CN110705112A - 基于块度分形理论的岩石损伤演化本构模型建立方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于块度分形理论的岩石损伤演化本构模型建立方法，包括步骤：一、基于Weibull分布建立岩石损伤演化本构关系式；二、基于损伤能量计算岩石块度分形维数值W；三、根据块度分形维数建立岩石损伤演化本构关系式；四、建立基于块度分形理论的岩石损伤演化本构模型。本发明方法步骤简单，实现方便，建立了一个新的描述岩石损伤过程的本构方程，建立起了采用岩石块度分形维数来表征岩石内部的损伤演化情况的模型，有助于运用分形理论来进行岩石破坏损伤规律的研究的系统和深化，能够较为真实地反映实际，实用性强，推广应用价值高。

Description

基于块度分形理论的岩石损伤演化本构模型建立方法

技术领域

本发明属于岩石力学研究技术领域，具体涉及一种基于块度分形理论的 岩石损伤演化本构模型建立方法。

背景技术

岩石是一种非均质的地质材料，内含大量随机分布的孔隙、空洞、界面 等缺陷，这种材料在载荷作用下，其内部结构的力学性质将持续发生变化， 研究岩石本构关系问题一直是岩石力学研究的重点之一，在工程爆破、矿山 开采、矿石粉碎、隧道开挖、覆岩稳定性计算等许多领域的工程实践中都有 着广泛应用。

一方面，现有技术中，学者们从岩石材料内部所含缺陷分布的随机性出 发，将连续损伤理论和统计强度理论有机地结合起来，从岩石微元强度服从 正态分布或Weibull分布的角度出发，使岩石本构模型的研究取得了重大进 展，但是，现有岩石本构模型比较多，但往往都难以反映实际。

另一方面，大量的研究以及工程施工实践证明：岩石的宏观破碎是由岩 体内大量的原生裂隙、孔隙以及如温度、含水率、受荷情况等外部环境的多 种因素相互作用共同影响的结果，且岩石宏观破裂的形成并不是一次性造成， 而是由加载过程中多处小破裂演化扩展相互交联积聚的结果，该过程虽然是 随机的但仍然具有统计自相似性，因此岩石破坏后的碎块也具有分形特征， 即块度分形；由于岩石破碎后的碎块分布是其损伤破坏结果的体现。因此块 度分形维数可以用来定量描述岩石的破碎效果和表征岩石内部的损伤演化情 况，所以运用分形理论来解决岩石破坏损伤规律是可行的；但是，现有技术 中还缺乏运用分形理论来进行岩石破坏损伤规律的研究，这方面的研究工作 还有待于系统和深化。而且，采用什么途径预测分形维数，才能简单便捷， 更好地实现运用分形理论来解决岩石破坏损伤规律，也有待于研究。

发明内容

本发明所要解决的技术问题在于针对上述现有技术中的不足，提供一 种基于块度分形理论的岩石损伤演化本构模型建立方法，其方法步骤简 单，实现方便，建立了一个新的描述岩石损伤过程的本构方程，能够较为 真实地反映实际，实用性强，推广应用价值高。

为解决上述技术问题，本发明采用的技术方案是：一种基于块度分形理 论的岩石损伤演化本构模型建立方法，该方法包括以下步骤：

步骤一、基于Weibull分布建立岩石损伤演化本构关系式，具体过程为：

步骤101、假设岩石强度值的概率密度符合Weibull分布，将其概率密 度函数P(ε)表示为：

其中，ε为岩石应变，m和F为用于表示岩石的力学特性的Weibull分布 的参数；

步骤102、假设岩石内部微单元的总个数为N,在外力作用下已发生破坏 的微单元个数为N_t，将损伤变量D表示为：

D＝N_t/N (F2)

步骤103、将当岩石应变ε增加时在外力作用下已发生破坏的微单元个数 N_t表示为：

步骤104、将公式(F3)代入公式(F2)，得到：

步骤105、建立岩石损伤演化本构关系式为：

σ＝Eε(1-δD) (F5)

其中，E为弹性模量，δ为岩石损伤比例系数；

步骤二、基于损伤能量计算岩石块度分形维数值W；

步骤三、根据块度分形维数建立岩石损伤演化本构关系式，具体过程为：

步骤301、根据公式

计算得到块度分形系数f，其中，W_max为同 尺度下的最大块度分形维数值；

步骤302、结合分形维数与岩石损伤的关系，用块度分形系数f替换公 式(F5)中的岩石损伤比例系数δ，得到根据块度分形维数建立岩石损伤演 化本构关系式为：

σ＝Eε(1-fD) (F6)

步骤四、建立基于块度分形理论的岩石损伤演化本构模型，具体过程为：

步骤401、将公式(F4)代入公式(F6)，得到岩石损伤演化本构模型为：

步骤402、确定出用于表示岩石的力学特性的Weibull分布的参数m和 F；

步骤403、将步骤402中确定出的参数m和F代入公式(F7)，建立出基 于块度分形理论的岩石损伤演化本构模型。

上述的基于块度分形理论的岩石损伤演化本构模型建立方法，步骤二中 所述基于损伤能量计算岩石块度分形维数值d的具体过程为：

步骤201、建立一个边长为R₀的岩石正方体，并假设破坏所需要的耗散 能为U^W，且初始岩石正方体平均破碎成k个子正方体，则每个子正方体的边 长为R_i＝R₀k^-1/3，；从中随机抽取p个子正方体进行分析，当每个子正方体再破 碎成k个更小的正方体时，则每个子正方体的边长为R_j＝R₀k^-2/3；重复以上破碎 过程，得到不同尺度下的破碎模型；其中，k＝a³，a＝2、3、…、n，n为大于 2的自然数，i＝1、2、…、k，j＝1、2、…、k；

步骤202、将模型破碎后的分形特征可用块度分形维数表示，块度分形 维数值W的计算公式为：

步骤203、在边长为R₀的岩石正方体中包含的边长为r的子正方体的个数 N为：

步骤204、在正方体分形模型中由于破碎导致能量消耗的子正方体数目 N_r为：

步骤205、每个消耗能量且边长为r的小正方体的碎块体积为(R₀/r)^Wr³， 碎块总体体积为

消耗能量的碎块体积V_r与碎块总体体积V之比为：

其中，μ＝3-W；

步骤206、设

为单位体积的平均耗散能，得到公式：

边长为r的小正方体碎块中，平均耗散的能量，用公式表示为：

步骤207、将公式(F12)代入公式(F13)中，得到能量与岩石块度分 形维数的关系为：

其中，C为与材料性质有关的一个常数；

步骤208、假设岩石碎块的特征边长r＝r₀，将公式(F14)转化为：

上述的基于块度分形理论的岩石损伤演化本构模型建立方法，步骤302 中所述确定出用于表示岩石的力学特性的Weibull分布的参数m和F的具 体方法为：

步骤3021、设岩石应力-应变曲线的峰值强度点为(ε_c，σ_c)；

步骤3022、令岩石应力-应变曲线的峰值强度点(ε_c，σ_c)处的导数为0， 得到公式：

步骤3023、在峰值强度点(ε_c，σ_c)处满足关系式：

步骤3024、联立公式(F8)和公式(F9)，解得参数m和F分别为：

上述的基于块度分形理论的岩石损伤演化本构模型建立方法，步骤403 中将步骤402中确定出的参数m和F代入公式(F7)，建立出的基于块度 分形理论的岩石损伤演化本构模型为：

本发明与现有技术相比具有以下优点：

1、本发明的方法步骤简单，实现方便，为岩体的块度预测提供了一 种简便、快捷、易操作的方法，该方法应用到工程实际中，能够有效节省 人力成本和时间。

2、本发明采用块度分形系数代替了传统的损伤系数，并基于损伤能 量计算岩石块度分形维数值，建立了一个新的描述岩石损伤过程的本构方 程，即基于块度分形理论的岩石损伤演化本构模型，建立起了采用岩石块度 分形维数来表征岩石内部的损伤演化情况的模型，有助于运用分形理论来进 行岩石破坏损伤规律的研究的系统和深化，而且，经过实验验证，采用该模 型计算得到的理论应力-应变曲线与实验应力-应变曲线误差较小，能够较为 真实地反映实际。

3、本发明基于损伤能量计算岩石块度分形维数值，深入岩石破坏机制， 能够反映处于不同破坏阶段岩石块度分布情况，且无需复杂的参数计算。

4、本发明的方法能够推广应用到工程爆破、矿山开采、矿石粉碎、隧 道开挖、覆岩稳定性计算等许多领域的工程实践中，能够为采矿、隧道等地 下工程空间破碎围岩的破碎程度预测提供方法，为采取合理的支护措施和方 法设计提供科学参考依据，该方法可解决采用常规测量方法无法测量围岩破 碎程度的难题；实用性强，推广应用价值高。

综上所述，本发明的方法步骤简单，实现方便，建立了一个新的描述 岩石损伤过程的本构方程，能够较为真实地反映实际，实用性强，推广应用 价值高。

下面通过附图和实施例，对本发明的技术方案做进一步的详细描述。

附图说明

图1为本发明的方法流程框图；

图2为本发明尺度因子a＝2时的破碎模型；

图3为破碎块度分形维数与对应耗散能对数相关关系图；

图4A为加载速率为0.001mm/s时的理论模型应力-应变关系曲线和实 验应力-应变关系曲线对比图；

图4B为加载速率为0.005mm/s时的理论模型应力-应变关系曲线和实 验应力-应变关系曲线对比图；

图4C为加载速率为0.01mm/s时的理论模型应力-应变关系曲线和实 验应力-应变关系曲线对比图；

图4D为加载速率为0.05mm/s时的理论模型应力-应变关系曲线和实 验应力-应变关系曲线对比图。

具体实施方式

如图1所示，本发明的基于块度分形理论的岩石损伤演化本构模型建立 方法，该方法包括以下步骤：

步骤一、基于Weibull分布建立岩石损伤演化本构关系式，具体过程为：

步骤101、假设岩石强度值的概率密度符合Weibull分布，将其概率密 度函数P(ε)表示为：

其中，ε为岩石应变，m和F为用于表示岩石的力学特性的Weibull分布 的参数；

步骤102、假设岩石内部微单元的总个数为N,在外力作用下已发生破坏 的微单元个数为N_t，将损伤变量D表示为：

D＝N_t/N (F2)

步骤103、将当岩石应变ε增加时在外力作用下已发生破坏的微单元个数 N_t表示为：

步骤104、将公式(F3)代入公式(F2)，得到：

步骤105、建立岩石损伤演化本构关系式为：

σ＝Eε(1-δD) (F5)

其中，E为弹性模量，δ为岩石损伤比例系数；

步骤二、基于损伤能量计算岩石块度分形维数值W；

本实施例中，步骤二中所述基于损伤能量计算岩石块度分形维数值d 的具体过程为：

步骤201、如图2所示，建立一个边长为R₀的岩石正方体，并假设破坏 所需要的耗散能为U^W，且初始岩石正方体平均破碎成k个子正方体，则每个 子正方体的边长为R_i＝R₀k^-1/3，；从中随机抽取p个子正方体进行分析，当每个 子正方体再破碎成k个更小的正方体时，则每个子正方体的边长为R_j＝R₀k^-2/3； 重复以上破碎过程，得到不同尺度下的破碎模型；其中，k＝a³，a＝2、3、…、 n，n为大于2的自然数，i＝1、2、…、k，j＝1、2、…、k；

步骤202、将模型破碎后的分形特征可用块度分形维数表示，块度分形 维数值W的计算公式为：

步骤203、在边长为R₀的岩石正方体中包含的边长为r的子正方体的个数 N为：

步骤204、在正方体分形模型中由于破碎导致能量消耗的子正方体数目 N_r为：

步骤205、每个消耗能量且边长为r的小正方体的碎块体积为(R₀/r)^Wr³， 碎块总体体积为

消耗能量的碎块体积V_r与碎块总体体积V之比为：

其中，μ＝3-W；

步骤206、设

为单位体积的平均耗散能，得到公式：

边长为r的小正方体碎块中，平均耗散的能量，用公式表示为：

步骤207、将公式(F12)代入公式(F13)中，得到能量与岩石块度分 形维数的关系为：

其中，C为与材料性质有关的一个常数；

步骤208、假设岩石碎块的特征边长r＝r₀，将公式(F14)转化为：

为了验证损伤能量计算岩石块度分形维数值的效果，进行了能量与块度 分形维数的实验验证，将实验所得的不同加载速率下的单轴压缩破碎块度分 形维数与对应耗散能对数进行拟合，得到的破碎块度分形维数与对应耗散能 对数关系图如图3所示，其中红色直线为破碎块度分形维数与对应耗散能对 数的拟合曲线，拟合方程为：

其中相关性系数R²为 0.94，表现出较高的线性相关性，这也与公式(F15)所显示的关系一致，由 此可知耗散能对数与块度分形维数具有较好的正比关系，耗散能对岩石块度 分布具有直接影响，并且用分形维数表达能量与破碎之间的关系是合理的。

步骤三、根据块度分形维数建立岩石损伤演化本构关系式，具体过程为：

步骤301、根据公式

计算得到块度分形系数f，其中，W_max为同 尺度下的最大块度分形维数值；

具体实施时，对多个同尺度的岩石试块进行单轴荷载下的破碎实验并 求取块度分形维数值，d_max即为同尺度下的最大块度分形维数值。

步骤302、结合分形维数与岩石损伤的关系，用块度分形系数f替换公 式(F5)中的岩石损伤比例系数δ，得到根据块度分形维数建立岩石损伤演 化本构关系式为：

σ＝Eε(1-fD) (F6)

本实施例中，步骤302中所述确定出用于表示岩石的力学特性的 Weibull分布的参数m和F的具体方法为：

步骤3021、设岩石应力-应变曲线的峰值强度点为(ε_c，σ_c)；

步骤3022、令岩石应力-应变曲线的峰值强度点(ε_c，σ_c)处的导数为0， 得到公式：

步骤3023、在峰值强度点(ε_c，σ_c)处满足关系式：

步骤3024、联立公式(F8)和公式(F9)，解得参数m和F分别为：

步骤四、建立基于块度分形理论的岩石损伤演化本构模型，具体过程为：

步骤401、将公式(F4)代入公式(F6)，得到岩石损伤演化本构模型为：

步骤402、确定出用于表示岩石的力学特性的Weibull分布的参数m和 F；

步骤403、将步骤402中确定出的参数m和F代入公式(F7)，建立出基 于块度分形理论的岩石损伤演化本构模型。

本实施例中，步骤403中将步骤402中确定出的参数m和F代入公式 (F7)，建立出的基于块度分形理论的岩石损伤演化本构模型为：

为了验证本发明的方法建立的单轴荷载下的岩石块度分形损伤演化 本构模型的准确性与适用性，将不同加载速率下，根据公式(F10)和公 式(F11)分别计算得到的参数m和F代入公式(F12)中，得到基于岩石 块度分形损伤演化本构方程计算得到的应力-应变关系曲线，即岩样的块 度分形损伤演化本构方程的理论模型，并与实验的应力-应变关系曲线进 行对比。其中，各个加载速率与块度分形系数f、参数m和F的对应关系 表如表1所示，加载速率为0.001mm/s时的理论模型应力-应变关系曲线 和实验应力-应变关系曲线对比图如图4A所示，加载速率为0.005mm/s时 的理论模型应力-应变关系曲线和实验应力-应变关系曲线对比图如图4B 所示，加载速率为0.01mm/s时的理论模型应力-应变关系曲线和实验应力 -应变关系曲线对比图如图4C所示，加载速率为0.05mm/s时的理论模型 应力-应变关系曲线和实验应力-应变关系曲线对比图如图4D所示。

表1各个加载速率与f、m和F的对应关系表

从图4A、4B、4C和4D能够看出，虽然存在一定误差，但在峰值强度 前，试验曲线与模型曲线拟合度相对较好，该模型能够较好的反映岩石峰 前破裂过程中应力应变的总体趋势；但是，模型曲线的峰后情况与试验曲 线有较大误差，这是主要由于弹性模量取值的问题造成的，但对于本申请 研究的损伤强度点是峰值应力点，其误差还在可接受范围之内；且由图可 知加载速率越大，模型曲线和实验曲线的拟合误差越小；由于该模型未考 虑岩石在加载过程中孔隙裂隙的闭合情况，所以峰值强度前模型曲线未出 现下凹，因此如果不考虑岩石压缩阶段的非线性变形,模型曲线和试验曲 线的误差会更小。

以上所述，仅是本发明的较佳实施例，并非对本发明作任何限制，凡 是根据本发明技术实质对以上实施例所作的任何简单修改、变更以及等效 结构变化，均仍属于本发明技术方案的保护范围内。

Claims (4)

1.一种基于块度分形理论的岩石损伤演化本构模型建立方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：

步骤一、基于Weibull分布建立岩石损伤演化本构关系式，具体过程为：

步骤101、假设岩石强度值的概率密度符合Weibull分布，将其概率密度函数P(ε)表示为：

其中，ε为岩石应变，m和F为用于表示岩石的力学特性的Weibull分布的参数；

步骤102、假设岩石内部微单元的总个数为N,在外力作用下已发生破坏的微单元个数为N_t，将损伤变量D表示为：

D＝N_t/N (F2)

步骤103、将当岩石应变ε增加时在外力作用下已发生破坏的微单元个数N_t表示为：

步骤104、将公式(F3)代入公式(F2)，得到：

步骤105、建立岩石损伤演化本构关系式为：

σ＝Eε(1-δD) (F5)

其中，E为弹性模量，δ为岩石损伤比例系数；

步骤二、基于损伤能量计算岩石块度分形维数值W；

步骤三、根据块度分形维数建立岩石损伤演化本构关系式，具体过程为：

步骤301、根据公式计算得到块度分形系数f，其中，W_max为同尺度下的最大块度分形维数值；

步骤302、结合分形维数与岩石损伤的关系，用块度分形系数f替换公式(F5)中的岩石损伤比例系数δ，得到根据块度分形维数建立岩石损伤演化本构关系式为：

σ＝Eε(1-fD) (F6)

步骤四、建立基于块度分形理论的岩石损伤演化本构模型，具体过程为：

步骤401、将公式(F4)代入公式(F6)，得到岩石损伤演化本构模型为：

步骤402、确定出用于表示岩石的力学特性的Weibull分布的参数m和F；

步骤403、将步骤402中确定出的参数m和F代入公式(F7)，建立出基于块度分形理论的岩石损伤演化本构模型。

2.按照权利要求1所述的基于块度分形理论的岩石损伤演化本构模型建立方法，其特征在于：步骤二中所述基于损伤能量计算岩石块度分形维数值W的具体过程为：

步骤201、建立一个边长为R₀的岩石正方体，并假设破坏所需要的耗散能为U^W，且初始岩石正方体平均破碎成k个子正方体，则每个子正方体的边长为R_i＝R₀k^-1/3，；从中随机抽取p个子正方体进行分析，当每个子正方体再破碎成k个更小的正方体时，则每个子正方体的边长为R_j＝R₀k^-2/3；重复以上破碎过程，得到不同尺度下的破碎模型；其中，k＝a³，a＝2、3、…、n，n为大于2的自然数，i＝1、2、…、k，j＝1、2、…、k；

步骤202、将模型破碎后的分形特征可用块度分形维数表示，块度分形维数值W的计算公式为：

步骤203、在边长为R₀的岩石正方体中包含的边长为r的子正方体的个数N为：

步骤204、在正方体分形模型中由于破碎导致能量消耗的子正方体数目N_r为：

步骤205、每个消耗能量且边长为r的小正方体的碎块体积为(R₀/r)^Wr³，碎块总体体积为消耗能量的碎块体积V_r与碎块总体体积V之比为：

其中，μ＝3-W；

步骤206、设

为单位体积的平均耗散能，得到公式：

边长为r的小正方体碎块中，平均耗散的能量，用公式表示为：

步骤207、将公式(F12)代入公式(F13)中，得到能量与岩石块度分形维数的关系为：

其中，C为与材料性质有关的一个常数；

步骤208、假设岩石碎块的特征边长r＝r₀，将公式(F14)转化为：

3.按照权利要求1所述的基于块度分形理论的岩石损伤演化本构模型建立方法，其特征在于：步骤302中所述确定出用于表示岩石的力学特性的Weibull分布的参数m和F的具体方法为：

步骤3021、设岩石应力-应变曲线的峰值强度点为(ε_c，σ_c)；

步骤3022、令岩石应力-应变曲线的峰值强度点(ε_c，σ_c)处的导数为0，得到公式：

步骤3023、在峰值强度点(ε_c，σ_c)处满足关系式：

步骤3024、联立公式(F8)和公式(F9)，解得参数m和F分别为：

4.按照权利要求3所述的基于块度分形理论的岩石损伤演化本构模型建立方法，其特征在于：步骤403中将步骤402中确定出的参数m和F代入公式(F7)，建立出的基于块度分形理论的岩石损伤演化本构模型为：

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