CN110555275A - 分数导数粘弹性力学模型的等效模型及工程应用 - Google Patents

Abstract

本发明一种分数导数粘弹性力学模型的等效模型及工程应用，属于土木工程中的结构减振控制领域；包括以下步骤:1.利用傅里叶变换将分数导数型粘弹性本构关系转变为分数阶幂函数；2.分数阶幂函数的高斯‑雅克比积分权值及节点值的计算；3.利用傅里叶逆变换获得分数导数型粘弹性力学本构关系的一阶微分方程；4.基于复模态法的分数导数粘弹性力学等效模型的工程应用。本发明方法不仅可以用于随机激励下的结构响应分析，同时也适应与时程激励下的响应分析。不仅获得结构基于随机激励下的动力响应，同时获得分数导数粘弹性材料制作的阻尼器的动力响应，为阻尼器的发展提供算法支撑。

Description

分数导数粘弹性力学模型的等效模型及工程应用

技术领域

本发明属于土木工程中的结构减振控制领域，特别涉及一种分数导数粘弹性力学模型的等效模型及工程应用。

背景技术

地震、台风、飓风等是人类目前无法准确预测但却时有发生的重大自然灾害，它们对基础设施以及房屋结构安全存在着极大的杀伤力，为了减少由此引发的人员伤亡和经济损失，对结构采取防振减震措施一直以来是工程领域最常用的预防手段。同时，工程界存在很多有害的振动，如噪声就是一种有害的振动，如何降低噪声也是人类所一直苦苦追求的方向，在诸多减振降噪措施中，由粘弹性材料制成的阻尼器由于具有减振效果好、安拆方便、经济实用而得到广泛的研究和应用。

工程上用于制作粘弹性阻尼器的材料主要是橡胶、塑料等高分子聚合材料。在动荷载作用下，其应变滞后于应力，且材料的应力值与应变及其变化全过程相关，力学特性复杂。为此，大量的研究人员对粘弹性材料的耗能机理进行了研究，提出了各种力学分析模型，如Maxwell模型、Kelvin-Voigt模型及两者的各种组合模型，称之为标准力学模型，然而该类模型存在参数少表述不够精确或者参数多计算复杂的问题；等效刚度等效阻尼模型是利用粘弹性阻尼器在简谐荷载下耗能和储能的性质获得，近似地表述粘弹性的耗能特征，且与主结构进行线性组合具有以方便计算的特点，但实际工程都为随机激励，该模型精度有限。近些年来，分数导数模型，由于只需要少量参数就能较为精确地表述在较宽频率范围内粘弹性材料运动特征与频率的关系，成为粘弹性阻尼器工程应用研究的热点。粘弹性分数导数模型在振动控制中的应用出现了一些方法，但这些方法均为数值分析方法，且无法应用于实际工程为随机激励的情况。为促进粘弹性阻尼器基于随机激励下的振动响应分析，提出了一种分析精度高、能适用于工程界实际激励情况的方法极为必要。

发明内容：

针对当前方法对装置粘弹性阻尼器的各类结构仅能分析确定性激励下的响应情况，本发明在傅里叶正(逆)变换和高斯-雅克比积分的基础上，将分数导数型粘弹性力学本构关系转化为系列一阶微分方程组，利用复模态方法分析此类耗能减振结构在确定型和随机型激励下的动力响应及阻尼器阻尼力的响应，促进粘弹性耗能减振结构的工程应用。

本发明通过以下方案实现：

1.利用傅里叶变换将分数导数型粘弹性本构关系转变为分数阶幂函数；

对于分数导数型粘弹性阻尼器本构关系，其本构关系：

式中，F_v(t)为粘弹性阻尼力，0＜α＜1，c_V为阻尼力常数。

对式(1)进行傅里叶变换：

式中，分别是F(t),x(t)的傅里叶变换。

2.分数阶幂函数的高斯-雅克比积分权值及节点值的计算分数阶幂函数的积分形式：

高斯型积分是建立在正交多项式逼近原函数的方法来计算积分，具有计算精度高，计算量少的特点。高斯-雅克比(Gauss-Jacobi)积分区间为[-1，1]，权值函数为：

w(z)＝(1-z)^γ(1+z)^β (5)

式中，z为积分变量，γ＞-1；β＞-1。

为采用高斯-雅克比积分，对式(4)做积分区间变换：

则式(4)变为：

对于粘弹性材料，1＞α＞0，因此2α-1＞-1；1-2α＞-1，故满足高斯-雅克比积分的要求。

对式(7)用高斯-雅克比积分表示并简化为：

式中，A_j,a_j为积分参数，其为高斯-雅克比积分权值w_j和节点q_j关系：

高斯-雅克比积分的权值w_j和节点q_j与权值函数的系数γ,β和节点数n有关，可通过高斯积分的规则计算获得。

3.利用傅里叶逆变换获得分数导数型粘弹性力学本构关系的一阶微分方程；

把式(8)带入式(3)：

令

则

对式(12)进行傅里叶逆变换：

由式(11)，可以得：

则式(14)进行傅里叶逆变换：

至此，式(1)所代表的时域的分数导数本构关系，其等效的系列微分方程：

式中，F_j(t)满足微分方程式：

4.基于复模态法的分数导数粘弹性力学等效力学模型的工程应用

粘弹性材料在工程应用时的标准动力方程为：

式中，m,k,c为运动质点的质量、刚度、阻尼。

利用复模态方法进行分析，其运动方程为：

式中，

针对式(19)，有复模态理论，存在左右特征向量U,V及特征值矩阵P：

而左、右特征向量分别由下式计算：

令：y＝U (24) 式中，z为复模态广义变量,则经过整理：

式中z_j、η_j、p_j分别为z、η、p的分量。

由式(20)、(24)及式(26)，质点及阻尼器阻尼力的动力响应可表示为：

式中，u_k为右特征向量矩阵的第k行向量；λ_k,j＝u_k,j*η_j,u_k,j为右特征向量矩阵的第k行第j列元素。

针对式(27)-(29)，可以直接分析确定性激励的数值分析。

针对各类随机激励，其协方差为：

式中，E[f(t-u)f(t+τ-v)]为激励的协方差。

至此，式(30)-(31)为随机激励下的响应分析。

本发明的有益效果

1.本发明综合利用傅里叶转换、高斯-雅克比积分和傅里叶逆变换三种数学手段，将分数导数粘弹性材料本构关系转换为一阶微分方程组。

2.本发明解决了目前分数导数型粘弹性材料本构关系在工程应用中只能应用于确定性激励下的结构响应分析，而无法应用于实际工程中大量存在的随机激励下的响应分析的窘况。粘弹性材料广泛应用于土木工程的抗风抗震和机械领域的降噪减振，这些领域的激励均为随机激励为主。

3.本发明方法不仅可以用于随机激励下的结构响应分析，同时也适应与时程激励下的响应分析。

4.本发明不仅获得结构基于随机激励下的动力响应，同时获得分数导数粘弹性材料制作的阻尼器的动力响应，为阻尼器的发展提供算法支撑。

附图说明

图1为本发明结构计算简图；

图2为本发明案例1的地震激励曲线图；

图3为本发明案例1精度分析图；

图4为本发明案例1结构位移时程曲线图；

图5为本发明案例1结构速度时程曲线图；

图6为本发明案例1阻尼力时程曲线图；

图7为本发明案例2精度分析图；

图8为本发明流程图。

具体实施方式：

为了进一步说明本发明，下面结合附图及实施例对本发明进行详细地描述，但不能将它们理解为对本发明保护范围的限定。

一种分数导数粘弹性力学模型的等效模型及工程应用，包括一下步骤：

步骤1：利用傅里叶变换将分数导数型粘弹性本构关系转变为分数阶幂函数对于分数导数型粘弹性阻尼器本构关系，其本构关系：

式中，F_v(t)为粘弹性阻尼力，0＜α＜1，c_V为阻尼力常数。

对式(1)进行傅里叶变换：

式中，分别是F(t),x(t)的傅里叶变换。

步骤2：分数阶幂函数的高斯-雅克比积分权值及节点值的计算

分数阶幂函数的积分形式：

对式(4)做积分区间变换：

则式(5)变为：

对式(6)用高斯-雅克比积分表示并简化为：

式中，A_j,a_j为积分参数，其为高斯-雅克比积分权值w_j和节点q_j关系：

高斯-雅克比积分的权值w_j和节点q_j与权值函数的系数γ,β和节点数n有关，可通过高斯积分的规则计算获得。

步骤3：利用傅里叶逆变换获得分数导数型粘弹性力学本构关系的一阶微分方程；

把式(7)带入式(3)：

令

则

对式(11)进行傅里叶逆变换：

由式(12)，可以得：

则式(13)进行傅里叶逆变换：

至此，式(1)所代表的时域的分数导数本构关系，其等效的系列微分方程：

式中，F_j(t)满足微分方程式：

步骤4：基于复模态法的分数导数粘弹性力学等效力学模型的工程应用

粘弹性材料在工程应用时的标准动力方程为：

式中，m,k,c为运动质点的质量、刚度、阻尼。

利用复模态方法进行分析，其运动方程为：

式中，

针对式(19)，有复模态理论，存在左右特征向量U,V及特征值矩阵P：

而左、右特征向量分别由下式计算：

令：y＝U (24)

式中，z为复模态广义变量,则经过整理：

式中z_j、η_j、p_j分别为z、η、p的分量。

由式(20)、(24)及式(26)，质点及阻尼器阻尼力的动力响应可表示为：

式中，u_k为右特征向量矩阵的第k行向量；λ_k,j＝u_k,j*η_j,u_k,j为右特征向量矩阵的第k行第j列元素。

针对式(27)-(29)，可以直接分析确定性激励的数值分析。

针对各类随机激励，其协方差为：

式中，E[f(t-u)f(t+τ-v)]为激励的协方差。

至此，式(30)-(31)为随机激励下的响应分析。

实施例1：

确定性激励的地震动响应分析

单自由度粘弹性阻尼器结构如图1所示：结构参数：

m＝70Mg,k＝9MN/m,ξ₀＝2％,结构的基本圆频率10.61rad/s；分数导数型粘弹性阻尼器的参数：α＝0.4；C_V＝0.3MN/m²*s^0.4。地震时程激励取1971,San Fernando,69Deg，如图2所示。以高斯-雅克比积分节点数为10，进行本发明的地震动时程激励应用，具体步骤如下：

(1)利用傅里叶变换将分数导数型粘弹性本构关系转变为分数阶幂函数分数导数型粘弹性阻尼器本构关系，其本构关系：

F_v(t)＝0.3D^0.4[x(t)] (1)

对式(1)进行傅里叶变换：

式中，分别是F(t),x(t)的傅里叶变换。

(2)分数阶幂函数的高斯-雅克比积分权值及节点值的计算针对高斯-雅克比积分，α＝0.4，其10个节点的权值及节点利用高斯-雅克比积分规则计算如表1的w_j和节点q_j，利用下式计算系数，如表1：

式中，A_j、a_j分别为

表1：节点n＝10的参数值

(3)分数导数型粘弹性力学本构关系的一阶微分方程

把表1中的A_j、a_j带入式式(4)，得到一阶微分方程：

则阻尼力表示为：

(4)耗能结构的动力方程及本发明精度对比

由案例已知条件，可知其运动方程为：

将式(5)带入式(6)，得到耗能结构等效体系运动方程：

式(7)复模态的表达式为：

式中，

为了验证本发明方法的精度，对式(6)及(7)进行频响函数对比：

对式(6)进行拉式变换，可获得减震体系的频响函数：

由式(7)进行傅里叶变换，并利用式(4)，等效体系的频响函数：

由式(10)、(11)可知，频响函数为代数函数，由实部和虚部组成。为此，要考察等效系统的精度，需要对等效系统频响函数的实部、虚部和模的误差。

等效系统的实部误差：

等效系统的虚部误差：

等效系统模的误差：

针对本案例，精度对比图如图3所示：

从图3可知，就本案例而言，采用10个高斯-雅克比积分的误差最大为0.16％，远小于工程5％的容许误差，说明本发明的方法的精度较高。

(5)结构的振动特征值、响应模态强度系数如表2：

利用公式：

可获得结构12个振动特征值。

利用式，获得结构位移、速度和阻尼力模态系数，如表2所示。

表2：结构振动特征值、响应模态强度系数

(6)位移、速度及阻尼力的响应时程计算

把表2中的位移模态强度系数、速度模态强度系数和阻尼力模态强度系数分别代入下式：

分别绘制位移、速度和阻尼力的时程曲线如图4、图5及图6所示。

实施例2:

白噪声地震动随机激励响应分析单自由度粘弹性阻尼器结构，结构参数：m＝550Mg,k＝18MN/m,ξ₀＝2％,结构的基本圆频率5.720rad/s；分数导数型粘弹性阻尼器的参数：

α＝0.55；C_V＝0.25MN/m²*s^0.55。建造在Ⅰ类场地上，抗震设防烈度为8度，地震动模型参数的白噪声谱强度因子为S0＝0.0125m²*s^-3。以高斯-雅克比积分节点数为8，进行本发明的随机激励的地震动应用，具体步骤如下：

(1)利用傅里叶变换将分数导数型粘弹性本构关系转变为分数阶幂函数分数导数型粘弹性阻尼器本构关系，其本构关系：

F_v(t)＝0.25D^0.55[x(t)] (1)

对式(1)进行傅里叶变换：

式中，分别是F(t),x(t)的傅里叶变换。

(2)分数阶幂函数的高斯-雅克比积分权值及节点值的计算

针对高斯-雅克比积分，α＝0.55，其10个节点的权值及节点利用高斯-雅克比

积分规则计算如表1的w_j和节点q_j，利用下式计算系数，如表3：

式中，A_j、a_j分别为

表1：节点n＝8的参数值

表3：节点n＝8的参数值

(3)分数导数型粘弹性力学本构关系的一阶微分方程

把表1中的A_j、a_j带入式式(4)，得到一阶微分方程：

则阻尼力表示为：

(4)耗能结构的动力方程及本发明精度对比

由案例已知条件，可知其运动方程为：

将式(5)带入式(6)，得到耗能结构等效体系运动方程：

式(7)复模态的表达式为：

式中，

为了验证本发明方法的精度，对式(6)及(7)进行频响函数对比：

对式(6)进行拉式变换，可获得减震体系的频响函数：

由式(7)进行傅里叶变换，并利用式(4)，等效体系的频响函数：

由式(10)、(11)可知，频响函数为代数函数，由实部和虚部组成。为此，要考察等效系统的精度，需要对等效系统频响函数的实部、虚部和模的误差。

等效系统的实部误差：

等效系统的虚部误差：

等效系统模的误差：

针对本案例，精度对比图如图7所示：

从图7可知，就本案例而言，采用8个高斯-雅克比积分的误差最大为0.148％，远小于工程5％的容许误差，说明本发明的方法的精度较高。

(5)结构的振动特征值、响应模态强度系数如表2：

利用公式：

可获得结构10个振动特征值p_i。

利用式，获得结构位移、速度和阻尼力模态系数，如表4所示。

表4：结构振动特征值、响应模态强度系数

(6)位移、速度及阻尼力的响应时程计算

把表4中的位移模态强度系数、速度模态强度系数和阻尼力模态强度系数分别代入下式：

由随机振动理论，当激励为白噪声时：

E[f(t-u)f(t+τ-v)]＝2πδ(τ) (19)

把式(19)分别代入(16)-(18)，则结构响应位移、速度和阻尼力协方差为：

当(20)-(22)式中，τ＝0时，即为结构在随机激励下的位移、速度和阻尼力的均方差如表5所示。

表5：结构响应均方差值

以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。

Claims (5)

1.分数导数粘弹性力学模型的等效模型及工程应用，其特征在于：包括以下步骤:

步骤1：利用傅里叶变换将分数导数型粘弹性本构关系转变为分数阶幂函数；

步骤2：分数阶幂函数的高斯-雅克比积分权值及节点值的计算；

步骤3：利用傅里叶逆变换获得分数导数型粘弹性力学本构关系的一阶微分方程；

步骤4：基于复模态法的分数导数粘弹性力学等效模型的工程应用。

2.根据权利要求1所述的分数导数粘弹性力学模型的等效模型及工程应用，其特征在于：

利用傅里叶变换将分数导数型粘弹性本构关系转变为分数阶幂函数步骤如下：

对于分数导数型粘弹性阻尼力的本构关系：

式中，F_v(t)为粘弹性阻尼力，0＜α＜1，c_V为阻尼力常数；

对式(1)进行傅里叶变换：

式中，分别是F(t),x(t)的傅里叶变换。

3.根据权利要求1所述的分数导数粘弹性力学模型的等效模型及工程应用，其特征在于：分数阶幂函数的高斯-雅克比积分权值及节点值的计算步骤如下：

式(3)中的分数阶幂函数的积分形式：

高斯型积分是建立在正交多项式逼近原函数的方法来计算积分，具有计算精度高，计算量少的特点，其中高斯-雅克比针对分数阶幂函数的积分精度最好。高斯-雅克比(Gauss-Jacobi)积分区间为[-1，1]，权值函数为：

w(z)＝(1-z)^γ(1+z)^β (5)

式中，z为积分变量，γ＞-1；β＞-1；

为采用高斯-雅克比积分，对式(4)做积分区间变换：

则式(4)变为：

对于粘弹性材料，1＞α＞0，因此存在2α-1＞-1；1-2α＞-1，故满足高斯-雅克比积分的要求；

对式(7)用高斯-雅克比积分表示并简化为：

式中，A_j,a_j为积分参数，其为高斯-雅克比积分权值w_j和节点q_j关系：

高斯-雅克比积分的权值w_j和节点q_j与权值函数的系数γ,β和节点数n有关，可通过高斯积分的规则计算获得。

4.根据权利要求1所述的分数导数粘弹性力学模型的等效模型及工程应用，其特征在于：利用傅里叶逆变换获得分数导数型粘弹性力学本构关系的一阶微分方程步骤如下：

把式(8)带入式(3)：

令

则

对式(12)进行傅里叶逆变换：

由式(11)，可以得：

则式(14)进行傅里叶逆变换：

至此，式(1)所代表的时域的分数导数本构关系，其等效的系列微分方程：

式中，F_j(t)满足微分方程式：

5.根据权利要求1所述的分数导数粘弹性力学模型的等效模型及工程应用，其特征在于：基于复模态法的分数导数粘弹性力学等效模型的工程应用步骤如下：

粘弹性材料在工程应用时的标准动力方程为：

式中，m,k,c为运动质点的质量、刚度、阻尼；

利用复模态方法进行分析，其运动方程为：

式中，

针对式(19)，有复模态理论，存在左右特征向量U,V及特征值矩阵P：

而左、右特征向量分别由下式计算：

令：y＝U (24)式中，z为复模态广义变量,则经过整理：

式中z_j、η_j、p_j分别为z、η、p的分量；

由式(20)、(24)及式(26)，质点及阻尼器阻尼力的动力响应可表示为：

式中，u_k为右特征向量矩阵的第k行向量；λ_k,j＝u_k,j*η_j,u_k,j为右特征向量矩阵的第k行第j列元素；

针对式(27)-(29)，可以直接分析确定性激励的数值分析；

针对各类随机激励，其协方差为：

式中，E[f(t-u)f(t+τ-v)]为激励的协方差；

至此，式(30)-(31)为随机激励下的响应分析。