CN110618985B - 一种基于改进奇异谱的包含乘性噪声数据序列处理方法 - Google Patents
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Abstract
本发明涉及一种基于改进奇异谱的包含乘性噪声数据序列处理方法，该方法通过将乘性噪声污染的数据序列变换成异构加性噪声污染是数据序列，再引进合理的权重因子进行加权SSA分析，因此在SSA处理时不破坏信号的结构，从而能高质量、高可靠性地提取时间序列数据中的信号。与现有技术相比，本发明不需要采用对数变换以将乘性噪声转换为加性噪声，避免了破坏时间序列数据的信号结构，因此在处理被乘性噪声污染的时间序列数据方面，具有效果更好、可靠性更高等优点。
Description
技术领域
本发明涉及时间序列数据分析及处理领域，尤其是涉及一种基于改进奇异谱的包含乘性噪声数据序列处理方法。
背景技术
若观测数据序列x＝(x1，x2，...，xN)，可真实信号s＝(s1，s2，...，sN)和观测噪声e的乘积形式满足xi＝si(1+ei)，(i＝1，2，...，N)，xi为被乘性噪声污染的观测数据序列。乘性噪声普遍存在于无线电信号、遥感图像，卫星测距信号等时空序列观测数据中，相应的处理方法在通信、数字信号和图像处理等领域有很大的潜在应用价值。目前针对乘性噪声的方法有很多种，如小波分析、经验模态分解(EMD)、主成分分析、奇异谱分析(SSA，SingularSpectrum Analysis)以及其他的一些方法。
与其他方法相比，SSA方法是从Karhumen-Loeve理论上发展起来的，是从数据序列相空间动力结构出发，以经验正交的方式展开数据序列子空间；不需要以谐波假定为前提，不需要先验信息，能够准确识别数据序列中的周期信号，并将序列分为趋势项、周期项和噪声项三部分。因此与傅里叶变换、小波分析以及经验模态分解等方法相比，SSA方法在信号分析和提取方面有明显的优越性，被广泛应用于对被噪声污染数据序列的滤波处理和信号分析。
然而，SSA方法隐含观测数据序列是被加性噪声污染的。由于大量观测数据序列是被乘性噪声所污染的，先前的处理方法是采用对数变换生成新的数据序列，并将乘性噪声转换为加法噪声，然后用SSA处理新生成的数据序列，提取信号后进行逆变换获得原始信号。但是对数变换会破坏信号结构，导致信号估计偏差，使计算更为复杂。多数研究是简单地将乘性噪声直接作为加性噪声进行SSA处理，例如分析河口悬浮泥沙浓度变化的主要影响因子，包括日潮汐和半日潮汐、喷潮周期、风切变、淡水径流和纵向密度变化和识别悬浮泥沙浓度变化的主要尺度特征；以及顾及数据序列存在缺值的SSA方法及其更新方法都是将悬浮泥沙浓度变化观测数据序列简单地按加性噪声进行处理；由于其观测误差与泥沙浓度成比例，不考虑其乘性误差特性必定会影响信号的提取质量。因此，需要一种包含乘性噪声数据序列的处理方法，使提取的信号质量更高、可靠性更好。
发明内容
本发明的目的就是为了克服上述现有技术存在的缺陷而提供一种基于改进奇异谱的包含乘性噪声数据序列处理方法。
本发明的目的可以通过以下技术方案来实现：
一种基于改进奇异谱的包含乘性噪声数据序列处理方法，包括如下步骤：
S1、获取含有乘性噪声数据序列，对该序列进行数据中心化处理，得到xi＝si(1+ei)，(1≤i≤N)，其中N为数据序列的长度(包含缺值历元)。
S2、对中心化处理后的序列判断其是否存在缺值，若否，则该序列为完整数据序列，利用传统奇异谱分析方法获取估计信号。若是，则该序列为缺失数据序列，需要利用缺值奇异谱分析方法获取估计信号。
采用传统奇异谱分析方法获取估计信号的过程为：
选定滞后窗口L，生成轨迹矩阵，构建滞后协方差阵；随后对协方差阵进行特征值分解，并按照特征值大小降序排列；采用W-correlations方法确定重构信号的分量个数；利用确定的主成分分量重构信号，以获取估计信号
其余剩下的则归为噪声。
利用缺值奇异谱分析方法获取估计信号的过程为：
选定滞后窗口L，利用窗口L内的有效历元构建相应的滞后协方差阵；随后对滞后协方差阵进行特征值分解，得到相应特征值和特征向量，并按照特征值大小进行降序排列；依据缺值SSA方法构建主成分解算方程，存在缺值时方程存在秩亏问题，采用最小范数约束进行求解主成分；最后基于W-correlations方法确定主成分的个数，利用确定的主成分分量进行信号重构，以获取估计信号
其余剩下的则归为噪声。
S3、乘性噪声可以视为xi＝si+siei＝si+εi，在步骤S2获取的估计信号
的基础上，获取噪声项的估计值
判断
是否成立，若成立则认为该历元是噪声主导，则令
其他则令
S4、在S3步骤基础上估计计算先验误差
其中Nv为观测历元数，Q为观测数据集，根据误差传播定律计算得到对于非噪声主导的历元，
对应的误差
此外对于噪声主导的历元则令
S5、在能量保持守恒且不破坏信号结构的基础上，设计构建尺度因子
将乘性噪声转化为加性噪声，生成新的数据序列
S6、完成步骤S5生成新的数据序列后，对新序列再次进行传统加权SSA方法，即重复步骤S2～S5，提取得到新的信号。
S7、计算相邻两次提取信号的差值序列
判断是否满足收敛条件，即所有历元差值绝对值
其中μ为收敛限差，可依据需求人为设定；若判断结果为“是”，则终止处理步骤，输出最后一次估计信号作为提取结果，并进行精度评价。若判断结果为“否”，则继续进行循环迭代直到信号结果收敛为止。
步骤S2中，对于完整数据序列，采用传统奇异谱分析方法，具体步骤如下：
对于长度为N的平稳数据序列xi(1≤i≤N)，选择滞后窗口构建L×K(K＝N-L+1)轨迹矩阵，相应滞后协方差阵C表示为：
其中每个元素计算公式如下：
对协方差阵进行特征值分解得到：
C＝VΛVT (3)
式中，Λ是特征值λk构成的对角阵，λk是C的特征值并按降序排列，vk是正交矩阵V的行向量。主成分矩阵A按下式计算：
A＝VX (4)
A的第k行(ak)即为第k个主成分。其中每个数值ak，i的表达式为：
其中，vk，j是vk的第j个元素。数据序列第k个重构分量可以表示为：
由于(3)式中的特征值是按降序排列的，因此时间序列可由前几个主成分分量重构，具体重构信号的分量个数q可由W-correlations法确定，其余则视为噪声，即信号
可以由前q个主成分得到：
对于缺值数据序列，利用缺值奇异谱分析方法，具体步骤如下：
对于缺值数据序列xi(1≤i≤N)，N为包含缺值历元的序列长度，其数据集为Q，有效历元数为Nv。本发明针对性提出了缺值SSA方法，选择滞后窗口轨迹L，则滞后协方差阵元素计算公式为：
其中，xi和xi+j均为有效观测值而非缺失值，Nj表示在样本区间i≤N-j内xi和xi+j均为有效观测的历元数。式(5)可重新表示为：
其中，Qi和
分别表示窗口[i，i+L-1]内有效数据集和缺失数据集。随后利用根据主成分重构的序列代替式(9)的缺值部分，得到：
式(10)是缺值历元的奇异谱分析依据历元对缺失历元进行重构插补的近似表达式，其中am，i和vj，m为相应主成分和特征向量的元素。
将式(10)代入式(9)，构建解算主成分的方程。由于方程是秩亏的，因此引入最小范数准则求解主成分。主成分计算出来后，后续过程则采用与完整序列SSA算法同样的过程以提取信号。对于过程中滞后窗口L和重构分量个数选取问题，为了提高序列中不同尺度信号的可区分性，窗口通常优选信号周期的整数倍，重构阶数可依据W-correlations法进行确定。
具体地，迭代过程中涉及的步骤S3～S5主要包括：
为了将乘法噪声转换为不使用同态对数变换的加性噪声，将含有乘性噪声的数据序列模型可写为：
xi＝si+siei＝si+εi (11)
其中，εi为siei，视为加性噪声。一旦确定了含噪数据序列中的信号，εi的估值可表示为：
进而可得：
对于噪声主导的历元
乘性噪声简单的利用
从而进一步估计出乘性噪声的先验误差
为：
根据误差传播定律，推导出非噪声主导的历元εi对应的误差序列为：
对于噪声主导的历元令
鉴于(11)式中的εi属于不等精度的加性噪声，处理时需要引入权重因子
其中s0为待定的尺度因子。为了在引入权重因子pi后，数据序列的总能量保持不变，该数据序列有效历元权重因子之和必须等于其有效历元数Nv，即：
由上式可导出待定的尺度因子
则对εi引入权重因子后，数据序列(11)式可表示为：
通常情况下，由于信号si和噪声ei都是不确定的，因此需进行迭代计算，信号和噪声的迭代初值可利用传统SSA算法进行估计，更新信号si和噪声ei，依据式(16)生成新的数据序列，进行迭代直到提取信号序列收敛为止。
与现有技术相比，本发明的有益效果为：
传统SSA方法只适用于处理加性噪声的数据序列，通过对数变换将乘性噪声转换为加性噪声会破坏信号的结构，从而影响奇异谱分析方法识别结构信号的优势；本发明方法通过将乘性噪声变换为异构加性噪声，再引进合理的权重因子采用SSA处理，因此在分析处理时不破坏信号的结构，从而能更有效、更可靠地获取时间序列数据所包含的信号，相比于比现有的奇异谱分析方法对包含乘性噪声数据序列的处理效果，本发明在处理被乘性噪声污染的时间序列数据方面效果更好、可靠性更高，有潜在的应用价值。
附图说明
图1为本发明方法的流程示意图；
图2为真实信号与含噪数据序列对比图，其中，位于上方的图为真实信号图，位于下方的为含噪数据序列图；
图3为本发明实施例中完整序列200次实验的RMSEs和MAREs结果图；
图4为本发明实施例中缺值序列真实信号与含噪数据序列的对比图，其中，位于上方的图为真实信号图，位于下方的为含噪数据序列图；
图5为本发明实施例中缺值序列200次实验的RMSEs和MAREs结果图。
具体实施方式
下面结合附图和具体实施例对本发明进行详细说明。显然，所描述的实施例是本发明的一部分实施例，而不是全部实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动的前提下所获得的所有其他实施例，都应属于本发明保护的范围。
实施例
如图1所示，本发明涉及一种基于改进奇异谱的包含乘性噪声数据序列处理方法，该方法的步骤如下所示：
步骤一、获取含有乘性噪声数据序列，对该序列进行数据中心化处理，得到序列xi＝si(1+ei)，(1≤i≤N)，其中N为数据序列长度(包含缺失历元)。令Nv为序列有效历元的总个数。
步骤二、对中心化处理后的序列xi判断其是否存在缺值，若否，则该序列为完整数据序列，利用传统奇异谱分析方法获取估计信号
若是，则该序列为缺失数据序列，需要利用缺值奇异谱分析方法获取估计信号
步骤三、乘性噪声可以视为xi＝si+siei＝si+εi，在步骤二获取的估计信号的基础上，获取噪声项
判断
是否成立，若成立则认为该历元是噪声主导，则令
其他则令
步骤四、在步骤三基础上估计计算先验误差
根据误差传播定律计算得到
对应的误差
此外对于噪声主导的历元则令
步骤五、在能量保持守恒且不破坏信号结构的基础上，设计构建尺度因子
将乘性噪声转化为加性噪声，生成新的数据序列
步骤六、完成步骤五生成新的数据序列后，对新序列再次进行传统加权SSA方法，即重复步骤二～五，提取得到新的信号。
步骤七、计算相邻两次提取信号的差值序列
判断是否满足收敛条件，即所有历元差值绝对值
其中μ为收敛限差；若判断结果为“是”，则终止处理步骤，输出最后一次估计信号，若判断结果为“否”，则继续进行循环迭代直到信号结果收敛为止。
本实施例以应用于悬浮泥沙浓度数据的算例作为实施算例，为了更好的比较本发明从含乘性噪声数据序列提取信号的效果，实施例中将与传统SSA和对数变换SSA两种方法进行对比。数据序列时间长度为一年，采样间隔为15分钟，具体表示为：
c(t)＝0.2R(t)cs(t)+cs(t) (18)
其中，R(t)是服从正态分布的高斯白噪声，cs(t)为周期信号，其表达式为：
其中，ωs＝2π/365day-1为季节性角频率，ωa＝2π/(12.5/24)day-1为平流角频率以及小潮角频率为ωsn＝2π/14day-1。真实信号与含噪数据序列如图2所示。
首先进行步骤一，对数据序列进行检验判断是否存在缺值并进行中心化处理，首先实施完整含有乘性噪声的数据序列算例。
步骤二，对完整序列，利用SSA方法对含噪数据序列进行信号提取，通过实验对比其中窗口长度L＝120；前四个主成分能量占比为72.34％，其中第一个主成分占比约为50％，因此重构分量个数取4。对含噪数据序列进行估计信号
作为迭代实验的信号和噪声初值。
步骤三：在步骤二估计信号
的基础上，获取噪声项
判断
是否成立，若成立则认为该历元是噪声主导，则令
其他则令
步骤四：在步骤三基础上估计计算
根据误差传播定律计算得到
对应的误差
此外对于噪声主导的历元则令
步骤五：在能量保持守恒且不破坏信号结构的基础上，设计构建尺度因子
将乘性噪声转化为加性噪声，生成新的数据序列
步骤六：在完成步骤五生成新的数据序列后，需要对新序列再次进行传统奇异谱分析即重复步骤二～五，提取得到新的信号。
步骤七：计算相邻两次提取信号的差值序列
判断是否满足收敛条件即所有历元差值绝对值
若判断结果为“是”，则实验终止，输出最后一次估计信号，作为提取结果，并进行精度评价。若判断结果为“否”，则继续进行循环迭代直到信号结果收敛为止。
为验证本发明改进的SSA方法、传统SSA和对数变换SSA两种方法三种方法的提取信号的效果，进行重复实验200次，采用均方根误差(RMSE)和平均绝对拟合误差(MARE)进行评价，即：
其中，
为重构信号，cs(t)为真实信号，Nv是数据有效历元。图3给出了200次重复实验的统计结果，可以看出改进SSA方法的所有RMSEs和MAREs均小于传统SSA和对数变换SSA，平均RMSE和MARE分别为3.10mg/L，2.40mg/L。
为进一步验证当数据存在缺失时三种算法的有效性，进行与实测SSC数据序列缺失61％的仿真实验，具体缺值SSC数据序列如图4所示。参数设置：窗口长度L＝120，重构阶数取为4，仍然重复实验200次，结果如图5所示。图5可以看出，当存在缺失数据时，本发明方法结果依然明显优于其他两种方法。表1给出了200次重复实验的平均RMSE和MARE，本发明的所有RMSE和MARE均比其他两种方法小。当缺失数据的百分比与实际SSC序列相同达到61％时，传统SSA的平均RMSE和MARE分别为3.68mg/L和2.70mg/L，同态变换SSA的4.00mg/L、3.00mg/L以及本发明的3.52mg/L和2.58mg/L。与传统SSA和同态变换SSA相比，本发明的RMSE和MARE相对分别提高了4.35％和4.44％、12.00％和14.00％。因此改进的SSA方法与传统的SSA方法和对数变换SSA方法相比可提取更多的信号，无论数据是否缺失都是最好的。
表1. 200次实验平均RMSE和MARE(mg/L)
以上所述，仅为本发明的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的工作人员在本发明揭露的技术范围内，可轻易想到各种等效的修改或替换，这些修改或替换都应涵盖在本发明的保护范围之内。因此，本发明的保护范围应以权利要求的保护范围为准。
Claims (9)
1.一种基于改进奇异谱的包含乘性噪声数据序列处理方法，其特征在于，该方法包括如下步骤：
1)获取含有乘性噪声数据序列，对该序列进行数据中心化处理；
2)对中心化处理后的序列判断其是否存在缺值，若否，则该序列为完整数据序列，利用传统奇异谱分析方法获取估计信号；若是，则该序列为缺失数据序列，利用缺值奇异谱分析方法获取估计信号；
3)基于步骤2)获取的估计信号，获取噪声的估计值，对噪声的估计值与步骤2)获取的估计信号进行主导判别，获取乘性噪声估计值；
4)根据步骤3)获取的乘性噪声估计值获取乘性噪声的先验误差，根据误差传播定律计算得到噪声的先验误差；
5)构建尺度因子，将乘性噪声转化为加性噪声，生成新的数据序列；
对于噪声主导的历元，引入权重因子对含乘性噪声数据序列进行处理，处理的表达式为：
式中，si为信号，ei为噪声，pi为权重因子，s0为尺度因子，以有效历元的权重因子pi之和等于有效历元数Nv为准则确定尺度因子s0，即：
尺度因子s0的表达式为：
6)对新生成的序列再次重复步骤2)～5)，提取新的信号；
7)计算相邻两次提取信号的差值序列，判断是否满足收敛条件，若是，则处理终止，输出最后一次估计信号作为提取结果，若否，则继续进行循环迭代直到信号结果收敛为止。
2.根据权利要求1所述的一种基于改进奇异谱的包含乘性噪声数据序列处理方法，其特征在于，步骤2)中，利用传统奇异谱分析方法获取估计信号的内容为：
211)选定滞后窗口L，生成轨迹矩阵，构建滞后协方差阵；
212)对协方差阵进行特征值分解，并按照特征值大小降序排列；
213)确定主成分的个数；
214)利用各主成分进行信号重构，得到信号
其余分量则归为噪声。
3.根据权利要求1所述的一种基于改进奇异谱的包含乘性噪声数据序列处理方法，其特征在于，利用缺值奇异谱分析方法获取估计信号的内容为：
221)选定滞后窗口L，利用窗口L内的有效历元构建相应的滞后协方差阵；
222)对滞后协方差阵进行特征值分解，得到相应特征值和特征向量，并按照特征值大小进行降序排列；
223)依据缺值SSA方法构建主成分解算方程，采用最小范数约束求解主成分；
224)确定主成分个数，并利用各主成分进行信号重构，获得信号估值
其余分量则归为噪声。
4.根据权利要求3所述的一种基于改进奇异谱的包含乘性噪声数据序列处理方法，其特征在于，利用缺值奇异谱分析方法处理缺值数据序列的具体步骤为：
对于长度为N的缺值数据序列，其观测数据集为Q，观测历元数为Nv，选择滞后窗口轨迹L，计算滞后协方差阵元素为：
式中：xi和xi+j均为有效观测值而非缺失值，Nj为xi与xi+j的公共历元个数；
对协方差阵进行特征值分解得到：
C＝VΛVT
式中：Λ为特征值λk构成的对角阵，λk为滞后协方差矩阵C的特征值并按降序排列，vk为正交矩阵V的行向量，则主成分矩阵A按下式计算：
A＝VX
A的第k行(ak)即为第k个主成分，其中每个数值ak，i的表达式为：
其中，Qi和
分别为窗口[i，i+L-1]内有效数据集和缺失数据集；
随后利用根据主成分重构的序列代替上式的缺值部分，得到：
式中，am，i和vj，m分别为相应主成分和特征向量的元素，将上式代入每个数值ak，i的表达式，构建解算主成分的方程，引入最小范数准则求解主成分。
5.根据权利要求2或4所述的一种基于改进奇异谱的包含乘性噪声数据序列处理方法，其特征在于，步骤3)的具体内容为：
将含乘性噪声数据序列表示为xi＝si+siei＝si+εi，si为信号，ei为噪声，在步骤2)获取的估计信号
的基础上，获取噪声项的估计值
判断
是否成立，若成立则认为该历元是噪声主导，则令乘性噪声估计值
否则，令
6.根据权利要求5所述的一种基于改进奇异谱的包含乘性噪声数据序列处理方法，其特征在于，步骤4)中，乘性噪声的先验误差的计算公式为：
式中，Q为观测数据集；
对于非噪声主导的历元，噪声的先验误差的计算公式为：
对于噪声主导的历元，噪声的先验误差的计算公式为：
7.根据权利要求2或3所述的一种基于改进奇异谱的包含乘性噪声数据序列处理方法，其特征在于，窗口选取信号周期的整数倍。
8.根据权利要求2或3所述的一种基于改进奇异谱的包含乘性噪声数据序列处理方法，其特征在于，采用W-correlations方法确定主成分的个数。
9.根据权利要求1所述的一种基于改进奇异谱的包含乘性噪声数据序列处理方法，其特征在于，步骤7)中，收敛条件的表达式为：
式中，
为相邻两次提取信号的差值序列，μ为收敛限差。
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Patent Citations (3)
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| Title |
|---|
| Improved singular spectrum analysis for time series;shen yunzhong等;《Nonlinear Processes in Geophys》;20150710;全文 * |
| SINGULAR SPECTRUM ANALYSIS FOR HETEROGENEOUS TIME SERIES BY TAKING;Fengwei WANG等;《Acta Geodyn. Geomater》;20181212;第15卷(第4期);全文 * |
Also Published As
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