CN110705041B - 一种基于easi的线性结构工作模态参数识别方法 - Google Patents

一种基于easi的线性结构工作模态参数识别方法 Download PDF

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Abstract

本发明提供一种基于EASI的线性结构工作模态参数识别方法，变步长EASI方法具有收敛速度快的优点，因此提出一种基于变步长EASI的线性时不变结构工作模态参数识别方法；滑动窗方法具有跟踪时变的能力，因此，提出一种基于滑动窗固定步长EASI的线性慢时变结构工作模态参数识别方法；然而，由于变步长方法跟踪能力弱，对非平稳信号的识别精度差，滑动窗方法收敛速度慢，提出了将滑动窗方法和变步长EASI相结合的基于滑动窗变步长EASI的方法，并且将之应用于慢时变结构的工作模态分析。

Description

一种基于EASI的线性结构工作模态参数识别方法
技术领域
本发明涉及模态参数识别和盲源分离领域，特别设计一种基于EASI的线性结构工作模态参数识别方法。
背景技术
模态参数(模态固有频率，模态振型，模态阻尼比)能够很好的反应结构的动力学特性，提取模态参数成为结构系统辨识问题的核心所在。然而，许多大规模的工程结构输入无法测量或者代价昂贵，此时工作模态分析方法(又称仅输出辨识方法)能够在工作环境中仅从输出响应中提取结构的模态参数，因此得到广泛关注。目前工作模态分析已经广泛的应用在故障诊断、结构优化设计等方面。
现实中工程结构大多是时变的，物理特性(质量、刚度、阻尼等)随时间而变化，其模态参数也会随着时间而变化。例如，火车过桥，火箭发射，旋转机械等都呈现出时变特性。目前线性时变结构的模态参数识别方法主要分为时域法和频域法(时频分析法)，马志赛等人和Zhou等人对这些方法进行了综述，并总结了每种方法的优缺点。振动响应信号也不能够提前一次性获得，而是随着时间慢慢采样得到，因此需要在线识别方法。滑动窗方法是一种在线识别慢时变系统模态参数的方法，已经应用在一些算法上。滑动窗方法相比于递推的方法更能跟踪时变特性，因为其添加了新数据同时舍弃了旧数据，减轻了历史数据的影响。
盲源分离(Blind Source Separation，BSS)是在源信号和混合方式未知的情况下，仅从观测信号中恢复源信号的方法，包括独立成分分析、稀疏成分分析、二阶盲辨识等。Sadhu等人对盲源分离方法在工作模态参数识别上的应用做了综述，并指出几乎所有基于盲源分离的模态识别方法都是离线或批处理模式下进行的，不适用于控制应用和参数的自动化识别。但识别时变结构的模态参数，需要在线的自适应的盲源分离方法,Luo等人对无线自适应处理盲源分离进行了综合研究。Cardoso等提出了基于连续更新思想的equivariant adaptive separation via independence(EASI)方法，该方法采用相对梯度，具有等变化性，迭代的在线更新每个时刻的分离矩阵。Amini等人将EASI应用到线性时不变结构的工作模态在线辨识中，并指出EASI具有收敛性依赖于源统计量和分析复杂的缺点。EASI是一种在线方法，能够节省存储空间，在数据输入的同时就进行处理，但是其使用的固定步长不能兼顾收敛性和跟踪能力。为此，研究者们提出了大量的变步长EASI算法改进EASI算法的收敛性和稳定性。陆建涛等人提出了基于分离指标的变步长EASI算法，利用一个非线性单调递增函数自适应调节步长。邬金松等人探索了分离程度的概念并且根据信号的分离程度自适应调整EASI算法的步长。然而，这些变步长方法都只是在时不变系统中提高算法性能，时变系统需要更复杂的变步长方法。目前，最新改进的变步长EASI算法在系统突变后能够自适应追踪并且重新收敛于新的平衡点。但是，当系统参数和源信号随时间持续变化时，变步长EASI算法也难以有效跟踪其特性。
发明内容
本发明要解决的技术问题，在于提供一种基于EASI的线性结构工作模态参数识别方法，利用滑动窗的在线跟踪特性和变步长EASI方法的收敛性，识别线性时变结构的瞬态模态固有频率和振型。
本发明之一是这样实现的：一种基于EASI的线性结构工作模态参数识别方法，包括：
S11：获取线性时不变结构在环境激励下多个振动传感器的非平时域振动信号响应数据矩阵
Figure GDA0003813994100000021
N为传感器个数，T是采样时间，t是指时间序列，范围从1到T；
S12：初始化分离矩阵
Figure GDA0003813994100000022
对分离矩阵进行连续更新，公式为：
Figure GDA0003813994100000023
其中，g是一个任意非线性的函数，
Figure GDA0003813994100000031
是分离信号分量，是对源信号
Figure GDA0003813994100000032
的一个估计，λt是可变的步长，即
Figure GDA0003813994100000033
其中，λ0，t0，td均为自定义参数；
S13：计算混合矩阵公式为：
At+1＝VU1/2Bt+1
其中，V是X(t)的特征向量，U是X(t)的特征值组成的对角矩阵，混合矩阵A对应模态振型Φ；
S14：计算源信号
Figure GDA0003813994100000034
的估计
Figure GDA0003813994100000035
公式为：
Figure GDA0003813994100000036
k个时刻的信号估计组成
Figure GDA0003813994100000037
对应模态响应矩阵，通过单自由度技术识别出模态固有频率和模态阻尼比。
本发明之二是这样实现的：一种基于EASI的线性结构工作模态参数识别方法，包括：
S21：设置滑动窗长度L；
S22：获取时变结构在环境激励下多个振动传感器的非平稳时域振动信号响应数据矩阵
Figure GDA0003813994100000038
N为传感器个数，T是采样时间，t是指时间序列，范围从1到T；将X(t)分成i个窗，每个窗内的数据长度为L；
S23：设置固定步长λ0，EASI算法利用固定步长进行更新，公式为：
Figure GDA0003813994100000039
其中，g是一个任意非线性的函数，
Figure GDA00038139941000000310
是分离信号分量，是对源信号
Figure GDA00038139941000000311
的一个估计；
S24：计算混合矩阵公式为：
At+1＝VU1/2Bt+1
其中V是X(t)的特征向量，U是X(t)的特征值组成的对角矩阵，混合矩阵A对应模态振型Φ；
计算源信号
Figure GDA00038139941000000312
的估计
Figure GDA00038139941000000313
公式为：
Figure GDA0003813994100000041
k个时刻的信号估计组成
Figure GDA0003813994100000042
对应模态响应矩阵；
利用单自由度技术识别模态坐标响应矩阵，得到模态固有频率和模态阻尼比；
S25：将i个窗内的识别结果通过曲线拟合连接起来，得到时变结构的模态参数。
本发明之三是这样实现的：一种基于EASI的线性结构工作模态参数识别方法，包括：
S31：设置滑动窗长度L，采样序列和窗的编号为i，初始化最大迭代次数l_max和收敛阈值ε，窗内的时间序列为t，迭代次数为l，初始化分离矩阵
Figure GDA0003813994100000043
S32:获取线性时变结构在环境激励下多个振动传感器的非平稳时域振动信号响应数据矩阵
Figure GDA0003813994100000044
N为传感器个数，T是采样时间,d是指时间序列，范围从1到T；
Figure GDA0003813994100000045
滑动窗方法将数据分块，即第一个窗内数据为
Figure GDA0003813994100000046
第二个窗内数据为
Figure GDA0003813994100000047
以此类推，第i个窗为
Figure GDA0003813994100000048
S33：对第1个窗内数据
Figure GDA0003813994100000049
进行识别，根据EASI算法迭代计算分离矩阵
Figure GDA00038139941000000410
公式为：
Figure GDA00038139941000000411
其中，λ(t)是随时间变化的步长、时间衰减型步长λ1(t)或者时间递减型步长λ2(t)；
Figure GDA00038139941000000412
Figure GDA0003813994100000051
其中，
Figure GDA0003813994100000052
是源信号S(d)的估计Y(d)的一个分量，其中t0,α和β为自定义参数；
Figure GDA0003813994100000053
g(·)是非线性函数，g(·)根据源信号的特性选择，如果是亚高斯信号，
Figure GDA0003813994100000054
如果是超高斯信号
Figure GDA0003813994100000055
S34：计算窗内第l+1次迭代的信号估计
Figure GDA0003813994100000056
S35：计算窗内第l+1次迭代的分离矩阵
Figure GDA0003813994100000057
其中V是
Figure GDA0003813994100000058
的特征向量，U是
Figure GDA0003813994100000059
的特征值组成的对角矩阵；
S36：计算
Figure GDA00038139941000000510
如果
Figure GDA00038139941000000511
或者l>l_max，进入S37；否则，将l+1，返回S33；
S37：如果t<L，则将t+1，计算此时步长λ(t)；否则进入S38；
S38：得到第i个窗的混合矩阵和源信号估计，分别对应模态振型和模态响应矩阵，对模态响应矩阵使用单自由度识别技术得到模态固有频率和模态阻尼比；
S39：如果i+L≤T，则将i+1，返回S33；否则进入S310；
S310：将i个窗内的识别结果通过曲线拟合连接起来，得到时变结构的模态参数。
本发明具有如下优点：本发明的基于滑动窗变步长EASI的线性慢时变结构工作模态参数识别方法，仅由实测非平稳振动响应信号即可在线实时的识别出线性时变结构的时变瞬态工作模态参数(瞬时工作模态振型和瞬时工作模态固有频率)。首先分析了变步长EASI方法具有收敛速度快的优点，但是跟踪能力弱，对非平稳信号的识别精度差。滑动窗方法具有跟踪时变的能力，却收敛较慢。因此，提出了将滑动窗方法和变步长EASI相结合的基于滑动窗变步长EASI的方法，并且将之应用于慢时变结构的工作模态分析。最后建立质量慢时变的三自由度弹簧振子系统，并使用MATLAB/Simulink进行建模，在Simulink模块中利用Runge-Kutta算法求解得到位移响应信号。通过仿真结果验证了算法的可靠性，并与加窗与不加窗，变步长和固定步长的方法比较证明了本发明提出的方法具有更高的识别精度，并且能跟踪时变特性。
附图说明
为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动性的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。
图1是盲源分离的过程。
图2是EASI方法识别结果与工作模态参数的对应关系。
图3是滑动窗的过程示意图。
图4是MWVEASI方法的工作模态参数识别流程图。
图5是线性慢时变三自由度弹簧振子模型。
图6是高斯白噪声激励和三个位移响应信号的位移响应数据。
图7是不加窗指数衰减变步长EASI的固有频率识别结果。
图8是加窗后的指数衰减变步长EASI的固有频率识别结果。
图9不加窗时间递减变步长EASI的固有频率识别结果。
图10加窗后的时间递减变步长EASI的固有频率识别结果。
图11是滑窗固定步长EASI的固有频率识别结果。
图12是不加窗指数衰减变步长EASI的MAC值识别结果。
图13是加窗后的指数衰减变步长EASI的MAC值识别结果。
图14是不加窗时间递减变步长EASI的MAC值识别结果。
图15是加窗后的时间递减变步长EASI的MAC值识别结果。
图16是滑窗固定步长EASI的MAC值识别结果。
具体实施方式
以下结合附图及实施例对本发明进行进一步的详细说明，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。
本发明的目的是实现对时变结构的模态参数识别，尤其是模态振型和模态频率的识别，为使本发明清楚易懂，下面将结合附图和具体实施方式对本发明作进一步详细的说明。
本发明基于滑动窗方法，结合变步长EASI算法，形成能够识别线性时变结构的工作模态参数的方法。该方法基于短时时不变理论和冻结系数法，将时变结构分解成一系列时不变结构的集合，然后使用变步长EASI方法对窗内的数据进行识别，最后曲线拟合各时刻求得的工作模态参数，以达到在线实时监测结构动力学特性变化的目的。
具体步骤如下：
本发明基于EASI的线性时不变结构工作模态参数识别方法，EASI是盲源分离的一种方法，其过程见附图1。其包括：
S11：获取线性时不变结构在环境激励下多个振动传感器的非平时域振动信号响应数据矩阵
Figure GDA0003813994100000071
表示X(t)这个矩阵是N行T列的，N为传感器个数，T是采样时间，t是指时间序列，就是范围从1到T；
S12：初始化分离矩阵
Figure GDA0003813994100000072
表示向量
Figure GDA0003813994100000073
的转置，
Figure GDA0003813994100000074
表示B0是N行N列的矩阵。
对分离矩阵进行连续更新，标准化的形式为
Figure GDA0003813994100000075
其中，g是一个任意非线性的函数。
Figure GDA0003813994100000076
是分离信号分量，是对源信号
Figure GDA0003813994100000077
的一个估计。λt是可变的步长，即
Figure GDA0003813994100000078
其中，λ0，t0，td都是自定义的参数；
S13：计算混合矩阵
At+1＝VU1/2Bt+1
其中V是X(t)的特征向量，U是X(t)的特征值组成的对角矩阵。混合矩阵A对应模态振型Φ，见附图2；
S14：计算源信号
Figure GDA0003813994100000079
的估计
Figure GDA00038139941000000710
Figure GDA00038139941000000711
k个时刻的信号估计组成
Figure GDA0003813994100000081
对应模态响应矩阵，通过单自由度技术(傅里叶变换等)识别出模态固有频率和模态阻尼比。
模态参数指的是固有频率，模态振型和模态阻尼比。S13识别出了模态振型，S14识别出了模态响应矩阵，再通过单自由度技术处理模态响应矩阵得到固有频率和阻尼比。S11到S14没有窗，或者说是整个数据就是一个窗，这里识别的是时不变结构。
本发明基于滑动窗固定步长EASI的慢线性时变结构工作模态参数识别方法，包括：
S21：设置滑动窗长度L；
S22：获取时变结构在环境激励下多个振动传感器的非平稳时域振动信号响应数据矩阵
Figure GDA0003813994100000082
表示X(t)这个矩阵是N行T列的，N为传感器个数，T是采样时间，t是指时间序列，就是范围从1到T；将X(t)分成i个窗，每个窗内的数据长度为L，附图3描述了滑动窗过程；
S23：设置固定步长λ0，EASI算法利用固定步长进行更新；
S24：得到每个窗内的混合矩阵和元信号估计，分别对应模态振型和模态坐标响应矩阵；利用单自由度技术识别模态坐标响应，得到模态固有频率和模态阻尼比；
S25：将i个窗内的识别结果通过曲线拟合连接起来，得到时变结构的模态参数。
本发明基于滑动窗变步长EASI(MWVEASI)的线性慢时变结构工作模态参数在线识别方法，包括：
S31：设置滑动窗长度L，采样序列和窗的编号为i，初始化最大迭代次数l_max和收敛阈值ε，窗内的时间序列为t，迭代次数为l，初始化分离矩阵
Figure GDA0003813994100000083
S32:获取线性时变结构在环境激励下多个振动传感器的非平稳时域振动信号响应数据矩阵
Figure GDA0003813994100000084
N为传感器个数，T是采样时间
Figure GDA0003813994100000085
滑动窗方法将数据分块，即第一个窗内数据为
Figure GDA0003813994100000086
第二个窗内数据为
Figure GDA0003813994100000091
以此类推，第i个窗为
Figure GDA0003813994100000092
S33：对第1个窗内数据
Figure GDA0003813994100000093
进行识别，根据EASI算法迭代计算分离矩阵
Figure GDA0003813994100000094
Figure GDA0003813994100000095
其中，λ(t)是随时间变化的步长，可以是时间衰减型步长λ1(t)或者时间递减型步长λ2(t)等；
Figure GDA0003813994100000096
Figure GDA0003813994100000097
其中，
Figure GDA0003813994100000098
是源信号S(d)的估计Y(d)的一个分量，其中t0,α和β为自定义参数；
Figure GDA0003813994100000099
g(·)是非线性函数，一般的，g(·)根据源信号的特性选择，如果是亚高斯信号，
Figure GDA00038139941000000910
如果是超高斯信号
Figure GDA00038139941000000911
S34：计算窗内第l+1次迭代的信号估计
Figure GDA00038139941000000912
S35：计算窗内第l+1次迭代的分离矩阵
Figure GDA00038139941000000913
其中V是
Figure GDA00038139941000000914
的特征向量，U是
Figure GDA00038139941000000915
的特征值组成的对角矩阵；
S36：计算
Figure GDA00038139941000000916
如果
Figure GDA00038139941000000917
或者l>l_max，进入S37；否则，l＝l+1，返回S33；
S37：如果t<L，t＝t+1，计算此时步长λ(t)；否则进入S38；
S38：得到第i个窗的混合矩阵和源信号估计，分别对应模态振型和模态响应矩阵。对模态响应矩阵使用单自由度识别技术(例如傅里叶变换)可以得到模态固有频率和模态阻尼比。第i个窗的识别结果表示T＝(i+L-1)/2时刻的识别结果，整个流程如附图4所示；
S39：如果i+L≤T，i＝i+1，返回S33；否则进入S39；
S310：将i个窗内的识别结果通过曲线拟合连接起来，得到时变结构的模态参数。
每个窗都识别到了模态振型和模态坐标响应矩阵。然后再从模态坐标响应中得到固有频率和阻尼比。模态参数指的是模态振型，固有频率和阻尼比。
实施例1:
如图5所示，是线性慢时变结构三自由度弹簧振子模型。设置三个物块的初始位移为零，阻尼比都为c1＝c2＝c3＝0.01N.s/m，刚度都是k1＝k2＝k3＝1000N/m。质量m2＝m3＝1kg，m1随时间缓慢变化，
Figure GDA0003813994100000101
m1(t)所受到的激励F(t)为高斯白噪声。
采样间隔为0.025s，采样频率是40Hz，仿真时长2000s。取50s后的时变数据进行研究。三自由度结构在Matlab/Simulink的建模，利用Runge-Kutta算法求解得到位移响应信号X(t)数据集，如图6所示。
使用模态振型评价标准(MAC)来比较自迭代主元抽取算法识别的线性变换向量与真实模态振型，其计算方式如下：
Figure GDA0003813994100000102
其中
Figure GDA0003813994100000103
是识别的振型，
Figure GDA0003813994100000104
表示真实的振型，
Figure GDA0003813994100000105
表示两个向量的内积。MAC值取值范围为
Figure GDA0003813994100000106
当MAC值越接近1，则识别振型越接近真实振型。
表1是三种求解方法的性能比较，表2未识别模态参数的定量比较。
表1基于滑动窗变步长EASI与其它线性慢时变结构工作模态参数识别的比较
Figure GDA0003813994100000111
表2未识别的模态参数百分比
Figure GDA0003813994100000112
Figure GDA0003813994100000121
计算机配置：
操作系统Windows 7旗舰版64位(6.1，版本7601)
制造商Dell Inc.型号Inspiron N5110
处理器Intel(R)Core(TM)i5-2430M
CPU@2.40Hz(4CPUs),～2.4Ghz
内存4096MB RAM.
图7是不加窗指数衰减变步长EASI的固有频率识别结果；
图8是加窗后的指数衰减变步长EASI的固有频率识别结果；
图9不加窗时间递减变步长EASI的固有频率识别结果；
图10加窗后的时间递减变步长EASI的固有频率识别结果；
图11是滑窗固定步长EASI的固有频率识别结果；
图12是不加窗指数衰减变步长EASI的MAC值识别结果；
图13是加窗后的指数衰减变步长EASI的MAC值识别结果；
图14是不加窗时间递减变步长EASI的MAC值识别结果；
图15是加窗后的时间递减变步长EASI的MAC值识别结果；
图16是滑窗固定步长EASI的MAC值识别结果；
如图7至16所示，本发明所述的基于滑动窗变步长的EASI方法未能识别的模态参数时刻点的个数明显少于滑动窗固定步长EASI和不加窗变步长EASI，说明滑动窗变步长EASI算法更容易收敛、更能跟踪时变特性，识别精度更高。
本发明可以用于设备故障诊断、在线健康监测以及系统结构分析与优化等方面。
虽然以上描述了本发明的具体实施方式，但是熟悉本技术领域的技术人员应当理解，我们所描述的具体的实施例只是说明性的，而不是用于对本发明的范围的限定，熟悉本领域的技术人员在依照本发明的精神所作的等效的修饰以及变化，都应当涵盖在本发明的权利要求所保护的范围内。

Claims (3)

1.一种基于EASI的线性结构工作模态参数识别方法，其特征在于：包括：
S11：获取线性时不变结构在环境激励下多个振动传感器的非平时域振动信号响应数据矩阵
Figure FDA0003913560390000011
N为传感器个数，T是采样时间，t是指时间序列，范围从1到T；
S12：初始化分离矩阵
Figure FDA0003913560390000012
对分离矩阵进行连续更新，公式为：
Figure FDA0003913560390000013
其中，g是一个任意非线性的函数，
Figure FDA0003913560390000014
是分离信号分量，是对源信号
Figure FDA0003913560390000015
的一个估计，λt是可变的步长，即
Figure FDA0003913560390000016
其中，λ0，t0，td均为自定义参数；
S13：计算混合矩阵公式为：
At+1＝VU1/2Bt+1
其中，V是X(t)的特征向量，U是X(t)的特征值组成的对角矩阵，混合矩阵A对应模态振型Φ；
S14：计算源信号
Figure FDA0003913560390000017
的估计
Figure FDA0003913560390000018
公式为：
Figure FDA0003913560390000019
k个时刻的信号估计组成
Figure FDA00039135603900000110
对应模态响应矩阵，通过单自由度技术识别出模态固有频率和模态阻尼比。
2.一种基于EASI的线性结构工作模态参数识别方法，其特征在于：包括：
S21：设置滑动窗长度L；
S22：获取时变结构在环境激励下多个振动传感器的非平稳时域振动信号响应数据矩阵
Figure FDA00039135603900000111
N为传感器个数，T是采样时间，t是指时间序列，范围从1到T；将X(t)分成i个窗，每个窗内的数据长度为L；
S23：设置固定步长λ0，EASI算法利用固定步长进行更新，公式为：
Figure FDA0003913560390000021
其中，g是一个任意非线性的函数，
Figure FDA0003913560390000022
是分离信号分量，是对源信号
Figure FDA0003913560390000023
的一个估计；
S24：计算混合矩阵公式为：
At+1＝VU1/2Bt+1
其中V是X(t)的特征向量，U是X(t)的特征值组成的对角矩阵，混合矩阵A对应模态振型Φ；
计算源信号
Figure FDA0003913560390000024
的估计
Figure FDA0003913560390000025
公式为：
Figure FDA0003913560390000026
k个时刻的信号估计组成
Figure FDA0003913560390000027
对应模态响应矩阵；
利用单自由度技术识别模态坐标响应矩阵，得到模态固有频率和模态阻尼比；
S25：将i个窗内的识别结果通过曲线拟合连接起来，得到时变结构的模态参数。
3.一种基于EASI的线性结构工作模态参数识别方法，其特征在于：包括：
S31：设置滑动窗长度L，采样序列和窗的编号为i，初始化最大迭代次数l_max和收敛阈值ε，窗内的时间序列为t，迭代次数为l，初始化分离矩阵
Figure FDA0003913560390000028
S32:获取线性时变结构在环境激励下多个振动传感器的非平稳时域振动信号响应数据矩阵
Figure FDA0003913560390000029
N为传感器个数，T是采样时间,d是指时间序列，范围从1到T；
Figure FDA00039135603900000210
滑动窗方法将数据分块，即第一个窗内数据为
Figure FDA00039135603900000211
第二个窗内数据为
Figure FDA00039135603900000212
以此类推，第i个窗为
Figure FDA0003913560390000031
S33：对第1个窗内数据
Figure FDA0003913560390000032
进行识别，根据EASI算法迭代计算分离矩阵
Figure FDA0003913560390000033
公式为：
Figure FDA0003913560390000034
其中，λ(t)是随时间变化的步长、时间衰减型步长λ1(t)或者时间递减型步长λ2(t)；
Figure FDA0003913560390000035
Figure FDA0003913560390000036
其中，
Figure FDA0003913560390000037
是源信号的估计Y(d)的一个分量，其中t0,α和β为自定义参数；
Figure FDA0003913560390000038
g(·)是非线性函数，g(·)根据源信号的特性选择，如果是亚高斯信号，
Figure FDA0003913560390000039
如果是超高斯信号
Figure FDA00039135603900000310
S34：计算窗内第l+1次迭代的信号估计
Figure FDA00039135603900000311
Figure FDA00039135603900000312
S35：计算窗内第l+1次迭代的混合矩阵
Figure FDA00039135603900000313
其中V是
Figure FDA00039135603900000314
的特征向量，U是
Figure FDA00039135603900000315
的特征值组成的对角矩阵；
S36：计算
Figure FDA00039135603900000316
如果
Figure FDA00039135603900000317
或者l＞l_max，进入S37；否则，将l+1，返回S33；
S37：如果t<L，则将t+1，计算此时步长λ(t)；否则进入S38；
S38：得到第i个窗的混合矩阵和源信号估计，分别对应模态振型和模态响应矩阵，对模态响应矩阵使用单自由度识别技术得到模态固有频率和模态阻尼比；
S39：如果i+L≤T，则将i+1，返回S33；否则进入S310；
S310：将i个窗内的识别结果通过曲线拟合连接起来，得到时变结构的模态参数。
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