CN110766628A - 一种基于多波段自适正则化迭代的目标边缘反演方法 - Google Patents

一种基于多波段自适正则化迭代的目标边缘反演方法 Download PDF

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CN110766628A CN201910985997.3A CN201910985997A CN110766628A CN 110766628 A CN110766628 A CN 110766628A CN 201910985997 A CN201910985997 A CN 201910985997A CN 110766628 A CN110766628 A CN 110766628A
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Abstract

一种基于多波段自适正则化迭代的目标边缘反演方法,本发明涉及一种目标边缘反演方法。本发明目的是为了解决现有方法对观测数据噪音敏感，人为选取正则化参数和迭代法的步长繁琐耗时，重构算法收敛很慢甚至不收敛，导致确定的边界准确率低的问题。过程为：利用观测数据，由通过散射问题模型方程得到波段对应散射场的计算值和观测数据确定目标函数残差；计算目标函数梯度；使用广义偏差原则估计正则化参数；求解一阶鞍点问题；计算更新方程，得到对原始变量的对偶变量的增量；用黄金分割优化法更新步长；由增量和步长修正原始变量和对偶变量；更新反演参数数据，利用迭代方法更新初值；画出图像并确定反演边界。本发明用于图像处理技术领域。

Description

一种基于多波段自适正则化迭代的目标边缘反演方法
技术领域
本发明属于图像处理技术领域，具体涉及一种目标边缘反演方法。
背景技术
近年来，图像处理特别是其边缘的重构理论和算法在图像处理领域受到普遍的关注，例如医学成像或是遥感图像处理，这些图像重构问题在数学上通常涉及第一类Fredholm积分方程的求解，这类电磁成像问题通常是非线性和不适定的，给问题的求解带来挑战。为解决此类问题的不适定性，上世纪50年代，俄罗斯科学院院士Tikhnov提出了正则化方法，这为有效求解此类问题提供了有效手段。1992年数学家Osher等进一步研究此类问题，提出了有界变差函数作为正则化项的方法，改善了图像重构质量，但此方法的缺点是重构结果会在平稳区域产生阶梯效应。为了克服此缺点，光滑函数被引入，人们研究了最速下降法等一阶方法求解问题，但收敛速度慢，类似牛顿方法的二阶方法也被提出用来求解此问题，但对初始值选取要求比较高。2015年Bao，Li，Lin在Inverse problems杂志上发表了多频数据电磁反散射问题的综述文章，指出了多频数据特别是从低频到高频数据的逐次反演算法可增加算法的稳定性。
目前的技术中常常在目标泛函中加入先验信息的正则化项，再根据人为经验多次尝试、调整正则化参数，取一个相对较好的结果。这种方法对观测数据噪音很敏感，人为选取正则化参数和迭代法的步长繁琐耗时，有时会导致重构算法收敛很慢甚至不收敛，从而得到不准确的边界甚至是错误的结果。因此，亟需一种高效的正则化迭代方法和系统。
发明内容
本发明的目的是为了解决现有方法对观测数据噪音很敏感，人为选取正则化参数和迭代法的步长繁琐耗时，重构算法收敛很慢甚至不收敛，导致确定的边界准确率低的问题，而提出一种基于多波段自适正则化迭代的目标边缘反演方法。
一种基于多波段自适正则化迭代的目标边缘反演方法，包括以下步骤：
步骤一、采集不同波段
Figure BDA0002235872960000011
入射波下介质散射的观测数据，使用平均测量数据阈值噪音处理方法对观测数据进行处理，过滤观测数据异常噪声，形成散射数据序列：
Figure BDA0002235872960000012
其中a＝1，2，...，n，
Figure BDA0002235872960000013
表示第a个波段的入射波，
Figure BDA0002235872960000014
表示第a个波段的散射场的观测数据，初始化a＝1，
Figure BDA0002235872960000015
表示第1个波段的观测数据，n取值为正整数；
步骤二、基于第a个波段的入射波
Figure BDA0002235872960000021
利用积分方程方法求解散射问题模型方程得到第a个波段的对应散射场的计算值unum，即unum表示u(x)在网格节点上的计算值；
u(x)＝Km(x)；
其中，K是积分算子，u(x)表示关于自变量x的波场函数，m(x)为散射体的支集函数；
步骤三、计算步骤二中得到的计算值与观测数据的残差，残差记为Res，判断残差Res是否满足精度，如果残差达到精度则算法停止，否则转到步骤四；
步骤四、计算目标函数梯度，并引入罚函数的对偶表示，得到散射目标函数；
步骤五、使用广义偏差原则估计正则化参数；
步骤六、取
Figure BDA0002235872960000022
根据KKT条件，求解一阶鞍点问题：
Figure BDA0002235872960000023
其中ψ为改进的罚函数，α是正则化参数，β是调整正则化项光滑程度的参数，t为改进罚函数的自变量，u′，v′，m′，K′表示连续变量u(x)，v(x)，m(x)，K的离散化值，m(x)为散射体的支集函数，v(x)和u(x)称为m(x)的对偶变量，K是积分算子，u′test表示utest的向量形式，
Figure BDA0002235872960000024
分别是矩阵
Figure BDA0002235872960000025
和Dx2的转置，B是中间量；G＝0即为一阶鞍点问题，对上式矩阵求偏导：
Figure BDA0002235872960000026
其中T表示转置；
步骤七、通过计算更新方程，得到对原始变量的对偶变量的增量值，计算更新方程求(Δu′，Δv′，Δm′)T；
其中Δu′，Δv′，Δm′分别表示u′，v′，m′的增量；
步骤八、用黄金分割优化法更新原始变量的步长和对偶变量的步长，得到更新后的步长；
步骤九、由得到的增量和步长修正原始变量和对偶变量，更新m′＝m′+ξΔm′，u′＝u′+τΔu′，v′＝v′+τΔv′；
ξ表示对支集函数m的更新步长，τ表示对偶变量更新步长；
步骤十、判断a是否小于n，若大于，转步骤11；若小于，令a＝a+1，将得到的m′作为第a个波段的初值重复执行步骤2至步骤10，直至a等于n，转步骤11；
步骤十一、画出m′在有界区域B1内的图像，并通过等高线确定反演边界。
本发明的有益效果是：根据反演目标的实部与虚部的图像(如图2和图3所示)，通过本发明的目标边缘反演方法反演结果(如图6与图7)与已有的Tihknov正则化方法反演结果(如图4与图5)相比，本发明使用平均测量数据阈值噪音处理方法对观测数据进行处理，可过滤观测数据异常噪声，本发明针对上述模型设计了迭代自适应步长能有效加快重构迭代方法的收敛速度，实现对边界的快速稳定重构，通过适当的正则化参数选取抑制问题的不适定性，提高了确定边界的准确率，适应的范围更广。
附图说明
图1是本发明一种基于多波段自适正则化迭代的目标边缘反演方法的流程图；
图2是本发明反演目标的实部图像；
图3是本发明反演目标的虚部图像；
图4是采用现有技术中Tikhnov正则化方法进行目标边缘反演的实部图像；
图5是采用现有技术中Tikhnov正则化方法进行目标边缘反演的虚部图像；
图6是采用本发明提出的基于多波段自适正则化迭代目标边缘反演方法进行目标边缘反演的实部图像；
图7是采用本发明提出的基于多波段自适正则化迭代目标边缘反演方法进行目标边缘反演的虚部图像；
上述图中所标注的η2表示反演目标的函数表达式，Im表示取虚部的记号，Re表示取实部的记号。
具体实施方式
具体实施方式一：如图1所示，本实施方式为一种基于多波段自适正则化迭代的目标边缘反演方法，包括以下步骤：
步骤1、从低频到高频采集不同波段
Figure BDA0002235872960000031
入射波下介质散射问题的观测数据，使用平均测量数据阈值噪音处理方法对观测数据进行处理，过滤观测数据异常噪声，形成散射数据序列：
Figure BDA0002235872960000032
其中a＝1，2，...，n，
Figure BDA0002235872960000033
表示第a个波段的入射波，
Figure BDA0002235872960000034
表示第a个波段的散射场的观测数据，初始化a＝1，
Figure BDA0002235872960000035
表示第1个波段的散射场的观测数据；n取值为正整数；
步骤2、基于第a个波段的入射波利用积分方程方法求解散射问题模型方程得到第a个波段对应散射场的计算值unum，unum表示u(x)在网格节点上的计算值；
u(x)＝Km(x)；其中，K是积分算子，u(x)表示关于自变量x的波场函数，m(x)为散射体的支集函数；
步骤3、计算步骤2中得到的计算值与观测数据的残差，残差记为Res，判断残差Res是否满足精度，如果残差达到精度则算法停止，否则转到步骤4；
步骤4、计算目标函数梯度，并引入罚函数的对偶表示，得到散射目标函数；
步骤5、使用广义偏差原则估计正则化参数；
步骤6、取
Figure BDA0002235872960000041
根据KKT(Karush-Kuhn-Tucker)条件，求解一阶鞍点问题：
Figure BDA0002235872960000042
其中G是中间函数，ψ为改进的罚函数，α是正则化参数，β是调整正则化项光滑程度的参数，t为改进罚函数的自变量，u′，v′，m′，K′表示连续变量u(x)，v(x)，m(x)，K的离散化值，m(x)为散射体的支集函数，v(x)和u(x)称为m(x)的对偶变量，K是积分算子，u′test表示utest的向量形式，分别是矩阵
Figure BDA0002235872960000044
和Dx2的转置，B是中间量；
G＝0即为一阶鞍点问题，对上式矩阵求偏导：
Figure BDA0002235872960000045
其中T表示转置(算子的伴随)，
Figure BDA0002235872960000047
E11、E12、E21、E22是中间变量；
Figure BDA0002235872960000048
Figure BDA0002235872960000049
其中B是中间量，E11、E12、E21、E22是中间变量，
Figure BDA00022358729600000410
分别表示ψ的一阶导数和二阶导数；
步骤7、通过计算更新方程，得到对原始变量的对偶变量的增量值，计算更新方程：
Figure BDA00022358729600000411
求(Δu′，Δv′，Δm′)T；
其中Δu′，Δv′，Δm′分别表示u′，v′，m′的增量；
步骤8、用黄金分割优化法更新原始变量(m′)的步长和对偶变量(u′，v′)的步长，得到更新后的步长；
步骤9、由得到的增量和步长修正原始变量和对偶变量，更新m′＝m′+ξΔm′，u′＝u′+τΔu′，v′＝v′+τΔv′；
ξ表示对支集函数m的更新步长，τ表示对偶变量更新步长；
步骤10、判断a是否小于n，若大于，转步骤11；若小于等于，令a＝a+1，将得到的m′作为第a个波段的初值
Figure BDA0002235872960000051
重复执行步骤2至步骤10，直至a等于n，转步骤11；
步骤11、画出m′在有界区域B1内的图像，并通过等高线确定反演边界。
具体实施方式二：本实施方式与具体实施方式一不同的是，所述步骤2中基于第a个波段的入射波
Figure BDA0002235872960000052
利用积分方程方法求解散射问题模型方程得到第a个波段的对应散射场的计算值unum；具体过程为：
散射问题模型方程为：
Δu(x)+k2η(x)u(x)＝0，x∈R2 (1)
其中u(x)表示关于自变量x的波场函数，Δ表示拉普拉斯算子，k表示波数，η(x)表示折射率；
根据先验信息(由于散射体体积是有限的，故其影像是一个有限大小的，因此可以取一个区域包含散射体，这个区域数学上称为包含散射体的支集)，设散射体的支集函数m(x)的初始值为
Figure BDA0002235872960000053
m(x)＝1-η(x)；
其中
Figure BDA0002235872960000054
表示第a个波段的观测数据重构时的初始值。
其它步骤及参数与具体实施方式一相同。
具体实施方式三：本实施方式与具体实施方式一或二不同的是，所述步骤3中计算步骤2中得到的计算值与观测数据的残差，残差记为Res，判断残差Res是否满足精度，如果残差达到精度则算法停止，否则转到步骤4；具体过程为：
其中K是积分算子，满足：
Figure BDA0002235872960000056
其中m(x)为散射体的支集函数，G(x，y)为二维格林函数，B1是包含支集m的有界区域，(x，y)表示像素点位置，x，y是R2上的点，分别表示相应的场点和源点，R代表实数域；
Figure BDA0002235872960000061
i是虚数单位，x，y∈R2，是零阶第一类Hankel函数，u(y)表示关于自变量y的波场函数；表示希尔伯特空间的2范数；utest表示散射数据序列。
其它步骤及参数与具体实施方式一或二相同。
具体实施方式四：本实施方式与具体实施方式一至三之一不同的是，所述步骤4中计算目标函数梯度，并引入罚函数的对偶表示，得到散射目标函数；具体过程为：
计算目标函数
Figure BDA0002235872960000064
梯度；
其中m表示散射体的支集函数，B1是包含支集m的有界区域，将有界区域B1分成N*N的网格，N表示给定的自然数；
Figure BDA0002235872960000065
表示梯度，α是正则化参数，β是调整正则化项光滑程度的参数；并引入罚函数的对偶表示，得到散射目标函数：
Figure BDA0002235872960000066
其中u′，v′，m′，K′表示连续变量u(x)，v(x)，m(x)，K的离散化值，v(x)和u(x)称为m(x)的对偶变量，＜·，·＞表示欧几里德内积，u′test表示utest的向量形式，1表示元素为1且其长度和内积中元素长度匹配的向量，
Figure BDA0002235872960000067
表示上述内积导出范数的平方，
Figure BDA0002235872960000068
分别是矩阵
Figure BDA0002235872960000069
和Dx2的转置，和
Figure BDA00022358729600000611
是矩阵中的元素；
Figure BDA00022358729600000612
和表达式为：
Figure BDA00022358729600000614
其中Δx1和Δx2是空间离散步长，mi，j表示在网格节点(离散化后点的位置)(i，j)处m的值。
其它步骤及参数与具体实施方式一至三之一相同。
具体实施方式五：本实施方式与具体实施方式一至四之一不同的是，所述步骤5中使用广义偏差原则估计正则化参数；具体过程为：
Figure BDA00022358729600000615
其中，α为正则化参数，trace(·)表示求矩阵的迹，N是空间离散维数，
Figure BDA00022358729600000616
为中间变量函数，
Figure BDA00022358729600000617
Figure BDA00022358729600000618
为中间变量，D′是一阶差分算子的矩阵表示，I是单位矩阵，利用奇异值分解上述公式得：
Figure BDA0002235872960000071
其中ηi，gi是K的特征值和相应的特征向量，是中间变量，δi是D的特征值，
Figure BDA0002235872960000073
表示求函数关于α的极小值。
其它步骤及参数与具体实施方式一至四之一相同。
具体实施方式六：本实施方式与具体实施方式一至五之一不同的是，所述步骤8中用黄金分割优化法更新原始变量的步长和对偶变量的步长，得到更新后的步长；具体过程为：
Figure BDA0002235872960000074
τ：＝max{0≤γ≤1|(u′i，j+γΔu′i，j，v′i，j+γΔv′i，j)∈C*，i，j∈1，2，…N}
其中T为目标函数，ξ表示对支集函数m的更新步长，τ表示对偶变量更新步长，
Figure BDA0002235872960000075
和γ是[0，1]内的实数，m′i，j表示在网格节点(i，j)处m′的值；u′i，j表示在网格节点(i，j)处u′的值；v′i，j表示在网格节点(i，j)处v′的值；Δu′i，j表示在网格节点(i，j)处u′的增量；Δv′i，j表示在网格节点(i，j)处v′的增量；Δm′i，j表示在网格节点(i，j)处m′的增量；·，·表示变量u′和v′，强调的是第一个变量m′在变，而后两个变量在定义域内任意选取。
其它步骤及参数与具体实施方式一至五之一相同。

Claims (6)

1.一种基于多波段自适正则化迭代的目标边缘反演方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤一、采集不同波段
Figure FDA0002235872950000011
入射波下介质散射的观测数据，使用平均测量数据阈值噪音处理方法对观测数据进行处理，过滤观测数据异常噪声，形成散射数据序列：
Figure FDA0002235872950000012
其中a＝1，2，...，n，
Figure FDA0002235872950000013
表示第a个波段的入射波，表示第a个波段的散射场的观测数据，初始化a＝1，
Figure FDA0002235872950000015
表示第1个波段的观测数据，n取值为正整数；
步骤二、基于第a个波段的入射波
Figure FDA0002235872950000016
利用积分方程方法求解散射问题模型方程得到第a个波段的对应散射场的计算值unum，即unum表示u(x)在网格节点上的计算值；
u(x)＝Km(x)；
其中，K是积分算子，u(x)表示关于自变量x的波场函数，m(x)为散射体的支集函数；
步骤三、计算步骤二中得到的计算值与观测数据的残差，残差记为Res，判断残差Res是否满足精度，如果残差达到精度则算法停止，否则转到步骤四；
步骤四、计算目标函数梯度，并引入罚函数的对偶表示，得到散射目标函数；
步骤五、使用广义偏差原则估计正则化参数；
步骤六、取根据KKT条件，求解一阶鞍点问题：
Figure FDA0002235872950000018
其中ψ为改进的罚函数，α是正则化参数，β是调整正则化项光滑程度的参数，t为改进罚函数的自变量，u′，v′，m′，K′表示连续变量u(x)，v(x)，m(x)，K的离散化值，m(x)为散射体的支集函数，v(x)和u(x)称为m(x)的对偶变量，K是积分算子，u′test表示utest的向量形式，
Figure FDA0002235872950000019
分别是矩阵
Figure FDA00022358729500000110
和Dx2的转置，B是中间量；
G＝0即为一阶鞍点问题，对上式矩阵求偏导：
Figure FDA00022358729500000112
其中T表示转置；
步骤七、通过计算更新方程，得到对原始变量的对偶变量的增量值，计算更新方程
Figure FDA00022358729500000113
求(Δu′，Δv′，Δm′)T；
其中Δu′，Δv′，Δm′分别表示u′，v′，m′的增量；
步骤八、用黄金分割优化法更新原始变量的步长和对偶变量的步长，得到更新后的步长；
步骤九、由得到的增量和步长修正原始变量和对偶变量，更新m′＝m′+ξΔm′，u′＝u′+τΔu′，v′＝v′+τΔv′；
ξ表示对支集函数m的更新步长，τ表示对偶变量更新步长；
步骤十、判断a是否小于n，若大于，转步骤11；若小于，令a＝a+1，将得到的m′作为第a个波段的初值
Figure FDA0002235872950000021
重复执行步骤2至步骤10，直至a等于n，转步骤11；
步骤十一、画出m′在有界区域B1内的图像，并通过等高线确定反演边界。
2.根据权利要求1所述一种基于多波段自适正则化迭代的目标边缘反演方法，其特征在于，步骤二所述基于第a个波段的入射波
Figure FDA0002235872950000022
利用积分方程方法求解散射问题模型方程得到第a个波段的对应散射场的计算值unum，unum表示u(x)在网格节点上的计算值；
具体过程为：
散射问题模型方程为：
Δu(x)+k2η(x)u(x)＝0，x∈R2 (1)
其中u(x)表示关于自变量x的波场函数，Δ表示拉普拉斯算子，k表示波数，η(x)表示折射率；
设散射体的支集函数m(x)的初始值为
Figure FDA0002235872950000023
m(x)＝1-η(x)；
其中
Figure FDA0002235872950000024
表示第a个波段的观测数据重构时的初始值。
3.根据权利要求2所述一种基于多波段自适正则化迭代的目标边缘反演方法，其特征在于，步骤三所述计算步骤二中得到的计算数据与观测数据的残差，残差记为Res，判断残差Res是否满足精度，如果残差达到精度则算法停止，否则转到步骤四，具体过程为：
Figure FDA0002235872950000025
其中K是积分算子，满足：
Figure FDA0002235872950000026
其中m(x)为散射体的支集函数，G(x，y)为二维格林函数，B1是包含支集m的有界区域，(x，y)表示像素点位置，x，y是R2上的点，分别表示相应的场点和源点，R代表实数域。
4.根据权利要求3所述一种基于多波段自适正则化迭代的目标边缘反演方法，其特征在于，步骤四所述计算目标函数梯度，并引入罚函数的对偶表示，得到散射目标函数，具体过程为：
计算目标函数
Figure FDA0002235872950000031
梯度；
其中m表示散射体的支集函数，B1是包含支集m的有界区域，将有界区域B1分成N*N的网格，N表示给定的自然数；
Figure FDA0002235872950000032
表示梯度，α是正则化参数，β是调整正则化项光滑程度的参数；
并引入罚函数的对偶表示，得到散射目标函数：
Figure FDA0002235872950000033
其中u′，v′，m′，K′表示连续变量u(x)，v(x)，m(x)，K的离散化值，v(x)和u(x)称为m(x)的对偶变量，＜·，·＞表示欧几里德内积，u′test表示utest的向量形式，1表示元素为1且其长度和内积中元素长度匹配的向量，表示上述内积导出范数的平方，
Figure FDA0002235872950000035
分别是矩阵
Figure FDA0002235872950000036
和Dx2的转置，
Figure FDA0002235872950000038
和
Figure FDA0002235872950000039
是矩阵中的元素。
5.根据权利要求4所述一种基于多波段自适正则化迭代的目标边缘反演方法，其特征在于，步骤五所述使用广义偏差原则估计正则化参数，具体过程为：
Figure FDA00022358729500000310
其中，α为正则化参数，trace(·)表示求矩阵的迹，N是空间离散维数，
Figure FDA00022358729500000311
为中间变量函数，
Figure FDA00022358729500000312
为中间变量，D′是一阶差分算子的矩阵表示，I是单位矩阵，利用奇异值分解上述公式得：
Figure FDA00022358729500000313
其中ηi，gi是K的特征值和相应的特征向量，
Figure FDA00022358729500000314
是中间变量，δi是D的特征值，
Figure FDA00022358729500000315
表示求函数关于α的极小值。
6.根据权利要求5所述一种基于多波段自适正则化迭代的目标边缘反演方法，其特征在于，步骤八所述用黄金分割优化法选取原始变量的步长和对偶变量的步长，得到更新后的步长；具体过程为：
Figure FDA00022358729500000316
τ：＝max{0≤γ≤1|(u′i，j+γΔu′i，j，v′i，j+γΔv′i，j)∈C*，i，j∈1，2，…N}
其中T为目标函数，ξ表示对支集函数m的更新步长，τ表示对偶变量更新步长，
Figure FDA0002235872950000041
和γ是[0，1]内的实数，m′i，j表示在网格节点(i，j)处m′的值；u′i，j表示在网格节点(i，j)处u′的值；v′i，j表示在网格节点(i，j)处v′的值；Δu′i，j表示在网格节点(i，j)处u′的增量；Δv′i，j表示在网格节点(i，j)处v′的增量；Δm′i，j表示在网格节点(i，j)处m′的增量；·，·表示变量u′和v′。
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