CN110977971A - 一种基于模糊集理论的Delta机器人控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于模糊集理论的Delta机器人控制方法，首先建立机器人的动力学模型，并选取表示机器人关节摩擦现象的非线性摩擦力模型；将机器人动力学模型中含有不确定性的项分离出来，根据机器人动力学模型中的标称项建立控制器中的标称补偿环节；取正定对角矩阵设计控制器中的控制环节对初始位置误差进行补偿；根据机器人动力学模型中与不确定性有关的项，构造代表系统不确定项上界信息的函数并验证；基于所描述的不确定性信息设计二次性能指标，利用D‑运算和模糊运算求解最优控制参数；将优化后的控制参数带入不确定性控制项，得到最终优化控制输出，通过优化二次性能指标，从而得到最优控制增益，适用于系统存在不确定性因素时的最优控制。

Description

一种基于模糊集理论的Delta机器人控制方法

技术领域

本发明属于并联机器人运动控制领域，尤其涉及一种基于模糊集理论的Delta机器人 控制方法。

背景技术

Delta机器人作为目前最成功的并联机构之一，已被广泛应用于微电子、医学、智能 物流、3D打印等许多复杂领域。它不仅继承了传统并联机器人的所有优点，同时具有重量轻、运动速度快、效率高、有效载荷大等特点。值得注意的是，在Delta机器人工作进 程中，存在着许多非线性因素，如关节非线性摩擦、随机载荷、外部干扰以及由轻质材料 的作用引起的残余振动等。这些非线性参数的信息无法准确确定，从而增加了控制的难度。 因此，包括非线性和不确定参数在内的不确定性控制问题成为了该领域的研究热点。

如何用数学方法描述动态系统中存在的不确定因素非常关键，目前主流的方法有两种： 集论模型和概率统计模型。相关的控制理论也有两个主要发展方向：确定控制理论和随机 控制理论。确定控制理论无需知道系统不确定性元素的统计特征，仅假设系统不确定性元 素的部分信息是确定的，且取值范围在一个有界的集合内，该集合的边界是已知的，鲁棒 控制和自适应控制方法都属于这一范畴。但确定控制理论考虑的是系统“最坏的情况”，得 到的控制器设计过于“保守”，使得系统常常不能工作在最优状态。随机方法将不确定因素 描述为随机变量或随机过程，并利用概率论或统计学方法研究不确定性信息。然而，研究 人员包括随机控制理论的奠基人Kalman关于利用概率表述随机不确定性的正确与否也存 在着疑问。

另一种描述方式为模糊集理论，相比较于概率论来说，模糊集理论更适合表述工业过 程控制中的大部分随机现象。但目前研究人员大多将重心放在基于IF-THEN规则的逻辑 策略中，使得所设计的控制器缺乏系统性，该类控制方法通过专家系统对设计者的经验要 求较高，需要针对特别的应用系统进行设计。而且该类方法一般用于逻辑推理，无法准确 得到系统的不确定性。

发明内容

本发明的目的在于提供一种基于模糊集理论的Delta机器人控制方法，以克服现有方 法的不足。

为达到上述目的，本发明采用如下技术方案：

一种基于模糊集理论的Delta机器人控制方法，

步骤1)、建立Delta机器人的动力学模型，取非线性摩擦力建立关于机器人关节摩擦 现象的非线性摩擦力模型；

步骤2)、将Delta机器人动力学模型中含有不确定性的项分离，分别得到并联机器人 系统的标称项和不确定项；

步骤3)、根据Delta机器人动力学模型中的标称项建立控制器中用于对标称机 器人系统进行补偿的标称补偿控制项P₁；

步骤4)、选取正定对角矩阵建立用于对初始位置误差进行补偿的P.D控制 项P₂；

步骤5)、基于模糊集理论建立关于机器人初始状态与不确定性的模糊集合；

步骤6)、根据模糊集合的模糊不确定性构造代表系统不确定项上界信息函数， 基于上界信息函数，选取参数建立带有死区和泄露项的自适应律，根据自适应律 得到不确定性的上界信息；

步骤7)、根据上界信息函数和自适应律建立不确定性控制项P₃，对系统中 的不确定性进行补偿；

步骤8)、利用模糊集合的模糊不确定性信息对不确定性控制项P₃中的控制器 增益进行优化，即二次性能指标优化，利用D-运算优化计算参数；

步骤9)、取二次性能指标中的权重参数，对二次性能指标求取偏微分，求 解得到最优控制参数γ_opt；

步骤10)、将最优控制参数γ_opt带入不确定性控制项P₃中，得到优化后的自适 应鲁棒控制器输出为：τ＝P₁+P₂+P₃。

进一步的，建立具有非线性主动关节摩擦力的三自由度Delta并联机器人动力学模型 为：

其中，q∈R³为主动关节角度向量，

为主动关节角速度向量，

为主动关节角加速度向量；

σ∈Σ∈R^p为机器人系统中存在的不确定参数向量，σ为不确定参数，不确定参数向 量包括时变的动力学参数、外部负载和关节正向压力；Σ∈R^p为不确定参数的紧集，代表 不确定性的界；M(q,σ,t)为机器人系统惯性矩阵，

为系统的科氏力/离心力项， G(q,σ,t)为系统的重力项，

为系统所受的外部干扰，

为非线性关节 摩擦力矩，τ(t)为系统输入力矩；M(·)、C(·)、G(·)、F(·)与F_f(·)均连续或关于时间t勒贝 格可测；其中M(·)、C(·)、G(·)表达式为：

其中，I为单位矩阵，J为三自由度机器人的Jacobian矩阵。

进一步的，将Delta机器人动力学模型中含有不确定性的项分离具体步骤为：将式(1) 中的M(·)、C(·)、G(·)与F(·)分解为：

其中，

与

称为Delta机器人系统的标 称项，ΔM(q，σ，t)、

ΔG(q，σ，t)、

与

为Delta机器人系统的不确定项。

进一步的，当Delta机器人在工作过程中不存在不确定性和摩擦力时，有：

其中，惯性矩阵满足：惯性矩阵M(q，σ，t)为正定矩阵，即对任意的q∈R³，存在一个常数σ＞0使得：

M(q，σ，t)＞σI (12)

对任意的q∈R³，存在常数γ_j，j＝0，1，2，且γ₀＞0，γ_1，2≥0，使得：

||M(q，σ，t)||＜γ₀+γ₁||q||+γ₂||q||² (13)

Delta机器人的关节均为转动关节，因此，式(13)中的γ₁＝γ₂＝0，则

||M(q，σ，t)||＜γ₀ (14)。

进一步的，根据Delta机器人动力学模型中的标称项建立控制器中用于对标称 机器人系统进行补偿的标称补偿控制项P₁：

Delta机器人的期望轨迹为q^d、

和

其中q^d：[t₀，∞)→R³表示期望位置，且q^d为C²连续，

为期望速度，

为期望加速度；

系统的轨迹跟踪误差为：

e：＝q-q^d (15)

系统的速度跟踪误差与加速度跟踪误差可以表示为：

则标称补偿控制矩阵P₁为：

进一步的，选取正定对角矩阵建立用于对初始位置误差进行补偿的P.D控制项P₂：

其中，正定对角矩阵K_p＝diag[k_pi]_3×3且k_pi＞0，K_v＝diag[k_vi]_3×3且k_vi＞0， i＝1，2，3。

进一步的，步骤5)中基于模糊集理论建立关于机器人初始状态与不确定性的模糊集 合：具体步骤如下：

(1)设Delta并联机器人的初始状态为

q₀为初始状态变量，对于任意的X_0i，i＝1,2,…2n,存在一个属于论域Ξ_0i∈R的模糊集合

满足：

其中，

为隶属度函数，Ξ_i为已知紧致集合；

(2)不确定性中的任意变量σ_i均勒贝格可测，i＝1,2,…n；

(3)对于任意的σ_i，i＝1,2,…n，存在一个属于论域Σ_i∈R的模糊集合N_i满足：

其中，

为隶属度函数，Σ_i为已知紧致集合。

进一步的，构造代表系统不确定项的上界信息函数Γ(·)，满足：

(0,∞)^k×R³×R³×R→R₊和一个未知的向量α∈(0,∞)^k，使得：

其中：

式(23)中，正定矩阵S＝diag[s_i]_3×3，s_i＞0，k_s＝λ_min(5)，i＝1，2，3；

对于所有

上界信息函数

满足：(i)C¹；(ii)关于α的 凹函数，即对于任意的α₁，α₂，有：

对于自适应参数α的任意变量α_i，存在一个属于论域A_i∈R的模糊集合B_i满足：

上界信息函数

为关于α的不下降函数。

进一步的，根据上界信息函数

和自适应律，构造不确定性控制项P₃：

其中，γ∈R,γ>0。

进一步的，利用模糊集合的模糊不确定性信息对不确定性控制项P₃中的控制器增益进行优化对于任意的t≥t₀时刻二次性能指标：

其中，β₁,β₂,β₃为权重；

其中，对于任意的κ,t₀，当t→∞时，η(γ,t,t₀)→0；

η(γ,t,t₀)根据初始状态模糊集合取值，η_∞(γ)根据不确定性参数的模糊集合取值；

D[·]表示D-运算，对于任意的函数f:N→R，取D-运算定义如下：

根据D-运算的定义，有

对(67)进行D-运算：

对(64)进行D-运算：

将式(68)和式(69)带入式(65)中,得到

其中,

求二次性能指标最小：

为求解此问题，使性能指标J(γ,t₀)对控制增益γ求一阶导数为：

当J(γ,t₀)取最小值时，

则

2β₃γ⁴-[(2β₁ω₃+2β_zω₆)+γ(β₁ω_z+β_zω₅)] (72)

设D[·]≠0；对于任意时间，给定计算参数ω₁～ω₆，得最优解

将最优解γ_opt替换不确定性控制项P₃中的参数γ，即可得到最优鲁棒自适应控制器输 出为：

与现有技术相比，本发明具有以下有益的技术效果：

本发明一种基于模糊集理论的Delta机器人控制方法，首先建立Delta机器人的动力学模型，并选取可以表示机器人关节摩擦现象的非线性摩擦力模型；将Delta机 器人动力学模型中含有不确定性的项分离出来，根据Delta机器人动力学模型中的 标称项建立控制器中的标称补偿控制项P₁；选取正定对角矩阵设计控制器中的P.D 控制项P₂，用于对初始位置误差进行补偿；对于不确定性项，基于模糊集理论对系 统中存在的不确定性进行描述；根据Delta机器人动力学模型中与不确定性有关的 项，构造代表系统不确定项上界信息的函数并验证；选取参数，建立带有死区和泄 露项的自适应律；基于所描述的不确定性信息设计二次性能指标；选取权重参数， 利用D-运算和模糊运算求解最优控制参数；将优化后的控制参数带入不确定性控 制项P₃，得到最终优化控制输出力矩τ，通过优化二次性能指标，解模糊化操作， 从而得到最优控制增益，适用于系统存在不确定性因素时的最优控制。

通过标称补偿控制项P₁、对初始位置误差进行补偿的P.D控制项P₂以及不确定 性控制项P₃级联，能够使机器人系统中不存在初始位置误差、不确定性时，控制器 中单独的标称补偿控制项P₁可使并联机器人的轨迹跟踪误差达到一致渐近稳定性 的性能；并且能够确保机器人系统中仅存在初始位置误差时，控制器中标称补偿控 制项P₁加P₂控制环节即可使机器人系统满足控制性能指标；同时满足机器人系统中 同时存在初始位置误差、不确定性时，所设计的自适应率可以在线估计不确定性的 上界，加上控制器中的不确定性控制项P₃可补偿系统中的不确定性与非线性关节摩 擦力，使系统满足一致有界和一致最终有界性能指标。

本发明的基于模糊集理论的Delta机器人的控制方法，使用模糊集理论描述机 器人系统中存在的不确定性，包括未知的参数，外部干扰和非线性摩擦力。提出了 具有死区和泄漏项的自适应率，对于所提出的优化问题，设计优化系统二次性能指 标，并通过解模糊化操作，求解最优控制增益，得到最终的优化自适应鲁棒控制方 法。与传统的模糊控制方法相比，本专利所提出的控制方法非基于IF-THEN规则， 本申请控制方法中，若机器人系统中不存在初始位置误差、不确定性时，控制器中 单独的标称补偿环节可使并联机器人的轨迹跟踪误差达到一致渐近稳定性的性能。 若机器人系统中仅存在初始位置误差时，控制器中标称补偿环节加P2控制环节即 可使机器人系统满足控制性能指标。若机器人系统中同时存在初始位置误差、不确 定性时，加上控制器中的不确定性补偿环节与自适应率可补偿系统中的不确定性与 非线性关节摩擦力，使系统满足一致有界和一致最终有界性能指标。使用模糊集理 论对系统中的不确定性进行描述，为求解优化问题，通过解模糊化操作证明此优化 设计问题的全局解总是存在且唯一。

附图说明

图1为Delta机器人的空间结构示意简图；

图2为Delta机器人的控制器设计流程图；

图3为Delta机器人轨迹跟踪误差仿真结果图；

图4为Delta机器人控制输入力矩仿真结果图；

图5是自适应参数

仿真结果图；

图6是Delta机器人在Δ_f和m下

结果图；

图7是Delta机器人在Δ_f和Δ_fn下

结果图；

图8是Delta机器人在Δ_m和Δ_fn下

结果图；

图9是Delta机器人在不同控制输入下末端执行器运行轨迹结果图；

图10是Delta机器人在不同控制增益下轨迹跟踪误差‖e‖结果图；

图11是Delta机器人在不同控制增益下轨迹跟踪误差

结果图；

图12是Delta机器人在不同控制增益下控制输入力矩结果图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明做进一步详细描述：

为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技 术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明 的一些较优实施例，本发明不限于这些实施例。

图1所示的是Delta机器人在工作平面内的结构示意简图以及在工作空间内建立的直 角坐标系。

其中，O-A₁A₂A₃为静平台，O′-C₁C₂C₃为动平台，静平台与动平台均为等边三角 形。O-XYZ为静平台系(基坐标系)，O′-x′y′z′为动平台系，O、O′分别位于静、动平 台系几何中心，Z、z′轴向上方向设为正方向。A₁、A₂、A₃位于电机轴与主动臂轴线的三 个交点，称之为并联机器人的主动关节。B₁、B₂、B₃位于主动臂轴线和从动臂轴线的三 个交点，C₁、C₂、C₃位于从动臂轴线和动平台的三个交点。

定义机器人主动臂的长度A_iB_i为l_a，从动臂的长度B_iC_i为l_b，动平台的外接圆半径为r， 静平台的外接圆半径为R；θ₁、θ₂、θ₃分别为主动臂对静平台三个方位张角，q₁、q₂、q₃为主动关节在三个方位上的转角。

如图2所示，本实施例给出一种基于模糊集理论的Delta机器人的最优控制方法，该 方法包括的步骤是：

步骤1，建立Delta机器人的动力学模型，并选取可以表示机器人关节摩擦现象的非 线性摩擦力模型；

步骤2，将Delta机器人动力学模型中含有不确定性的项分离出来，分别得到并联机 器人系统的标称项

和不确定项△M、△C、△G、△F、

步骤3，根据Delta并联机器人动力学模型中的标称项建立控制器中的标称补偿控制 部分P₁，用于对标称机器人系统进行补偿；

步骤4，选取正定对角矩阵K_p＝diag[k_pi]_3×3,K_v＝diag[k_vi]_3×3,基于P.D.控制理论建立用于对初始位置误差进行补偿的P.D控制项P2，具体是建立用于控制器中的补偿控 制环节矩阵；

步骤5，基于模糊集理论建立关于机器人初始状态与不确定性的模糊集合；

步骤6，根据模糊集合的模糊不确定性建立不确定项上界信息函数

并验 证假设4。基于上界信息函数，选取参数k₁、k₂、k₃和∈，建立带有死区和泄露项的自适 应律，用于在线估计不确定性的上界信息。

步骤7，根据上界信息函数和自适应律建立不确定性控制项P₃，对系统中的不确定性进行补偿；

步骤8，利用模糊不确定性信息对不确定性控制项P₃中的控制器增益进行优化，即二次性能指标优化，利用D-运算优化计算参数；

步骤9，基于实际需求，选取性能指标表达式中的权重参数β₁,β₂,β₃，对二次性能指标求取偏微分，求解最优控制参数γ_opt；

步骤10，将优化后的控制参数γ_opt带入不确定性控制项P₃，得到所设计的最优自适 应鲁棒控制器τ＝P₁+P₂+P₃。

以下是各个步骤的详细实施内容：

具体的：建立具有非线性主动关节摩擦力的三自由度Delta并联机器人动力学模型为：

其中，q∈R³为主动关节角度向量，

为主动关节角速度向量，

为主动关 节角加速度向量。

σ∈Σ∈R^p为机器人系统中存在的不确定参数向量，σ为不确定参数，不确定参数向 量包括时变的动力学参数、外部负载和关节正向压力，不确定参数向量上界信息未知。Σ∈R^p为不确定参数的紧集，代表不确定性的界；M(q,σ,t)为机器人系统惯性矩阵，

为系统的科氏力/离心力项，

为斜对称矩阵，G(q,σ,t)为 系统的重力项，

为系统所受的外部干扰，

为非线性关节摩擦力矩， τ(t)为系统输入力矩；M(·)、C(·)、G(·)、F(·)与F_f(·)均连续或关于时间t勒贝格可测；其 中M(·)、C(·)、G(·)表达式为：

其中，I为单位矩阵，J为三自由度机器人的Jacobian矩阵。

Stribeck摩擦力可以对摩擦力在两接触表面从相对静止到相对运动过程中的非线性特 性进行描述，主动关节的Stribeck摩擦力矩为

F_c＝u_dF_n，F_s＝u_sF_n (6)

其中，F_f为Stribeck摩擦力矩，F_s为静摩擦力，F_c为库伦摩擦力，v_s表示Stribeck速度，u_v为粘性摩擦系数，u_d为库伦摩擦系数，u_s为静摩擦系数，F_n是接触面正压力的大 小，r_a为主动关节半径。

将Delta机器人动力学模型中含有不确定性的项分离具体步骤为：将式(1)中的M(·)、 C(·)、G(·)与F(·)分解为：

其中，

与

称为Delta机器人系统的标 称项，ΔM(q，σ，t)、

ΔG(q，σ，t)、

与

为Delta机器人系统的不确定项。

当Delta机器人在工作过程中不存在不确定性和摩擦力时，有：

其中，惯性矩阵满足：

惯性矩阵M(q，σ，t)为正定矩阵，即对任意的q∈R³，存在一个常数σ＞0使得： M(q，σ，t)＞σI(12)

对任意的q∈R³，总存在常数γ_j，j＝0，1，2，且γ₀＞0，γ_1，2≥0，使得：

||M(q，σ，t)||＜γ₀+γ₁||q||+γ₂||q||² (13)

对于由转动副和滑动副连接的串、并联机器人，其惯性矩阵M(q，σ，t)仅与质量惯性 参数、滑动关节和转动关节的位置相关。因此，总存在一组常数γ_j，令串、并联机器人质量惯性矩阵的欧式范数满足式(13)。由于Delta机器人的关节均为转动关节，因此，式 (13)中的γ₁＝γ₂＝0，则

||M(q，σ，t)||＜γ₀ (14)

步骤3)中，根据Delta机器人动力学模型中的标称项建立控制器中用于对标 称机器人系统进行补偿的补偿控制矩阵P₁，即建立标称补偿控制矩阵P₁；

Delta机器人的期望轨迹为q^d、

和

其中q^d：[t₀，∞)→R³表示期望位置，且q^d为C²连续，

为期望速度，

为期望加速度；

系统的轨迹跟踪误差为：

e：＝q-q^d (15)

系统的速度跟踪误差与加速度跟踪误差可以表示为：

则标称补偿控制矩阵P₁为：

步骤4：选取正定对角矩阵建立用于对初始位置误差进行补偿的P.D控制项P₂， 即建立补偿控制环节矩阵，能够使得机器人存在初始误差时，能够控制末端执行器从偏 差位置快速走到目标轨迹上；

其中，正定对角矩阵K_p＝diag[k_pi]_3×3且k_pi＞0，K_v＝diag[k_vi]_3×3且k_vi＞0， i＝1，2，3。

步骤5)中基于模糊集理论建立关于不确定性项的模糊集理论模型具体步骤如下：(1) 设Delta并联机器人的初始状态为

q₀为初始状态变量，对于任意的X_0i，i＝1，2，…2n，存在一个属于论域Ξ_0i∈R的模糊集合

满足：

其中，

为隶属度函数，Ξ_i为已知紧致集合；

(2)不确定性中的任意变量σ_i均勒贝格可测，i＝1，2，…n。

(3)对于任意的σ_i，i＝1，2，…n，存在一个属于论域Σ_i∈R的模糊集合N_i满足：

其中，

为隶属度函数，Σ_i为已知紧致集合。

步骤6：构造代表系统不确定项的上界信息函数Γ(·)，满足：

(0，∞)^k×R³×R³×R→R₊和一个未知的向量α∈(0，∞)^k，使得：

其中：

式(23)中，正定矩阵S＝diag[s_i]_3×3，s_i＞0，k_s＝λ_min(S)，i＝1，2，3；

对于所有

上界信息函数

满足：(i)C¹；(ii)关于α的 凹函数，即对于任意的α₁，α₂，有：

对于自适应参数α的任意变量α_i，存在一个属于论域A_i∈R的模糊集合B_i满足：

上界信息函数

为关于α的不下降函数。

基于所提出的上界函数Γ(·)，设计带死区的自适应律为：

式(26)为一个带有死区设计和泄露项的自适应率，

为自适应参数，

为

向量的第i个元素，i＝1，2，…，k，k₁，k₂，k₃∈R^k×k且k₁，k₂，k₃＞0，ε∈R，ε＞0。

当

未进入大小为∈的范围内，

为非负 项，泄露项

设计为指数形式，使

呈指数衰减趋向0值，若

恒成立，t＞t₀，i＝1，2，…，k。死区部分(

进入大小 为∈的范围内)的设计可以简化控制算法。

步骤7)中，根据上界信息函数

和自适应律，构造不确定性控制项P₃为

其中，γ∈R，γ＞0。

此时可得到未进行优化设计的自适应鲁棒控制器输出为τ(t)：

在此控制策略下，令

Delta机器人满足：控制器输出τ(t)可以 使轨迹跟踪误差向量

和自适应参数

满足：

(1)一致有界性：对于任意给定的r＞0，且‖δ(t₀)‖＜r，当t＞t₀时，存在一个正 实数d(r)：0＜d(r)＜∞，使得‖δ(t)‖＜d(r)成立。

(2)一致最终有界性：对于任意给定

且‖δ(t₀)‖＜r，当

时，

成立，其中

以下给出证明过程如下：构造李雅普诺夫函数为：

为证明所构造的V是一个合格的李雅普诺夫函数，我们需要证明V是(全局)正定且递减 函数。根据假设1，我们有：

上式中，

且

式(31)中，参数k_vi、s_i、k_pi和σ均为大于零的实数，顺序主子式均大于零，则V为 正定矩阵。由假设2：

对于不等式右边第一项,

其中，

对于不等式右边第二项和第三项：

由公式(33)和(34)得：

其中，

注意，式(36)中的

则所选取的李雅普诺夫函数为单调递减函数。因此，根据式(30)和式(36)，构造的V为一个有效的李雅普诺夫函数。

李雅普诺夫函数V的导数为：

分析式(37)中第一项：

根据式(18)：

式(37)中：

将式(27)带入式(37)中：

根据假设4，有

将式(40)-(42)带入式(37)：

将自适应率(26)带入式(43)中，有：

(1)当

时：

对于所有

函数

为关于α的凹函数，则对于-Γ(·,q,q,t为关于α的凸函数。则

其中，

(2)当

时：

其中，

根据式(45)和式(46)，李雅普诺夫函数导数

为：

其中，

或

对于式(47)，当‖δ‖满足：

时，

为负值，即：

当李雅普诺夫函数导数

满足式(49)时，轨迹跟踪误差向量

和自适应参数

满足一致有界与一直最终有界。

其中：

γ₁＝min{λ_min(M)，λ_min((k₁)^-1)}，γ₂＝ min{λ_max(M)，λ_max((k₁)^-1)}。

根据一直最终有界性的公式可知，当控制增益γ越大时，系统方程解的一致最终有界 性的范围d越小，系统性能越优异，但γ越大，这就意味着系统控制成本越高，也就是说， γ的取值决定着系统性能优劣和控制成本大小间的权衡，因此，步骤8～10对系统控制增 益进行优化。

在以上稳定性分析中，李雅普诺夫函数导数的通式为：

其中，

令

其中，

的取值由(36)得出，则

上式为一个微分不等式，为了进一步分析需要，现给出关于微分不等式的几个定理。

如果w(ψ,t)是关于ψ,t的函数，ψ,t的取值范围属于连续开集G，则当

在

上连续且满足下式时，

ψ(t)为上式不等式的解。

如果w(φ(t),t)在连续开集G上连续，则关于初值问题的微分方程有唯一解：

如果φ(t)是上式在

的解，且ψ(t₀)≤φ(t₀)，则ψ(t)≤φ(t)。

如果w(·)满足李普希茨连续条件，即对某些常数L>0，所有(v1,t),(v2,t)∈ G满足：|w(v1，t)-w(v2，t)|≤L|v1-v2|. (58)

当ψ(t)在

上满足上式时，有下式成立

微分不等式的解一般不唯一，上述定理给出了一种利用比较的原理求解微分不等式上 界的方法，代替了微分不等式的求解过程。

根据以上定理和定义，我们重新审视所推导的不等式，不等式可以改写为：

上式不等式的右侧满足李普希茨连续条件,其解为：

因此，根据定理2，V(t)满足

V(t)≤r(t), (61)

即

根据李雅普诺夫函数的定义可知，公式(62)的右侧提供了V(t)的上界，因此，公式(62)也同样给出了‖δ(t)‖的上界信息。对于任意的t≥t₀,令

其中，对于任意的κ,t₀，当t→∞时，η(γ,t,t₀)→0。

η(γ,t,t₀)根据初始状态模糊集合取值，η_∞(γ)根据不确定性参数的模糊集合取值。

针对模糊Delta并联机器人系统，进行优化二次性能指标：对于任意的t时刻，

其中，β₁,β₂,β₃为权重，二次性能指标由三部分组成：第一部分J₁(γ,t₀)为从t₀时刻 开始的系统瞬态性能之和，通过积分的形式实现；第二部分J₂(γ)解释为平均化的稳态性 能；第三部分J₃(γ)源于系统的控制成本。

其中，D[·]表示D-运算，其定义为：考虑模糊集N＝{(v,μ_N(v))|v∈N}。对于任意的函数f:N→R，取D-运算定义如下：

根据D-运算的定义，有

对(67)进行D-运算：

对式(64)进行D-运算：

将(68)和(69)带入(65)中，得到

其中，

经过去模糊运算后，我们所提出的优化问题可以转换为选取合适的控制增益γ，使得 二次性能指标最小：

为求解此问题，使二次性能指标J(γ，t₀)对控制增益γ求一阶导数为：

当J(γ，t₀)取最小值时，

则

2β₃γ⁴-[(2β₁ω₃+2β₂ω₆)+γ(β₁ω₂+β₂ω₅)] (72)

设D[·]≠0；对于任意时间，给定计算参数ω₁～ω₆，使得上式的解

存在且唯一，且该解使得系统的性能指标全局最小。

证明：令ι₁(γ)＝2β₃γ⁴，ι₂(γ)＝(2β₁ω₃+2β₂ω₆)+γ(β₁ω₂+β₂ω₅).注意，β_i＞ 0(i＝1，2，3)，ω_i＞0(i＝1，2，…6)，则

对J进行二次偏微分，得

由(73)得，当

时，函数

为连续递减函数，当

时， 函数

为连续递增函数.因此，对于公式(65)，最优解一定存在且唯一，且最优解

将所计算出的γ_opt带入系统控制项P₃中，即可得到最优鲁棒自适应控制器输出为：

式(74)中，控制器分为三个部分，若机器人系统中存在初始位置误差、不确定性时， 令τ＝P₁+P₂+P₃，可使t→∞时，轨迹跟踪误差向量

和自适应参数

满 足一致有界和一致最终有界。当系统中仅存在初始位置误差时，ΔM≡0、ΔC≡0、 ΔG≡0和ΔF≡0，可以选取函数

使得P₃＝0，此时τ＝P₁+P₂，能使 t→∞时，‖δ‖→0。若系统无初始位置误差、不确定性存在时，令τ＝P₁，当t＞t₀时， ‖δ‖＝0恒成立。其控制器设计流程图如图2所示.

动力学模型仿真：在MATLAB软件中，利用ode15i函数对三自由度Delta并联机器人的动力学模型与设计的控制器进行仿真。假设并联机器人受到的不确定因素为动平台的质量参数

外部负载：

和

其中，

和

为标称项，Δm_O′、ΔF₁、ΔF₂、ΔF₃、ΔF_n1、ΔF_n2和ΔF_n3为随时间变 化的不确定项。不确定参数向量定义为：σ＝[Δm_O′，ΔF₁，ΔF₂，ΔF₃，ΔF_n1，ΔF_n2， ΔF_n3]^T。设Delta并联机器人工作平台需要跟踪的目标轨迹为：

函数

的选取和函数

有关，选取函数

为：

其中，α＝max{α₁，α₂，α₃}。

三自由度Delta并联机器人的结构参数如下：

主动臂的长度l_a＝200mm，静平台的外接圆半径R＝180mm，动平台的外接圆半径 r＝100mm，机器人的质量参数如下：主动臂质量m_a＝0.2kg，从动臂质量m_b＝0.2kg， 动平台质量m_O′＝0.3kg。

选取标称参数如下：

不确定性Δm_O′，ΔF_i，ΔF_ni(i＝1，2，3)的模糊描述为“接近于0.8”，其所属的模糊集合的隶属 度函数为：

自适应参数不确定部分描述为“接近于0.6”，其所属的隶属度函数为：

设定仿真的初始值位置为：q₀＝[0.3322 0.3322 0.3322]^T

选取控制器的控制参数如下：K_v＝diag[1，1，1]，K_p＝diag[1，1，1]， S＝diag[5，5，5]，ε＝0.01，k₁＝2，k₂＝0.5，k₃＝0.1。则

ρ＝0.059，κ＝29.66。 根据模糊运算与D-运算，得到ω₁＝35.32，ω₂＝339.32，ω₃＝814.99，ω₄＝3.06， ω₅＝25.94，ω₆＝54.96。

选取不同的性能权重，计算相对应的最优控制增益参数γ_opt和最小性能指标，其结果 如下表所示：

表1权重/最优控制增益/最小性能指标

为了仿真验证，选取不确定参数如下：Δm_O′＝0.8sin(t)，ΔF_i＝0.8sin(t)， ΔF_ni＝0.8cos(2t)，i＝1，2，3。仿真结果如图3-10所示。

其中，图3为在所设计控制输入下(γ_opt＝6.78时)系统轨迹跟踪误差‖e‖和

的仿真 结果，轨迹跟踪误差‖e‖和

在控制器的作用下经过1s后进入并保持在0m附近范围内 (因此，对于所有的t＞0s一直有界，t≤1s一直最终有界)。图4为自适应参数

仿真结果，随着轨迹跟踪误差的减小，由于泄露项的存在，

呈递减趋势。从而证明了所提控制器的有效性。图5为控制输入扭矩。

令Δ_f＝max_t|Δm_o′(t)|，Δ_fn＝max_t|ΔF_n(t)|，Δ_f＝max_t|ΔF(t)|表示不确定性Δm_o′，ΔF_n，ΔF的上界。图6-图8描述了Delta并联机器人在Δ_m，Δ_fn和Δ_f的作用下与自适应 参数的最大值

的关系；

当三自由度Delta并联机器人系统受到初始位置误差、不确定性和非线性关节摩擦力 影响时，分别令τ＝P₁+P₂、τ＝P₁+P₂+P₃为控制输入对比控制效果。图9中，可以看 出，只有τ＝P₁+P₂+P₃即所提出的控制器作为控制输入时，末端执行器轨迹可以高品质 的跟踪目标轨迹。

图10和图11比较了不同控制增益参数取值下的轨迹跟踪误差‖e‖和

的仿真结果。 图12为不同控制增益参数下系统的控制输入力矩。结果显示，当γ_opt值越大时，轨迹跟踪 误差‖e‖和

的值越好，系统的性能越好。但是，好的系统性能同样意味着系统需要更高的 控制输入力矩,进一步验证了本专利所提出的观点。综上,仿真结果表明：本实施例所提出 的基于模糊集的Delta机器人最优控制器拥有良好的鲁棒性，在不确定性的干扰下，可以 快速跟踪目标轨迹，使跟踪误差满足有界性能,并使得Delta机器人的性能达到最优。

Claims (10)

1.一种基于模糊集理论的Delta机器人控制方法，其特征在于，

步骤1)、建立Delta机器人的动力学模型，取非线性摩擦力建立关于机器人关节摩擦现象的非线性摩擦力模型；

步骤2)、将Delta机器人动力学模型中含有不确定性的项分离，分别得到并联机器人系统的标称项和不确定项；

步骤3)、根据Delta机器人动力学模型中的标称项建立控制器中用于对标称机器人系统进行补偿的标称补偿控制项P₁；

步骤4)、选取正定对角矩阵建立用于对初始位置误差进行补偿的P.D控制项P₂；

步骤5)、基于模糊集理论建立关于机器人初始状态与不确定性的模糊集合；

步骤6)、根据模糊集合的模糊不确定性构造代表系统不确定项上界信息函数，基于上界信息函数，选取参数建立带有死区和泄露项的自适应律，根据自适应律得到不确定性的上界信息；

步骤7)、根据上界信息函数和自适应律建立不确定性控制项P₃，对系统中的不确定性进行补偿；

步骤8)、利用模糊集合的模糊不确定性信息对不确定性控制项P₃中的控制器增益进行优化，即二次性能指标优化，利用D-运算优化计算参数；

步骤9)、取二次性能指标中的权重参数，对二次性能指标求取偏微分，求解得到最优控制参数γ_opt；

步骤10)、将最优控制参数γ_opt带入不确定性控制项P₃中，得到优化后的自适应鲁棒控制器输出为：τ＝P₁+P₂+P₃。

2.根据权利要求1所述的一种基于模糊集理论的Delta机器人控制方法，其特征在于，建立具有非线性主动关节摩擦力的三自由度Delta并联机器人动力学模型为：

其中，q∈R³为主动关节角度向量，

为主动关节角速度向量，

为主动关节角加速度向量；

σ∈Σ∈R^p为机器人系统中存在的不确定参数向量，σ为不确定参数，不确定参数向量包括时变的动力学参数、外部负载和关节正向压力；Σ∈R^p为不确定参数的紧集，代表不确定性的界；M(q,σ,t)为机器人系统惯性矩阵，

为系统的科氏力/离心力项，G(q,σ,t)为系统的重力项，

为系统所受的外部干扰，

为非线性关节摩擦力矩，τ(t)为系统输入力矩；M(·)、C(·)、G(·)、F(·)与F_f(·)均连续或关于时间t勒贝格可测；其中M(·)、C(·)、G(·)表达式为：

其中，I为单位矩阵，J为三自由度机器人的Jacobian矩阵。

3.根据权利要求2所述的一种基于模糊集理论的Delta机器人控制方法，其特征在于，将Delta机器人动力学模型中含有不确定性的项分离具体步骤为：将式(1)中的M(·)、C(·)、G(·)与F(·)分解为：

其中，

与

称为Delta机器人系统的标称项，△M(q,σ,t)、

△G(q,σ,t)、

与

为Delta机器人系统的不确定项。

4.根据权利要求3所述的一种基于模糊集理论的Delta机器人控制方法，其特征在于，当Delta机器人在工作过程中不存在不确定性和摩擦力时，有：

其中，惯性矩阵满足：惯性矩阵M(q,σ,t)为正定矩阵，即对任意的q∈R³，存在一个常数σ>0使得：

M(q,σ,t)>σI(12)

对任意的q∈R³，存在常数γ_j，j＝0,1,2，且γ₀>0，γ_1,2≥0，使得：

‖M(q,σ,t)‖<γ₀+γ₁‖q‖+γ₂‖q‖²(13)

Delta机器人的关节均为转动关节，因此，式(13)中的γ₁＝γ₂＝0，则

‖M(q,σ,t)‖<γ₀(14)。

5.根据权利要求4所述的一种基于模糊集理论的Delta机器人控制方法，其特征在于，根据Delta机器人动力学模型中的标称项建立控制器中用于对标称机器人系统进行补偿的标称补偿控制项P₁：

Delta机器人的期望轨迹为q^d、

和

其中q^d:[t₀,∞)→R³表示期望位置，且q^d为C²连续，

为期望速度，

为期望加速度；

系统的轨迹跟踪误差为：

e：＝q-q^d (15)

系统的速度跟踪误差与加速度跟踪误差可以表示为：

则标称补偿控制矩阵P₁为：

6.根据权利要求5所述的一种基于模糊集理论的Delta机器人控制方法，其特征在于，选取正定对角矩阵建立用于对初始位置误差进行补偿的P.D控制项P₂：

其中，正定对角矩阵K_p＝diag[k_pi]_3×3且k_pi>0，K_v＝diag[k_vi]_3×3且k_vi>0，i＝1,2,3。

7.根据权利要求1所述的一种基于模糊集理论的Delta机器人控制方法，其特征在于，步骤5)中基于模糊集理论建立关于机器人初始状态与不确定性的模糊集合：具体步骤如下：

(1)设Delta并联机器人的初始状态为

q₀为初始状态变量，对于任意的X_0i，i＝1,2,…2n,存在一个属于论域Ξ_0i∈R的模糊集合

满足：

其中，

为隶属度函数，Ξ_i为已知紧致集合；

(2)不确定性中的任意变量σ_i均勒贝格可测，i＝1,2,…n；

(3)对于任意的σ_i，i＝1,2,…n，存在一个属于论域Σ_i∈R的模糊集合N_i满足：

其中，

为隶属度函数，Σ_i为已知紧致集合。

8.根据权利要求7所述的一种基于模糊集理论的Delta机器人控制方法，其特征在于，构造代表系统不确定项的上界信息函数Γ(·)，满足：

(0,∞)^k×R³×R³×R→R₊和一个未知的向量α∈(0,∞)^k，使得：

其中：

式(23)中，正定矩阵S＝diag[s_i]_3×3，s_i>0，k_s＝λ_min(S)，i＝1,2,3；

对于所有

上界信息函数

满足：(i)C¹；(ii)关于α的凹函数，即对于任意的α₁，α₂，有：

对于自适应参数α的任意变量α_i，存在一个属于论域A_i∈R的模糊集合B_i满足：

上界信息函数

为关于α的不下降函数。

9.根据权利要求8所述的一种基于模糊集理论的Delta机器人控制方法，其特征在于，根据上界信息函数

和自适应律，构造不确定性控制项P₃：

其中，γ∈R,γ>0。

10.根据权利要求9所述的一种基于模糊集理论的Delta机器人控制方法，其特征在于，利用模糊集合的模糊不确定性信息对不确定性控制项P₃中的控制器增益进行优化对于任意的t≥t₀时刻二次性能指标：

其中，β₁,β₂,β₃为权重；

其中，对于任意的k,t₀，当t→∞时，η(γ,t,t₀)→0；

η(γ,t,t₀)根据初始状态模糊集合取值，η_∞(γ)根据不确定性参数的模糊集合取值；

D[·]表示D-运算，对于任意的函数f:N→R，取D-运算定义如下：

根据D-运算的定义，有

对(67)进行D-运算：

对(64)进行D-运算：

将式(68)和式(69)带入式(65)中,得到

其中,

ω₄＝D[κ²θ²],

求二次性能指标最小：

为求解此问题，使性能指标J(γ,t₀)对控制增益γ求一阶导数为：

当J(γ,t₀)取最小值时，

则

2β₃γ⁴-[(2β₁ω₃+2β₂ω₆)+γ(β₁ω₂+β₂ω₅)] (72)

设D[·]≠0；对于任意时间，给定计算参数ω₁～ω₆，得最优解

将最优解γ_opt替换不确定性控制项P₃中的参数γ，即可得到最优鲁棒自适应控制器输出为：

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