CN110579964B - 一种鲁棒自适应重复控制器设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种鲁棒自适应重复控制器设计方法，包括：步骤1)针对系统，给定理想轨迹；步骤2)定义滤波误差，对滤波误差求导；步骤3)提出控制器设计方法。本发明的有益效果是：提出在重复控制的参数估计律中加入开关σ修正的方法，参数估计采用开环的方式，控制器加了两项补偿项，从达到了控制目标，即控制系统所有变量有界，以及当扰动消失时，保证了跟踪误差的完全收敛；无需精确已知周期时变参数的界，同时在扰动消失时，能保证误差关于原点的渐近稳定性。直接把开关σ修正用于重复估计律，会产生非因果性矛盾，导致控制器在实际中无法实现，本发明解决了这一难题。并在一类机械臂系统中进行了算法证明和仿真验证，效果显著。

Description

一种鲁棒自适应重复控制器设计方法

技术领域

本发明涉及重复控制领域，尤其是涉及一种鲁棒自适应重复控制器设计方法。

背景技术

在没有非周期干扰的情况下，目前已有的重复控制算法能保证系统各变量的有界性以及输出误差的收敛性。当系统存在非周期扰动时，比如未建模动态等，目前已有的重复控制算法普遍采用饱和修正的方法，保证参数估计的有界性，从而保障系统状态对目标轨迹的跟踪；然而这种方法，需要已知周期时变参数的界。另外一种方法是在参数估计律中加入阻尼系数以保证参数估计有界，从而动态误差有界收敛；但使用这种方法时，当非周期扰动消失时，无法保证误差关于原点的渐近稳定。此外，还有采用自适应鲁棒重复控制的方法，控制律里采用符号函数或S类函数消除扰动的影响；只是这种方法并非对参数估计的直接修正，参数估计的有界性仍需类似饱和修正的方法进行保证。

因此，提出一种鲁棒自适应重复控制器设计方法，就显得尤为重要。

发明内容

本发明的目的是克服现有技术中的不足，提供一种鲁棒自适应重复控制器设计方法。

这种鲁棒自适应重复控制器设计方法，具体包括以下步骤：

步骤1.针对系统：

给定理想轨迹y_d(t)，将理想状态定义为

其中

为y_d(t)的第1至n-1阶导数；

上式(1)中，t为时间，i和n表示自然数，Rⁿ为n维的实数域；X＝[x₁，x₂，…，x_n]∈Rⁿ为控制系统的状态变量，x_i为第i个系统状态，

为第i个系统状态的一阶导数，

为第n个系统状态的一阶导数；u(t)为系统的控制输入信号，y为系统的输出信号，θ(t)为未知时变参数，θ(t)∈R^l且θ(t)＝θ(t-T)，其中R^l为l维的实数域，T为时间周期，T＞0；ξ(x，t)为已知向量函数；η(x，t)为控制系统的未建模动态，满足

其中

为大于0的常数；

步骤2.定义滤波误差为：e_f＝[a^T 1]e；对滤波误差e_f求导，可得：

上述滤波误差的定义公式中：令e＝[e₁，e2，…，e_n]＝x-x_d，其中e为两个n维向量x＝[x₁，x₂，…，x_n]∈Rⁿ与

的差；其中a＝[a₁，a₂，…，a_n-1]^T，a为常数向量，且常数向量a的特征多项式s^n-1+a_n-1s^n-2+……+a₁为赫尔维茨稳定；文中关于t的函数，在写法上省略t；上式(2)中，u为系统的控制输入信号；

ξ(x，t)为已知向量函数；η(x，t)为控制系统的未建模动态；θ为未知时变参数；

步骤3.现提出如下控制器设计方法：

上式中，u为系统的控制输入信号，

为参数估计，e_f为滤波误差，k₂、Γ₃均为常数，k₂＞0，Γ₃＞0；ξ为已知向量函数，其中

n为大于0的自然数，M₀为大于0的常数；

的估计律由公式(4)得到：

上式中，

为参数估计，Γ₃为常数，ξ为已知向量函数，e_f为滤波误差，

n为大于0的自然数，M₀为大于0的常数。

作为优选，针对公式(1)所述的系统，采用公式(3)和公式(4)，若选取合适的控制器参数，满足

σ||Γ3||＜1，则使系统内各变量有界；当扰动消失时，则使控制系统的输出误差

控制系统的输出误差趋于稳定。

作为优选，步骤3所述控制器中，σ_s是时变的；所述的控制器设计方法采用参数估计开环的方式，在控制器公式(3)中加入两项补偿项。

本发明的有益效果是：

本发明提出在重复控制的参数估计律中加入开关σ修正的方法，参数估计采用开环的方式，控制器加了两项补偿项，从达到了控制目标，即控制系统所有变量有界，以及当扰动消失时，保证了跟踪误差的完全收敛。无需精确已知周期时变参数的界，同时在扰动消失时，能保证误差关于原点的渐近稳定性。直接把开关σ修正用于重复估计律，会产生非因果性矛盾，导致控制器在实际中无法实现，本发明解决了这一难题。并在一类机械臂系统中进行了算法证明和仿真验证，效果显著。

附图说明

图1为不加扰动时的系统轨迹图；

图2为加入扰动时的系统轨迹图；

图3为采用本发明的修正方法后的系统轨迹图；

图4为系统的两个臂的运动轨迹x₁(t)和x₂(t)对理想轨迹的跟踪效果图；

图5为机械臂系统的收敛误差精度图；

图6为系统控制变量曲线图；

图7为系统参数估计曲线图；

图8为系统误差的收敛精度图；

图9为不采用修正作用下的参数估计图。

具体实施方式

下面结合实施例对本发明做进一步描述。下述实施例的说明只是用于帮助理解本发明。应当指出，对于本技术领域的普通人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以对本发明进行若干修饰，这些改进和修饰也落入本发明权利要求的保护范围内。

在重复控制领域，已有的控制器设计方法如下：

上式中：u为系统的控制输入信号，k₀为常数，k₀＞0，

为参数估计，e_f为滤波误差，ξ(x，t)为已知向量函数，v满足以下公式：

上式中，

为理想轨迹y_d(t)的第n阶导数，其中a＝[a₁，a₂，…，a_n-1]^T，a为常数向量，且常数向量a的特征多项式s^n-1+a_n-1s^n-2+…+a₁为赫尔维茨稳定；其中e为：两个n维向量：控制系统的状态变量x＝[x₁，x₂，…，x_n]∈Rⁿ与理想状态

的差；

其中估计律为：

上式中，t为时间，T为时间周期，T＞0；

为参数估计，Γ₀为常数，Γ₀＞0，ξ(x，t)为已知向量函数，e_f为滤波误差。

现有的控制器设计方法，在不考虑未建模动态时，比如η(x，t)＝0，是适用的；但未建模动态的存在，导致估计律公式中参数估计发散

最终导致输出误差发散。

现有的另外一种方法，是对估计律公式采用饱和修正，但这种方法，需要精确已知θ(t)的界，另外就是采用阻尼系数的方式，但当扰动消失时，无法做到误差对于原点的渐近稳定。本发明针对一类周期时变非线性系统，当系统存在未建模动态时，设计的控制器仍能保证系统各变量的稳定性和跟踪误差的有界性、收敛性；当扰动消失时，能保证跟踪误差关于原点渐近稳定。

这种鲁棒自适应重复控制器设计方法，具体包括如下步骤：

步骤1.针对系统：

给定理想轨迹y_d(t)，将理想状态定义为

其中

为y_d(t)的第1至n-1阶导数；

上式(1)中，t为时间，i和n表示自然数，Rⁿ为n维的实数域；X＝[x₁，x₂，…，x_n]∈Rⁿ为控制系统的状态变量，x_i为第i个系统状态，

为第i个系统状态的一阶导数，

为第n个系统状态的一阶导数；u(t)为系统的控制输入信号，y为系统的输出信号，θ(t)为未知时变参数，θ(t)∈R^l且θ(t)＝θ(t-T)，其中R^l为l维的实数域，T为时间周期，T＞0；ξ(x，t)为已知向量函数；η(x，t)为控制系统的未建模动态，满足

其中

为大于0的常数；

步骤2.定义滤波误差为：e_f＝[a^T 1]e；对滤波误差e_f求导，可得：

上述滤波误差的定义公式中：令e＝[e₁，e₂，…，e_n]＝x-x_d，其中e为两个n维向量x＝[x₁，x₂，…，x_n]∈Rⁿ与

的差；其中a＝[a₁，a₂，…，a_n-1]^T，a为常数向量，且常数向量a的特征多项式s^n-1+a_n-1s^n-2+……+a₁为赫尔维茨稳定；文中关于t的函数，在写法上省略t；上式(2)中，u为系统的控制输入信号；

ξ(x，t)为已知向量函数；η(x，t)为控制系统的未建模动态；θ为未知时变参数；

步骤3.提出如下控制器设计方法：

上式中，u为系统的控制输入信号，

为参数估计，e_f为滤波误差，k₂、Γ₃均为常数，k₂＞0，Γ₃＞0；ξ为已知向量函数，其中

n为大于0的自然数，M₀为大于0的常数；

的估计律由公式(4)得到：

上式中，

为参数估计，Γ₃为常数，ξ为已知向量函数，e_f为滤波误差，

n为大于0的自然数，M₀为大于0的常数。

作为优选，针对公式(1)所述的系统，采用公式(3)和公式(4)，若选取合适的控制器参数，满足

σ||Γ3||＜1，则使系统内各变量有界；当扰动消失时，则使控制系统的输出误差

控制系统的输出误差趋于稳定。

作为优选，步骤3所述控制器中，σ_s是时变的；所述的控制器设计方法采用参数估计开环的方式，在控制器公式(3)中加入两项补偿项。

本发明可以用于任何具有周期扰动和非周期扰动的时变系统，只要该系统满足公式(1)的形式。

实施例1：

针对简单的数值算例，本发明的优势如下：

如果采用如下算例：

采用已有的控制器设计方法：如果η＝0，即不存在扰动时，可以得到图1的控制效果；图1中的x(t)为状态变量，取理想轨迹x_d(t)为0轴。系统状态经过50秒后，控制效果为：系统状态的轨迹逐渐收敛于理想轨迹，此后，基本保持在零轴上；、。

但是，当系统存在未建模动态时，比如选取η＝cos(100t)+sin(100t)时，系统状态在经过300秒后，如图2所示，系统轨迹便偏移了理想轨迹。此时若采用本发明的控制器，则可以保证系统的收敛性和鲁棒性，效果如图3所示：状态收敛于0后，一直稳定在0轴，不再偏移。

上述算例为数值算例，没有具体的物理意义。因此再来看本发明的控制器用于机械臂的效果。

实施例2：

针对如下机械臂系统：

其中是x∈Rⁿ为机械臂系统的状态变量，

表示状态变量的二阶导数，τ∈Rⁿ是输入力矩，τ_d∈Rⁿ为未知的有界扰动，D(x)∈R^n×n为惯性矩阵，

为向心力矩阵，G(x)∈Rⁿ为重力向量

对于机械臂系统，即公式(6)，给定周期跟踪轨迹x_d(t)，满足x_d(t)＝x_d(t-T)，T＞0为时间周期。采用控制器，即公式(3)和公式(4)的设计方法，实现系统状态对周期轨迹的有界跟踪，当扰动消失时，实现系统状态完全趋于理想轨迹。

设计如下控制器：

其中I为单位矩阵，Γ_θ＞0为常数对角阵，Γ_f＝k_fI，Γ_e＝k_eI，其中k_f，k_e＞0，k_n＞0，

以上参数均为控制器设计参数，在实践中可以人为调整，以达到实际所要求的控制效果，定义e＝x-x_d为误差向量。

对于公式(6)所述的机械臂系统，采用公式(7)和公式(8)所述的控制器，只要选择合适的参数满足0＜σ||Γ_θ||＜1，就能保证系统各变量有界。当扰动消失时，保证滤波误差关于原点的渐近稳定，即

仿真效果说明

对于该控制器用于机械臂系统做了仿真，机械臂模型如下：

其中，

C₁₂＝m₂r₁r₂ sin x₂

G₁＝(m₁+m₂)r₁ cos x₂+m₂r₂cos x₁+x₂

G₂＝m₂r₂cos x₁+x₂

τ_d1＝0.3sin t

τ_d2＝0.1(1-e^-t)

上式中，两个机械臂的质量分别为m₁＝0.5kg，m₂＝0.5kg，两个机械臂的长度分别为r₁＝1m，r₂＝0.8m，x₁和x₂分别为两个机械臂的运动轨迹，给定两个机械臂的理想参考轨迹分别为x_1d＝0.5(1-cosπt)和x_2d＝0.5(cosπt-1)。

针对该机械臂模型，采用本发明的控制器设计方法，即公式(7)和公式(8)，取控制器参数为σ＝0.01，Γ_f＝diag[1]，Γ_e＝diag[3]，k_n＝2，

时，仿真效果如附图4-图9所示；图4为两个机械臂的运动轨迹x₁和x₂对理想轨迹的跟踪效果，经过很短的时间后，系统状态和理想轨迹基本是重合的；图5为两个机械臂的运动轨迹x₁和x₂对理想轨迹的具体跟踪精度，该跟踪精度达到了0.001；图6为系统控制的曲线图；图7为参数估计的曲线图；图8为改变控制器参数后的控制效果，图8中的跟踪精度为0.01。

为了说明本发明的控制器设计方法和已有的控制器设计方法的区别，我们采用控制器公式(10)和公式(11)的形式，也就是令σ＝0，即不采用修正，得到图9的效果，从中看出参数估计经过一定的时间后，产生了颤振，严重的情况会导致输出发散，这就说明本发明的控制方法带有σ_s修正的必要性和重要性。

Claims (3)

1.一种鲁棒自适应重复控制器设计方法，其特征在于：具体包括以下步骤：

步骤1.针对系统：

给定理想轨迹y_d(t)，将理想状态定义为

其中

为y_d(t)的第1至n-1阶导数；

上式(1)中，t为时间，i和n表示自然数，Rⁿ为n维的实数域；

为控制系统的状态变量，x_i为第i个系统状态，

为第i个系统状态的一阶导数，

为第n个系统状态的一阶导数；u(t)为系统的控制输入信号，y为系统的输出信号，θ(t)为未知时变参数，θ(t)∈R^l且θ(t)＝θ(t-T)，其中R^l为l维的实数域，T为时间周期，T＞0；ξ(x，t)为已知向量函数；η(x，t)为控制系统的未建模动态，满足

其中

为大于0的常数；

步骤2.定义滤波误差为：e_f＝[a^T 1]e；对滤波误差e_f求导，可得：

上述滤波误差的定义公式中：令e＝[e₁，e₂，…，e_n]＝x-x_d，其中e为两个n维向量x＝[x₁，x₂，…，x_n]∈Rⁿ与

的差；其中a＝[a₁，a₂，…，a_n-1]^T，a为常数向量，且常数向量a的特征多项式s^n-1+a_n-1s^n-2+…+a₁为赫尔维茨稳定；

步骤3.现提出如下控制器设计方法：

上式中，

为参数估计，e_f为滤波误差，k₂、Γ₃均为常数，k₂＞0，Γ₃＞0；其中

n为大于0的自然数，M₀为大于0的常数；

的估计律由公式(4)得到：

。

2.根据权利要求1所述的一种鲁棒自适应重复控制器设计方法，其特征在于，针对公式(1)所述的系统，采用公式(3)和公式(4)，若选取合适的控制器参数，满足

σ||Γ₃||＜1，则使系统内各变量有界；当扰动消失时，则使控制系统的输出误差

控制系统的输出误差趋于稳定。

3.根据权利要求1所述的一种鲁棒自适应重复控制器设计方法，其特征在于，步骤3所述控制器中，σ_s是时变的；所述的控制器设计方法采用参数估计开环的方式，在控制器公式(3)中加入两项补偿项。

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