CN110633506B - 干流梯级水电站群高水头不规则多限制区自动规避方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及水电调度运行领域，特别涉及一种干流梯级水电站群高水头不规则多限制区自动规避方法。其技术方案为：在对机组限制区约束进行数学化定义基础上，对不规则限制区采用基于Hertel‑Mehlhorn凸剖分算法进行自动解析技术剖分，然后对剖分后的结果采用凸优化理论和析取规划理论进行建模。该方法可以自动规避不规则多限制区，达到了自动建模与求解的效果。该方法对将来响应电网差异化、自动化调度应用，响应市场化条件下的水电出力频繁变化的新情况具有重要意义。

Description

干流梯级水电站群高水头不规则多限制区自动规避方法

技术领域

本发明属于水电调度运行领域，涉及一种干流梯级水电站群高水头不规则多限制区自动规避方法。

背景技术

最近二十多年以来，我国在西南集中建成了以金沙江、澜沧江、雅砻江、乌江、大渡河、红水河等干流梯级水电站群为代表的巨型梯级水电站群，高水头、大容量、巨型机组、运距离、跨省跨区域输送是其不同于以往中小流域根本特征。由于高压瞬变流，这些干流梯级巨型水电站普遍存在多个不规则机组限制区。当水电站或机组响应单个甚至多个受端电网负荷需求及水电电力市场化后时段出力波动频繁时，由于水电站时段间和梯级上下游间紧密的水力联系，容易引起水电站自身后续时段和梯级上下游水电站群出力、水头和流量发生级联变化，从而给水电站和梯级水电站群运行带来巨大困难，严重影响水电站和电网安全经济运行，成为制约西南水电安全经济运行的技术瓶颈。水电机组限制区问题一直是国内外水电机组组合(Hydro Unit Commitment，HUC)的经典问题，以往大多数研究主要集中在规则限制区建模和求解。混合整数规划(MILP)因为相对成熟的数学理论和良好的全局搜索能力、灵活的建模方式及有大量成熟的开源和商业求解器可以调用，是水库发电调度最为常用的数学规划算法之一。因此，本发明利用MILP数学规划方法对水电机组限制区问题进行求解，并提出一个新的高效求解模型。

水电机组短期调峰问题具有非凸、非线性、水力和电力强耦合、后效性强及优化变量维度高等特点。为解决机组多不规则限制区快速规避和自动建模问题，本发明以水电系统运行中常见的调峰任务需求为目标，提出基于Hertel-Mehlhorn凸剖分算法的多个不规则限制区约束自动解析技术、并应用凸优化理论及析取规划理论方法构建复杂不规则限制区约束的MILP模型，然后应用商用求解器对问题求解，从而实现了复杂水电系统调度运行自动建模和问题求解。该模型在有效自动规避多个复杂限制区的情况下，充分发挥水电的调峰能力,最终实现问题的高效求解。

本发明依托国家自然科学基金重大计划重点基金91547201。

发明内容

去除不规则限制区后的安全运行区域本质上是一个可能存在离散，有洞等复杂情形的极度不规则平面区域，为解决上述问题，针对实现对该区域的MILP自动化建模，本发明提出一种基于凸剖分算法及凸优化理论和析取规划理论方法的不规则限制区自动化规避方法。本发明首先对机组限制区约束进行数学化定义，再对不规则限制区进行凸剖分，然后对剖分后的结果采用凸优化理论和析取规划理论进行建模。

本发明的技术方案：

一种干流梯级水电站群高水头不规则多限制区自动规避方法，具体步骤如下：

(1)机组限制区约束的数学化定义

首先，假设各机组限制区外边界均为简单多边形，即任何不相邻边不相交。该假设符合目前已知的水电机组限制区特征。并进行如下定义：

A^safe＝A\R

式中：A^safe表示安全运行区；R_m表示机组第m个子限制区，R表示机组的限制区组合；Poly()表示由括号内点集依次相连，首尾相接组成的有界多边形平面区域；(H_m,l,P_m,l)表示机组第m个限制区上的第l点；M表示机组含有的子限制区个数，L_m表示机组限制区m所包含的点数，m＝1,2…M；

为净水头和机组出力上下限形成的平面区域，其中H和

分别为机组净水头的下限和上限，P和

分别为机组出力下限和上限；\表示集合的减运算。

则，将机组限制区约束统一描述为去除不规则限制区的安全区约束，表示如下：

(hⁿ,p)∈A^safe

式中：hⁿ和p分别为机组运行时的净水头和出力。

通过上述数学表达，将机组限制区约束统一描述为去除不规则限制区的相应安全区约束，从而为对不规则限制区识别及自动化建模打下基础。

(2)安全运行区的凸剖分

对安全运行区进行凸剖分是指将不规则安全运行区剖分成(由于限制区为不规则形状，故机组运行区去除不规则限制区后所形成的安全区，也是不规则形状，因此这里称为不规则安全运行区)若干个互不重叠的凸多边形区域的过程，而且这些剖分后的凸多边形区域的并集与安全运行区相等。线性化建模过程实质上是对剖分结果的建模，剖分的结果会直接影响后续线性化建模质量，因此为便于MILP求解，需要将不规则限制区剖分成尽量少的凸多边形，这一问题在计算几何中被称为最优凸剖分(optimal convexdecomposition，OCD)问题。OCD是典型的NP-hard问题，本发明在此采用HM算法实现对安全运行区的凸剖分。使用HM算法对安全运行区进行凸剖分流程归纳如下：

(2.1)预处理

由于限制区的复杂性，安全区运行区可能是由多个多边形组成，每个多边形可能存在单个甚至多个洞，这些复杂的情形都不适用于HM凸剖分算法，因此需要对其进行预处理。

预处理主要包括分离和去洞两个操作：分离是指将包含有多个多边形的情形分离成若干个单多边形，之后的所有操作均是对单个多边形的操作；去洞是指将包含洞的、分离后的多边形转化为不含洞的简单多边形的过程，该过程首先需要查找所有洞的最右侧点，然后在距离该点最近的多边形点之间进行分割，分割后多边形洞的个数减少1；反复执行该过程，即可去除所有洞。

(2.2)三角化

三角化是指将步骤(2.1)中预处理后的简单多边形划分成若干互不重叠的三角形的过程。该过程采用耳切法(ear clipping，EC)进行处理。对于简单多边形“耳”指凸点与相邻点围成的三角形，且该三角形内部不可包含其他顶点。如1所示，图中多边形共包含4个耳，将三角形用其顶点构成的三元元组进行表示，则图中多边形的四个耳分别为(1，2，3)，(2，3，4)，(6，7，8)，(7，8，9)；可以证明，任何超过3个顶点以上的简单多边形必然包括两个以上的“耳”，因此可以通过不断切除多边形耳的方式实现对简单多边形的三角剖分。

(2.3)去除非重要对角线

非重要对角线指去除后相邻的三角形的并集为凸多边形的对角线，反之为重要对角线。非重要对角线具体去除方法：依据凸多边形的所存储的数据结构，识别非重要对角线所对应的存储位置，然后将其剔除。

(2.4)重复操作，直到所有对角线均为重要对角线

在去除非重要对角线后，其他对角线的重要性可能会随之改变，因此需要反复执行步骤(2.2)和步骤(2.3)，直到不存在非重要对角线为止，完成安全运行区的凸剖分。

(3)线性化建模

根据步骤(2)所得的凸剖分结果对复杂的机组限制区进行MILP建模。首先假设经过凸剖分后，A^safe被剖分为凸多边形集合

其中，

为不大于N的正整数集合，N为任意正整数；根据A^cx，机组限制区约束可进行如下转化：

式中：∨为逻辑“或”运算符号。

令x＝[hⁿ,p]^T，x表示由点(hⁿ,p)所构成的列向量，并对

各边依次编号为1,...,

其中

表示

的总边数；根据凸优化理论，凸多边形表示成以其各边为界限的半平面的交集，因此

可转化为下式：

式中：a_i,j为

边j的外法向量；b_i,j为等式成立的常数项。

则，机组限制区约束可进一步转化为：

上式中右侧部分为典型的析取式结构，可有效被析取规划方法处理。因此进一步引入析取规划建模方法对该析取式进行线性化建模。其中析取式是指由逻辑“或”(OR)运算符号∨连接的若干不等式或等式的关系结构。析取规划方法则是研究如何将析取式结构转化为合取式(由逻辑“与”连接的若干不等式或等式)的一种通用建模方法。析取规划中对析取式转化方法主要分为大M法和凸包法两种。其中大M引入变量相对较少，计算效率通常较高。因此本发明引入大M法对凸多边形集合

进行线性化建模。

采用大M法对凸多边形集合

进行线性化建模，如下：

式中：y_l表示

的指标变量，如果y_l＝1，模型的第一个公式中所有i≠l的约束将被大M常数松弛，仅保留i＝l的约束项，此时

为大M常数。

现代求解器对MILP问题求解通常采用分支定界或其变形方法，分支定界法在求解时需要首先对原问题的线性松弛或部分线性松弛问题进行求解，因此其线性松弛问题的可行域与原问题越接近，越有利于问题的求解。显然，在大M法中，过大的取值会导致其线性松弛问题可行域过大，而降低分支定界算法的求解效率。因此，在满足原问题结构的前提下，选择尽量小的大M常数有利于进一步提高算法的求解效率。

基于以上，本发明的大M常数取值方法如下：

至此，不规则限制区的线性化模型构建完毕。通过该模型以及常规约束模型的联合，即可求得目标函数。

本发明的有益效果：本发明的方法不需对限制区进行人工预处理，完全根据限制区的数学定义实现自动剖分，达到自动建模与高效求解的效果，从而充分发挥水电调峰能力。本发明解决了区域、省级电网大规模水电系统复杂不规则限制区自动建模难题，这对于将来响应电网差异化、自动化调度应用，响应市场化条件下的水电出力频繁变化的新情况，意义特别重大。

附图说明

图1是多边形的“耳”示意图。

图2是水库A及水库B安全运行区及其凸剖分结果示意图。

图3(a)～图3(d)是各方案调峰效果图。

图4是8月份方案本发明模型和常规模型计算结果对比图。

图5是10月份方案本发明模型和常规模型计算结果对比图。

图2中：

图3(a)～图3(d)中：

图4和5中：

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明作进一步的描述。

各步骤的具体操作方法按照下述思路(a)-(c)予以实现：

(a)基本模型设置

目标函数

平缓负荷峰谷差是短期调度的主要目的。采用一阶平均距最小为目标函数对该目标进行建模：

式中：F表示一阶平均距；r为电站自上游至下游编号，R为总电站数；t为时段编号，T为总时段数，本发明将一天划分为96个时段；D_t表示时段t系统面临负荷；D'_t表示时段t余荷；

表示余荷平均值；p_r,t表示电站r在时段t出力，如无特殊说明，以下出现的r均代表电站编号，t均代表时段编号。目标函数中包含绝对值符号难以直接利用MILP求解，引入非负辅助变量δ_t后,目标函数可等价转化为：

约束设置

(1)水量平衡方程

式中：v_r,t,I_r,t,

分别表示时段末库容、时段平均入库流量和时段平均出库流量；Δt表示单位时段的总秒数。特别的，令

表示龙头电站上游不不存在其他电站。

(2)边界约束

边界约束包括各主要变量的上下限约束和始末库容约束。

式中：q_r,u,t表示机组开机时段平均发电流量；

和

分别表示时段末库容、时段平均出库流量、开机时段平均发电流量、时段平均出力的下限和上限值。

表示调度期初和末库容是给定的。

以上为机组开机时各变量的边界约束，而机组实际出力和实际发电流量仅在开机时需要满足上述约束，关机时需要设置为0。首先定义0-1机组状态变量y_r,i,t，如果y_r,i,t＝1表示相应机组处于开机状态，否则y_r,i,t＝0。则上述情形可以描述为下列各式：

式中：q′_r,u,t为机组实际时段平均发电流量。机组处于开机状态时，机组实际发电流量(出力)等于机组开机发电流量(出力)，若处于关机状态，这两个约束将被松弛。机组处于关机状态时，机组实际发电流量和出力必须为0，若处于关机状态这两个约束将被松弛。

(3)机组开停机持续时段约束

定义二元机组开机操作变量g_r,u,t，若g_r,u,t＝1表示该机组在该时段进行开机操作，否则g_r,u,t＝0。定义机组关机实数操作变量d_r,u,t，若d_r,u,t＝1表示该机组在该时段进行关机操作，否则d_r,u,t＝0。则机组开停机约束可表示为：

g_r,u,t-d_r,u,t＝y_r,u,t-y_r,u,t-1

式中：TG_r,u,TD_r,u分别表示相应机组的最小开机和关机持续时段数。

(4)电站出库约束

式中：

为时段平均弃水流量。在常规经济调度下弃水一般是不被允许的，因此本发明将

设置为0。

(5)净水头相关约束

式中：

为时段平均库容；z_r,t、

和

分别为时段平均坝前水位、时段平均尾水位、水头损失及净水头。

和

分别为库容水位曲线、尾水位泄量曲线及水头损失曲线函数。

(6)机组动力函数约束

式中：φ_r,u表示机组动力性能函数。

(7)机组限制区约束

式中:

表示水库r机组u的安全运行区。

(b)安全运行区的凸剖分

机组限制区约束统一描述为去除不规则限制区的安全区约束后，采用HM算法实现对安全运行区的凸剖分。具体参见发明内容步骤(1)-步骤(3)。

(c)线性化建模

(1)常规约束构建方法

常规约束指水电机组组合问题中除了限制区约束以外的其他常见约束。这些约束无法直接利用求解器求解，需要进行线性化处理。而这些约束线性化已有大量成熟方法，本发明均采用分段线性化方法，在此不再赘述。

(2)机组限制区约束构建方法

根据凸剖分结果对复杂的机组限制区进行MILP建模，机组限制区约束可进行如下转化：

式中：∨为逻辑“或”运算符号。

令x＝[hⁿ,p]^T，并对

各边依次编号为1,...,

其中

表示

的总边数；根据凸优化理论，凸多边形表示成以其各边为界限的半平面的交集，因此

可转化为下式：

式中：a_i,j为

边j的外法向量；b_i,j为等式成立的常数项。

则，机组限制区约束可进一步转化为：

采用大M法对凸多边形集合

进行线性化建模，如下：

式中：y_l表示

的指标变量，如果y_l＝1，模型的第一个公式中所有i≠l的约束将被大M常数松弛，仅保留i＝l的约束项，此时

为大M常数。

通过常规约束模型和本发明的机组限制区约束线性化模型对目标函数进行求解，得到最小的一阶平均距。

(d)算法应用

(1)工程背景及参数选择

在水电参与调峰过程中，为响应调峰需求，机组水头和出力往往会产生较大波动，从而增加落入限制区的可能，对电站和电网安全产生威胁。本发明选用中国西南地区W流域干流梯级水库系统中包含复杂不规则限制区的高水头巨型水库A和水库B作为重点研究对象。W流域梯级水库系统总装机达8GW，最高水头达到200m，是我国的十三大水电基地之一。水库A和水库B是流域中总装机最大的两座高水头巨型水库。其中水库A位于上游，调节性能为季调节，共包含5台机组，总装机达1250MW。水库B位于梯级系统的下游，为多年调节水库，共包含5台机组，总装机达到3000MW。其中水库A所有机组，水库B中除4#机组外其他机组均含有大范围不规则限制区。水电机组短期调峰问题具有非凸、非线性、水力和电力强耦合、后效性强及优化变量维度高等特点。如何在发挥水电调峰能力的同时，充分考虑机组限制区，特别是不规则限制区约束是是本发明解决的重难点问题之一。

本发明算法及模型构建均采用Python3.6语言编写，程序运行的操作系统为Ubuntu16.4虚拟机，硬件配置为Intel(R)Xeon(R)CPU E7-4850 v3@2.20GHz 96逻辑cpu,32G RAM，并调用Gurobi8.1求解器分支定界算法进行求解，凸剖分涉及的计算几何相关基础算法采用Shaply和PolyPartition等开源库中的相关算法。设置算法的停止准则为运行时间达到1800s或gap值达到0.02。其中gap值指当前最优可行解和最优值下限的相对差值，gap值是描述当前解最优性的指标，gap值越小说明当前值与理论上的全局最优值越接近。

为体现本发明方法的通用性，选取某年7、8、10、11月份某典型日实际数据进行一日24点模拟计算，其中7、8月份方案作为汛期代表，10、11月份方案作为枯期代表。所有方案的最小开停机约束均为4小时。各方案其他主要参数见表1。

如果直接采用水库设计资料的最大净水头和最小净水头值作为水库发电性能曲线及限制区线性化时的参考值，容易降低线性化精度和计算效率。而水库在实际运行时，在一日之内的净水头波动有限，因此本发明净水头搜索区间采用动态设置的方式。具体方法如下：

式中：

和

分别为动态设置的净水头下限和上限值。Z^start和Z^end为水库在相应方案设置的初始和末水位值，ΔZ为水库坝上水位和尾水位的平均差值，该值可以通过统计历史资料或通过试算获得，本发明中水库A及水库B的ΔZ值分别为635m和436m。ΔH为净水头的搜索范围。由于水库A净水头变幅一般不超过4m，水库B净水头变幅一般不超过10m，为确保对净水头的动态设置不影响算法寻优过程，本发明将水库A及水库B的ΔH分别设置为20m和24m。

模型中对常规非线性约束进行线性化时，尾水位泄量约束、机组性能曲线约束各变量方向分段数设置3，水头损失曲线分段数为4。对于巨型水库，其一日内的水位变幅相对较小，因此本发明仅在始末水位上下1m的范围内进行离散，分段数设置为1。

(2)凸剖分结果分析

图2为水库A及水库B各机组的安全运行区及其凸剖分结果示意图。图中灰色区域为去除限制区后的安全运行区，黑色线围成的凸多边形即为凸剖分结果。值得注意的是，采用动态净水头区间设置方法后，其安全运行区会随着净水头搜索区间的改变而改变。搜索区间越小，相应安全运行区越小，因此方案计算过程中采用的安全运行区要小于图3(a)～图3(d)所示的安全区运行区。不失一般性，本实施例仅给出在设计最大净水头和最小净水头之间的安全区的剖分结果图。可以看出，安全运行区呈现出了高度不规则甚至有洞等特性。其中水库A中1#3#机组，水库B中1#3#及4#号机组存在不止一个不规则限制区，此时安全运行区的不规则性更加显著。水库B的1#3#及4#号机组在多限制区影响下，呈现出有洞的特性。水库A中4#机组在水头位于[112,129]时，存在一块规则限制区，但在更大的区域内，安全运行区仍然具有不规则性，以往研究往往显性或隐性假设机组运行不会超出该规则限制区的水头范围，这在大多数情况是成立的，但在某些时段机组仍有可能在超出规则限制区运行水头范围内运行，那么针对规则限制区的建模不再适用。水库B4#机组不包含限制区，因此其运行区为完整的一块矩形区域。从剖分结果看，在离散、有洞、多不规则限制区、部分规则限制区影响下，算法均可以有效将安全运行区凸剖分为若干互不重叠的的凸多边形，这体现出凸剖分算法的通用性。

(3)计算结果及调峰效果分析

各月份方案计算结果见表2。从表中可以看出，汛期方案整体耗水量和发电量多于枯期方案。从变量及约束数量看，四个方案中连续变量均为3599个。不同方案之间离散变量个数及约束个数不同，这是由于采用了动态净水头搜索区间后，安全运行区也会动态的随之改变，从而导致安全区剖分结果及线性化结果的不同。从结果gap值及计算时间看，四个典型方案均在给定时间内求出了近似最优解，其中汛期方案的gap值达到0.02，枯期方案中10月份11月份的gap值也达到0.04和0.05。在实际应用过程中，对求解时间敏感的场景下，可以通过降低最大求解时间的方式或提高gap值的方式，减少总计算时间。相应的，对结果最优性要求较高的场景，则可以通过增加最大求解时间及进一步降低gap的方式，以期得到更优的解。从图3(a)～图3(d)中直观看出，四个方案均达到较为显著的削峰效果。水库A和水库B的发电过程也较好响应了调峰需求。进一步的，各方案结果的具体调峰指标值如表6所示。表中

表示原负荷的平均爬坡,

表示剩余负荷的平均爬坡。这两个值能够体现负荷过程的整体光滑程度，其越小则认为越平滑，也越有利于火电运行。

表示平均爬坡的减少比例。从表3中可以看出，汛期两方案的峰谷差减少比例分别达到0.65和0.70，平均爬坡减少比例

也分别达到0.54和0.63。枯期两方案由于整体发电量较少，调峰效果相较汛期方案相对较差。枯期两方案峰谷差相对减少比例为0.24和0.36，平均爬坡减少比例也达到了0.11和0.35。由此可以看出，本发明的调峰模型可以有效削减峰谷差，使调峰结果更加平缓。

(4)限制区规避效果分析

分析本发明所提模型计算结果对限制区的规避效果，并与常规计算模型进行对比。其中常规计算模型指不考虑限制区约束的短期调峰模型。如图4和5所示，分别选择8月份和10月份方案作为汛枯期代进行分析。图中本发明模型限制区指本发明模型计算的运行过程中各时段机组平均净水头对应的出力限制区，常规模型限制区同理可得。从图4中可以看出，常规模型由于没有考虑限制区约束，在水库A的3#机组，水库B的2#和5#机组均出现落入限制区的情况，从而对电厂及电网的安全造成威胁。而本发明模型在各个时段均避开限制区。在汛期电网用电高峰时刻，各机组也已在以接近装机容量的状态进行发电，以满足电网的调峰需求。对于枯期10月份方案，从图5可以看出，常规模型在水库A2#、3#机组，水库B1#、2#、5#机组出现了长时段运行在限制区的情况。本发明模型计算结果均满足限制区约束，保证了电站和电网的安全稳定运行。综合对比图4和图5的出力限制区过程可以看出，在不同运行条件，甚至同一日内出力限制区都发生剧烈变化，传统规则限制区考虑方式不再适用，对其的简化也势必造成误差从而增加落入限制区的风险。

综上，本发明所提模型可以有效考虑水电机组复杂限制区约束，在保证电厂电网安全运行的前提下，充分发挥水电的调峰能力。

表1

表2

表3

Claims (1)

1.一种干流梯级水电站群高水头不规则多限制区自动规避方法，其特征在于，具体步骤如下：

(1)机组限制区约束的数学化定义

首先，假设各机组限制区外边界均为简单多边形，即任何不相邻边不相交；并进行如下定义：

A^safe＝A\R

式中：A^safe表示安全运行区；R_m表示机组第m个子限制区，R表示机组的限制区组合；Poly()表示由括号内点集依次相连，首尾相接组成的有界多边形平面区域；(H_m,l,P_m,l)表示机组第m个限制区上的第l点；M表示机组含有的子限制区个数，L_m表示机组限制区m所包含的点数，m＝1,2…M；

为净水头和机组出力上下限形成的平面区域，其中H和

分别为机组净水头的下限和上限，P和

分别为机组出力下限和上限；\表示集合的减运算；

则，将机组限制区约束统一描述为去除不规则限制区的安全区约束，表示如下：

(hⁿ,p)∈A^safe

式中：hⁿ和p分别为机组运行时的净水头和出力；

(2)安全运行区的凸剖分

采用HM算法实现对安全运行区的凸剖分，流程如下：

(2.1)预处理

预处理主要包括分离和去洞两个操作：分离是指将包含有多个多边形的情形分离成若干个单多边形，之后的所有操作均是对单个多边形的操作；去洞是指将包含洞的、分离后的多边形转化为不含洞的简单多边形的过程，首先需要查找所有洞的最右侧点，然后在距离该点最近的多边形点之间进行分割，分割后多边形洞的个数减少1；反复执行该过程，即可去除所有洞；

(2.2)三角化

将步骤(2.1)中预处理后的简单多边形划分成若干互不重叠的三角形，采用耳切法进行处理，通过不断切除多边形耳的方式实现对简单多边形的三角剖分；

(2.3)去除非重要对角线

依据凸多边形的所存储的数据结构，识别非重要对角线所对应的存储位置，然后将其剔除；

(2.4)重复操作步骤(2.2)和步骤(2.3)，直到所有对角线均为重要对角线；

(3)线性化建模

根据步骤(2)所得的凸剖分结果对复杂的机组限制区进行MILP建模；首先假设经过凸剖分后，A^safe被剖分为凸多边形集合

其中，

为不大于N的正整数集合，N为任意正整数；根据A^cx，机组限制区约束进行如下转化：

式中：∨为逻辑或的运算符号；

令x＝[hⁿ,p]^T，x表示由点(hⁿ,p)所构成的列向量，并对

各边依次编号为

其中

表示

的总边数；根据凸优化理论，凸多边形表示成以其各边为界限的半平面的交集，因此

转化为下式：

式中：a_i,j为

边j的外法向量；b_i,j为等式成立的常数项；

则，机组限制区约束进一步转化为：

采用大M法对凸多边形集合

进行线性化建模，如下：

式中：y_l表示

的指标变量，如果y_l＝1，模型的第一个公式中所有i≠l的约束将被大M常数松弛，仅保留i＝l的约束项，此时

为大M常数；

大M常数取值方法如下：

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