而非弹性散射不仅会改变原电子的运动方向，还会将原电 子的一部分能量传递给发生碰撞的原子或分子，使得材料中的电子激发运动出表面形成二 次电子。通过以上分析可以得出，电子在材料中非弹性散射过程时二次电子产生的根本原 因，而描述非弹性截面作为描述电子在材料中的非弹性散射过程的核心参数决定了材料二 次电子发射特性的关键。
Penn提出了处理材料的复介电函数的虚部从而准确得到非弹性散射截面的方法。在该 模型中，由于Lindhard能量损失函数的复杂性，难以直接通过积分得到能量损失，为近 似并简化计算，Penn提出单极近似方法，将能量损失函数外推采用光学能量损失函数近似。从而材料的光学能量损失函数成为求解非弹性散射截面的关键。
本发明从化合物材料的微观组成结构出发，对构建的材料模型求解光学能量损失函 数，结合Monte Carlo计算方法分析并建立材料微观组成结构与二次电子发射特性之间的 关系。
发明内容
化合物材料相比单质材料而言，由于不同元素间成键复杂，非弹性散射截面难以获取。 本发明技术解决的问题是：克服现有的技术的不足，提供了一种化合物材料电子非弹性散 射截面的确定方法。采用本发明所述方法可以从原子微观尺度上准确获得电子与化合物材 料相互作用时的非弹性散射截面。
本发明的技术解决方案是：
一种化合物材料电子非弹性散射截面的确定方法，包括以下步骤：
(1)确定化合物材料的微观尺度的计算结构；
(2)基于密度泛函理论，求解体系的Kohn-Sham方程，结合广义梯度关联势的模守恒 赝势得到基态能量及基态波函数；
(3)根据步骤(2)中的基态能量及基态波函数数据，采用含时密度泛函理论求解材料 的激发态性质：光学能量损失函数Im{-1/ε(ω)}；
(4)将步骤(3)中的光学能量损失函数数据近似并积分处理，得到电子与化合物材料 相互作用的非弹性散射截面
Figure BDA0002223925670000021
并确定发生非弹性散射后的能量损失、散射角 和方位角。
所述步骤(1)中的确定化合物材料微观尺度的计算结构，具体包括：原子相对空间位置、键长、键角信息的确定。
所述步骤(2)中的基于密度泛函理论，求解体系的Kohn-Sham方程，结合广义梯度关联势的赝势得到基态能量及基态波函数，具体实施方式如下：
根据Kohn-Sham方程有：
Figure BDA0002223925670000022
其中，ψi为单电子波函数，ρ(r)表示电子密度分布函数，E[ρ(r)]是体系总能， TS[ρ(r)]表示无互作用的电子体系的动能，J[ρ(r)]表示电子与电子相互作用的库仑势 能，Ene[ρ(r)]表示外场作用下的电子势能，EXC[ρ(r)]表示电子与电子相互作用的交换 关联势能。
交换关联势EXC[ρ(r)]是求解上述方程的关键，广义梯度近似EXC[ρ(r)]将不均匀的 电子密度梯度包含到能量密度梯度泛函中区，纠正了电子密度分布不均匀引起的误差，为 精确求解Kohn Sham方程式提供了方法。
Figure BDA0002223925670000031
ρα(r),ρβ(r)表示非限制，α，β自旋电子数不相等情况下的自旋密度。
PBE交换关联势提出函数f处理方式如下，该方法没有半经验参数:
Figure BDA0002223925670000032
在考虑正交和归一限制下，
Figure BDA0002223925670000033
应用变分原理，自洽求解KohnSham 方程可得到一系列的单电子波函数ψi的方程，i＝1,2,...,N，计算结果中一系列波函数 对应的能量最低的波函数即为基态波函数，该能量即为基态能量，同时记录能带占据数量 等物理信息。
Figure BDA0002223925670000034
上式为Kohn Sham方程式，式中:
Figure RE-GDA0002406361760000035
为Kohn Sham算符，
Figure RE-GDA0002406361760000036
εi表示未定乘数,
由于交换关联势EXC[ρ(r)]，只考虑了电子与电子之间的相互作用，模守恒赝势在拟 合了电子与原子核之间的库伦力后，能够计算体系的总能量。
基于以上讨论，采用广义梯度关联势的模守恒赝势方法能够求解体系的Kohn-Sham方 程，得到基态能量及基态波函数。
所述步骤(3)中的光学能量损失函数Im{-1/ε(ω)}可通过以下步骤获取：
Figure BDA0002223925670000037
Figure BDA0002223925670000038
上式：Ω表示晶体的体积，G和G’表示倒格子矢量，q表示布里渊区波矢，n是能带指数，k表示波矢，ψ0表示Kohn Sham方程求解下的基态波函数，ξ表示基态波函数相 对应的基态能量，f表示能带占据数量，BZ一般表示第一布里渊区；
Figure BDA0002223925670000041
因此，极化率χ可由上式表达，库仑势νG(q)＝4πe2/|q+G|2，交换关联势fXC采用绝热局域密度近似处理；
材料的微观介电函数表达式如下：
Figure BDA0002223925670000042
一旦知道微观介电函数，便可以获得材料的宏观介电常数：
Figure BDA0002223925670000043
材料的光学能量函数Im{-1/ε(ω)}：
Figure BDA0002223925670000044
上式中，Im表示介电函数虚部，Re表示介电函数实部。
所述步骤(4)中的电子非弹性散射截面
Figure BDA0002223925670000045
可以通过下式获得：
Figure BDA0002223925670000046
其中，a0是波尔半径，
Figure BDA0002223925670000047
Figure BDA0002223925670000048
和
Figure BDA00022239256700000413
分别对应动量和能量转移，采用Penn单极近似处理外推能量损失谱
Figure BDA00022239256700000410
Figure BDA00022239256700000411
式中，
Figure BDA00022239256700000412
为材料的光学能量损失函数。
本发明与现有技术相比具有如下优点：
(1)第一性原理计算材料的光学能量损失函数，该方法没有人为参数的引入，广泛适用于多种化合物材料的非弹性散射截面和二次电子发射特性的计算。该方法 对中低能电子非弹性散射的精确、快速的描述，使得该方法能够很好地在微放 电、扫描电子显微镜等领域中应用。
(2)本发明提出的方法从理论上无需任何经验参数，只需知道化合物材料的原子尺 度下的空间排列，就可以直接给出化合物材料的光学能量损失。本发明提出的 方法在计算化合物材料的光学能量损失，对截断能和K点网格迭代进行了测试， 保证了计算精度。
附图说明
图1是氮化钛晶胞结构图；
图2(a)TiN的截断能数测试结果图；
图2(b)TiN的K点取样个数测试结果图；
图3TiN光学能量损失函数图；
图4氮化钛二次电子发射系数图。
具体实施方式
参照图1所示，氮化钛的晶体结构如图1所示。氮化钛为NaCl晶体，属于面心立方，其中钛原子取代了Na，氮取代了Cl原子，晶格常数
Figure BDA0002223925670000051
参照图2(a)图2(b)所示，为保证求解氮化钛晶体Kohn-Sham方程的精度，需对 截断能和K点网格迭代进行测试，当体系总能趋于稳定即可。由测试结果可知，当截断能 为135Ry，K点采用8*8*8时，体系总能收敛。
参照图3所示，按照本发明方法，我们计算了氮化钛晶体的光学能量损失函数，将计 算结果与实验结果进行比对如图3所示，其中实线为本方法计算得到的结果，虚线为文献 报道的结果，从而验证计算的准确性。实验数据来自Fuentes等人发表的Electroninelastic mean free path for Ti,TiC,TiN and TiO2 as determined byquantitative reflection electron energy-loss spectroscopy。
参照图4所示，采用本发明计算的光学能量损失函数即可得到化合物材料电子非弹性 散射界面，结合已有的弹性散射截面数据即可得到化合物材料总的电子散射截面。Monte Carlo作为理论模拟材料二次电子发射特性准确且有效计算的方法，我们计算了氮化钛的 SEY如图4所示，其中实线为本发明的方法计算得到的结果，虚线为文献报道的实验结果。 可以看出，本发明的方法计算得到的结果与实验吻合效果较好。实验数据来Pimpec等人 发表的The Effect of Gas Ion Bombardment on the Secondary Electron Yieldof TiN, TiCN and TiZrV Coatings For Suppressing Collective Electron Effectsin Storage Rings.可以看出，本发明的方法计算得到的结果与实验吻合效果较好。
一种化合物材料电子非弹性散射截面的确定方法，包括以下步骤：
(1)确定化合物材料的微观尺度的计算结构；
(2)基于密度泛函理论，求解体系的Kohn-Sham方程，结合广义梯度关联势的模守恒 赝势得到基态能量及基态波函数；
(3)根据步骤(2)中的基态能量及基态波函数数据，采用含时密度泛函理论求解材料的 激发态性质：光学能量损失函数Im{-1/ε(ω)}；
(4)将步骤(3)中的光学能量损失函数数据近似并积分处理，得到电子与化合物材料 相互作用的非弹性散射截面
Figure BDA0002223925670000061
并确定发生非弹性散射后的能量损失、散射 角和方位角。
所述步骤(1)中确定化合物材料的微观尺度的计算结构，具体包括：原子相对空间位 置、键长、键角信息的确定；
以已知低二次电子发射系数化合物材料——氮化钛为例：氮化钛为NaCl晶体，属于面 心立方，其中钛原子取代了Na，氮取代了Cl原子，晶格常数
Figure BDA0002223925670000062
键角 α＝β＝γ＝90°。
所述步骤(2)中的基态波函数及基态能量获取方式如下：
根据Kohn-Sham方程有：
Figure BDA0002223925670000063
Figure BDA0002223925670000064
其中，ψi为单电子波函数，ρ(r)表示电子密度分布函数，E[ρ(r)]是体系总能， TS[ρ(r)]表示无互作用的电子体系的动能，J[ρ(r)]表示电子与电子相互作用的库仑势 能，Ene[ρ(r)]表示外场作用下的电子势能，EXC[ρ(r)]表示电子与电子相互作用的交换 关联势能。
交换关联势EXC[ρ(r)]是求解上述方程的关键，广义梯度近似EXC[ρ(r)]将不均匀的 电子密度梯度包含到能量密度梯度泛函中区，纠正了电子密度分布不均匀引起的误差，为 精确求解Kohn Sham方程式提供了方法。
Figure BDA0002223925670000071
ρα(r),ρβ(r)表示非限制，α，β自旋电子数不相等情况下的自旋密度。
PBE交换关联势提出函数f处理方式如下，该方法没有半经验参数:
Figure BDA0002223925670000072
在考虑正交和归一限制下，
Figure BDA0002223925670000073
应用变分原理，自洽求解KohnSham 方程可得到一系列的单电子波函数ψi的方程，i＝1,2,...,N，计算结果中一系列波函数 对应的能量最低的波函数即为基态波函数，该能量即为基态能量，同时记录能带占据数量 等物理信息。
Figure BDA0002223925670000074
上式为Kohn Sham方程式，式中:
Figure RE-GDA0002406361760000075
为Kohn Sham算符，
Figure RE-GDA0002406361760000076
εi表示未定乘数,
由于交换关联势EXC[ρ(r)]，只考虑了电子与电子之间的相互作用，模守恒赝势在拟 合了电子与原子核之间的库伦力后，能够计算体系的总能量。
基于以上讨论，采用广义梯度关联势的模守恒赝势方法能够求解体系的Kohn-Sham方 程，得到基态能量及基态波函数。
所述步骤(3)中的光学能量损失函数Im{-1/ε(ω)}可通过以下步骤获取：
Figure BDA0002223925670000077
Figure BDA0002223925670000078
上式：Ω表示晶体的体积，G和G表示倒格子数矢量，q表示布里渊区波矢，n是能 带指数，k表示波矢，ψ0表示Kohn Sham方程求解下的基态波函数，ξ表示基态波函数 相对应的基态能量，f表示能带占据数量，BZ一般表示第一布里渊区。
Figure BDA0002223925670000081
因此，极化率χ可由上式表达。库仑势νG(q)＝4πe2/|q+G|2，交换关联势fXC采用 绝热局域密度近似处理。
材料的微观介电函数表达式如下：
Figure BDA0002223925670000082
一旦知道微观介电函数，便可以获得材料的宏观介电常数：
Figure BDA0002223925670000083
材料的光学能量函数Im{-1/ε(ω)}：
Figure BDA0002223925670000084
上式中，Im表示介电函数虚部，Re表示介电函数实部。
所述步骤(4)中的电子非弹性散射截面
Figure BDA0002223925670000085
可以通过下式获得：
Figure BDA0002223925670000086
其中，a0是波尔半径，
Figure BDA0002223925670000087
Figure BDA0002223925670000088
和
Figure BDA0002223925670000089
分别对应动量和能量转移。采用Penn单极近似处理外推能量损失谱
Figure BDA00022239256700000810
Figure BDA00022239256700000811
式中，
Figure BDA00022239256700000812
为材料的光学能量损失函数。

Claims (5)

1.一种化合物材料电子非弹性散射截面的确定方法，其特征在于，包括以下步骤：
(1)确定化合物材料的微观尺度的计算结构；
(2)基于密度泛函理论，求解体系的Kohn-Sham方程，结合广义梯度关联势的模守恒赝势得到基态能量及基态波函数；
(3)根据步骤(2)中的基态能量及基态波函数数据，采用含时密度泛函理论求解材料的激发态性质：光学能量损失函数Im{-1/ε(ω)}；其中ε(ω)为材料的介电常数，ω为电磁场的角频率；
(4)将步骤(3)中的光学能量损失函数数据近似并积分处理，得到电子与化合物材料相互作用的非弹性散射截面
Figure FDA0003186737380000011
并确定发生非弹性散射后的能量损失、散射角和方位角，这里
Figure FDA0003186737380000012
为非弹性散射平均自由程的倒数，q表示布里渊区波矢，符号d表示微分运算。
2.根据权利要求1中所述的一种化合物材料电子非弹性散射截面的确定方法，其特征在于：所述步骤(1)中的确定化合物材料微观尺度的计算结构，具体包括：原子相对空间位置、键长、键角信息的确定。
3.根据权利要求1中所述的一种化合物材料电子非弹性散射截面的确定方法，其特征在于：所述步骤(2)中的基于密度泛函理论，求解体系的Kohn-Sham方程，结合广义梯度关联势的模守恒赝势得到基态能量及基态波函数，具体如下：
根据Kohn-Sham方程有：
Figure FDA0003186737380000013
Figure FDA0003186737380000014
其中，ψi为单电子波函数，ρ(r)表示电子密度分布函数，E[ρ(r)]是体系总能，TS[ρ(r)]表示无互作用的电子体系的动能，J[ρ(r)]表示电子与电子相互作用的库仑势能，Ene[ρ(r)]表示外场作用下的电子势能，EXC[ρ(r)]表示电子与电子相互作用的交换关联势能，这里r1,r2表示原子的局部坐标，A是原子核的编号，M是原子核的个数，ZA为相应原子的原子序数，riA是到A号原子的距离，ψi(ri)是第i个单电子波函数，
交换关联势EXC[ρ(r)]是求解上述方程的关键，采用广义梯度近似方法计算交换关联势
Figure FDA0003186737380000021
将不均匀的电子密度梯度包含到能量密度梯度泛函中，纠正了电子密度分布不均匀引起的误差，为精确求解Kohn-Sham方程式提供了方法；
Figure FDA0003186737380000022
α，β表示电子自旋电子数目，ρα(r),ρβ(r)表示α，β不相等情况下的电荷密度，
Figure FDA0003186737380000023
和
Figure FDA0003186737380000024
分别表示ρα(r)和ρβ(r)的梯度，函数f处理方式为如下没有半经验参数的方法:
Figure FDA0003186737380000025
其中
Figure FDA0003186737380000026
在考虑正交和归一限制下，
Figure FDA0003186737380000027
应用变分原理，自洽求解Kohn-Sham方程可得到一系列的单电子波函数ψi的方程，这里∫ψi(τ)是第i个电子的波函数，τ是波函数的自变量，i＝1,2,...,N，j＝1,2,...,N，表示电子的编号，右上角标*表示对波函数取共轭复数，δij在i和j相等时取值1，不等时取值0，计算结果中一系列波函数对应的能量最低的波函数即为基态波函数，最低能量即为基态能量，同时记录能带占据数量；
Figure FDA0003186737380000028
上式为Kohn-Sham方程式，式中:
Figure FDA0003186737380000029
为Kohn-Sham算符，
Figure FDA00031867373800000210
是拉普拉斯算符，δ表示对后面函数的变分，εi表示未定乘数,
由于交换关联势EXC[ρ(r)]，只考虑了电子与电子之间的相互作用，模守恒赝势在拟合了电子与原子核之间的库伦力后，能够计算体系的总能量；
采用广义梯度关联势的模守恒赝势方法能够求解体系的Kohn-Sham方程，得到基态能量及基态波函数。
4.根据权利要求1中所述的一种化合物材料电子非弹性散射截面的确定方法，其特征在于：所述步骤(3)中的光学能量损失函数Im{-1/ε(ω)}通过以下步骤获取：
Figure FDA0003186737380000031
Figure FDA0003186737380000032
上式：
Figure FDA0003186737380000033
表示极化率的0阶近似，Ω表示晶体的晶胞体积，G和G′分别表示基态和激发态的倒格子矢量，q表示布里渊区波矢，ω是外加电磁波的角频率，
Figure FDA0003186737380000034
为约化普朗克常数，n和n′是材料体系基态波函数的能带指数，k表示波矢，
Figure FDA0003186737380000035
表示Kohn-Sham方程求解下能带指数为n,波矢为k的基态波函数，
Figure FDA0003186737380000036
为
Figure FDA0003186737380000037
的共轭复数，ξn,k表示基态波函数
Figure FDA0003186737380000038
相对应的基态能量，fn,k表示基态波函数
Figure FDA0003186737380000039
的能带占据数量，i为虚数单位，η取值为0.001×(ξn,k-ξn',k+q)，r和r′都是空间坐标，BZ表示第一布里渊区；其中求和符号
Figure FDA00031867373800000310
表示对n和n′都求和；
Figure FDA00031867373800000311
其中求和符号
Figure FDA00031867373800000312
表示对G1和G2都求和，G1和G2用于求和的倒格子矢量；
因此，极化率χ由上式表达，库仑势νG(q)＝4πe2/|q+G|2，交换关联势fXC采用绝热局域密度近似处理；
材料的微观介电函数表达式如下：
Figure FDA00031867373800000313
一旦知道微观介电函数，便可以获得材料的宏观介电常数：
Figure FDA0003186737380000041
材料的光学能量函数Im{-1/ε(ω)}：
Figure FDA0003186737380000042
上式中，Im表示介电函数虚部，Re表示介电函数实部。
5.根据权利要求1中所述的一种化合物材料电子非弹性散射截面的确定方法，其特征在于：所述步骤(4)中的电子非弹性散射截面
Figure FDA0003186737380000043
可以通过下式获得：
Figure FDA0003186737380000044
其中，a0是波尔半径，
Figure FDA0003186737380000045
Figure FDA0003186737380000046
为约化普朗克常数，q表示布里渊区波矢，ω是外加电磁波的角频率，E为电子能量，采用Penn单极近似处理外推能量损失谱
Figure FDA0003186737380000047
Figure FDA0003186737380000048
式中，
Figure FDA0003186737380000049
为材料的光学能量损失函数，
Figure FDA00031867373800000410
m为电子质量。
CN201910945061.8A 2019-09-30 2019-09-30 一种化合物材料电子非弹性散射截面的确定方法 Active CN111046325B (zh)

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