CN107464228A - 一种基于自适应正则化的图像分析方法 - Google Patents

一种基于自适应正则化的图像分析方法 Download PDF

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CN107464228A CN201710737260.0A CN201710737260A CN107464228A CN 107464228 A CN107464228 A CN 107464228A CN 201710737260 A CN201710737260 A CN 201710737260A CN 107464228 A CN107464228 A CN 107464228A
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Abstract

本发明提出了一种基于自适应正则化的图像分析方法，其主要内容包括：自适应正则化方法、自适应正则化在成像问题中的应用、整体能量优化，其过程为，该自适应正则化方法用于优化在图像分析问题中产生的复合能量函数，在迭代优化的过程中根据当前数据拟合来自动权衡数据保真度与正则化程度，也需要在数据保真以及正则化项中使用Huber损失函数，并提出基于交替方向乘子算法的高效凸优化算法并用Huber函数与单范数近似算子之间的等价关系，然后通过图像分割、动态预测、图像去噪等问题来在合成或真实的图像中验证自适应正则化方法，结果证明应用此方法的自适应Huber‑Huber模型相比现有图像分析模型具备更好的鲁棒性与高效性。

Description

一种基于自适应正则化的图像分析方法
技术领域
本发明涉及计算机图形学中的图像分析领域，尤其是涉及了一种基于自适应正则化的图像分析方法。
背景技术
基于自适应正则化的图像分析是数字图像处理中的一个重要研究领域，它在进行图像恢复、图像分割和图像去噪等图像处理过程时都起到了很重要的作用。而图像恢复从数学角度考虑是一种反问题，具有很大的病态性，故必须进行正则化处理，且从统计的角度看，正则化处理其实就是一种图像的先验信息约束。此外，结合滤波方法和正则化技术可以很好的降低图像中的随机噪声、背景以及条纹强度变化的系统噪声，使图像输出得到很好的优化。相关的研究成果也被广泛的应用到航空航天、医学、海洋、军事公安以及视频编码等领域，如宇航卫星、航空测绘和遥感获得的图像就需要此方法提高图像质量，还有在X射线成像系统、数字血管造影和核磁共振成像系统等设备所得的图像也需要这种方法进行图像去噪。但现有的正则化方法针对图像分割、动态预测、图像去噪等问题时还无法实现较高的鲁棒性与高效性，本发明的应用很好的改善了这些特性。
本发明提出了一种基于自适应正则化的图像分析方法，其主要内容包括：自适应正则化方法、自适应正则化在成像问题中的应用、整体能量优化，其过程为，该自适应正则化方法用于优化在图像分析问题中产生的复合能量函数，在迭代优化的过程中根据当前的数据拟合来自动权衡数据保真度与正则化程度，也需要在数据保真以及正则化项中使用Huber损失函数，并提出基于交替方向乘子算法的高效凸优化算法并使用Huber函数与单范数近似算子之间的等价关系，然后通过图像分割、动态预测、图像去噪等问题来在合成或真实的图像中验证自适应正则化方法，结果证明应用了此方法的自适应Huber-Huber模型相比现有图像分析模型具备更好的鲁棒性与更高的效率。
发明内容
针对本发明提出的一种基于自适应正则化的图像分析方法，此方法用于优化在图像分析问题中产生的复合能量函数，在迭代优化的过程中根据当前的数据拟合来自动权衡数据保真度与正则化程度，也需要在数据保真以及正则化项中使用Huber损失函数，并提出基于交替方向乘子算法的高效凸优化算法并使用Huber函数与单范数近似算子之间的等价关系，然后通过图像分割、动态预测、图像去噪等问题来在合成或真实的图像中验证自适应正则化方法，结果证明应用了此方法的自适应Huber-Huber模型相比现有图像分析模型具备更好的鲁棒性与更高的效率。
为解决上述问题，本发明提供一种基于自适应正则化的图像分析方法，其主要内容包括：
(一)自适应正则化方法；
(二)自适应正则化在成像问题中的应用；
(三)整体能量优化；
其中，所述的自适应正则化方法，通过结合Bayesian或Tikhonov等标准正则化方法来促进自适应正则化方法的形成，用f来表示图像或视频等数据，用u来表示用于分割图像的分区的特征方程或光流区域等受关注的目标，并假设有一个以似然函数的形式存在的模型，其先前形式为然后尝试通过Bayesian标准(最大后验概率)来求解等式(1)从而推断出u，这里等式(1)如下所示：
这些模型从能量函数导出，并将其中不适定的部分做最小化处理，故此处Tikhonov正则化通过选择一个泛函来引入，其中需要对 进行最小化，将数据项解释为负对数似然函数l(u(x))∝exp(-ρ(u(x)))，并将正则化矩阵解释为先验负对数似然函数q(u(x))∝exp(-γ(u(x)))，这样可以得到等式(2)如下：
其中乘数λ是能够控制正则化程度的正标量参数，并且是先验固定的，如等式(3)与(4)所示：
正则化矩阵使得最后λ函数的解有所偏差，然后在进行优化的过程中改变λ的值来取代固定值，这样就使得正则化矩阵的权重一开始最大，随后这一权重会下降，选择使用等式(5)如下所示：
其中根据一些退火程序，λ的值满足λ→1，这里在Bayesian框架中没有任何解释，且其并不取决于λ的特定值，而取决于退火程序，在本发明的方法中则选择如下所示的等式(6)作为模型的形式：
省略用于简化符号的参数u，并让λ的值逐点的取决于解u：λ(x)∝l(u(x))，当最后的解的数据是坏的拟合时，其似然概率会比较小且λ的值也因此比较大，而此时正则化权值也比较大；当最后的解的数据是好的拟合时，其似然概率接近1且正则化矩阵所占权值达到最小，更重要的是λ的值对u中的每个分量x是不同的，导致正则化程度随空间变化而变化，也将这种方法命名为自适应正则化，且这一模型在时间迭代与空间变化的情况下都可以做到自适应，这样最后的优化结果如等式(6)所示：
为了方便注释u(x)中的x，等式在条件独立的特定假设下从离散化的能量泛函中导出。
进一步地，所述的自适应正则化在成像问题中的应用，使用自适应正则化方法针对图像分割、动态预测、光流、图像去噪等问题来建立成像模型，作为能量最小化的复合形式呈现出来，其中相对加权函数λ如等式(7)与等式(8)所示：
其中β>0是一个与残差变化函数ρ(u)相关的控制参数，且0<α<1是用来控制加权函数λ中稀疏程度的常数参数，在数据保真度和正则化之间的相对权重λ被适应性的应用到由模型数据的局部拟合结果所决定的残差方程ρ(u(x))的每个点x上；基于加权函数λ的自适应正则化方法被设计为当残差值大的时候正则化程度更高，而在残差值小的时候υ的值也会变小，在能量优化过程中υ的值会比较大，υ的范围0<υ≤1与正拉格朗日乘数将权重1-λ限制到[α,1)这个范围内以便正则化可以在任何地方进行实施，对于数据保真度函数ρ(u)与正则化函数γ(u)的定义，需要使用带有临界参数μ>0的Huber损失函数φμ，如等式(9)所示：
然后就可以结合该损失函数与加权函数应用到基于自适应正则化的图像分割、光流、图像去噪等问题中去。
进一步地，所述的图像分割，令在域时作为真值图像，图像分割将域Ω划分为n对不相交区域组成的集合，其中且当i≠j时分区情况由标记函数l:Ω→Λ来表示，其中Λ代表|Λ|＝n时的标签集合，标签函数l(x)给每个点x∈Ω分配一个标签使得Ωi＝{x|l(x)＝i}，这里每个区域Ωi都由特征函数表示，如等式(10)所示：
然后通过寻找使一组特征函数的能量泛函最小化的区域{Ωi}来获得图像f(x)的分割结果，如等式(11)所示：
对于数据保真度使用一个简单的分段常数图像模型和附加噪声进程，在的情况下f(x|Ωi)＝ci+ξi(x)，其中ξi假定为遵循双峰分布，且其中心遵循高斯分布而尾部遵循拉普拉斯分布，导致了Huber损失函数φμ如等式(12)和(13)所示：
对于标号i的加权函数λi是基于残差来决定的，而对于正则化则对每个Ωi区域使用一个标准长度惩罚，如等式(14)和(15)所示：
其中η>0是Huber函数φη的阈值，且由于整数约束根据特征函数i所得的能量方程是非凸的，这里用经典的凸松弛法来导出能量泛函的凸形式，其中i被有边界变量的连续函数ui∈BV(Ω)代替且其整数约束范围被扩展为一个凸集合ui∈[0,1]，如等式(16)所示：
其中ui:Ω→[0,1]为平滑函数且数据保真度ρ(ui,ci)和正则化γ(ui)的定义如等式(17)和(18)所示：
ρ(ui(x),ci)＝φμ(f(x)-ci)ui(x) (17)
而加权函数λi则是基于残差ρ(ui,ci)来在模型与观察结果不匹配时对配分函数进行更高程度的正则化，在模型与观察结果匹配时则进行较低程度的正则化。
进一步地，所述的光流，令为一系列在空间x∈Ω与时间发生的一系列图像f(x；t)，这里光流问题的目的在于计算出速度场以说明f1(x)：＝f(x；t)和f2(x)：＝f(x；t+Δt)这一对图像之间的动作，需要通过将由数据保真度和正则化程度组成的能量泛函最小化来获得所需的速度场u，其中对于数据保真度而言要基于亮度一致性假设来考虑光流模型，然后附加了噪声进程ξ后如等式(19)所示：
f2(x)＝f1(x+u(x))+ξ(x) (19)
其中u是图像域的无穷小变形，而为了简化计算需要对所得速度场的解进行一阶泰勒级数展开以使等式(19)的第一项线性化，如等式(20)所示：
其中表示图像f1的空间梯度，且为了简化将梯度转置的上标符号给省略了，然后可以从亮度一致性条件的线性化推导出以下光流方程如等式(21)所示：
其中f＝f2-f1代表f的时间导数。
进一步地，所述的图像去噪，令作为观测结果，作为附加噪声假设f＝u+ξ的重建，其中ξ假定为遵循双峰分布的噪声进程，所需的图像重建则通过将能量泛函最小化来获得，其中数据保真度由具有阈值μ>0的Huber函数φμ来定义，如等式(26)和(27)所示：
ρ(u(x))＝φμ(ft(x)-u(x)) (27)
且正则化由具有阈值η>0的Huber函数φη来定义，如等式(28)和(29)所示：
γ(u(x))＝φη(u(x)) (29)
此外需要基于残差ρ(u)来确定加权函数λ。
进一步地，所述的整体能量优化，提出了由交替方向乘子算法所构建框架中成像问题的优化算法，目标函数具有如下等式(30)所示的基本形式：
其中λ的值由等式(7)和(8)来决定，且最初通过分割变量来修改能量泛函并引入新变量u＝v，如等式(31)所示：
∫Ωλ(x)ρ(u(x))dx+∫Ω(1-λ(x))γ(v(x))dx (31)
这也导致了如等式(32)所示的无限制增量拉格朗日算符：
其中θ>0是标量增量参数，w是对于等式约束u＝v的双变量，而在成像问题中数据保真度ρ(u)和正则化程度γ(v)由Huber函数φμ来定义，且可以通过非平滑函数|·|的正则化来进行有效优化，如等式(33)所示：
其中r为需要最小化的辅助变量，且近端算子proxμg(x)与凸函数g(x)＝||x||1相关联，这里L1范式的近端算子proxμg(x)的解可以通过软收缩算子获得，如等式(34)所示：
将数据保真度ρ(u)和正则化γ(v)用ρ(u,r)和γ(v,z)代替，在r和z作为最小化辅助变量的情况下进行正则化，然后可以得出能量泛函的一般形式如等式(35)所示：
其中λ由ρ(u,r)来确定，然后就可以应用该能量泛函进行图像分割、光流、图像去噪等问题的优化。
进一步地，所述的对于图像分割的优化，对于图像分割问题的关于一组分割函数{ui}和强度估计{ci}的能量泛函在期望最大化框架中进行最小化处理，故需要应用变量拆分ui＝vi到能量泛函中去，并如等式(36)所示进行约束条件简化：
其中ui(x)≥0，∑i∈Λvi(x)＝1，且wi是针对等式约束条件ui＝vi的一个双变量，允许将原始约束条件ui∈[0,1]和∑iui＝1分解成更简单的约束ui≥0以及∑ivi＝1，而在等式(17)中的数据保真度ρ(ui,ci)以及等式(18)中的正则化程度γ(vi)则分别被ρ(ui,ci,ri)和γ(vi,zi)代替，如等式(37)和等式(38)所示：
其中ri和zi是需要最小化的辅助变量，而等式(36)中的约束条件ui和vi则可以被指标函数δA(x)以集合A的形式定义为如等式(39)所示：
而约束条件ui≥0则由δA(ui)给出且A＝{x|x≥0}，约束条件∑ivi由δB(vi)给出且B＝{{xi}|∑ixi＝1}，因此数据保真度和正则化的正则化形式以及约束条件的指标函数导致了对于标签i的无约束增量拉格朗日算符如等式(40)所示：
故最终的能量泛函如等式(41)所示：
这里通过将能量泛函最小化获得最优的分割函数集合{ui}，且在优化过程中需要对等式(40)中的每个标签进行增量拉格朗日算符的最小化，这里所获得的中间解ui和vi需要分别映射到集合A和B上，然后重复该算法直到对于给定初始化的标签函数l(x)实现收敛。
进一步地，所述的对于光流的优化，此处对于速度场u来说光流的能量泛函被最小化，而u的中间解被迭代的使用为初始先验解u0且这里相应的应用了图像扭曲，并应用变量分解u＝v来引入一个新变量v＝(v1,v2)到如等式(42)所示的能量泛函中去：
其中w＝(w1,w2)是一个用于等式约束u＝v的双变量，在等式(17)中的数据保真度ρτ(u)以及等式(18)中的正则化程度γ(v)可用ρτ(u,r)和γ(v,z)代替，如等式(43)和(44)所示：
这里r和z＝(z1,z2)是需要进行最小化的辅助变量，然后增量拉格朗日算符如等式(45)所示：
所需的速度域u＝(u1,u2)则通过将等式(45)中的最小化来获得，而对于扭曲退火的控制参数τ则在每次迭代时从0.5到1给定步长
进一步地，所述的对于图像去噪的优化，图像去噪问题的优化的目标函数如等式(46)所示：
其中数据保真度ρ(u,r)以及正则化程度γ(v,z)由等式(47)和(48)来定义：
其中r和z是辅助变量，且扩增的拉格朗日算符由等式(49)表示：
然后遵循算法中的优化步骤来执行，直到从初始条件u＝f中收敛。
附图说明
图1是本发明一种基于自适应正则化的图像分析方法的系统框架图。
图2是本发明一种基于自适应正则化的图像分析方法的图像分割问题示例图。
图3是本发明一种基于自适应正则化的图像分析方法的在使用不同算法下进行图像去噪的结果比较示意图。
具体实施方式
需要说明的是，在不冲突的情况下，本申请中的实施例及实施例中的特征可以相互结合，下面结合附图和具体实施例对本发明作进一步详细说明。
图1是本发明一种基于自适应正则化的图像分析方法的系统框架图。主要包括自适应正则化方法、自适应正则化在成像问题中的应用、整体能量优化。
其中，所述的自适应正则化方法，通过结合Bayesian或Tikhonov等标准正则化方法来促进自适应正则化方法的形成，用f来表示图像或视频等数据，用u来表示用于分割图像的分区的特征方程或光流区域等受关注的目标，并假设有一个以似然函数的形式存在的模型，其先前形式为然后尝试通过Bayesian标准(最大后验概率)来求解等式(1)从而推断出u，这里等式(1)如下所示：
这些模型从能量函数导出，并将其中不适定的部分做最小化处理，故此处Tikhonov正则化通过选择一个泛函来引入，其中需要对 进行最小化，将数据项解释为负对数似然函数l(u(x))∝exp(-ρ(u(x)))，并将正则化矩阵解释为先验负对数似然函数q(u(x))∝exp(-γ(u(x)))，这样可以得到等式(2)如下：
其中乘数λ是能够控制正则化程度的正标量参数，并且是先验固定的，如等式(3)与(4)所示：
正则化矩阵使得最后λ函数的解有所偏差，然后在进行优化的过程中改变λ的值来取代固定值，这样就使得正则化矩阵的权重一开始最大，随后这一权重会下降，选择使用等式(5)如下所示：
其中根据一些退火程序，λ的值满足λ→1，这里在Bayesian框架中没有任何解释，且其并不取决于λ的特定值，而取决于退火程序，在本发明的方法中则选择如下所示的等式(6)作为模型的形式：
省略用于简化符号的参数u，并让λ的值逐点的取决于解u：λ(x)∝l(u(x))，当最后的解的数据是坏的拟合时，其似然概率会比较小且λ的值也因此比较大，而此时正则化权值也比较大；当最后的解的数据是好的拟合时，其似然概率接近1且正则化矩阵所占权值达到最小，更重要的是λ的值对u中的每个分量x是不同的，导致正则化程度随空间变化而变化，也将这种方法命名为自适应正则化，且这一模型在时间迭代与空间变化的情况下都可以做到自适应，这样最后的优化结果如等式(6)所示：
为了方便注释u(x)中的x，等式在条件独立的特定假设下从离散化的能量泛函中导出。
进一步地，所述的自适应正则化在成像问题中的应用，使用自适应正则化方法针对图像分割、动态预测、光流、图像去噪等问题来建立成像模型，作为能量最小化的复合形式呈现出来，其中相对加权函数λ如等式(7)与等式(8)所示：
其中β>0是一个与残差变化函数ρ(u)相关的控制参数，且0<α<1是用来控制加权函数λ中稀疏程度的常数参数，在数据保真度和正则化之间的相对权重λ被适应性的应用到由模型数据的局部拟合结果所决定的残差方程ρ(u(x))的每个点x上；基于加权函数λ的自适应正则化方法被设计为当残差值大的时候正则化程度更高，而在残差值小的时候v的值也会变小，在能量优化过程中v的值会比较大，v的范围0<v≤1与正拉格朗日乘数将权重1-λ限制到[α,1)这个范围内以便正则化可以在任何地方进行实施，对于数据保真度函数ρ(u)与正则化函数γ(u)的定义，需要使用带有临界参数μ>0的Huber损失函数φμ，如等式(9)所示：
然后就可以结合该损失函数与加权函数应用到基于自适应正则化的图像分割、光流、图像去噪等问题中去。
进一步地，所述的图像分割，令在域时作为真值图像，图像分割将域Ω划分为n对不相交区域组成的集合，其中且当i≠j时分区情况由标记函数l:Ω→Λ来表示，其中Λ代表|Λ|＝n时的标签集合，标签函数l(x)给每个点x∈Ω分配一个标签使得Ωi＝{x|l(x)＝i}，这里每个区域Ωi都由特征函数表示，如等式(10)所示：
然后通过寻找使一组特征函数的能量泛函最小化的区域{Ωi}来获得图像f(x)的分割结果，如等式(11)所示：
对于数据保真度使用一个简单的分段常数图像模型和附加噪声进程，在的情况下f(x|Ωi)＝ci+ξi(x)，其中ξi假定为遵循双峰分布，且其中心遵循高斯分布而尾部遵循拉普拉斯分布，导致了Huber损失函数φμ如等式(12)和(13)所示：
对于标号i的加权函数λi是基于残差来决定的，而对于正则化则对每个Ωi区域使用一个标准长度惩罚，如等式(14)和(15)所示：
其中η>0是Huber函数φη的阈值，且由于整数约束根据特征函数i所得的能量方程是非凸的，这里用经典的凸松弛法来导出能量泛函的凸形式，其中i被有边界变量的连续函数ui∈BV(Ω)代替且其整数约束范围被扩展为一个凸集合ui∈[0,1]，如等式(16)所示：
其中ui:Ω→[0,1]为平滑函数且数据保真度ρ(ui,ci)和正则化γ(ui)的定义如等式(17)和(18)所示：
ρ(ui(x),ci)＝φμ(f(x)-ci)ui(x) (17)
而加权函数λi则是基于残差ρ(ui,ci)来在模型与观察结果不匹配时对配分函数进行更高程度的正则化，在模型与观察结果匹配时则进行较低程度的正则化。
进一步地，所述的光流，令为一系列在空间x∈Ω与时间发生的一系列图像f(x；t)，这里光流问题的目的在于计算出速度场以说明f1(x)：＝f(x；t)和f2(x)：＝f(x；t+Δt)这一对图像之间的动作，需要通过将由数据保真度和正则化程度组成的能量泛函最小化来获得所需的速度场u，其中对于数据保真度而言要基于亮度一致性假设来考虑光流模型，然后附加了噪声进程ξ后如等式(19)所示：
f2(x)＝f1(x+u(x))+ξ(x) (19)
其中u是图像域的无穷小变形，而为了简化计算需要对所得速度场的解进行一阶泰勒级数展开以使等式(19)的第一项线性化，如等式(20)所示：
其中表示图像f1的空间梯度，且为了简化将梯度转置的上标符号给省略了，然后可以从亮度一致性条件的线性化推导出以下光流方程如等式(21)所示：
其中ft＝f2-f1代表f的时间导数。
进一步地，所述的图像去噪，令作为观测结果，作为附加噪声假设f＝u+ξ的重建，其中ξ假定为遵循双峰分布的噪声进程，所需的图像重建则通过将能量泛函最小化来获得，其中数据保真度由具有阈值μ>0的Huber函数φμ来定义，如等式(26)和(27)所示：
ρ(u(x))＝φμ(ft(x)-u(x)) (27)
且正则化由具有阈值η>0的Huber函数φη来定义，如等式(28)和(29)所示：
γ(u(x))＝φη(u(x)) (29)
此外需要基于残差ρ(u)来确定加权函数λ。
进一步地，所述的整体能量优化，提出了由交替方向乘子算法所构建框架中成像问题的优化算法，目标函数具有如下等式(30)所示的基本形式：
其中λ的值由等式(7)和(8)来决定，且最初通过分割变量来修改能量泛函并引入新变量u＝v，如等式(31)所示：
∫Ωλ(x)ρ(u(x))dx+∫Ω(1-λ(x))γ(u(x))dx (31)
这也导致了如等式(32)所示的无限制增量拉格朗日算符：
其中θ>0是标量增量参数，w是对于等式约束u＝v的双变量，而在成像问题中数据保真度ρ(u)和正则化程度γ(v)由Huber函数φμ来定义，且可以通过非平滑函数|·|的正则化来进行有效优化，如等式(33)所示：
其中r为需要最小化的辅助变量，且近端算子proxμg(x)与凸函数g(x)＝||x||1相关联，这里L1范式的近端算子proxμg(x)的解可以通过软收缩算子获得，如等式(34)所示：
将数据保真度ρ(u)和正则化γ(v)用ρ(u,r)和γ(v,z)代替，在r和z作为最小化辅助变量的情况下进行正则化，然后可以得出能量泛函的一般形式如等式(35)所示：
其中λ由ρ(u,r)来确定，然后就可以应用该能量泛函进行图像分割、光流、图像去噪等问题的优化。
进一步地，所述的对于图像分割的优化，对于图像分割问题的关于一组分割函数{ui}和强度估计{ci}的能量泛函在期望最大化框架中进行最小化处理，故需要应用变量拆分ui＝vi到能量泛函中去，并如等式(36)所示进行约束条件简化：
其中ui(x)≥0，∑i∈Λvi(x)＝1，且wi是针对等式约束条件ui＝vi的一个双变量，允许将原始约束条件ui∈[0,1]和∑iui＝1分解成更简单的约束ui≥0以及∑ivi＝1，而在等式(17)中的数据保真度ρ(ui,ci)以及等式(18)中的正则化程度γ(vi)则分别被ρ(ui,ci,ri)和γ(vi,zi)代替，如等式(37)和等式(38)所示：
其中ri和zi是需要最小化的辅助变量，而等式(36)中的约束条件ui和vi则可以被指标函数δA(x)以集合A的形式定义为如等式(39)所示：
而约束条件ui≥0则由δA(ui)给出且A＝{x|x≥0}，约束条件∑ivi由δB(vi)给出且B＝{{xi}|∑ixi＝1}，因此数据保真度和正则化的正则化形式以及约束条件的指标函数导致了对于标签i的无约束增量拉格朗日算符如等式(40)所示：
故最终的能量泛函如等式(41)所示：
这里通过将能量泛函最小化获得最优的分割函数集合{ui}，且在优化过程中需要对等式(40)中的每个标签进行增量拉格朗日算符的最小化，这里所获得的中间解ui和vi需要分别映射到集合A和B上，然后重复该算法直到对于给定初始化的标签函数l(x)实现收敛。
进一步地，所述的对于光流的优化，此处对于速度场u来说光流的能量泛函被最小化，而u的中间解被迭代的使用为初始先验解u0且这里相应的应用了图像扭曲，并应用变量分解u＝v来引入一个新变量v＝(v1,v2)到如等式(42)所示的能量泛函中去：
其中w＝(w1,w2)是一个用于等式约束u＝v的双变量，在等式(17)中的数据保真度ρτ(u)以及等式(18)中的正则化程度γ(v)可用ρτ(u,r)和γ(v,z)代替，如等式(43)和(44)所示：
这里r和z＝(z1,z2)是需要进行最小化的辅助变量，然后增量拉格朗日算符如等式(45)所示：
所需的速度域u＝(u1,u2)则通过将等式(45)中的最小化来获得，而对于扭曲退火的控制参数τ则在每次迭代时从0.5到1给定步长
进一步地，所述的对于图像去噪的优化，图像去噪问题的优化的目标函数如等式(46)所示：
其中数据保真度ρ(u,r)以及正则化程度γ(v,z)由等式(47)和(48)来定义：
其中r和z是辅助变量，且扩增的拉格朗日算符由等式(49)表示：
然后遵循算法中的优化步骤来执行，直到从初始条件u＝f中收敛。
图2是本发明一种基于自适应正则化的图像分析方法的图像分割问题示例图，其中图(a)为输入图像，图(b)为输入图像的图像分割结果，图(c)为图(b)种各个分割部分的优化残差，而图(d)则为各个分割部分的优化剩余方差。
图3是本发明一种基于自适应正则化的图像分析方法的在使用不同算法下进行图像去噪的结果比较示意图，其中图(a)为原始图像，图(b)为输入图像，图(c)为使用TV-L2模型(ROF)时的结果，图(d)为使用Huber-L2模型(H-ROF)时的结果，图(e)为使用本发明常量正则化模型时的结果，图(f)为使用本发明自适应正则化模型时的结果。
对于本领域技术人员，本发明不限制于上述实施例的细节，在不背离本发明的精神和范围的情况下，能够以其他具体形式实现本发明。此外，本领域的技术人员可以对本发明进行各种改动和变型而不脱离本发明的精神和范围，这些改进和变型也应视为本发明的保护范围。因此，所附权利要求意欲解释为包括优选实施例以及落入本发明范围的所有变更和修改。

Claims (10)

1.一种基于自适应正则化的图像分析方法，其特征在于，主要包括自适应正则化方法(一)；自适应正则化在成像问题中的应用(二)；整体能量优化(三)。
2.基于权利要求书1所述的自适应正则化方法(一)，其特征在于，通过结合Bayesian或Tikhonov等标准正则化方法来促进自适应正则化方法的形成，用f来表示图像或视频等数据，用u来表示用于分割图像的分区的特征方程或光流区域等受关注的目标，并假设有一个以似然函数的形式存在的模型，其先前形式为然后尝试通过Bayesian标准(最大后验概率)来求解等式(1)从而推断出u，这里等式(1)如下所示：
这些模型从能量函数导出，并将其中不适定的部分做最小化处理，故此处Tikhonov正则化通过选择一个泛函来引入，其中需要对 进行最小化，将数据项解释为负对数似然函数并将正则化矩阵解释为先验负对数似然函数q(u(x))∝exp(-γ(u(x)))，这样可以得到等式(2)如下：
其中乘数λ是能够控制正则化程度的正标量参数，并且是先验固定的，如等式(3)与(4)所示：
<mrow> <mi>q</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>u</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;Proportional;</mo> <munder> <mo>&amp;Pi;</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>&amp;Omega;</mi> </mrow> </munder> <mi>exp</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mi>u</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
正则化矩阵使得最后λ函数的解有所偏差，然后在进行优化的过程中改变λ的值来取代固定值，使得正则化矩阵的权重一开始最大，随后这一权重会下降，选择使用等式(5)如下所示：
其中根据退火程序，λ的值满足λ→1，这里在Bayesian框架中没有任何解释，且其并不取决于λ的特定值，而取决于退火程序，在本发明的方法中则选择如下所示的等式(6)作为模型的形式：
省略用于简化符号的参数u，并让λ的值逐点的取决于解u：当最后的解的数据是坏的拟合时，其似然概率会比较小且λ的值也因此比较大，而此时正则化权值也比较大；当最后的解的数据是好的拟合时，其似然概率接近1且正则化矩阵所占权值达到最小，更重要的是λ的值对u中的每个分量x是不同的，导致正则化程度随空间变化而变化，也将这种方法命名为自适应正则化，且这一模型在时间迭代与空间变化的情况下都可以做到自适应，这样最后的优化结果如等式(6)所示：
为了方便注释u(x)中的x，等式在条件独立的特定假设下从离散化的能量泛函中导出。
3.基于权利要求书1所述的自适应正则化在成像问题中的应用(二)，其特征在于，使用自适应正则化方法针对图像分割、动态预测、光流、图像去噪等问题来建立成像模型，作为能量最小化的复合形式呈现出来，其中相对加权函数λ如等式(7)与等式(8)所示：
<mrow> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>exp</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mi>&amp;rho;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>u</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mi>&amp;beta;</mi> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>7</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>arg</mi> <munder> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> </mrow> <mi>&amp;lambda;</mi> </munder> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>|</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>|</mo> <msub> <mo>|</mo> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中β>0是一个与残差变化函数ρ(u)相关的控制参数，且0<α<1是用来控制加权函数λ中稀疏程度的常数参数，在数据保真度和正则化之间的相对权重λ被适应性的应用到由模型数据的局部拟合结果所决定的残差方程ρ(u(x))的每个点x上；基于加权函数λ的自适应正则化方法被设计为当残差值大的时候正则化程度更高，而在残差值小的时候v的值也会变小，在能量优化过程中v的值会比较大，v的范围0<v≤1与正拉格朗日乘数将权重1-λ限制到[α,1)这个范围内以便正则化可以在任何地方进行实施，对于数据保真度函数ρ(u)与正则化函数γ(u)的定义，需要使用带有临界参数μ>0的Huber损失函数φμ，如等式(9)所示：
<mrow> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>&amp;mu;</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <mi>&amp;mu;</mi> </mrow> </mfrac> <msup> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>:</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>|</mo> <mi>x</mi> <mo>|</mo> <mo>&amp;le;</mo> <mi>&amp;mu;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>|</mo> <mi>x</mi> <mo>|</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>&amp;mu;</mi> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>:</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>|</mo> <mi>x</mi> <mo>|</mo> <mo>&gt;</mo> <mi>&amp;mu;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
然后就可以结合该损失函数与加权函数应用到基于自适应正则化的图像分割、光流、图像去噪等问题中去。
4.基于权利要求书3所述的图像分割，其特征在于，令f:在域时作为真值图像，图像分割将域Ω划分为n对不相交区域组成的集合，其中且当i≠j时 分区情况由标记函数l:Ω→Λ来表示，其中Λ代表|Λ|＝n时的标签集合，标签函数l(x)给每个点x∈Ω分配一个标签使得Ωi＝{x|l(x)＝i}，这里每个区域Ωi都由特征函数Ω→{0,1}表示，如等式(10)所示：
然后通过寻找使一组特征函数的能量泛函最小化的区域{Ωi}来获得图像f(x)的分割结果，如等式(11)所示：
对于数据保真度使用一个简单的分段常数图像模型和附加噪声进程，在的情况下f(x|Ωi)＝ci+ξi(x)，其中ξi假定为遵循双峰分布，且其中心遵循高斯分布而尾部遵循拉普拉斯分布，导致了Huber损失函数φμ如等式(12)和(13)所示：
对于标号i的加权函数λi是基于残差来决定的，而对于正则化则对每个Ωi区域使用一个标准长度惩罚，如等式(14)和(15)所示：
其中η>0是Huber函数φη的阈值，且由于整数约束根据特征函数i所得的能量方程是非凸的，这里用经典的凸松弛法来导出能量泛函的凸形式，其中i被有边界变量的连续函数ui∈BV(Ω)代替且其整数约束范围被扩展为一个凸集合ui∈[0,1]，如等式(16)所示：
其中ui:Ω→[0,1]为平滑函数且数据保真度ρ(ui,ci)和正则化γ(ui)的定义如等式(17)和(18)所示：
ρ(ui(x),ci)＝φμ(f(x)-ci)ui(x) (17)
<mrow> <mi>&amp;gamma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>&amp;eta;</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mo>&amp;dtri;</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>18</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
而加权函数λi则是基于残差ρ(ui,ci)来在模型与观察结果不匹配时对配分函数进行更高程度的正则化，在模型与观察结果匹配时则进行较低程度的正则化。
5.基于权利要求书3所述的光流，其特征在于，令I:为一系列在空间x∈Ω与时间发生的一系列图像f(x；t)，这里光流问题的目的在于计算出速度场u:以说明f1(x)∶＝f(x；t)和f2(x)∶＝f(x；t+Δt)这一对图像之间的动作，需要通过将由数据保真度和正则化程度组成的能量泛函最小化来获得所需的速度场u，其中对于数据保真度而言要基于亮度一致性假设来考虑光流模型，然后附加了噪声进程ξ后如等式(19)所示：
f2(x)＝f1(x+u(x))+ξ(x) (19)
其中u是图像域的无穷小变形，而为了简化计算需要对所得速度场的解u0:进行一阶泰勒级数展开以使等式(19)的第一项线性化，如等式(20)所示：
<mrow> <msub> <mi>f</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>u</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>f</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>u</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>Vf</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>u</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>u</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>u</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>20</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中表示图像f1的空间梯度，且为了简化将梯度转置的上标符号给省略了，然后可以从亮度一致性条件的线性化推导出以下光流方程如等式(21)所示：
<mrow> <msub> <mi>f</mi> <mi>t</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>&amp;dtri;</mo> <msub> <mi>f</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>u</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>u</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>u</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>&amp;xi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>21</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中f＝f2-f1代表f的时间导数。
6.基于权利要求书3所述的图像去噪，其特征在于，令f:作为观测结果，u:作为附加噪声假设f＝u+ξ的重建，其中ξ假定为遵循双峰分布的噪声进程，所需的图像重建则通过将能量泛函最小化来获得，其中数据保真度由具有阈值μ>0的Huber函数φμ来定义，如等式(26)和(27)所示：
ρ(u(x))＝φμ(ft(x)-u(x)) (27)
且正则化由具有阈值η>0的Huber函数φη来定义，如等式(28)和(29)所示：
γ(u(x))＝φη(u(x)) (29)
此外需要基于残差ρ(u)来确定加权函数λ。
7.基于权利要求书1所述的整体能量优化(三)，其特征在于，提出了由交替方向乘子算法所构建框架中成像问题的优化算法，目标函数具有如下等式(30)所示的基本形式：
<mrow> <munder> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> </mrow> <mi>u</mi> </munder> <msub> <mo>&amp;Integral;</mo> <mi>&amp;Omega;</mi> </msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&amp;rho;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>u</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <msub> <mo>&amp;Integral;</mo> <mi>&amp;Omega;</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&amp;gamma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>u</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>30</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中λ的值由等式(7)和(8)来决定，且最初通过分割变量来修改能量泛函并引入新变量u＝v，如等式(31)所示：
∫Ωλ(x)ρ(u(x))dx+∫Ω(1-λ(x))γ(v(x))dx (31)
这也导致了如等式(32)所示的无限制增量拉格朗日算符：
<mrow> <msub> <mo>&amp;Integral;</mo> <mi>&amp;Omega;</mi> </msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>&amp;rho;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>u</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <msub> <mo>&amp;Integral;</mo> <mi>&amp;Omega;</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&amp;gamma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mi>&amp;theta;</mi> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>u</mi> <mo>-</mo> <mi>v</mi> <mo>+</mo> <mi>w</mi> <mo>|</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>32</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中θ>0是标量增量参数，w是对于等式约束u＝v的双变量，而在成像问题中数据保真度ρ(u)和正则化程度γ(v)由Huber函数φμ来定义，且可以通过非平滑函数|·|的正则化来进行有效优化，如等式(33)所示：
<mrow> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>&amp;mu;</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munder> <mrow> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mi>r</mi> </munder> <mo>{</mo> <mo>|</mo> <mi>r</mi> <mo>|</mo> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <mi>&amp;mu;</mi> </mrow> </mfrac> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>-</mo> <mi>r</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>}</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>prox</mi> <mrow> <mi>&amp;mu;</mi> <mi>g</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>33</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中r为需要最小化的辅助变量，且近端算子proxμg(x)与凸函数g(x)＝||x||1相关联，这里L1范式的近端算子proxμg(x)的解可以通过软收缩算子获得，如等式(34)所示：
将数据保真度ρ(u)和正则化γ(v)用ρ(u,r)和γ(u,z)代替，在r和z作为最小化辅助变量的情况下进行正则化，然后可以得出能量泛函的一般形式如等式(35)所示：
其中λ由ρ(u,r)来确定，然后就可以应用该能量泛函进行图像分割优化、光流优化以及图像去噪优化。
8.基于权利要求书7所述的图像分割优化，其特征在于，对于图像分割问题的关于一组分割函数{ui}和强度估计{ci}的能量泛函在期望最大化框架中进行最小化处理，故需要应用变量拆分ui＝vi到能量泛函中去，并如等式(36)所示进行约束条件简化：
<mrow> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>&amp;Lambda;</mi> </mrow> </munder> <mo>{</mo> <msub> <mo>&amp;Integral;</mo> <mi>&amp;Omega;</mi> </msub> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mi>&amp;rho;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>c</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>(</mo> <mrow> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>j</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>u</mi> <mi>j</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>i</mi> </msub> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <msub> <mo>&amp;Integral;</mo> <mi>&amp;Omega;</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&amp;gamma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>v</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mi>&amp;theta;</mi> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>v</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>w</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>|</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>}</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>36</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中ui(x)≥0，∑i∈Λvi(x)＝1，且wi是针对等式约束条件ui＝vi的一个双变量，允许将原始约束条件ui∈[0,1]和∑iui＝1分解成更简单的约束ui≥0以及∑ivi＝1，而在等式(17)中的数据保真度ρ(ui,ci)以及等式(18)中的正则化程度γ(vi)则分别被ρ(ui,ci,ri)和γ(vi,zi)代替，如等式(37)和等式(38)所示：
<mrow> <mi>&amp;rho;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>c</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>r</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munder> <mrow> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>f</mi> </mrow> <msub> <mi>r</mi> <mi>i</mi> </msub> </munder> <mo>{</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>r</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>|</mo> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <mi>&amp;mu;</mi> </mrow> </mfrac> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>f</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>c</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>r</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>u</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>}</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>37</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
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其中ri和zi是需要最小化的辅助变量，而等式(36)中的约束条件ui和vi则可以被指标函数δA(x)以集合A的形式定义为如等式(39)所示：
<mrow> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mi>A</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mn>0</mn> <mo>:</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>x</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>A</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>&amp;infin;</mi> <mo>:</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>x</mi> <mo>&amp;NotElement;</mo> <mi>A</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>39</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
而约束条件ui≥0则由δA(ui)给出且A＝{x|x≥0}，约束条件∑ivi由δB(vi)给出且B＝{{xi}|∑ixi＝1}，因此数据保真度和正则化的正则化形式以及约束条件的指标函数导致了对于标签i的无约束增量拉格朗日算符如等式(40)所示：
故最终的能量泛函如等式(41)所示：
这里通过将能量泛函最小化获得最优的分割函数集合{ui}，且在优化过程中需要对等式(40)中的每个标签进行增量拉格朗日算符的最小化，这里所获得的中间解ui和vi需要分别映射到集合A和B上，然后重复该算法直到对于给定初始化的标签函数l(x)实现收敛。
9.基于权利要求书7所述的光流优化，其特征在于，此处对于速度场u来说光流的能量泛函被最小化，而u的中间解被迭代的使用为初始先验解u0且这里相应的应用了图像扭曲，并应用变量分解u＝v来引入一个新变量v＝(v1,v2)到如等式(42)所示的能量泛函中去：
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其中w＝(w1,w2)是一个用于等式约束u＝v的双变量，在等式(17)中的数据保真度ρτ(u)以及等式(18)中的正则化程度γ(v)可用ρτ(u,r)和γ(v,z)代替，如等式(43)和(44)所示：
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这里r和z＝(z1,z2)是需要进行最小化的辅助变量，然后增量拉格朗日算符如等式(45)所示：
所需的速度域u＝(u1,u2)则通过将等式(45)中的最小化来获得，而对于扭曲退火的控制参数τ则在每次迭代时从0.5到1给定步长
10.基于权利要求书7所述的图像去噪优化，其特征在于，图像去噪问题的优化的目标函数如等式(46)所示：
其中数据保真度ρ(u,r)以及正则化程度γ(v,z)由等式(47)和(48)来定义：
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其中r和z是辅助变量，且扩增的拉格朗日算符由等式(49)表示：
然后遵循算法中的优化步骤来执行，直到从初始条件u＝f中收敛。
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