CN110826226B - 一种齿轮传动装置的非精确概率可靠性评估方法 - Google Patents

一种齿轮传动装置的非精确概率可靠性评估方法 Download PDF

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CN110826226B CN201911076039.0A CN201911076039A CN110826226B CN 110826226 B CN110826226 B CN 110826226B CN 201911076039 A CN201911076039 A CN 201911076039A CN 110826226 B CN110826226 B CN 110826226B
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Abstract

本发明公开了一种齿轮传动装置的非精确概率可靠性评估方法，该方法通过证据理论对齿轮传动装置可靠性评估过程中的不确定性因素进行描述，并建立齿轮传动装置的极限状态函数；为了保证齿轮传动装置可靠性评估过程中的计算精度和计算效率，通过最大可能失效点和极限状态函数与不确定区域边缘的交点求解中点；然后，将极限状态函数在每个中点处进行一阶泰勒展开，并应用一阶近似可靠性分析方法对每个联合焦元在一阶泰勒展开函数上进行联合焦元极值分析，从而获得衡量齿轮传动装置可靠性的可信度和似真度；本发明可从本质上提高求解可信度和似真度的计算效率和求解质量，在齿轮传动装置可靠性评估领域具有广泛的工程应用价值。

Description

一种齿轮传动装置的非精确概率可靠性评估方法
技术领域
本发明涉及齿轮传动装置可靠性评估领域，具体涉及一种齿轮传动装置的非精确概率可靠性评估方法。
背景技术
齿轮传动装置是机械传动系统中最常见的传动形式之一。齿轮传动装置的可靠性将直接影响到机械系统的传动效率，而在齿轮传动装置的设计过程当中，齿轮所承受的最大应力必须小于其最大许用应力。
针对齿轮传动装置的可靠性评估与设计，现有的方法存在以下问题：
1、现有针对齿轮传动装置的设计方法，大部分是在系统参数模型处于确定性条件下展开研究的，但在实际的齿轮传动装置设计过程中，由于边界条件、初始条件、测量条件存在误差或不确定性，如果仍把这些因素看作确定性因素来对待，则将导致系统响应与实际响应产生较大的偏差。
2、针对齿轮传动装置的可靠性评估方法，现有的一些方法采用概率模型来描述不确定性设计变量，如公开号为CN105138794A的专利“一种直齿轮传动系统可靠性评估方法”和公开号为CN107273609A的专利“一种基于Kriging模型齿轮传动可靠性评估方法”，上述专利的不确定变量均采用随机变量来描述，即随机变量分布类型需通过数据收集和假设检验得到，但实际的设计过程中，许多不确定变量因缺乏足够的样本数据而致使概率分布密度未知，从而导致很难精确地获得不确定性设计变量的概率分布。
3、针对齿轮传动装置的可靠性评估方法，现有的一些方法采用非概率凸集模型来描述不确定性设计变量，如公开号为CN102446239A的专利“考虑认知和随机不确定性的齿轮传动多学科可靠性分析方法”，该专利依据设计参数不确定性数据的完备性，通过概率模型和非概率凸集模型来描述不确定性设计参数，虽然描述不确定性设计参数的非概率凸集模型并不需要精确的概率分布，但由于非概率凸集模型过多的强调极端工况，从而将会造成保守设计。
4、针对齿轮传动装置的可靠性评估方法，现有的一些方法采用证据理论来描述不确定性设计变量，而且这些方法在可靠性评估过程中只考虑了极限状态函数的最大可能失效点，但在可靠性评估过程中，极限状态函数与不确定域边界相交的边界点对可信度和似真度的判断起着重要作用，这些方法由于未考虑这些边界点，从而影响了针对齿轮传动装置的可靠性评估精度。
发明内容
本发明的目的是为了解决现有齿轮传动装置可靠性评估方法存在的上述问题，提出了一种齿轮传动装置的非精确概率可靠性评估方法。
本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：一种齿轮传动装置的非精确概率可靠性评估方法，包括如下步骤：
步骤1：对齿轮传动装置设计过程中的不确定性因素进行分析，并根据样本点的信息确定证据变量的识别框架与基本可信度分配，然后根据实际问题构建如公式(1)所示的针对齿轮传动装置可靠性评估的极限状态函数g(X)：
g(X)＝g0 公式(1)
X＝(X1,Xj,...,Xs),j＝1,2,...,s
公式(1)中，g0为许可响应值，证据变量Xj由公式(2)中的n个焦元所构成：
Figure BDA0002262472670000031
Figure BDA0002262472670000032
公式(2)中，xi表示第i个焦元，
Figure BDA0002262472670000033
表示第i个焦元的区间，ai和bi表示第i个焦元的区间端点，
Figure BDA0002262472670000034
表示第i个焦元的质量；
步骤2：建立上述齿轮传动装置可靠性评估问题的联合识别框架ΘX与联合焦元AX：
Figure BDA0002262472670000035
公式(3)中,ΘX为联合识别框架，
Figure BDA0002262472670000036
表示证据变量Xj的幂集，AX为联合焦元，
Figure BDA0002262472670000037
表示证据变量Xj的焦元；联合焦元AX以笛卡尔积形式组成，其对应的联合基本可信度分配m(AX)如下式所示：
Figure BDA0002262472670000038
公式(4)中，m(AX)为联合焦元AX的基本可信度分配，
Figure BDA0002262472670000039
为焦元
Figure BDA00022624726700000310
的基本可信度分配；
步骤3：将原始的证据向量X＝(X1,Xj,...,Xs)转换成如下式所示的随机向量Y＝(Y1,Yj,...,Ys)：
Figure BDA0002262472670000041
Figure BDA0002262472670000042
公式(5)中，
Figure BDA0002262472670000043
为随机变量Yj的概率密度函数；
步骤4：将随机向量Y＝(Y1,Yj,...,Ys)通过公式(6)和公式(7)映射到标准正态空间下获得新的极限状态功能函数Q(U)；
Figure BDA0002262472670000044
g(Y)＝g(T(U))＝Q(U) 公式(7)
U＝(U1,Uj,...,Us),j＝1,2,...,s
公式(6)中和公式(7)中，Φ为标准正态分布的累积分布函数，Φ-1为标准正态分布的累积分布反函数，Uj为随机变量Yj映射到标准正态空间下的变量，
Figure BDA0002262472670000045
为随机变量Yj的累积分布函数，T(U)是随机向量Y映射到标准正态空间下的概率转换函数；
步骤5：求解如下式所示的优化问题，从而获得最大可能失效点U*：
Figure BDA0002262472670000046
公式(8)中，β为可靠性指标，U为向量U的范数；
步骤6：根据最大可能失效点U*求解Y*＝(Y1,Y2,...,Yj,...,Ys)：
Figure BDA0002262472670000047
公式(9)中，
Figure BDA0002262472670000048
为累积分布函数
Figure BDA0002262472670000049
的反函数；
步骤7：通过下式求解极限状态函数与不确定域边界相交的边界点：
Figure BDA0002262472670000051
Figure BDA0002262472670000052
或
Figure BDA0002262472670000053
且p≠j
公式(10)中，L,R分别表示变量Xj的上下界；获得边界点
Figure BDA0002262472670000054
z＝1,2,...,q后，再通过下式求解Y*＝(Y1,Y2,...,Yj,...,Ys)与边界点
Figure BDA0002262472670000055
的中点
Figure BDA0002262472670000056
Figure BDA0002262472670000057
步骤8：将极限状态函数g(X)在每个中点
Figure BDA0002262472670000058
处进行一阶泰勒展开：
Figure BDA0002262472670000059
公式(12)中，g'z(X)表示极限状态函数g(X)在中点
Figure BDA00022624726700000510
处的一阶泰勒展开函数，
Figure BDA00022624726700000511
为极限状态函数g(X)在中点
Figure BDA00022624726700000512
处的响应值，
Figure BDA00022624726700000513
为极限状态函数g(X)在中点
Figure BDA00022624726700000514
处的梯度；
步骤9：应用一阶近似可靠性分析方法对每个联合焦元在一阶泰勒展开函数g'z(X)上进行联合焦元极值分析，从而获得安全域G的可信度Bel(G)和似真度Pl(G):
Figure BDA00022624726700000515
Figure BDA0002262472670000061
公式(13)中，AX为联合焦元，m(AX)为联合焦元AX的基本可信度分配，
Figure BDA0002262472670000062
表示焦元完全位于安全域G内，而AX∩G≠φ则表示焦元部分或者完全处于安全域G内。
优选的，所述步骤7中用牛顿法来求解极限状态函数与不确定域边界相交的边界点
Figure BDA0002262472670000063
优选的，所述步骤9中极值分析过程如下式所示：
Figure BDA0002262472670000064
Figure BDA0002262472670000065
Figure BDA0002262472670000066
Figure BDA0002262472670000067
公式(14)和公式(15)中，
Figure BDA0002262472670000068
和
Figure BDA0002262472670000069
分别表示联合焦元AX的下界和上界；在进行上述极值分析时，若所有的
Figure BDA00022624726700000610
和
Figure BDA00022624726700000611
则
Figure BDA00022624726700000612
表示焦元AX完全处于安全域，其联合基本可信度分配应同时计入Bel(G)和Pl(G)，若所有的
Figure BDA00022624726700000613
且
Figure BDA00022624726700000614
则AX∩G≠φ，表示焦元AX部分处于安全域中，其联合基本可信度分配计入Pl(G)当中，若部分的
Figure BDA00022624726700000615
且
Figure BDA00022624726700000616
表示焦元AX至少在一个一阶泰勒展开函数g'z(X)上满足AX∩G≠φ，其二分之一的联合基本可信度分配计入Pl(G)当中，若所有的
Figure BDA00022624726700000617
和
Figure BDA00022624726700000618
表示焦元AX完全处于失效域，则联合基本可信度分配既不记入Bel(G)也不记入Pl(G)。
本发明的有益效果是：
1、针对背景技术提出的第1点，本发明采用证据理论对齿轮传动装置的不确定性设计变量进行建模，从而考虑了不确定性因素对设计结果的影响。
2、针对背景技术第2点，本发明采用的证据理论对齿轮传动装置的不确定性设计变量进行建模，在建模过程中仅需要知道每个不确定性变量所包含焦元(基本可信度，类似于概率理论中的概率密度函数)的区间与质量，这些焦元的区间和质量可通过有限的样本来获得，而并不需要大量的样本点来构建精确的概率模型，从而大大降低了不确定性设计变量模型构建的难度。
3、针对背景技术提出的第3点，本发明采用的证据变量对齿轮传动装置的不确定性设计变量进行建模，因每个不确定性变量所包含的焦元因具备区间和质量两个要素，而非概率凸集模型仅用区间来描述，因此采用的证据变量进行可靠性评估时能有效避免保守设计。
4、针对背景技术提出的第4点，本发明不但考虑了齿轮传动装置极限状态函数的最大可能失效点，还考虑了极限状态函数与不确定域边界相交的边界点，从而有效提高了针对齿轮传动装置的可靠性评估精度。
注：上述设计不分先后，每一条都使得本发明相对现有技术具有区别和显著的进步。
附图说明
图1是本发明齿轮传动装置的非精确概率可靠性评估方法的流程图
图2是具体实施例中齿轮传动装置的模型示意图
图中，附图标记如下：
1、大齿轮 2、小齿轮 3、轮辐厚度 4、轮辐宽度 5、轴孔半径
具体实施方式
下面结合附图对本发明的通用方法进行说明：
如图1所示，一种齿轮传动装置的非精确概率可靠性评估方法，包括如下步骤：
步骤1：对齿轮传动装置设计过程中的不确定性因素进行分析，并根据样本点的信息确定证据变量的识别框架与基本可信度分配，然后根据实际问题构建如公式(1)所示的针对齿轮传动装置可靠性评估的极限状态函数g(X)：
g(X)＝g0 公式(1)
X＝(X1,Xj,...,Xs),j＝1,2,...,s
公式(1)中，g0为许可响应值，证据变量Xj由公式(2)中的n个焦元所构成：
Figure BDA0002262472670000081
Figure BDA0002262472670000082
公式(2)中，xi表示第i个焦元，
Figure BDA0002262472670000083
表示第i个焦元的区间，ai和bi表示第i个焦元的区间端点，
Figure BDA0002262472670000084
表示第i个焦元的质量；
步骤2：建立上述齿轮传动装置可靠性评估问题的联合识别框架ΘX与联合焦元AX：
Figure BDA0002262472670000085
公式(3)中,ΘX为联合识别框架，
Figure BDA0002262472670000091
表示证据变量Xj的幂集，AX为联合焦元，
Figure BDA0002262472670000092
表示证据变量Xj的焦元；联合焦元AX以笛卡尔积形式组成，其对应的联合基本可信度分配m(AX)如下式所示：
Figure BDA0002262472670000093
公式(4)中，m(AX)为联合焦元AX的基本可信度分配，
Figure BDA0002262472670000094
为焦元
Figure BDA0002262472670000095
的基本可信度分配；
步骤3：将原始的证据向量X＝(X1,Xj,...,Xs)转换成如下式所示的随机向量Y＝(Y1,Yj,...,Ys)：
Figure BDA0002262472670000096
Figure BDA0002262472670000097
公式(5)中，
Figure BDA0002262472670000098
为随机变量Yj的概率密度函数；
步骤4：将随机向量Y＝(Y1,Yj,...,Ys)通过公式(6)和公式(7)映射到标准正态空间下获得新的极限状态功能函数Q(U)；
Figure BDA0002262472670000099
g(Y)＝g(T(U))＝Q(U) 公式(7)
U＝(U1,Uj,...,Us),j＝1,2,...,s
公式(6)中和公式(7)中，Φ为标准正态分布的累积分布函数，Φ-1为标准正态分布的累积分布反函数，Uj为随机变量Yj映射到标准正态空间下的变量，
Figure BDA00022624726700000910
为随机变量Yj的累积分布函数，T(U)是随机向量Y映射到标准正态空间下的概率转换函数；
步骤5：求解如下式所示的优化问题，从而获得最大可能失效点U*：
Figure BDA0002262472670000101
公式(8)中，β为可靠性指标，U为向量U的范数；
步骤6：根据最大可能失效点U*求解Y*＝(Y1,Y2,...,Yj,...,Ys)：
Figure BDA0002262472670000102
公式(9)中，
Figure BDA0002262472670000103
为累积分布函数
Figure BDA0002262472670000104
的反函数；
步骤7：通过牛顿法求解极限状态函数与不确定域边界相交的边界点：
Figure BDA0002262472670000105
Figure BDA0002262472670000106
或
Figure BDA0002262472670000107
且p≠j
公式(10)中，L,R分别表示变量Xj的上下界；获得边界点
Figure BDA0002262472670000108
z＝1,2,...,q后，再通过下式求解Y*＝(Y1,Y2,...,Yj,...,Ys)与边界点
Figure BDA0002262472670000109
的中点
Figure BDA00022624726700001010
Figure BDA00022624726700001011
步骤8：将极限状态函数g(X)在每个中点
Figure BDA00022624726700001012
处进行一阶泰勒展开：
Figure BDA00022624726700001013
公式(12)中，g'z(X)表示极限状态函数g(X)在中点
Figure BDA0002262472670000111
处的一阶泰勒展开函数，
Figure BDA0002262472670000112
为极限状态函数g(X)在中点
Figure BDA0002262472670000113
处的响应值，
Figure BDA0002262472670000114
为极限状态函数g(X)在中点
Figure BDA0002262472670000115
处的梯度；
步骤9：应用一阶近似可靠性分析方法对每个联合焦元在一阶泰勒展开函数g'z(X)上进行联合焦元极值分析，从而获得安全域G的可信度Bel(G)和似真度Pl(G):
Figure BDA0002262472670000116
Figure BDA0002262472670000117
公式(13)中，AX为联合焦元，m(AX)为联合焦元AX的基本可信度分配，
Figure BDA0002262472670000118
表示焦元完全位于安全域G内，而AX∩G≠φ则表示焦元部分或者完全处于安全域G内；上述极值分析过程如下式所示：
Figure BDA0002262472670000119
Figure BDA00022624726700001110
Figure BDA00022624726700001111
Figure BDA00022624726700001112
公式(14)和公式(15)中，
Figure BDA00022624726700001113
和
Figure BDA00022624726700001114
分别表示联合焦元AX的下界和上界；在进行上述极值分析时，若所有的
Figure BDA00022624726700001115
和
Figure BDA00022624726700001116
则
Figure BDA00022624726700001117
表示焦元AX完全处于安全域，其联合基本可信度分配应同时计入Bel(G)和Pl(G)，若所有的
Figure BDA00022624726700001118
且
Figure BDA00022624726700001119
则AX∩G≠φ，表示焦元AX部分处于安全域中，其联合基本可信度分配计入Pl(G)当中，若部分的
Figure BDA00022624726700001120
且
Figure BDA00022624726700001121
表示焦元AX至少在一个一阶泰勒展开函数g'z(X)上满足AX∩G≠φ，其二分之一的联合基本可信度分配计入Pl(G)当中，若所有的
Figure BDA0002262472670000121
和
Figure BDA0002262472670000122
表示焦元AX完全处于失效域，则联合基本可信度分配既不记入Bel(G)也不记入Pl(G)。
为了进一步的对本发明做进一步详细说明，下面再结合一具体实施例对本发明的方案做一个说明。本实施例以齿轮传动装置的可靠性评估为实施例，在以本发明技术方案为前提下进行实施，给出了详细的实施方式和具体的操作过程，但本发明的保护范围不限于下述的实施例。
如图2所示，为本发明方法所针对的齿轮传动装置的模型示意图。按照图1所示的流程进行实施。一种齿轮传动装置的非精确概率可靠性评估方法，针对如图2所示的齿轮传动装置，其具体步骤为：
步骤1：对齿轮传动装置设计过程中的不确定性因素进行分析，同时考虑到齿轮传动结构的设计过程当中，齿轮所承受的最大应力必须小于其最大许用应力δmax＝345MPa。因此，以大齿轮为设计对象，选取大齿轮轮辐的厚度X1、大齿轮轮辐的宽度X2和大齿轮轴孔的半径X3为证据变量，其相应的基本可信度分配如表1所示，从而构建如下所示的极限状态函数：
g(X)＝δmax-Fmax(X) 公式(16)
X＝(X1,X2,X3)T
5mm≤X1≤10mm
20mm≤X2≤80mm
40mm≤X3≤65mm
公式(6)中：δmax为最大许用应力，Fmax为大齿轮所承受的最大应力；
表1证据变量X1、X2、X3的基本可信度分配(BPA)
Figure BDA0002262472670000131
步骤2：建立上述齿轮传动装置可靠性评估问题的联合识别框架ΘX与联合焦元AX：
Figure BDA0002262472670000132
公式(17)中,ΘX为联合识别框架，
Figure BDA0002262472670000133
表示证据变量Xj的幂集，AX为联合焦元，
Figure BDA0002262472670000134
表示证据变量Xj的焦元；联合焦元AX以笛卡尔积形式组成，其对应的联合基本可信度分配m(AX)如下式所示：
Figure BDA0002262472670000135
公式(18)中，m(AX)为联合焦元AX的基本可信度分配，
Figure BDA0002262472670000136
为焦元
Figure BDA0002262472670000137
的基本可信度分配；
步骤3：将原始的证据向量X＝(X1,X2,X3)转换成如下式所示的随机向量Y＝(Y1,Y2,Y3)：
Figure BDA0002262472670000138
Figure BDA0002262472670000141
公式(19)中，
Figure BDA0002262472670000142
为随机变量Yj的概率密度函数；
步骤4：将随机向量Y＝(Y1,Y2,Y3)通过公式(20)和公式(21)映射到标准正态空间下获得新的极限状态功能函数Q(U)
Figure BDA0002262472670000143
g(Y)＝g(T(U))＝Q(U) 公式(21)
U＝(U1,U2,U3),j＝1,2,3
公式(20)中和公式(21)中，Φ为标准正态分布的累积分布函数，Φ-1为标准正态分布的累积分布反函数，Uj为随机变量Yj映射到标准正态空间下的变量，
Figure BDA0002262472670000144
为随机变量Yj的累积分布函数，T(U)是随机向量Y映射到标准正态空间下的概率转换函数；
步骤5：求解如下式所示的优化问题，从而获得最大可能失效点U*：
Figure BDA0002262472670000145
公式(22)中，β为可靠性指标，||U||为向量U的范数；
步骤6：根据最大可能失效点U*求解Y*＝(Y1,Y2,Y3)：
Figure BDA0002262472670000146
公式(23)中，
Figure BDA0002262472670000147
为累积分布函数
Figure BDA0002262472670000148
的反函数；
步骤7：通过牛顿法求解极限状态函数与不确定域边界相交的边界点：
Figure BDA0002262472670000149
Figure BDA00022624726700001410
或
Figure BDA00022624726700001411
且p≠j
公式(24)中，L,R分别表示变量Xj的上下界；获得边界点
Figure BDA0002262472670000151
后，再通过下式求解Y*＝(Y1,Y2,Y3)与边界点
Figure BDA0002262472670000152
的中点
Figure BDA0002262472670000153
Figure BDA0002262472670000154
步骤8：将极限状态函数g(X)在每个中点
Figure BDA0002262472670000155
处进行一阶泰勒展开：
Figure BDA0002262472670000156
公式(26)中，g'z(X)表示极限状态函数g(X)在中点
Figure BDA0002262472670000157
处的一阶泰勒展开函数，
Figure BDA0002262472670000158
为极限状态函数g(X)在中点
Figure BDA0002262472670000159
处的响应值，
Figure BDA00022624726700001510
为极限状态函数g(X)在中点
Figure BDA00022624726700001511
处的梯度；
步骤9：应用一阶近似可靠性分析方法对每个联合焦元在一阶泰勒展开函数g'z(X)上进行联合焦元极值分析，从而获得安全域G的可信度Bel(G)和似真度Pl(G):
Figure BDA00022624726700001512
Figure BDA00022624726700001513
公式(13)中，AX为联合焦元，m(AX)为联合焦元AX的基本可信度分配，
Figure BDA00022624726700001514
表示焦元完全位于安全域G内，而AX∩G≠φ则表示焦元部分或者完全处于安全域G内；上述极值分析过程如下式所示：
Figure BDA00022624726700001515
Figure BDA0002262472670000161
Figure BDA0002262472670000162
Figure BDA0002262472670000163
公式(14)和公式(15)中，
Figure BDA0002262472670000164
和
Figure BDA0002262472670000165
分别表示联合焦元AX的下界和上界；在进行上述极值分析时，若所有的
Figure BDA0002262472670000166
和
Figure BDA0002262472670000167
则
Figure BDA0002262472670000168
表示焦元AX完全处于安全域，其联合基本可信度分配应同时计入Bel(G)和Pl(G)，若所有的
Figure BDA00022624726700001614
且
Figure BDA0002262472670000169
则AX∩G≠φ，表示焦元AX部分处于安全域中，其联合基本可信度分配计入Pl(G)当中，若部分的
Figure BDA00022624726700001610
且
Figure BDA00022624726700001611
表示焦元AX至少在一个一阶泰勒展开函数g'z(X)上满足AX∩G≠φ，其二分之一的联合基本可信度分配计入Pl(G)当中，若所有的
Figure BDA00022624726700001612
和
Figure BDA00022624726700001613
表示焦元AX完全处于失效域，则联合基本可信度分配既不记入Bel(G)也不记入Pl(G)。
本实施例将大齿轮结构的一阶泰勒展开函数g'z(X)与一阶近似可靠性分析方法相结合对其进行可靠性评估，最终得到的可靠性结果如表2所示。当大齿轮结构的屈服极限为345MPa时，其可信度与似真度分别为0.86和0.967，此时大齿轮结构的可靠性较差，不满足工程设计要求,需对齿轮结构重新进行优化设计已确保齿轮传动装置的安全性。
表2大齿轮可信度和似真度计算结果
Figure BDA0002262472670000171
上列详细说明是针对本发明可行实施例的具体说明，该实施例并非用以限制本发明的专利范围，凡未脱离本发明所为的等效实施或变更，均应包含于本案的专利范围中。

Claims (3)

1.一种齿轮传动装置的非精确概率可靠性评估方法，其特征在于，包括如下步骤：
步骤1：对齿轮传动装置设计过程中的不确定性因素进行分析，并根据样本点的信息确定证据变量的识别框架与基本可信度分配，所述证据变量包括齿轮轮辐的厚度、齿轮轮辐的宽度、齿轮轮轴的半径，然后根据实际问题构建如公式(1)所示的针对齿轮传动装置可靠性评估的极限状态函数g(X)：
g(X)＝g0 公式(1)
X＝(X1,Xj,...,Xs),j＝1,2,...,s
公式(1)中，g0为许可响应值，证据变量Xj由公式(2)中的n个焦元所构成：
Figure FDA0002926137290000011
Figure FDA0002926137290000012
公式(2)中，xi表示第i个焦元，
Figure FDA0002926137290000013
表示第i个焦元的区间，ai和bi表示第i个焦元的区间端点，
Figure FDA0002926137290000014
表示第i个焦元的质量；
步骤2：建立上述齿轮传动装置可靠性评估问题的联合识别框架ΘX与联合焦元AX：
Figure FDA0002926137290000015
公式(3)中,ΘX为联合识别框架，
Figure FDA0002926137290000016
表示证据变量Xj的幂集，AX为联合焦元，
Figure FDA0002926137290000017
表示证据变量Xj的焦元；联合焦元AX以笛卡尔积形式组成，其对应的联合基本可信度分配m(AX)如下式所示：
Figure FDA0002926137290000021
公式(4)中，m(AX)为联合焦元AX的基本可信度分配，
Figure FDA0002926137290000022
为焦元
Figure FDA0002926137290000023
的基本可信度分配；
步骤3：将原始的证据向量X＝(X1,Xj,...,Xs)转换成如下式所示的随机向量Y＝(Y1,Yj,...,Ys)：
Figure FDA0002926137290000024
Figure FDA0002926137290000025
公式(5)中，
Figure FDA0002926137290000026
为随机变量Yj的概率密度函数；
步骤4：将随机向量Y＝(Y1,Yj,...,Ys)通过公式(6)和公式(7)映射到标准正态空间下获得新的极限状态功能函数Q(U)；
Figure FDA0002926137290000027
g(Y)＝g(T(U))＝Q(U) 公式(7)
U＝(U1,Uj,...,Us),j＝1,2,...,s
公式(6)中和公式(7)中，Φ为标准正态分布的累积分布函数，Φ-1为标准正态分布的累积分布反函数，Uj为随机变量Yj映射到标准正态空间下的变量，
Figure FDA0002926137290000028
为随机变量Yj的累积分布函数，T(U)是随机向量Y映射到标准正态空间下的概率转换函数；
步骤5：求解如下式所示的优化问题，从而获得最大可能失效点U*：
Figure FDA0002926137290000031
公式(8)中，β为可靠性指标，||U||为向量U的范数；
步骤6：根据最大可能失效点U*求解Y*＝(Y1,Y2,...,Yj,...,Ys)：
Figure FDA0002926137290000032
公式(9)中，
Figure FDA0002926137290000033
为累积分布函数
Figure FDA0002926137290000034
的反函数；
步骤7：通过下式求解极限状态函数与不确定域边界相交的边界点：
Figure FDA0002926137290000035
Figure FDA0002926137290000036
或
Figure FDA0002926137290000037
且p≠j
公式(10)中，
Figure FDA0002926137290000038
和
Figure FDA0002926137290000039
分别表示变量Xj的下界和上界；获得边界点
Figure FDA00029261372900000310
后，再通过下式求解Y*＝(Y1,Y2,...,Yj,...,Ys)与边界点
Figure FDA00029261372900000311
的中点
Figure FDA00029261372900000312
Figure FDA00029261372900000313
步骤8：将极限状态函数g(X)在每个中点
Figure FDA00029261372900000314
处进行一阶泰勒展开：
Figure FDA00029261372900000315
公式(12)中，g'z(X)表示极限状态函数g(X)在中点
Figure FDA00029261372900000316
处的一阶泰勒展开函数，
Figure FDA00029261372900000317
为极限状态函数g(X)在中点
Figure FDA00029261372900000318
处的响应值，
Figure FDA00029261372900000319
为极限状态函数g(X)在中点
Figure FDA00029261372900000320
处的梯度；
步骤9：应用一阶近似可靠性分析方法对每个联合焦元在一阶泰勒展开函数g'z(X)上进行联合焦元极值分析，从而获得安全域G的可信度Bel(G)和似真度Pl(G):
Figure FDA0002926137290000041
Figure FDA0002926137290000042
公式(13)中，AX为联合焦元，m(AX)为联合焦元AX的基本可信度分配，
Figure FDA0002926137290000043
表示焦元完全位于安全域G内，而AX⌒G≠φ则表示焦元部分或者完全处于安全域G内。
2.根据权利要求1所述的一种齿轮传动装置的非精确概率可靠性评估方法，其特征在于：所述步骤7中用牛顿法来求解极限状态函数与不确定域边界相交的边界点
Figure FDA0002926137290000044
3.根据权利要求1所述的一种齿轮传动装置的非精确概率可靠性评估方法，其特征在于：所述步骤9中极值分析过程如下式所示：
Figure FDA0002926137290000045
Figure FDA0002926137290000046
Figure FDA0002926137290000047
Figure FDA0002926137290000048
公式(14)和公式(15)中，
Figure FDA0002926137290000049
和
Figure FDA00029261372900000410
分别表示联合焦元AX的下界和上界；在进行上述极值分析时，若所有的
Figure FDA00029261372900000411
和
Figure FDA00029261372900000412
z＝1,2,...,q，则
Figure FDA00029261372900000413
表示焦元AX完全处于安全域，其联合基本可信度分配应同时计入Bel(G)和Pl(G)，若所有的
Figure FDA00029261372900000414
且
Figure FDA00029261372900000415
则AX⌒G≠φ，表示焦元AX部分处于安全域中，其联合基本可信度分配计入Pl(G)当中，若部分的
Figure FDA00029261372900000416
且
Figure FDA0002926137290000051
表示焦元AX至少在一个一阶泰勒展开函数g'z(X)上满足AX∩G≠φ，其二分之一的联合基本可信度分配计入Pl(G)当中，若所有的
Figure FDA0002926137290000052
和
Figure FDA0002926137290000053
表示焦元AX完全处于失效域，则联合基本可信度分配既不记入Bel(G)也不记入Pl(G)。
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