CN102507608B - 一种确定中低能电子非弹性散射的方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种确定中低能电子非弹性散射的方法，包括确定与电子互相作用的等离子体激元的中心频率上限的步骤；确定离散能量点上等离子体激元与电子相互作用的权重函数的步骤；确定各等离子体激元与电子相互作用的0阶贡献和1阶贡献的步骤；和确定非弹性散射的散射截面和散射角的步骤。采用本发明所述方法可以快速、精确的获得电子与固体相互作用发生非弹性散射的散射截面和散射角。

Description

一种确定中低能电子非弹性散射的方法

技术领域

本发明公开了一种确定中低能电子非弹性散射的方法。

背景技术

电子束与物质的相互作用是凝聚态物理研究中的一个非常重要的领域，主要应用于电子显微学(如扫描电子显微镜(SEM)、透射电子显微镜(TEM))、表面电子能谱(俄歇电子能谱、电子能量损失谱等)、电子探针微分析、电子束光刻、电子束焊接、电子束蒸发沉积薄膜制备、电子束固化技术。在电子显微学和表面电子能谱中电子束作为探针轰击样品，在材料内通过电子的散射产生表征材料性质的各种特征信号，从而可获得材料的晶体结构、组成成分、电子结构、表面形貌、内部缺陷等各种微观性质。所以，电子束与物质的相互作用构成了许多检测和分析工具的基础。

电子束与物质的相互作用可看作电子在固体中的输运和散射两个过程。电子入射固体后，电子与固体中的原子或分子发生一系列碰撞，并按某种规律随机运动，运动方向不断发生改变，这种现象称为散射。电子在材料中的散射分为两类：弹性散射和非弹性散射。弹性散射改变散射电子的角度和位置，非弹性散射使电子的一部分能量传递给发生碰撞的原子或分子，电子能量降低，电子运动方向也发生变化。非弹性散射中被激发出的粒子携带着与物质材料相关的信息，因此常被用来作为电子能谱学中的收集信号。非弹性散射精确描述的关键是获得精确的非弹性散射截面及散射角。

目前已经提出了多种散射模型描述非弹性散射，其中Penn提出了利用介电函数处理的非弹性散射模型，由于它可以充分利用电子与金属相互作用的已有实验结果，准确计算非弹性散射截面，Penn介电模型成为现在描述散射能量低于10keV的非弹性散射的最常用的方法之一。在Penn介电模型中，由于Lindhard能量损失函数的复杂性，实际上很难通过直接积分得到能量损失函数，为了简化计算，Penn提出了单极近似方法。在单极近似下，忽略电子-空穴对的产生对Lindhard介电函数的贡献，认为单个能量损失函数项只有沿着等离子体激元色散曲线才有贡献，采用冲击函数描述Lindhard介电函数。

$\mathrm{Im}\left\{\frac{-1}{{\mathrm{\ϵ}}_L(q,\mathrm{\ω};{\mathrm{\ω}}_p)}\right\}\≈\frac{{\mathrm{\π\ω}}_p^2}{2{\mathrm{\ω}}_q}\mathrm{\δ}\left({\mathrm{\ω}-\mathrm{\ω}}_q\right)$

其中为Lindhard介电函数，ω_p为等离子体激元的频率，ω_q为等离子体激元的色散频率，

E为入射电子的能量。该方法无需拟合，但对与电子相互作用的等离子体激元的中心频率，需要逐一判断其所满足的动量约束和能量约束。由于该方法无法给出等离子体激元中心频率满足条件的确定范围，需要通过积分运算获得非弹性散射截面。该方法存在积分误差累积，同时不利于快速分析电子能量损失谱和二次电子发射特性研究。

发明内容

本发明的技术解决问题是：克服现有技术的不足，提供了一种确定中低能电子非弹性散射的方法。采用本发明所述方法可以快速、精确的获得电子与固体相互作用发生非弹性散射的散射截面和散射角。

本发明的技术解决方案是：

一种确定中低能电子非弹性散射的方法，包括以下步骤：

(1)根据电子发生非弹性散射前的电子能量E和非弹性散射中转移的能量ΔE，确定与电子相互作用的等离子体激元的中心频率上限ω_m；

(2)根据材料的光学能量损失函数在离散能量点E_pk上的值Im{-1/ε(E_p)}，确定E_m以内离散能量点上的权重函数W(ΔE，E_pk)；

(3)根据离散能量点上的权重函数W(ΔE，E_pk)，按照线性插值的方法确定各等离子体激元与电子相互作用的0阶贡献

和1阶贡献

(4)利用步骤(3)中得到的等离子体激元与电子作用的贡献，确定转移能量为ΔE的微分非弹性散射截面

并确定发生非弹性散射后的原电子散射角θ_IE及产生的二次电子散射角θ_SE。

所述步骤(1)中的E_m根据下式获得，

${E_m}^{2/3}=\left\{\begin{array}{cc}{(\sqrt{f}+\sqrt{f-e^3})}^{2/3}+{(\sqrt{f}-\sqrt{f-e^3})}^{2/3}-e& f>e^3\\ e(2\cos (\frac{2}{3}\arctan \sqrt{\frac{e^3}{f}}-1)-1)& f\≤e^3\end{array}\right.$

其中：E_m为中心频率上限对应的能量上限；

普朗克常量h＝6.626176×10^-34J/s；

$e=0.1308E{(1-\sqrt{1-\mathrm{\δ}})}^2;$

$f=\frac{1}{4}{E}^2({\mathrm{\δ}}^2-{(1-\sqrt{1-\mathrm{\δ}})}^4);$

δ＝ΔE/E。

所述步骤(2)中的W(ΔE，E_pk)通过以下步骤获得：

定义电子与中心频率为Ep的等离子体激元作用的权重函数W(ΔE，E_pk)：

$W(\mathrm{\ΔE},E_p)=\frac{{\mathrm{\ΔE}}^2-E_p^2}{{\mathrm{\ΔE}}^2-E_p^2+E_q^2}\mathrm{Im}\left(\frac{-1}{\mathrm{\ϵ}\left(E_p\right)}\right)$

其中：为与电子互作用的材料的光学能量损失函数；

$E_q=\sqrt{{\mathrm{\ΔE}}^2-E_p^2+0.0385E_p^{8/3}}-0.1962E_p^{4/3},$

利用光学能量损失函数在离散能量点Epk上的值，计算权重函数在离散点上的值W(ΔE，E_pk)：

$W(\mathrm{\ΔE},E_{\mathrm{pk}})=\frac{{\mathrm{\ΔE}}^2-E_{\mathrm{pk}}^2}{{\mathrm{\ΔE}}^2-E_{\mathrm{pk}}^2+E_{\mathrm{qk}}^2}\mathrm{Im}\left(\frac{-1}{\mathrm{\ϵ}\left(E_{\mathrm{pk}}\right)}\right)$

其中：E_pk为光学能量损失函数的离散能量点，E_pk≤E_M(k＝1，2，...N)。

所述步骤(3)中各等离子体激元与电子相互作用的0阶贡献

和1阶贡献

通过下式计算获得：

$\left\{\begin{array}{c}{l}_k^{\left(0\right)}=W(\mathrm{\ΔE},E_{\mathrm{pk}})-l_k^{\left(1\right)}{E}_{\mathrm{pk}}\\ l_k^{\left(1\right)}=\frac{W(\mathrm{\ΔE},E_{\mathrm{pk}+1})-W(\mathrm{\ΔE},E_{\mathrm{pk}})}{E_{\mathrm{pk}+1}-E_{\mathrm{pk}}}\end{array}\right..$

所述步骤(4)中的微分非弹性散射截面

通过下式获得：

$\frac{{\mathrm{d\λ}}_{\mathrm{in}}^{-1}}{d\left(\mathrm{\ΔE}\right)}=\frac{1}{{\mathrm{\πa}}_{0}E}\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}[\frac{1}{2}{l}_k^{\left(0\right)}\ln \frac{{\mathrm{\ΔE}}^2-E_{\mathrm{pk}}^2}{{\mathrm{\ΔE}}^2-E_{\mathrm{pk}+1}^2}+l_k^{\left(1\right)}(E_{\mathrm{pk}}-E_{\mathrm{pk}+1}+\frac{\mathrm{\ΔE}}{2}\ln \frac{{\mathrm{\ΔE}+E}_{\mathrm{pk}+1}}{\mathrm{\ΔE}-E_{\mathrm{pk}+1}}\·\frac{{\mathrm{\ΔE}-E}_{\mathrm{pk}}}{\mathrm{\ΔE}+E_{\mathrm{pk}}})]$

其中，a₀为波尔半径，

所述原电子散射角θ_IE及产生的二次电子散射角θ_SE通过下式获得：

$\left\{\begin{array}{c}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{IE}}=1+B-B{(1+\frac{2}{B})}^{\mathrm{RND}}\\ \cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{SE}}=\mathrm{RND}\end{array}\right.$

其中，

RND为[0，1]间的随机数。

本发明与现有技术相比具有如下优点：

(1)本发明提出的方法无需逐一判断与电子互相作用的等离子体激元的中心频率需满足的条件，直接给出等离子体激元中心频率满足动量约束和能量约束的确定范围，有利于快速、准确确定中低能电子的非弹性散射特性。

(2)本发明提出的方法通过定义电子与等离子体激元作用的权重函数，保证了计算精度，采用解析的方法直接计算出电子发生非弹性散射的散射截面及散射角，克服了积分运算导致的误差累积，具有计算速度快，并且计算精度高的特点。

(3)本发明描述的方法没有人为参数的引入，广泛适用于多种材料的电子能量损失谱和二次电子发射特性的计算，同时丰富的光学数据也保证了其普适性。该方法对中低能电子非弹性散射的精确、快速的描述，使得它更适于表面电子能谱、扫描电子显微镜及微放电阈值预测的应用。

附图说明

图1为金的光学能量损失函数；

图2为金在离散能量点上的权重函数；

图3为等离子体激元的0阶贡献；

图4为等离子体激元的1阶贡献；

图5为金的平均自由程；

图6为本发明流程图。

具体实施方式

本发明确定中低能电子非弹性散射的方法的流程如图6所示包括以下几个步骤：

(1)给定电子发生非弹性散射前的电子能量E和在该次非弹性散射中转移的能量ΔE，获得与电子互相作用的等离子体激元的中心频率上限

中心频率上限对应的能量上限E_M：

${E_m}^{2/3}=\left\{\begin{array}{cc}{(\sqrt{f}+\sqrt{f-e^3})}^{2/3}+{(\sqrt{f}-\sqrt{f-e^3})}^{2/3}-e& f>e^3\\ e(2\cos (\frac{2}{3}\arctan \sqrt{\frac{e^3}{f}}-1)-1)& f\≤e^3\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中：

E为电子入射能量(以价带底为参考点)，E≤10keV；

ΔE为电子在发生该次非弹性散射中转移的能量；

普朗克常量h＝6.626176×10^-34J/s；

δ＝ΔE/E；

$e=0.1308E{(1-\sqrt{1-\mathrm{\δ}})}^2;$

$f=\frac{1}{4}{E}^2({\mathrm{\δ}}^2-{(1-\sqrt{1-\mathrm{\δ}})}^4);$

(2)定义电子与中心频率为Ep的等离子体激元作用的权重函数W(ΔE，Ep)：

$W(\mathrm{\ΔE},E_p)=\frac{{\mathrm{\ΔE}}^2-E_p^2}{{\mathrm{\ΔE}}^2-E_p^2+E_q^2}\mathrm{Im}\left(\frac{-1}{\mathrm{\ϵ}\left(E_p\right)}\right)---\left(2\right)$

其中：

Ep为等离子体激元的中心频率；

为与电子互作用的材料的光学能量损失函数；

$E_q=\sqrt{{\mathrm{\ΔE}}^2-E_p^2+0.0385E_p^{8/3}}-0.1962E_p^{4/3},$

(3)利用材料的光学能量损失函数在离散能量点Epk上的值，计算权重函数在离散点上的值W(ΔE，Epk)：

$W(\mathrm{\ΔE},E_{\mathrm{pk}})=\frac{{\mathrm{\ΔE}}^2-E_{\mathrm{pk}}^2}{{\mathrm{\ΔE}}^2-E_{\mathrm{pk}}^2+E_{\mathrm{qk}}^2}\mathrm{Im}\left(\frac{-1}{\mathrm{\ϵ}\left(E_{\mathrm{pk}}\right)}\right)---\left(3\right)$

其中：

Epk为光学能量损失函数的离散能量点，E_pk≤E_M(k＝1，2，...N)；

(4)根据离散能量点上的权重函数W(ΔE，Epk)，按照线性插值的方法计算各等离子体激元与电子相互作用的0阶

和1阶

贡献：

$\left\{\begin{array}{c}{l}_k^{\left(0\right)}=W(\mathrm{\ΔE},E_{\mathrm{pk}})-l_k^{\left(1\right)}{E}_{\mathrm{pk}}\\ l_k^{\left(1\right)}=\frac{W(\mathrm{\ΔE},E_{\mathrm{pk}+1})-W(\mathrm{\ΔE},E_{\mathrm{pk}})}{E_{\mathrm{pk}+1}-E_{\mathrm{pk}}}\end{array}\right.---\left(4\right)$

其中：

E_p∈[E_pk，E_pk+1]，当k＝N时，E_pk+1＝E_M；

$l_k^{\left(1\right)}=\frac{W(\mathrm{\ΔE},E_{\mathrm{pk}+1})-W(\mathrm{\ΔE},E_{\mathrm{pk}})}{E_{\mathrm{pk}+1}-E_{\mathrm{pk}}}$

$l_k^{\left(0\right)}=W(\mathrm{\ΔE},E_{\mathrm{pk}})-l_1{E}_{\mathrm{pk}}$

(5)计算转移能量为ΔE的非弹性微分散射截面

$\frac{{\mathrm{d\λ}}_{\mathrm{in}}^{-1}}{d\left(\mathrm{\ΔE}\right)}=\frac{1}{{\mathrm{\πa}}_{0}E}\underset{k}{\mathrm{\Σ}}[\frac{1}{2}{l}_k^{\left(0\right)}\ln \frac{{\mathrm{\ΔE}}^2-E_{\mathrm{pk}}^2}{{\mathrm{\ΔE}}^2-E_{\mathrm{pk}+1}^2}+l_k^{\left(1\right)}(E_{\mathrm{pk}}-E_{\mathrm{pk}+1}+\frac{\mathrm{\ΔE}}{2}\ln \frac{{\mathrm{\ΔE}+E}_{\mathrm{pk}+1}}{\mathrm{\ΔE}-E_{\mathrm{pk}+1}}\·\frac{{\mathrm{\ΔE}-E}_{\mathrm{pk}}}{\mathrm{\ΔE}+E_{\mathrm{pk}}})]---\left(5\right)$

其中：

a₀为波尔半径，

根据能量守恒和动量守恒，计算发生非弹性散射后的原电子散射角θ_IE及产生的二次电子散射角θ_SE：

$\left\{\begin{array}{c}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{IE}}=1+B-B{(1+\frac{2}{B})}^{\mathrm{RND}}\\ \cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{SE}}=\mathrm{RND}\end{array}\right.---\left(6\right)$

其中：

$B=\frac{{(\sqrt{E}-\sqrt{E-\mathrm{\ΔE}})}^2}{2\sqrt{E(E-\mathrm{\ΔE})}};$

RND为[0，1]间的随机数。

(6)上述得到的微分非弹性散射截面对ΔE积分，得到非弹性散射平均自由程的倒数

电子的非弹性平均自由程表示的是一定能量的电子在材料中发生两次非弹性散射所经过的平均距离，它表征了样品表面信号来源的深度范围，是电子能谱分析中一个最为基本的物理量。

${\mathrm{\λ}}_{\mathrm{in}}^{-1}={\∫}_0^{E-E_F}\frac{{\mathrm{d\λ}}_{\mathrm{in}}^{-1}}{d\left(\mathrm{\ΔE}\right)}\·d\left(\mathrm{\ΔE}\right)---\left(7\right)$

电子在材料中运动的总平均自由程：

${\mathrm{\λ}}^{-1}={\mathrm{\λ}}_e^{-1}+{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{in}}^{-1}---\left(8\right)$

根据总平均自由程和散射角，即可获得非弹性散射的平均自由程就可得到电子与固体相互作用后，下一次运动的方向及位置。采用Monte Carlo(蒙特卡罗)模拟方法对电子在固体中的运动进行追踪，统计电子与固体作用后的从固体表面出射的电子数目、方向及能量，从而获得该固体的发射出的电子能谱及二次电子发射特性。

扫描电子显微镜通过电子枪产生初始电子，当电子与测试样品相互作用，结果在试样上产生各种携带样品信息的信号，如透射电子、弹性散射电子、二次电子、背散射电子、能量损失电子、吸收电子、俄歇电子、X射线、阴极发光等。因为从试样中所得到各种信息的强度和分布各自同试样的表面形貌、成分、晶向、以及表面的一些物理性质(如电性质、磁性质)等因素有关，因此，通过接收和处理这些信息，就可以获得表征形貌的扫描电子像，或进行晶体学分析以及成分分析，从而对样品进行形貌观察、成分分析和结构测定。理论上，可以通过模拟扫描电子显微镜中信号的产生过程来模拟扫描电子显微镜衬度像。采用本发明所述方法的数值模拟不仅有助于改进扫描电子显微镜，特别是有助于理解扫描电子显微镜中的成像机制和图像衬度形成机理。

影响航天器在轨运行的微放电现象，其本质为二次电子倍增效应。微放电阈值预测对于缩短微波部件设计周期、减少微放电实验时间和节省各向支出具有重要意义。精确的阈值预测建立在准确的材料二次电子发射特性上。本专利提出的方法能够快速、精确的求解中低能电子非弹性散射截面和散射角，从而准确的获得二次电子发射特性。

实施例

以金属金为例，首先确定与材料类型相关的参数费米能级E_F＝5.1eV，电子发生非弹性散射前的电子能量E，并将转移能量ΔE离散为M个离散点ΔE_i(i＝1，2，...，M)。

${\mathrm{\ΔE}}_i=\frac{i\left({E-E}_F\right)}{M}---\left(9\right)$

若E＝105.1eV，为保证计算精度，选择M＝500，ΔE为1×500的矩阵。以ΔE_i＝5eV为例说明计算中低能电子非弹性散射的方法。

由式(1)得到与电子互相作用的等离子体激元的中心频率对应的能量上限E_M＝4.9793eV。

在Edward D.Palik所著的《Handbook of Optical Constants of Solids》中可查阅不同材料的折射率n，消光系数k，介电常数ε＝(n+ik)²(i表示虚部)。在该书的P289-P303可以查阅到金的相关参数，通过计算可获得金的光学能量损失函数Im(-1/ε)，Im(-1/ε)表示-1/ε的虚部。金的整个能量范围的光学能量损失函数

如图1所示。

确定离散能量点E_pk，要求E_pk≤E_M，查阅Edward D.Palik所著文献，最左侧即为E_p值，由于E_p在2.0eV和2.1eV时，尚无吸收系数k的值，因此不计入这两点。材料金的离散能量点的个数共103个。

已知这103个离散能量点，根据公式(3)计算离散能量点上的权重函数W(ΔE，Epk)，其计算结果如图2所示。

根据上面的计算结果，获得各等离子体激元与电子相互作用的0阶

和1阶

贡献，如图3和图4所示。

由图3和图4查找出每个离散能量点E_pk(k＝1，2，...，106)上等离子体激元的0阶贡献和1阶贡献。

从式(5)得到的转移能量为5eV的微分非弹性散射的散射截面

若本次计算中产生的随机数为0.35，则由式(6)发生非弹性散射后的原电子散射角θ_IE＝6.4°，产生的二次电子散射角θ_SE＝69.5°。

通过上面的方法就可得到能量为105.1eV的电子在金中发生非弹性散射，转移能量5eV时的微分散射截面为

然后将式(9)计算的转移能量离散点均通过上面描述的实例得到微分散射截面，然后将所有微分散射截面与转移能量的乘积后相加即得到非弹性散射的总散射截面。总散射截面与平均自由程具有倒数关系。

由此计算的金的平均自由程结果如图5所示，其中实线为基于本发明的方法计算得到的结果，点为文献报道的实验结果。可以看出，本发明的方法计算得到的结果与实验吻合的很好。

本发明未详细说明部分属本领域技术人员公知常识。

Claims (5)

1.一种确定中低能电子非弹性散射的方法，其特征在于包括以下步骤：

(1)根据电子发生非弹性散射前的电子能量E和非弹性散射中转移的能量ΔE，确定与电子相互作用的等离子体激元的中心频率上限ω_m；

(2)根据材料的光学能量损失函数在离散能量点E_pk上的值Im{-1/ε(E_p)}，确定E_m以内离散能量点上的权重函数W(ΔE，E_pk)，E_m为中心频率上限对应的能量上限；所述E_p为等离子体的中心频率；

(3)根据离散能量点上的权重函数W(ΔE，E_pk)，按照线性插值的方法确定各等离子体激元与电子相互作用的0阶贡献

和1阶贡献

(4)利用步骤(3)中得到的等离子体激元与电子作用的贡献，确定转移能量为ΔE的微分非弹性散射截面，并确定发生非弹性散射后的原电子散射角θ_IE及产生的二次电子散射角θ_SE。

2.根据权利要求1所述的一种确定中低能电子非弹性散射的方法，其特征在于：所述步骤(1)中的

E_m根据下式获得，

${E_m}^{2/3}=\left\{\begin{array}{cc}{(\sqrt{f}+\sqrt{f-e^3})}^{2/3}+{(\sqrt{f}-\sqrt{f-e^3})}^{2/3}-e& f>e^3\\ e(2\cos \left(\frac{2}{3}\arctan \sqrt{\frac{e^3}{f}-1}\right)-1)& f\≤e^3\end{array}\right.$

其中：普朗克常量h＝6.626176×10^-34J/s；

$e=0.1308E{(1-\sqrt{1-\mathrm{\δ}})}^2;$

$f=\frac{1}{4}{E}^2({\mathrm{\δ}}^2-{(1-\sqrt{1-\mathrm{\δ}})}^4);$

δ＝ΔE/E。

3.根据权利要求1所述的一种确定中低能电子非弹性散射的方法，其特征在于：所述步骤(2)中的W(ΔE，E_pk)通过以下步骤获得：

定义电子与中心频率为E_p的等离子体激元作用的权重函数W(ΔE，E_pk)：

$W(\mathrm{\ΔE},E_p)=\frac{\mathrm{\Δ}{E}^2-E_p^2}{\mathrm{\Δ}{E}^2-E_p^2+E_q^2}\mathrm{Im}\left(\frac{-1}{\mathrm{\ϵ}\left(E_p\right)}\right)$

其中：

为与电子互作用的材料的光学能量损失函数；

$E_q=\sqrt{\mathrm{\Δ}{E}^2-E_p^2+0.0385E_p^{8/3}}-0.1962E_p^{4/3},$

利用光学能量损失函数在离散能量点E_pk上的值，计算权重函数在离散点上的值W(ΔE，E_pk)：

$W(\mathrm{\ΔE},E_{\mathrm{pk}})=\frac{\mathrm{\Δ}{E}^2-E_{\mathrm{pk}}^2}{\mathrm{\Δ}{E}^2-E_{\mathrm{pk}}^2+E_{\mathrm{qk}}^2}\mathrm{Im}\left(\frac{-1}{\mathrm{\ϵ}\left(E_{\mathrm{pk}}\right)}\right)$

其中：E_pk为光学能量损失函数的离散能量点，E_pk≤E_M(k＝1，2，...N)。

4.根据权利要求1所述的一种确定中低能电子非弹性散射的方法，其特征在于：所述步骤(3)中各等离子体激元与电子相互作用的0阶贡献和1阶贡献

通过下式计算获得：

$\left\{\begin{array}{c}{l}_k^{\left(0\right)}=W(\mathrm{\ΔE},E_{\mathrm{pk}})-l_k^{\left(1\right)}{E}_{\mathrm{pk}}\\ l_k^{\left(1\right)}=\frac{W(\mathrm{\ΔE},E_{\mathrm{pk}+1})-W(\mathrm{\ΔE},E_{\mathrm{pk}})}{E_{\mathrm{pk}+1}-E_{\mathrm{pk}}}\end{array}\right..$

5.根据权利要求1所述的一种确定中低能电子非弹性散射的方法，其特征在于：所述步骤(4)中的微分非弹性散射截面

通过下式获得：

$\frac{d{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{in}}^{-1}}{d\left(\mathrm{\ΔE}\right)}=\frac{1}{\mathrm{\π}{a}_{0}E}\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}[\frac{1}{2}{l}_k^{\left(0\right)}\ln \frac{\mathrm{\Δ}{E}^2-E_{\mathrm{pk}}^2}{\mathrm{\Δ}{E}^2-E_{\mathrm{pk}+1}^2}+l_k^{\left(1\right)}(E_{\mathrm{pk}}-E_{\mathrm{pk}+1}+\frac{\mathrm{\ΔE}}{2}\ln \frac{\mathrm{\ΔE}+E_{\mathrm{pk}+1}}{\mathrm{\ΔE}-E_{\mathrm{pk}+1}}\·\frac{\mathrm{\ΔE}-E_{\mathrm{pk}}}{\mathrm{\ΔE}+E_{\mathrm{pk}}})$

其中，a₀为波尔半径，

为非弹性散射平均自由程的倒数；

所述原电子散射角θ_IE及产生的二次电子散射角θ_SE通过下式获得：

$\left\{\begin{array}{c}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{IE}}=1+B-B{(1+\frac{2}{B})}^{\mathrm{RND}}\\ \cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{SE}}=\mathrm{RND}\end{array}\right.$

其中， $B=\frac{{(\sqrt{E}-\sqrt{E-\mathrm{\ΔE}})}^2}{2\sqrt{E(E-\mathrm{\ΔE})}};$ RND为[0，1]间的随机数。

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