CN110657816A - 一种基于烟花算法的带硬时间窗的车辆路径问题规划方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于烟花算法的带硬时间窗的车辆路径问题规划方法，按照不同的规则分别构造两个初始种群，使烟花爆炸后的搜索空间更大，能在解空间内搜索到更多的可行解，初始阶段收敛速度快；其次将初始解的构造分为四个阶段，即对最小车辆数按照不同的规则分区，生成初始路径，对生成的路径进行约束检验，对不满足约束的客户点进行调整生成初始可行解。有效减少了冗余路径的产生。在双种群并行寻优过程中增加不同种群火花之间的交叉操作。在每一代烟花中随机选取一个种群中待爆炸的烟花与另一个种群的最优烟花执行爆炸操作，充分利用了每一代中适应度值较好的其他烟花，增加了种群多样性。

Description

一种基于烟花算法的带硬时间窗的车辆路径问题规划方法

技术领域

本发明涉及车辆路径规划领域，尤其是基于烟花算法的车辆路径优化方法。

背景技术

车辆路径问题是最重要和被广泛研究的组合优化问题之一，属于NP难问题。现阶段的研究越来越重视配送过程的复杂性，发展了大量多约束车辆路径问题，其中带硬时间窗的车辆路径问题需要同时考虑配送的车辆数、服务的及时性以及车辆的行驶距离，特别是要求每个任务都必须在指定的时间窗内完成。因此如何设计算法得到更优的路径成为难点。

群体智能的发展为解决路径规划问题提供了思路。其中烟花算法通过模拟烟花爆炸这一自然现象在解空间内搜索可行的路径解决方案。初始的路径解决方案随机生成，容易产生冗余路径；并且基本的烟花算法对每一代生成的路径解决方案都会按照适应度值高低选择一个适应度值最好的烟花，然后马上进行下一次爆炸，这个过程不仅没有充分利用烟花群体中其他适应度值较好的烟花个体，而且在爆炸过程中缺少火花之间的交互，不能满足种群多样性的要求；此外对于烟花算法的应用来说，目前较多的用于解决连续优化问题，对离散优化问题的研究不多。

发明内容

本发明的一种基于烟花算法的带硬时间窗的车辆路径问题规划方法，针对烟花算法在求解带硬时间窗的车辆路径问题中存在的上述问题，即初始路径生成过程中容易产生冗余路径以及对种群中适应度值较好的其他烟花利用不充分的问题，提出了一种改进的烟花算法。

为了达到上述目的，本发明的技术方案是提供一种基于烟花算法的带硬时间窗的车辆路径问题规划方法，包括以下步骤：

步骤S1：采用扫描算法，按照不同的规则生成初始种群P1和P2；

步骤S2：分别计算两个初始种群中n个烟花个体的适应度；每个烟花对应车辆路径的一个解决方案；

步骤S3：根据适应度值分别判断是否为最优烟花：

若是，执行步骤S5，反之执行步骤S4；

步骤S4：分别计算P1、P2中每个烟花生成的火花数目；

步骤S5：P1最优烟花与P2待爆炸烟花交叉执行爆炸操作，或者P2最优烟花与P1待爆炸烟花交叉执行爆炸操作；

步骤S6：P1、P2交叉爆炸生成的火花分别进行逆转变异操作；

步骤S7：判断是否达到终止条件，若达到则得到车辆最优路径并结束，否则执行步骤S8；

步骤S8：采用精英-轮盘赌策略分别选择P1、P2迭代寻优。

本发明针对带硬时间窗的车辆路径规划这一离散优化问题，提出了一种改进的烟花算法。采用两种不同的规则构造初始路径，生成两类初始种群并行寻优；同时在双种群并行寻优的过程中增加交叉操作。

与现有技术相比，本发明基于“先分组，再寻优”的基本思路，按照两种不同的规则分组，构造两个初始种群并行寻优，并且在并行寻优过程中增加了不同种群烟花个体间的交叉操作。

首先，按照不同的规则分别构造两个初始种群，使烟花爆炸后的搜索空间更大，能在解空间内搜索到更多的可行解，初始阶段收敛速度快；其次将初始解的构造分为四个阶段，即对最小车辆数按照不同的规则分区-生成初始路径-对生成的路径进行约束检验-对不满足约束的客户点进行调整生成初始可行解。有效减少了冗余路径的产生。

在双种群并行寻优过程中增加不同种群火花之间的交叉操作。在每一代烟花中随机选取P2(P1)中待爆炸的烟花与P1(P2)的最优烟花执行爆炸操作。充分利用了每一代中适应度值较好的其他烟花，增加了种群多样性。

附图说明

图1为本发明方法的流程图。

图2a、图2b为构建初始路径第一种方法示意图。

图3a、图3b为构建初始路径第二种方法示意图。

图4为爆炸算子生成火花的操作示意图。

具体实施方式

下面结合附图与实施例，对本发明方法做进一步详细说明。

首先将带硬时间窗的车辆路径问题抽象为数学模型，建立混合整数规划模型：

(1)客户服务类型为取货或送货；

(2)每个客户点的需求量及在该点服务的时间事先给定；

(3)每个客户点只能被访问一次；

(4)车场及待服务客户的坐标位置均事先给定；

(5)由一组具有相同最大载重量的同类型车辆完成对客户点的服务；

(6)车辆在客户点服务时不能超过最大载重量；

(7)每辆车只能服务单独的一条路径.

(8)每个客户的服务要在规定的时间窗内进行；

(9)车场只有一个，并且所有车辆从车场出发并在规定的时间窗内返回车场；

(10)所有道路均为通畅的，不考虑发生堵塞拥挤的情况。

带硬时间窗的混合整数规划模型描述如下：

用有向图G＝(C,E)表示路径网络，由客户集C＝{0,1,2,…,n,n+1}和弧段集合E组成。节点0和n+1表示车场，其他表示n个客户的顶点集合记为N。每个客户i(i∈N)具有特定的需求d_i、相应的服务时间s_i和时间窗[a_i,b_i]，其中a_i和b_i分别是客户的最早开始服务时间和最晚开始服务时间。车辆可以在客户i的最早服务时间a_i之前到达，但是需要等待到a_i才能开始服务，但车辆必须在最晚服务时间b_i之前到达，否则这条路径不可行。车场的时间窗为[a₀,b₀]，即车辆执行完任务后最晚的返回时间是b₀。每辆车属于一个由K辆同类型车辆组成的车队，车辆最大载重量为Q。假设车速为1，则车辆行驶距离等于行驶时间。t_ij代表客户i(i∈N)到客户j(j∈N)的行驶距离；C_ij表示车辆访问路径网络中每条弧的成本。引入两个决策变量x和s，对于每辆车k，如果车辆k从客户i行驶到客户j(i≠j,i≠0,j≠n+1)，则决策变量x_ijk等于1，否则为0(只要车辆不是从客户i行驶到客户j，则其为0)。决策变量s_ik表示车辆k给客户提供服务的时间。

目标函数：

约束条件如下：

a_i≤s_ik≤b_i i∈N,k∈K (8)

x_ijk∈{0,1} i∈N,j∈N,k∈K (9)

目标函数(1)表示最小化车辆配送成本，即使用车辆数目成本及车辆行驶距离成本。约束(2)确保每个客户最多由一辆车服务，约束(3)至(5)保证分配给每辆车的客户需求总和不超过其最大载重量Q。约束(7)表示如果车辆从客户i行驶到客户j，则不能在s_ik+t_ij之前到达客户j。约束(8)确保所有路径都能满足时间窗。约束(9)给出了一组整型约束。

本发明所述基于烟花算法的带硬时间窗车辆路径规划方法，如图1所示，包括以下步骤：

步骤S1：采用扫描算法，按照不同的规则生成初始种群P1和P2。

启发式算法是在一个可行初始解的基础上，在始终确保当前解可行的情况下逐步采用局部搜索技术改进目标函数值来逼近最优解。一般来讲初始解的质量和改进操作的选择对启发式算法的性能有很大影响。现有的大部分启发式算法从随机生成的可行初始解出发进行改进，但随机解不能保证解的质量的好坏，过强的随机性容易违反约束条件，特别在时间窗约束比较紧的时候，会导致冗余路径的产生并增加了排除这些多余路径的操作。

所以本发明选择构造式启发算法中的扫描算法，根据不同的规则构造两类初始种群。增加了种群的多样性并减少了冗余路径的产生，降低了时间复杂度。

具体方法如下：

步骤S1.1.1：首先在不考虑约束的情况下，先确定最小车辆数K_min(即最少的初始路径数)，由公式

计算得到，Q是每辆车的最大载重量；q_i表示车辆在客户i处所取货物的重量。

步骤S1.1.2：如图2a所示，由车场出发引一条射线按逆时针方向旋转，按旋转到的客户点顺序依次编号，当达到车辆的最大载重量时当前区域划分结束，每个扇形区域内的客户点即为当前车辆可以服务的客户点数目。重复上述过程直到所有客户点扫描结束。

步骤S1.1.3：在每个扇形区域内，均进行如下操作：

首先选择一个优先级最高(需要被服务的时间最早)的客户点，由车场出发连接该客户点，下一个客户点的选取按照与当前路径角度增量最小的原则选择。重复执行此过程直到当前扇形区域内客户点访问结束。

每个扇形区域重复上述操作直到所有客户点访问结束，得到初始路径。

步骤S1.1.4：从车场开始逐一检查客户点是否满足约束条件，将违反约束的客户点从当前路径移除插入到新的可行路径中，对重新插入后仍然违反约束的客户点，选择跟它相邻路径中距离最近的客户点执行交换操作，若仍然失败则将这个客户点作为新客户点重新构建路径。

经过上述步骤得到一条初始路径，如图2b所示。

重复步骤S1.1.1-步骤S1.1.4得到的初始种群即P1(n个烟花)。

步骤S1.2.1：首先在不考虑约束的情况下，先确定最小车辆数K_min(即最少的初始路径数)，由公式

计算得到，Q是每辆车的最大载重量；q_i表示车辆在客户i处所取货物的重量。

步骤S1.2.2：如图3a所示，首先将客户点按照逆时针扫描到的顺序排序，然后将客户点的时间窗按照接近程度分为K_min个区域。

步骤S1.2.3：连接每个区域内的客户点形成K_min辆车的路径。

步骤S1.2.4：从车场开始逐一检查客户点是否满足约束条件，将违反约束的客户点从当前路径移除插入到新的可行路径中，对重新插入后仍然违反约束的客户点，选择跟它相邻路径中距离最近的客户点执行交换操作，若仍然失败则将这个客户点作为新客户点重新构建路径。

经过上述步骤S1.2.1-步骤S1.2.4得到另一条初始路径，如图3b所示。

重复步骤S1.2.1-步骤S1.2.4得到初始种群P2(n个烟花)。

步骤S2：分别计算两个初始种群中n个烟花个体的适应度。

具体方法如下：

带时间窗的车辆路径问题是多目标优化问题，要求车辆和行驶路程最小化，采用加权和的方法计算每个烟花的适应度。公式如下：

V表示车辆数目；加权系数α和β分别是与车辆数目和车辆行驶里程相关联的权重参数，根据经验值设置α＝100，β＝0.001。

根据上述公式分别计算两个种群中n个烟花的适应度值。

步骤S3：根据适应度值分别判断是否为最优烟花。若是，执行步骤S5，反之执行步骤S4。

首先将经过步骤S2计算得到的两个种群的适应度从小到大排序，将各自适应度值最小(最优)的烟花复制到步骤S8，然后选择各自最优烟花进行步骤S5。

步骤S4：分别计算P1、P2中每个烟花生成的火花数目。

对每个烟花a_i(对应的车辆路径问题的解决方案)，计算爆炸生成的火花数目。根据适应度值来自适应的控制爆炸产生的火花数目。若烟花对应的适应度值较差，则仅能获得较少的资源，即在较大的范围内生成数目较少的火花，拥有一定的全局搜索能能力；反之适应度值较好的则可以在较小的范围内生成更多的火花，具备对该烟花所在位置的更强的局部搜索能力。

产生火花数目计算公式如下：

其中M是控制爆炸火花总数的常数参数，n是烟花的个数，f_max是n个烟花中适应度的最大值，ε表示计算机中的最小常数，用来避免零除错误。由于公式产生的是火花数量，应当是一个整数，因此通过如下公式将获得的实数转换为整数；

a,b为给定的常数，round(·)是根据四舍五入原则的取整函数。

步骤S5：P1(P2)最优烟花与P2(P1)待爆炸烟花交叉执行爆炸操作。

爆炸算子是烟花算法的一个重要组成部分，其作用是在烟花周围生成一组新的火花。但用于连续优化问题的无规律的随机爆炸不能直接用于离散的带时间窗的车辆路径问题中，因此需要重新设计一种合适的爆炸操作算子。

将步骤S3判断为最优的烟花P1_best(P2_best)与P1(P2)中除最优个体外等待爆炸的烟花进行交叉重组。

具体操作为：

步骤S5.1：如图4所示，首先给出当前时刻的路径集合，如P1_best有三条路径，即R1:3 1 7,R2:5 6,R3:4,2,8,9。如步骤A所示，首先将P1_best与P2中除P2_best外的烟花中随机选择一条路径，图中选择了P1_best的R2，P2选择了R3。

步骤S5.2：对于给定的个体，将另一个体所选路径中的客户从中移除。如图，对于P1_best，从中移除P2中随机选择的路径所包含的客户7和3，产生C1。同理，P1_best中随机选择的路径包含的客户5和6也从P2相应路径中移除，生成C2。

步骤S5.3：如步骤B所示，算法需要重新插入7、3到C1中，同时将客户5、6重新插入到C2中。首先插入哪个客户是随机的，若插入后路径不满足约束条件则插入点不可行。如图4步骤C所示，客户7、3都被插入到C1中恰当的位置。若没有可行的插入点则建立一条新的路径。如图4步骤D中客户6没有合适的插入位置，因此构建了新的路径。交叉重组产生的C1即为爆炸操作产生的火花。

步骤S6：P1、P2爆炸生成的火花分别进行逆转变异操作。

在求解连续优化问题的烟花算法中，通常采用高斯变异算子，针对带时间窗的车辆路径问题，我们采用一种逆转变异算子。

具体操作如下：

步骤S6.1：在一个路径解决方案中随机选择两个切割点

步骤S6.2：将两个分割点之间的每个客户的访问顺序置换。

步骤S7：判断是否达到终止条件，若达到则得到车辆最优路径结束，否则执行步骤S8。

执行完当前操作后检查是否达到最大迭代次数，达到则直接输出最优解决方案。

步骤S8：采用精英-轮盘赌策略分别选择P1、P2迭代寻优。

选择策略作为烟花算法中的一个至关重要的环节，负责将上一代烟花及生成火花中表现良好的个体进行复制来产生新的烟花。将最初生成的烟花以及爆炸生成的火花全部纳入选择范围，在选择下一代迭代个体时，使用精英选择策略和轮盘赌策略相结合的方法。

为了使适应度值好的烟花有较大的可能被选择进入下一次迭代，同时不排除全部差解，烟花a_i被选择的概率为：

具体操作如下：

步骤S8.1：对等待选择的烟花(火花)a_i计算适应度

步骤S8.2：计算所有待选烟花和火花的适应度总和

步骤S8.3：根据上述公式计算每个烟花(火花)被选择的概率P_ai。

步骤S8.4：计算各烟花(火花)的累积概率

步骤S8.5：模拟轮盘赌操作，产生[0,1]之间的随机数，选中与之对应的烟花(火花)。

综上所述，本发明基于“先分组，再寻优”的思路，将初始解的构造过程分为四个阶段。首先通过计算得到所需的最小车辆数K_min，分别按照车辆的最大载重量和客户点时间窗的紧密程度将客户点分为K_min组；然后分别采用途程构建和按照时间窗顺序连接客户点的方法构造初始路径；再对生成的路径进行约束检验；最后对不满足约束的客户点进行调整生成初始可行解。

本发明在双种群并行寻优过程中增加了不同种群烟花间的交叉操作，在每一代烟花爆炸过程中随机选择一个种群中待爆炸的烟花与另一种群中的最优烟花个体执行爆炸操作，生成下一代烟花。

尽管本发明的内容已经通过上述优选实施例作了详细介绍，但应当认识到上述的描述不应被认为是对本发明的限制。在本领域技术人员阅读了上述内容后，对于本发明的多种修改和替代都将是显而易见的。因此，本发明的保护范围应由所附的权利要求来限定。

Claims (10)

1.一种基于烟花算法的带硬时间窗的车辆路径问题规划方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤S1：采用扫描算法，按照不同的规则生成初始种群P1和P2；

步骤S2：分别计算两个初始种群中n个烟花个体的适应度；每个烟花对应车辆路径的一个解决方案；

步骤S3：根据适应度值分别判断是否为最优烟花：

若是，执行步骤S5，反之执行步骤S4；

步骤S4：分别计算P1、P2中每个烟花生成的火花数目；

步骤S5：P1最优烟花与P2待爆炸烟花交叉执行爆炸操作，或者P2最优烟花与P1待爆炸烟花交叉执行爆炸操作；

步骤S6：P1、P2交叉爆炸生成的火花分别进行逆转变异操作；

步骤S7：判断是否达到终止条件，若达到则得到车辆最优路径并结束，否则执行步骤S8；

步骤S8：采用精英-轮盘赌策略分别选择P1、P2迭代寻优。

2.如权利要求1所述的车辆路径问题规划方法，其特征在于，

步骤S1中，基于最小车辆数的数值，分别按照车辆的最大载重量和客户点时间窗的紧密程度将客户点分为与该数值一致的多个组；

分别采用途程构建和按照时间窗顺序连接客户点的方法构造初始路径；再对生成的路径进行约束检验；

对不满足约束的客户点进行调整生成初始可行解，得到初始种群。

3.如权利要求1所述的车辆路径问题规划方法，其特征在于，

步骤S1中，生成初始种群P1的过程包含：

步骤S1.1.1：在不考虑约束的情况下，确定最小车辆数K_min，由公式

计算得到，Q是每辆车的最大载重量；q_i表示车辆在客户i处所取货物的重量；

步骤S1.1.2：由车场出发引一条射线按逆时针方向旋转，按旋转到的客户点顺序依次编号，当达到车辆的最大载重量时当前区域划分结束，每个扇形区域内的客户点即为当前车辆可以服务的客户点数目；重复S1.1.2直到所有客户点扫描结束；

步骤S1.1.3：在每个扇形区域内，均进行如下操作：

选择一个优先级最高的客户点，由车场出发连接该客户点，下一个客户点的选取按照与当前路径角度增量最小的原则选择；重复执行选择下一个客户点的过程直到当前扇形区域内客户点访问结束；优先级最高，包含需要被服务的时间最早；

每个扇形区域重复S1.1.3操作直到所有客户点访问结束，得到初始路径；

步骤S1.1.4：从车场开始逐一检查客户点是否满足约束条件，将违反约束的客户点从当前路径移除插入到新的可行路径中，对重新插入后仍然违反约束的客户点，选择跟它相邻路径中距离最近的客户点执行交换操作，若仍然失败则将这个客户点作为新客户点重新构建路径；

经过步骤S1.1.1-S1.1.4得到一条初始路径；

重复步骤S1.1.1-步骤S1.1.4得到的初始种群即P1，其中有n个烟花；

步骤S1中，生成初始种群P2的过程包含：

步骤S1.2.1：在不考虑约束的情况下，确定最小车辆数K_min，由公式

计算得到，Q是每辆车的最大载重量；

步骤S1.2.2：将客户点按照逆时针扫描到的顺序排序，然后将客户点的时间窗按照接近程度分为K_min个区域；

步骤S1.2.3：连接每个区域内的客户点形成K_min辆车的路径；

步骤S1.2.4：从车场开始逐一检查客户点是否满足约束条件，将违反约束的客户点从当前路径移除插入到新的可行路径中，对重新插入后仍然违反约束的客户点，选择跟它相邻路径中距离最近的客户点执行交换操作，若仍然失败则将这个客户点作为新客户点重新构建路径；

经过步骤S1.2.1-步骤S1.2.4得到另一条初始路径；

重复步骤S1.2.1-步骤S1.2.4得到初始种群P2，其中有n个烟花。

4.如权利要求3所述的车辆路径问题规划方法，其特征在于，

步骤S2中，基于对车辆和行驶路程最小化的要求，采用加权和的方法，分别计算两个初始种群中每个烟花的适应度：

V表示车辆数目；加权系数α和β分别是与车辆数目和车辆行驶里程相关联的权重参数；

在以有向图表示的路径网络中，n个客户的顶点集合记为N；t_ij代表客户i到客户j的行驶距离，i∈N，j∈N；对于每辆车k，如果车辆k从客户i行驶到客户j，其中i≠j,i≠0,j≠n+1，则决策变量x_ijk等于1，否则为0。

5.如权利要求4所述的车辆路径问题规划方法，其特征在于，

步骤S3中，将经过步骤S2计算得到的两个种群的适应度分别从小到大排序，将各自适应度值最小的烟花作为最优烟花复制到步骤S8，然后选择各自最优烟花进行步骤S5。

6.如权利要求5所述的车辆路径问题规划方法，其特征在于，

步骤S4中，对每个烟花a_i，计算爆炸生成的火花数目；根据适应度值来自适应的控制爆炸产生的火花数目；产生火花数目的计算公式如下：

其中M是控制爆炸火花总数的常数参数，n是烟花的个数，f_max是n个烟花中适应度的最大值，ε表示计算机中的最小常数，用来避免零除错误；

通过如下公式将获得的实数转换为整数；

a,b为给定的常数，round(·)是根据四舍五入原则的取整函数。

7.如权利要求6所述的车辆路径问题规划方法，其特征在于，

步骤S5中，将步骤S3中判断为P1中最优的烟花P1_best与P2中除P2_best外等待爆炸的烟花进行交叉重组，包含的操作为：

给出当前时刻的路径集合，随机选择P1_best中的一条路径，在P2中除P2_best外的烟花中随机选择一条路径；

P1_best的每条路径中若包含P2所选路径中的客户，则从P1_best中包含客户的路径中将客户移除；再将被移除的每个客户以随机顺序作为当前插入的客户，将当前插入的客户分别插入到P1_best的每条路径中，插入后的路径满足约束条件时可行；没有可行的插入点则建立一条新的路径；得到交叉重组产生的火花；

P2中除P2_best外的每条路径中若包含P1_best所选路径中的客户，则从P2中除P2_best外的每条路径中包含客户的路径中将客户移除；再将被移除的每个客户以随机顺序作为当前插入的客户，将当前插入的客户分别插入到P2中除P2_best外的每条路径中，插入后的路径满足约束条件时可行；没有可行的插入点则建立一条新的路径；得到交叉重组产生的火花；

或者，将P2中最优的烟花P2_best与P1中除P1_best外等待爆炸的烟花进行交叉重组，包含的操作为：

给出当前时刻的路径集合，随机选择P2_best中的一条路径，在P1中除P1_best外的烟花中随机选择一条路径；

P2_best的每条路径中若包含P1所选路径中的客户，则从P2_best中包含客户的路径中将客户移除；再将被移除的每个客户以随机顺序作为当前插入的客户，将当前插入的客户分别插入到P2_best的每条路径中，插入后的路径满足约束条件时可行；没有可行的插入点则建立一条新的路径；得到交叉重组产生的火花；

P1中除P1_best外的每条路径中若包含P2_best所选路径中的客户，则从P1中除P1_best外的每条路径中包含客户的路径中将客户移除；再将被移除的每个客户以随机顺序作为当前插入的客户，将当前插入的客户分别插入到P1中除P1_best外的每条路径中，插入后的路径满足约束条件时可行；没有可行的插入点则建立一条新的路径；得到交叉重组产生的火花。

8.如权利要求7所述的车辆路径问题规划方法，其特征在于，

步骤S6中，P1、P2爆炸生成的火花分别进行逆转变异操作，包含以下操作：

步骤S6.1：在一个车辆路径解决方案中随机选择两个切割点；

步骤S6.2：将两个分割点之间的每个客户的访问顺序置换；

步骤S7：判断是否达到终止条件，若达到则得到车辆最优路径并结束，否则执行步骤S8；

执行完当前操作后检查是否达到最大迭代次数，达到则直接输出最优解决方案。

9.如权利要求8所述的车辆路径问题规划方法，其特征在于，

步骤S8，包含以下操作：

步骤S8.1：对等待选择的烟花或火花a_i计算适应度

步骤S8.2：计算所有待选烟花或火花的适应度总和

步骤S8.3：计算每个烟花或火花被选择的概率P_ai；

步骤S8.4：计算各烟花或火花的累积概率

步骤S8.5：模拟轮盘赌操作，产生[0,1]之间的随机数，选中与之对应的烟花或火花。

10.如权利要求1～9中任意一项所述的车辆路径问题规划方法，其特征在于，

带硬时间窗的混合整数规划模型为：

用有向图G＝(C,E)表示路径网络，由客户集C＝{0,1,2,…,n,n+1}和弧段集合E组成；节点0和n+1表示车场，其他表示n个客户的顶点集合记为N；每个客户i，i∈N具有特定的需求d_i、相应的服务时间s_i和时间窗[a_i,b_i]，其中a_i和b_i分别是客户的最早开始服务时间和最晚开始服务时间；车场的时间窗为[a₀,b₀]；每辆车属于一个由K辆同类型车辆组成的车队，车辆最大载重量为Q；设车速为1，则车辆行驶距离等于行驶时间；t_ij代表客户i到客户j的行驶距离，i∈N，j∈N；C_ij表示车辆访问路径网络中每条弧的成本；引入两个决策变量x和s，对于每辆车k，如果车辆k从客户i行驶到客户j，其中i≠j,i≠0,j≠n+1，则决策变量x_ijk等于1，否则为0；决策变量s_ik表示车辆k给客户提供服务的时间；

目标函数：

约束条件如下：

a_i≤s_ik≤b_i i∈N,k∈K (8)

x_ijk∈{0,1} i∈N,j∈N,k∈K (9)

目标函数表示最小化车辆配送成本，即使用车辆数目成本及车辆行驶距离成本；第一约束(2)确保每个客户最多由一辆车服务，第二约束至第四约束(3～5)保证分配给每辆车的客户需求总和不超过其最大载重量Q；第六约束(7)表示如果车辆从客户i行驶到客户j，则不能在s_ik+t_ij之前到达客户j；第七约束(8)确保所有路径都能满足时间窗；第八约束(9)给出了一组整型约束。

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