CN110990949A - 一种计及铰链间隙的柔性航天器动力学建模方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种计及铰链间隙的柔性航天器动力学建模方法，该方法包括以下步骤：步骤1：构建锁定后含间隙的铰链力学模型；步骤2：展开锁定后具有含间隙铰链的柔性体动力学建模；步骤3：展开锁定后具有含间隙铰链的柔性航天器刚柔耦合非线性动力学建模；步骤4：采用Newmark算法，求解柔性航天器刚柔耦合非线性动力学模型，并分析复杂外载荷条件下含间隙铰链的柔性航天器动力学响应。本发明克服了传统的柔性航天器建模方法中未考虑铰链间隙影响的缺陷，可以细致刻画局部的铰链接触碰撞，能够准确描述铰链间隙对柔性航天器的姿态运动及柔性振动的影响，且方法适用性强，为实现柔性航天器的高精度高稳定性指向控制提供精确和高效的动力学模型。

Description

一种计及铰链间隙的柔性航天器动力学建模方法

技术领域

本发明涉及柔性航天器动力学建模研究领域，具体涉及一种计及铰链间隙的柔性航天器动力学建模方法。

背景技术

柔性航天器是指可以简化为由中心刚体1(本体)和柔性体2构成的数学模型的系统，其中柔性体2之间通过含间隙的铰链3连接，铰链3的销孔(轴承31)和销轴32之间存在一定的间隙，如图1和图3所示。柔性体2为悬臂外伸铰接组合结构，具有大挠性、低阻尼、模态密集等特点。

对于柔性航天器的动力学建模问题，目前常用的方法是基于光滑铰链3连接的刚柔耦合动力学建模方法。但对于实际的大型柔性航天器，铰链3运动副之间的间隙无法避免，铰链3间隙会使铰链3部件间产生强的非线性碰撞力，而众多间隙的累计贡献将对柔性航天器展开锁定后的动力学特性造成较大的影响，尤其对于大挠性航天器，将直接影响航天器的姿态运动和有效载荷的指向精度及稳定度。当前在对柔性航天器刚柔耦合动力学建模的研究中，为了建模上的便利，通常都未计及铰链3间隙，而实际上间隙对航天器动力学特性的影响不容忽视；目前在仅有的考虑航天器铰链3间隙的动力学建模中，均是针对航天器可展机构的展开过程进行的，而关于航天器展开锁定后的动力学建模，尤其计及铰链3间隙对展开锁定后航天器的姿态运动及柔性振动影响的动力学建模技术还鲜有研究；现有的考虑铰链3间隙的航天器动力学建模，大都是采用中心刚体1+柔性体2这类较为理想的模型且考虑较为简单的激励载荷，而针对具有复杂柔性体2铰接结构且经受复杂外载荷激励的航天器建模及其非线性求解方法，目前的动力学建模技术并不能很好地解决这一问题。

发明内容

本发明的目的是针对含间隙铰链连接的柔性航天器展开锁定后的动态特性，为了能够更精确地描述铰链间隙对航天器姿态运动及柔性振动的影响，建立了一种计及铰链间隙的柔性航天器动力学建模方法，构建含间隙铰接的柔性航天器精确动力学模型，求解非线性耦合动力学模型并进行动力学响应分析，为大尺度柔性航天器高精度高稳定性的指向控制的发展奠定技术基础。

为达到上述目的，本发明提供了一种计及铰链间隙的柔性航天器动力学建模方法，其包括以下步骤：步骤1：构建锁定后含间隙的铰链力学模型；步骤2：展开锁定后具有含间隙铰链的柔性体动力学建模；步骤3：展开锁定后具有含间隙铰链的柔性航天器刚柔耦合非线性动力学建模；步骤4：采用Newmark数值迭代算法，求解柔性航天器刚柔耦合非线性动力学模型，并分析复杂外载荷条件下具有含间隙铰链的柔性航天器动力学响应。

上述的计及铰链间隙的柔性航天器动力学建模方法，其中，步骤1和步骤2中，采用Lankarani-Nikravesh连续接触力模型，铰链的销轴和轴承发生碰撞时，接触点处的法向接触力F_n与变形的非线性关系为：

其中，K表示铰链的接触刚度系数，为

其中，

R₁和R₂分别为销轴和轴承的半径，铰链间隙为d＝R₂-R₁，E₁和E₂分别为销轴和轴承的弹性模量，v₁和v₂分别为销轴和轴承的泊松比；δ为弹性变形量，c_e为恢复系数，

为撞击点的初始相对速度，η为接触阻尼因子，n表示变形的指数系数；

采用改进的库伦摩擦模型，则铰链的销轴和轴承发生碰撞时，接触点处的切向摩擦力F_t表示为：

其中，μ_d为滑动摩擦系数，v_t为接触过程中的相对切向速度，c_d为动态修正系数；

当铰链的销轴和轴承发生碰撞时，接触点处的接触碰撞力矢量F_a为法向接触力矢量和切向摩擦力矢量的矢量和；

不含铰链的柔性体的动力学方程如下式所示：

其中M、C和K分别为柔性体结构的整体质量阵、阻尼阵和刚度阵，F为外力矢量；

计算由含间隙铰链引入的结构质量矩阵、结构刚度矩阵和阻尼矩阵，分别为M_j、K_j和C_j，j表示第j个铰链；则含间隙铰链与柔性体组合结构的整体动力学方程为：

其中

其中F_a＝F_n+F_t表示铰链的销轴和轴承发生碰撞时，接触点处的接触碰撞力；

对铰接结构采用模态截断，从而建立低维的展开锁定后具有含间隙铰链的柔性体动力学方程：

其中，

其中，Φ是模态矩阵，q是模态坐标，

是广义外力矢量，

是由间隙引起的铰链广义碰撞力矢量。

上述的计及铰链间隙的柔性航天器动力学建模方法，其中，步骤3中，根据哈密顿原理，结合边界条件和步骤2得到的低维的展开锁定后具有含间隙铰链的柔性体动力学方程，进而得到离散形式的展开锁定后具有含间隙铰链的柔性航天器刚柔耦合非线性动力学方程：

其中，J表示中心刚体和柔性体的转动惯量之和，H表示刚柔耦合矩阵，H＝∫_Ω(r^×+w^×)Ndm，r为柔性体上任意点在随体坐标系中的位置矢量，w为参考点P的弹性位移在随体坐标系中的分量列阵，随体坐标系o-xyz固定在中心刚体上，其中x、y和z分别表示柔性体的长度、宽度和厚度方向；“×”表示叉乘矩阵；

表示线性刚度项，

表示由刚柔耦合非线性和几何非线性引入的非线性刚度项；

表示由间隙引起的广义碰撞力矢量。

上述的计及铰链间隙的柔性航天器动力学建模方法，其中，步骤4中，由步骤3得到的刚柔耦合非线性动力学方程如下：

Newmark数值迭代算法的步骤如下：初始输入为

λ,β，其中

和

分别为刚柔耦合非线性动力学方程初始时刻的广义位移、广义速度和广义外力，λ和β分别为Newmark数值算法中的参数；

令

其中

为刚柔耦合非线性动力学方程的广义位移；

得初始加速度为：

设定时间步长Δt，则总时间步数为n_t＝t/Δt，对时间步i(i＝0,…,n_t-1)进行循环：

for i＝0,…,n_t-1

根据步骤1中的铰链力学模型求得此时刻的碰撞力为：F_a(i+1)

进而判断碰撞是否发生：

然后计算第(i+1)个时间步长的非线性质量矩阵

阻尼矩阵

非线性刚度矩阵

及非线性力矩阵

end loop

最后输出柔性体在每一时间步长的振动位移、航天器本体的姿态角、姿态角速度及铰链接触碰撞力；

其中，

为判断碰撞是否发生的条件，表示当连续两个时刻碰撞穿透量的乘积小于0时，则会发生碰撞，其中

表示第i个时间步长铰链发生碰撞产生的穿透量；

利用第i个时间步长获得的广义位移

计算第(i+1)个步长的非线性质量矩阵

非线性刚度矩阵

及广义力矩阵

从而在每一时间步长均自动更新非线性质量矩阵、刚度矩阵和力矩阵；

所述复杂外载荷条件包括脉冲载荷、随机载荷、周期扰动力矩、简谐激励载荷；针对任意的外载荷激励F，将F表示为时域内离散的载荷力形式：F＝F(i)，(i＝0,…,n_t-1)，根据Newmark数值迭代求解；求解柔性航天器在复杂外载荷激励下的航天器姿态运动和柔性振动响应，分析铰链间隙的尺寸大小、数量、位置分布对航天器动力学特性的影响，从而设计出最优的铰链间隙尺寸、数量和位置布局。

相对于现有技术，本发明具有以下有益效果：

(1)针对铰链侧向方向上的弯曲刚度非线性，构建了锁定后含间隙的铰链力学模型；考虑了铰链的质量、阻尼和刚度对系统整体动力学特性的影响；考虑了铰链间隙造成的接触碰撞力对整体结构动态特性的影响作用。

(2)方法适用性强，本专利方法能够便利地处理较为复杂的柔性结构，如具有复杂几何外形的板、复合材料蜂窝板、桁架等柔性结构，具有良好的工程实践应用价值。

(3)相比传统的柔性航天器动力学建模，本发明采用计及铰链间隙的柔性航天器动力学模型，能够细致刻画航天器局部的铰链构件间的接触碰撞作用，可以更准确地描述铰链间隙对柔性航天器的姿态运动及柔性振动的影响，为大尺度柔性航天器高精度高稳定性的指向控制的发展奠定坚实的技术基础。

(4)使用Newmark算法对所建立的非线性动力学模型进行迭代求解，能够充分考虑几何非线性、刚柔耦合非线性及间隙引起的非线性碰撞力等强非线性因素，算法更高效；在每一迭代时间步长都会自动更新非线性质量矩阵、刚度矩阵和力矩阵，算法更精确；算法流程实现便捷，得到了离散形式的非线性动力学状态空间方程，更有利于后续控制方法的施加。

(5)本专利能够便利的处理较复杂的外载荷激励条件，能够地深入分析铰链间隙的尺寸大小、数量、位置分布等因素对航天器动力学特性的影响，从而设计出最优的铰链间隙尺寸、数量和位置布局。

附图说明

图1为含间隙铰链连接的刚柔耦合航天器模型示意图；

图2为含铰链间隙的柔性航天器动力学建模流程图；

图3为平面回转铰链接触状态示意图；

图4为铰链间隙的物理模型示意图；

图5为含间隙铰接结构的动力学模型示意图；

图6为Newmark非线性迭代算法流程图；

图7为不同间隙大小时柔性体自由端处的振动位移；

图8为不同间隙大小时航天器的姿态角；

图9为间隙为0.005rad时铰链的碰撞力矩曲线。

具体实施方式

以下结合附图通过具体实施例对本发明作进一步的描述，这些实施例仅用于说明本发明，并不是对本发明保护范围的限制。

本发明提出了一种计及铰链3间隙的柔性航天器动力学建模方法，主要包括以下步骤：

(1)构建锁定后含间隙的铰链3力学模型。针对柔性航天器的可展结构在空间展开锁定后服役的动态特性，连接铰链3采用平面回转铰链3模型，主要考虑铰链3侧向方向上的间隙。计及接触过程中的能量损失，基于Lankarani-Nikravesh连续接触力模型，同时考虑铰间间隙的摩擦力，采用改进的库伦摩擦模型，建立锁定后含间隙的铰链3接触力模型。

(2)展开锁定后含间隙铰链3的柔性体2动力学建模。首先求得不含铰链3的柔性结构的整体质量矩阵和刚度矩阵，若对于复杂的柔性结构(如具有复杂几何外形的板、复合材料蜂窝板、桁架等结构)，可以采用有限元通用软件获得结构的整体质量矩阵和刚度矩阵；然后基于步骤(1)中得到的铰链3线性刚度，求得包含铰链3质量与刚度的铰-柔性体2组合结构的整体质量矩阵和刚度矩阵；最后对铰接柔性结构采用模态离散方法，从而建立低维的动力学模型。

(3)展开锁定后含间隙铰链3的柔性航天器动力学建模。考虑几何非线性的应变-位移关系，计算柔性航天器总的动能和应变能，根据哈密顿原理，得到系统连续形式的刚柔耦合动力学方程。采用模态离散方法，建立包含几何非线性、刚柔耦合非线性及间隙非线性的离散形式的航天器刚柔耦合非线性动力学模型。

(4)计及铰链3间隙的柔性航天器动力学模型求解方法。充分考虑几何非线性项、刚柔耦合非线性项以及由间隙引起的非线性碰撞力项，采用Newmark数值迭代格式求解耦合的非线性动力学模型，在每一迭代时间步长都会自动更新非线性质量矩阵、刚度矩阵和力矩阵，充分考虑了非线性因素的影响，最终求解出柔性体2的振动位移、航天器本体的姿态角、姿态角速度等信息。

复杂外载荷条件下含间隙铰链3的柔性航天器动力学响应分析方法。柔性航天器在轨运行所受到的外界激励载荷主要包括脉冲载荷、随机载荷、周期扰动力矩、简谐激励载荷等。采用Newmark数值迭代算法求解外载荷激励条件下航天器的姿态运动响应和柔性振动响应响应，深入分析铰链3间隙的尺寸大小、数量、位置分布等因素对航天器动力学特性的影响，从而设计出最优的铰链3间隙尺寸、数量和位置布局，并为后续控制方案的施加提供精确的动力学模型。

如图2所示，本发明提出了一种计及铰链3间隙的柔性航天器动力学建模方法，主要包括以下步骤：

(1)构建锁定后含间隙的铰链3力学模型。

针对柔性航天器的可展结构在空间展开锁定后服役的动态特性，连接铰链3采用平面回转铰链3模型，主要考虑铰链3侧向方向上的间隙。计及接触过程中的能量损失，基于Lankarani-Nikravesh连续接触力模型，同时考虑铰间间隙的摩擦力，采用改进的库伦摩擦模型，建立锁定后含间隙的铰链3接触力模型。

具体地，针对柔性航天器的可展结构在空间展开锁定后服役的动态特性，连接铰链3采用平面回转铰链3模型，如图3所示，包括耳板33、销轴32和销孔(轴承31)。由于可展结构展开锁定后的变形模式以弯曲为主，此时平面回转铰链3侧向方向上的间隙对系统动态特性的影响最显著，因此本专利主要考虑平面回转铰链3侧向方向上的弯曲刚度非线性，即主要考虑铰链3侧向方向上的间隙。图4所示为铰链3间隙的物理模型，R₁表示铰链3销轴32的半径，R₂表示铰链3轴承31(销孔)的半径，这里的轴承31即相当于平面回转铰链3中的销孔。将铰链3分别简化为两种类型的弹簧模型：第一种为线性弹簧模型，目的是为了获得铰链3的线性刚度k_j(j表示第j个铰链3)；第二种为非线性弹簧阻尼模型，目的是为了得到铰链3销轴32和轴承31间的非线性接触碰撞力。本专利考虑接触过程中的能量损失，采用Lankarani-Nikravesh续接触力模型，法向接触力与变形的非线性关系为：

其中，K表示铰链3的接触刚度系数，为

其中，

R₁和R₂分别为销轴32和轴承31的半径，铰链3间隙为d＝R₂-R₁，E₁和E₂分别为销轴32和轴承31的弹性模量，v₁和v₂分别为销轴32和轴承31的泊松比；δ为弹性变形量即穿透量，c_e为恢复系数，

为撞击点的初始相对速度，η为接触阻尼因子，n表示变形的指数系数。

同时考虑铰链3销轴32和轴承31接触点切向方向的摩擦力效应。采用改进的库伦摩擦模型，则铰链3接触点处的摩擦力可以表示为：

其中：μ_d为滑动摩擦系数，v_t为接触过程中的相对切向速度，c_d为动态修正系数，表达式如下：

其中v₀和v_m为给定的速度极限值。当铰链3的销轴32和轴承31发生碰撞时，接触点处的接触碰撞力矢量F_a为法向接触力矢量和切向摩擦力矢量的矢量和：F_a＝F_n+F_t。

(2)展开锁定后含间隙铰链3的柔性体2动力学建模。

首先求得不含铰链3的柔性结构的整体质量矩阵和刚度矩阵，若对于复杂的柔性结构(如具有复杂几何外形的板、复合材料蜂窝板、桁架等结构)，可以采用有限元通用软件获得结构的整体质量矩阵和刚度矩阵；然后基于步骤(1)中得到的铰链3线性刚度，求得包含铰链3质量与刚度的铰-柔性体2组合结构的整体质量矩阵和刚度矩阵；最后对铰接柔性结构采用模态离散方法，从而建立低维的动力学模型。

具体地，对于典型的柔性梁结构，通过有限元离散可以得到不含铰链3的柔性体2的整体质量矩阵和整体刚度矩阵；若对于复杂的柔性结构(如具有复杂几何外形的板、复合材料蜂窝板结构以及桁架结构等)，可以采用有限元通用软件获得不含铰链3的柔性结构的整体质量矩阵和整体刚度矩阵，得到系统的动力学方程如下式所示：

其中M、C和K分别为柔性体2结构的整体质量阵、阻尼阵和刚度阵，x表示节点位移矢量，F为外力矢量。

其次，求得由铰链3引入的结构质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵，分别为M_j、K_j和C_j(j表示第j个铰链3)，其中刚度矩阵K_j由步骤(1)中的铰链3线性刚度k_j经组装获得。则可以得到铰-柔性体2组合结构的整体动力学方程：

其中

其中F_a＝F_n+F_t表示铰链3接触碰撞力，可由步骤(1)中的接触力模型获得。

在铰-柔性体2组合结构的动力学方程(5)中包含了铰链3的质量和刚度，而在以往的铰接结构动力学建模中往往忽略了铰链3的质量和刚度对系统整体动力学特性的影响，当大型柔性结构中含有众多铰链3时，铰链3自身特性对整体结构的影响不容忽视。然后对铰接结构采用模态截断，从而建立低维的动力学模型。

使用模态离散方法，则公式(5)可以变换为：

其中

其中，

分别是模态质量矩阵、模态阻尼矩阵和模态刚度矩阵，Φ是模态矩阵，q是模态坐标，

是广义外力矢量，

是由间隙引起的广义碰撞力矢量。

下面以欧拉-伯努利梁为例进行说明。每个梁单元节点采用两个自由度，即平面内的挠度和转角自由度。由于柔性体2为欧拉-伯努利梁，变形形式以弯曲为主，因此将铰链3简化为扭簧，如图5所示。首先不含铰链3的柔性梁的整体刚度、质量和阻尼矩阵分别为：M、K和C。

由铰链3引入的M_j、K_j和C_j分别为：

其中f和g分别表示自由度的编号，h为铰链3所在位置的移动自由度，m_j为铰链3质量；

K_j是铰链3引入的结构刚度阵，

其中k_j为步骤(1)中所述的铰链3线性刚度k_j，j1和j2分别表示铰链3所在位置的弯曲自由度编号；

C_j是铰链3引入的结构阻尼阵，

其中c_j表示第j个铰链3的阻尼。

则由铰链3和柔性体2所组成的铰接组合结构的整体质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵为：

和

可得到铰-柔性体2组合结构的动力学方程(5)。然后对铰接结构采用模态离散方法，从而建立低维的动力学模型。

针对铰链3侧向方向上的弯曲刚度非线性，考虑铰链3侧向方向上的间隙，采用Lankarani-Nikravesh连续接触力模型和改进的库伦摩擦模型，构建了锁定后含间隙的铰链3力学模型；以此为基础，建立了展开锁定后包含铰链3间隙的柔性体2结构动力学方程，充分考虑了铰链3间隙造成的接触碰撞力对整体结构的影响作用；考虑了铰链3的质量、阻尼和刚度对系统整体动力学特性的影响，当大型柔性结构中含有众多铰链3时，铰链3自身特性对整体结构的影响不容忽视；建模方法适用性强，本专利方法能够便利地处理较为复杂的柔性体2结构，如具有复杂几何外形的板、复合材料蜂窝板、桁架等结构，具有良好的工程实践应用价值。

(3)展开锁定后含间隙铰链3的柔性航天器刚柔耦合动力学建模。

考虑几何非线性的应变-位移关系，计算柔性航天器总的动能和应变能，根据哈密顿原理，得到系统连续形式的刚柔耦合动力学方程。采用模态离散方法，建立包含几何非线性、刚柔耦合非线性及间隙非线性的离散形式的航天器刚柔耦合非线性动力学模型。

具体地，如图1所示，首先定义惯性坐标系O-XYZ，o-xyz为固定在中心刚体1上的随体坐标系，其中x、y和z分别表示柔性体2的长度、宽度和厚度方向，u表示x方向的位移，v表示y方向的位移，w表示z方向的位移。点P在随体坐标系中的位置矢量r为：

r＝(r₀+x+u)i+vj+wk (8)

其中r₀表示中心刚体1的边长，i、j和k分别是随体坐标系沿x、y和z轴的单位向量。

柔性航天器总的动能为：

其中ρ是柔性体2的材料密度，

表示点P在惯性坐标系下的速度矢量，

表示航天器在惯性坐标系下的角速度矢量，J₁＝diag(J_x,J_y,J_z)表示中心刚体1的转动惯量，Ω表示柔性体2的积分区域。

对于大尺度的航天器柔性结构，则考虑几何非线性的应变-位移关系为：

其中ε和γ分别为正应变和切应变。柔性航天器总的应变能为：

其中

和τ＝Gγ分别表示正应力和切应力，E和G分别表示柔性体2的弹性模量和剪切模量，μ是柔性体2材料的泊松比。

根据哈密顿原理，能够得到柔性航天器系统连续形式的刚柔耦合动力学方程。对柔性体2的弹性连续位移进行离散化，则可表示为：Nq，其中N为模态矩阵，q为模态坐标。在推导模态矩阵N的过程中，可以采用线性化的方法；如果柔性结构比较复杂(如具有复杂几何外形的板、复合材料蜂窝板、桁架结构等)，则模态矩阵N可以通过有限元通用软件求解获得。

再结合边界条件和公式(6)，可得到离散形式的刚柔耦合非线性动力学方程：

其中J表示中心刚体1和柔性体2的转动惯量之和，H表示刚柔耦合矩阵，H＝∫_Ω(r^×+w^×)Ndm，r为柔性体2上任意点在随体坐标系中的位置矢量，w为参考点P的弹性位移在随体坐标系中的分量列阵，“×”表示叉乘矩阵；

表示线性刚度项，

表示由刚柔耦合非线性和几何非线性引入的非线性刚度项；

表示由间隙引起的广义碰撞力矢量。

考虑柔性体2刚柔耦合非线性及几何非线性，构建了展开锁定后包含间隙铰链3的柔性航天器的刚柔耦合非线性动力学模型。本专利能够处理具有比较复杂柔性结构的航天器；动力学模型包括了航天器的柔性振动、姿态运动和铰链3间隙之间的相互耦合作用，能够细致刻画航天器局部的铰链3构件间的接触碰撞作用，能够更准确地描述铰链3间隙对柔性航天器的姿态运动及柔性振动的影响，这也是本专利的一大创新之处，为大尺度柔性航天器高精度高稳定性的指向控制的发展奠定坚实的技术基础。

(4)计及铰链3间隙的柔性航天器动力学模型求解方法。

充分考虑几何非线性项、刚柔耦合非线性项以及由间隙引起的非线性碰撞力项，采用Newmark数值迭代格式求解耦合的非线性动力学模型，在每一迭代时间步长都会自动更新非线性质量矩阵、刚度矩阵和力矩阵，充分考虑了非线性因素的影响，最终求解出柔性体2的振动位移、航天器本体的姿态角、姿态角速度等信息。

具体地，如图6所示，采用Newmark数值迭代算法求解刚柔耦合非线性动力学方程(11)，从而得到柔性体2的振动位移、中心刚体1的姿态角、姿态角速度及铰链3接触碰撞力。

下面详细解释说明Newmark数值迭代算法流程。

初始输入为

λ,β，其中

和

分别为刚柔耦合动力学方程(11)初始时刻的广义位移、广义速度和广义外力，λ和β分别为Newmark数值算法中的参数。

令

其中

分别表示方程(11)初始时刻的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，其中

为刚柔耦合非线性动力学方程的广义位移。

可得初始加速度为：

设定时间步长Δt，则总时间步数为n_t＝t/Δt，对时间步i(i＝0,…,n_t-1)进行循环：

for i＝0,…,n_t-1

根据权利要求1的步骤(1)中的接触力模型求得此时刻的碰撞力为：F_a(i+1)

下面判断碰撞是否发生：

然后求解第(i+1)个时间步长的非线性质量矩阵

阻尼矩阵

非线性刚度矩阵

及非线性力矩阵

end loop(时间步循环结束)

最后输出柔性体2在每一时间步长的振动位移、航天器本体的姿态角、姿态角速度及铰链3接触碰撞力。

其中

为判断碰撞是否发生的条件，表示当连续两个时刻碰撞穿透量的乘积小于0时，则会发生碰撞，其中

表示第i个时间步长铰链3发生碰撞产生的穿透量。此碰撞判断条件也是本算法的关键所在。

利用第i个时间步长获得的广义位移

计算第(i+1)个步长的非线性质量矩阵

非线性刚度矩阵

及广义力矩阵

因此在每一时间步长都会自动更新非线性质量矩阵、刚度矩阵和力矩阵，这样可以充分考虑非线性因素的影响，使得计算结果更精确。

到此数值迭代计算结束，则可以输出柔性体2的振动位移、航天器姿态角、姿态角速度及铰链3接触碰撞力等信息。

复杂外载荷条件下含间隙铰链3的柔性航天器动力学响应分析方法。

柔性航天器在轨运行所受到的外界激励载荷主要包括脉冲载荷、随机载荷、周期扰动力矩、简谐激励载荷等。采用Newmark数值迭代算法求解外载荷激励条件下航天器的姿态运动响应和柔性振动响应响应，深入分析铰链3间隙的尺寸大小、数量、位置分布等因素对航天器动力学特性的影响，从而设计出最优的铰链3间隙尺寸、数量和位置布局，并为后续控制方案的施加提供精确的动力学模型。

具体地，复杂的外载荷条件可以包括脉冲载荷、随机载荷、周期扰动力矩、简谐激励载荷等。针对任意的外载荷激励F，将F表示为时域内离散的载荷力形式：F＝F(i)，(i＝0,…,n_t-1)，这样可利用步骤(4)中的Newmark数值格式进行迭代求解。求解柔性航天器在外载荷激励下的航天器姿态运动和柔性振动响应，深入分析铰链3间隙的大小、数量和位置布置等因素对动力学特性的影响，从而设计出最优的铰链3间隙尺寸、数量及铰链3位置分布，为后续控制方案的施加提供精确的动力学模型。

采用Newmark算法对所建立的非线性动力学模型进行迭代求解，能够充分考虑几何非线性、刚柔耦合非线性及铰链3间隙引起的非线性碰撞力等强非线性因素，算法更高效；在每一迭代时间步长都会自动更新非线性质量矩阵、刚度矩阵和力矩阵，使得算法更精确；算法流程实现便捷，得到了离散形式的非线性动力学状态空间方程，更有利于后续控制方法的施加；本专利能够便利地处理较复杂的外载荷激励条件，能够深入分析铰链3间隙的尺寸大小、数量、位置分布等因素对航天器动力学特性的影响。

本发明的合理性、可行性和优点可通过以下仿真进一步说明：

含间隙铰接的刚柔耦合航天器，其为中心刚体1+柔性梁的构型。柔性梁中间处采用一个含间隙的铰链3连接，铰链3主要考虑侧向方向(即柔性梁弯曲方向)上的间隙，将铰链3简化成扭簧，铰链3刚度为梁的抗弯刚度3.938×10³N·m²。柔性梁采用欧拉-伯努利梁，中心刚体1转动惯量为100kg·m²；柔性梁的长、宽、高分别为3m，0.2m和0.015m，弹性模量为7×10¹⁰Pa，泊松比为0.3，密度为2700kg/m³，不考虑梁结构的阻尼。在梁的端部施加一个脉冲载荷：激励幅值为300N，激励时间为：0.005s。图7和图8分别为当间隙尺寸为0rad、0.005rad、0.010rad和0.015rad时柔性体2在自由端处的振动位移以及航天器的姿态角。从图中可以看出，随着间隙尺寸的增大，柔性体2的振动位移响应及航天器的姿态角响应在不断增大，这是因为随着铰链3间隙的增大，航天器变得更柔，从而刚度变小，频率变低，所以导致柔性体2振动位移和航天器姿态角变大。图9为间隙尺寸为0.005rad时铰链3接触碰撞力的幅值曲线，从中可以看出当铰链3未发生碰撞时，铰链3接触碰撞力矩均为0。

这些仿真结果符合实际的物理规律，反映了铰链3间隙对航天器柔性振动和姿态运动的影响，进一步验证了本发明的合理性、方法的有效性及算法的高效性。

综上所述，本发明公开了一种计及铰链间隙的柔性航天器动力学建模方法，其实现步骤是：针对空间展开锁定后的含间隙铰接的柔性航天器，首先建立含间隙的精确铰链力学模型，在此基础上构建展开锁定后含间隙铰链的柔性体结构动力学模型；然后考虑几何非线性因素，建立含间隙铰链的柔性航天器刚柔耦合非线性动力学模型；最后采用Newmark数值迭代算法求解耦合的非线性动力学模型，并分析在复杂外载荷激励条件下含间隙铰链的柔性航天器动力学响应。本发明克服了传统的柔性航天器建模方法中未考虑铰链间隙影响的缺陷，能够准确描述铰链间隙对柔性航天器的姿态运动及柔性振动的影响，为实现柔性航天器的高精度高稳定性指向控制提供精确的动力学模型；方法适用性强，可以应用于具有复杂柔性结构及具有复杂载荷激励条件的航天器，能够深入分析铰链间隙的尺寸、数量、位置等因素的影响，具有良好的工程实践应用价值；算法高效、精确、便捷，能够求解强非线性耦合问题，所建立的状态空间模型也更有利于控制方案的实施。

尽管本发明的内容已经通过上述优选实施例作了详细介绍，但应当认识到上述的描述不应被认为是对本发明的限制。在本领域技术人员阅读了上述内容后，对于本发明的多种修改和替代都将是显而易见的。因此，本发明的保护范围应由所附的权利要求来限定。

Claims (4)

1.一种计及铰链间隙的柔性航天器动力学建模方法，其特征在于，包括以下步骤：步骤1：构建锁定后含间隙的铰链力学模型；步骤2：展开锁定后具有含间隙铰链的柔性体动力学建模；步骤3：展开锁定后具有含间隙铰链的柔性航天器刚柔耦合非线性动力学建模；步骤4：采用Newmark数值迭代算法，求解柔性航天器刚柔耦合非线性动力学模型，并分析复杂外载荷条件下具有含间隙铰链的柔性航天器动力学响应。

2.如权利要求1所述的计及铰链间隙的柔性航天器动力学建模方法，其特征在于，步骤1和步骤2中，采用Lankarani-Nikravesh连续接触力模型，铰链的销轴和轴承发生碰撞时，接触点处的法向接触力F_n与变形的非线性关系为：

其中，K表示铰链的接触刚度系数，为

其中，

R₁和R₂分别为销轴和轴承的半径，铰链间隙为d＝R₂-R₁，E₁和E₂分别为销轴和轴承的弹性模量，v₁和v₂分别为销轴和轴承的泊松比；δ为弹性变形量，c_e为恢复系数，

为撞击点的初始相对速度，η为接触阻尼因子，n表示变形的指数系数；

采用改进的库伦摩擦模型，则铰链的销轴和轴承发生碰撞时，接触点处的切向摩擦力F_t表示为：

其中，μ_d为滑动摩擦系数，v_t为接触过程中的相对切向速度，c_d为动态修正系数；

当铰链的销轴和轴承发生碰撞时，接触点处的接触碰撞力矢量F_a为法向接触力矢量和切向摩擦力矢量的矢量和；

不含铰链的柔性体的动力学方程如下式所示：

其中M、C和K分别为柔性体结构的整体质量阵、阻尼阵和刚度阵，F为外力矢量；

计算由含间隙铰链引入的结构质量矩阵、结构刚度矩阵和阻尼矩阵，分别为M_j、K_j和C_j，j表示第j个铰链；则含间隙铰链与柔性体组合结构的整体动力学方程为：

其中

其中F_a＝F_n+F_t表示铰链的销轴和轴承发生碰撞时，接触点处的接触碰撞力；

对铰接结构采用模态截断，从而建立低维的展开锁定后具有含间隙铰链的柔性体动力学方程：

其中，

其中，Φ是模态矩阵，q是模态坐标，

是广义外力矢量，

是由间隙引起的铰链广义碰撞力矢量。

3.如权利要求1所述的计及铰链间隙的柔性航天器动力学建模方法，其特征在于，步骤3中，根据哈密顿原理，结合边界条件和步骤2得到的低维的展开锁定后具有含间隙铰链的柔性体动力学方程，进而得到离散形式的展开锁定后具有含间隙铰链的柔性航天器刚柔耦合非线性动力学方程：

其中，J表示中心刚体和柔性体的转动惯量之和，H表示刚柔耦合矩阵，H＝∫_Ω(r^×+w^×)Ndm，r为柔性体上任意点在随体坐标系中的位置矢量，w为参考点P的弹性位移在随体坐标系中的分量列阵，随体坐标系o-xyz固定在中心刚体上，其中x、y和z分别表示柔性体的长度、宽度和厚度方向；“×”表示叉乘矩阵；

表示线性刚度项，

表示由刚柔耦合非线性和几何非线性引入的非线性刚度项；

表示由间隙引起的广义碰撞力矢量。

4.如权利要求1所述的计及铰链间隙的柔性航天器动力学建模方法，其特征在于，步骤4中，由步骤3得到的刚柔耦合非线性动力学方程如下：

Newmark数值迭代算法的步骤如下：初始输入为

λ,β，其中

和

分别为刚柔耦合非线性动力学方程初始时刻的广义位移、广义速度和广义外力，λ和β分别为Newmark数值算法中的参数；

令

其中

为刚柔耦合非线性动力学方程的广义位移；

得初始加速度为：

设定时间步长Δt，则总时间步数为n_t＝t/Δt，对时间步i(i＝0,…,n_t-1)进行循环：

for i＝0,…,n_t-1

根据步骤1中的铰链力学模型求得此时刻的碰撞力为：F_a(i+1)

进而判断碰撞是否发生：

然后计算第(i+1)个时间步长的非线性质量矩阵

阻尼矩阵

非线性刚度矩阵

及非线性力矩阵

end loop

最后输出柔性体在每一时间步长的振动位移、航天器本体的姿态角、姿态角速度及铰链接触碰撞力；

其中，

为判断碰撞是否发生的条件，表示当连续两个时刻碰撞穿透量的乘积小于0时，则会发生碰撞，其中

表示第i个时间步长铰链发生碰撞产生的穿透量；

利用第i个时间步长获得的广义位移

计算第(i+1)个步长的非线性质量矩阵

非线性刚度矩阵

及广义力矩阵

从而在每一时间步长均自动更新非线性质量矩阵、刚度矩阵和力矩阵；

所述复杂外载荷条件包括脉冲载荷、随机载荷、周期扰动力矩、简谐激励载荷；针对任意的外载荷激励F，将F表示为时域内离散的载荷力形式：F＝F(i)，(i＝0,…,n_t-1)，根据Newmark数值迭代求解；求解柔性航天器在复杂外载荷激励下的航天器姿态运动和柔性振动响应，分析铰链间隙的尺寸大小、数量、位置分布对航天器动力学特性的影响，从而设计出最优的铰链间隙尺寸、数量和位置布局。

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