CN110059286A - 一种基于fft的结构非平稳响应高效分析方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种基于FFT的非线性结构响应高效分析方法。非平稳随机激励的瞬态特征导致荷载效应具有时变统计特性，由于存在大量时间积分项，与平稳随机响应相比，非平稳响应的计算更耗时。在本发明中，提出一种高效和准确的基于FFT的方法来提高非平稳随机响应分析的效率。本发明的优势在于：在线性结构的非平稳随机响应分析中，提出了一种基于FFT的算法来计算时间积分项。通过将传统的在离散频率的时程分析转换为在离散时刻的FFT，这使得计算效率显著提高。在本征正交分解的帮助下，FFT技术扩展应用到一般调制的非平稳激励。此外，基于等效统计线性化方法，非线性系统被转换为一系列等效线性系统，然后每个等效线性系统的响应可以通过提出的FFT方法方便地计算。
Description
技术领域
本发明属于随机振动分析领域，更具体的说涉及一种基于FFT的结构非平稳随机响应分析方法。
背景技术
工程结构经常遭受地震，极端风和海浪等灾难性的激励。这些激励都具有时域上或频域上或两者兼有的非平稳性。因此，它们通常由非平稳随机过程表示，并以演化功率谱密度 (EPSD)表征其统计特性。基于经典的平稳随机振动理论，非平稳随机振动的理论已经被发展，在地震和风工程中也可以找到许多应用。
然而，非平稳随机振动分析仍然面临着重大计算负担的挑战，特别是对于现代大型结构，如大跨度桥梁和屋盖，壳体结构和水坝。原因在于非平稳随机激励的瞬态特征导致荷载效应具有时变统计特性。由于存在大量时间积分项，与平稳随机响应计算相比，非平稳响应的确定更耗时。为了提高计算效率，已经进行了较多尝试。与Duhamel积分和Newmark方法相比，精确积分方法能使积分计算更高效。然而，此方法不会减少积分项的数量。通过忽略瞬态效应提出的准静态方法，其仅适用于具有相对较大刚度和阻尼的结构。此外，一些闭合解法被提出用于避免积分，但它们只适用于特定的功率谱和调制函数。
尽管等效线性化方法(ESLM)已被广泛用于平稳随机激励下的非线性系统的响应分析；但由于需要大量的计算，对非平稳随机激励下的非线性系统的随机响应分析，ESLM只用于自由度相对较少的情况。对于上述工程中的大型结构，ESLM的计算效率需要进一步提高。因此，有必要为线性和非线性结构的非平稳随机响应分析开发一种高效且准确的方法。
发明内容
本发明提出了一种基于FFT对线性和非线性结构的高效非平稳随机响应分析方法。主要内容为：首先采用FFT技术来加速对线性结构的非平稳随机响应分析中涉及大量计算工作的时间积分项的计算。此外，基于等效线性化方法将上述FFT方法扩展到非线性结构的非平稳随机响应分析。技术方案如下：
一种线性结构的非平稳随机响应高效分析方法，包括以下步骤：
步骤1：获取作用于结构的多点非平稳随机激励的演化功率谱。
获取零均值多变量非平稳随机激励X(t)＝{x1(t),…,xr(t),…,xn(t)}T的演化功率谱，其中t 是时间，n是元素激励个数，T表示转置。xr(t)的自演化功率谱和xr(t)和xs(t)的互演化功率谱定义如下
其中，ω是圆频率；Ar(ω,t)是慢变调制函数；是和的互谱，是对应于xr(t) 的零均值平稳随机过程；*表示复共轭。
步骤2：对结构作模态分析，获取模态坐标和模态脉冲响应函数。
考虑具有N个自由度的最初静止状态的线性结构，受到上述随机激励X(t)作用。它的运动方程表示为
其中，Y(t),和分别是N×1维位移，速度和加速度向量；M,C和K分别是N×N 维质量，阻尼和刚度矩阵；Γ是N×n维只包含元素0和1的荷载分布矩阵。
当C为比例阻尼矩阵时，模态叠加方法可以大大减少计算量。脉冲响应矩阵h(t)可以很容易的表示为
其中，Φk是对应于M的第k阶N×1维归一化实模态向量；Nd是考虑的模态阶数以及hk(t)是第k阶模态脉冲响应函数表示如下
其中：ωk是第k阶模态频率；ζk是第k阶模态阻尼比；是第k阶阻尼模态频率。
对于具有非比例阻尼的结构，可以使用复模态分析。式(3)可以以状态空间的形式表示为
其中
且F(t)＝[0 ΓX(t)]T。结构响应的脉冲响应矩阵可以得到如下
其中，是对应于速度向量的N×N维脉冲响应矩阵，Ψk是第k阶2N×1维归一化复模态向量，hk(t)是第k阶复模态脉冲响应函数，表示如下
其中，μk是第k阶复频率。
步骤3：使用FFT高效地计算演化频响函数矩阵。
演化频响函数矩阵I(ω,t)可以由下式求解：
其中：A(ω,t)＝diag[Ar(ω,t)]是一个n×n维对角矩阵；h(t)是关于位移向量Y(t)的N×N维单位脉冲响应函数矩阵。把公式(4)代入到公式(10)可得到
其中，是一系列n×n维对角矩阵，且对角元素为
类似的，对于速度和加速度的演化响应频率函数矩阵可以使用相对应的脉冲响应函数表示为公式(11)和(12)的相同形式。将公式(8)代入公式(10)，演化频响矩阵I(ω,t)可以表示成和公式(11)和(12)一样的形式。
假设激励是均匀调制的非平稳过程，公式(12)可变为
其中gr(τ)是与频率无关的调制函数。由于当τ＜0时gr(τ)＝0且当τ＞t时hk(t-τ)＝0，公式(13) 可以表示为
另外，公式(14)中的积分可以转换为傅里叶变换形式，如
其中，FT表示对应于τ的傅里叶变换。因此，对于任一特定时刻t的时间积分都可用FFT高效计算。与使用传统的时间步进法计算相比，在离散频率处的时程分析被转换为在离散时刻的FFT。在演化频响函数矩阵I(ω,t)的估计中，传统的时程分析计算nNdNω减少到基于FFT的nNdNt，其中Nt表示离散时刻的数量。因此，计算效率显著提高。
对于一般调制激励，将非均匀调制函数Ar(ω,t)在时域和频域中离散化并被视为Nt个频率向量。基于POD技术，它可以近似地分解为时间和频率向量的几个乘积的总和，即
其中，是Nt个频率向量的相关矩阵Rr的第p阶特征向量；是第p阶主坐标向量，是近似项的数量。通常，足以保证方程式(16)获得令人满意的精度。
把公式(16)代入公式(12)，调制函数的频率项可以从时间积分中分离，即
按照公式(15)的推导，公式(17)的时间积分项可以表示为
因此，对于一般调制激励，传统的nNdNω时程分析减少到次FFT和n次POD。
步骤4：获得结构响应的演化功率谱矩阵和方差矩阵。
基于非平稳随机振动理论，结构响应的EPSD矩阵可以计算如下
其中，SY(ω,t)是位移向量Y(t)的EPSD矩阵；于是，位移的时变协方差矩阵表示为
进一步，基于等效线性化方法，将上述算法扩展应用于非线性结构的非平稳随机响应高效分析，包括以下步骤：
步骤A：建立非线性系统在非平稳激励下的运动方程。
考虑受到非平稳随机激励X(t)的一个具有N个自由度的Duffing系统，如图1所示。它的运动方程表示为
其中，Y(t)＝[y1,y2,…,yN]T，G(t)是非线性项表示为
其中，ηi(i＝1,2,…,N)是第i层的非线性系数；ki(i＝1,2,…,N)是第i层的线性刚度。
步骤B：在特定时刻，将非线性系统转化为等效线性系统。
通过ESLM，非线性系统可以在不同时刻由一系列等效线性系统代替。非线性系统在特定时刻α的响应统计量是以下线性运动方程的对应解
其中.Ke(α).是特定时刻α的等效刚度矩阵，表示如下
其中
步骤C：迭代求解每一个等效线性系统在特定时刻的非平稳响应。
对于特定时刻α，从方程式(24)和(25)中可以发现，等效刚度矩阵Ke(α)与同一时刻的响应统计量有关，需要通过等式(23)线性系统的非平稳随机响应分析确定，因此，需要一个迭代求解过程，给出如下：
(1)设置位移协方差和E[yi(α)yi-1(α)]的初始值。它们通常被视为前一时刻的收敛结果，然后基于等式(24)和(25)确定等效刚度矩阵Ke(α)的初始值。
(2)用所提出方法基于公式(23)计算新的位移协方差和E[yi(α)yi-1(α)]，这与公式的求解相同。
(3)基于公式(24)和(25)更新等效刚度矩阵Ke(α)。
(4)重复步骤2-3直到位移协方差和E[yi(α)yi-1(α)]收敛。
(5)考虑下一时刻并且重复步骤1-4直到所有关心的时刻的响应统计量被确定。
本发明的有益效果：
本发明提出的非平稳随机激励下结构响应的高效算法，充分利用了FFT技术，大大提高了响应计算中时间积分项的计算效率。它适用于均匀调制和一般调制的非平稳激励。它可以仅计算在必要的时刻的结构响应。它也适用于线性时变系统。结合等效统计线性化方法，它可以用于计算非线性系统在任意非平稳激励下的响应，从而避免传统方法在迭代求解过程中的大量冗余计算。因此，本发明可以作为大型复杂结构的非平稳随机响应分析的一种有效方法。
附图说明
图1为N个自由度的Duffing系统；
图2实例1中地震激励下的高层建筑；
图3实例1中线性结构的位移时变方差(a)均匀调制激励下(b)一般调制激励下；
图4实例2中Duffing系统的位移时变方差(a)均匀调制激励下(b)一般调制激励下；
具体实施方式
下面将结合本发明实施例和附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属本发明保护范围。
实例1：线性结构，本发明的分析方法用于受地震影响的高层建筑的激励状态分析。
受地震激励的20层的高层建筑，此结构可以简化为图2所示的一个多自由度的模型。运动方程给出如下：
其中：是非平稳地震加速度过程；E是单位向量。当1≤i≤20结构参数选取为mi＝10000kg和ki＝1.6×107N/m。前5阶模态叠加。每一模态的阻尼比设定为0.05。结构的前5阶固有频率分别是3.0642,9.1747,15.2313,21.1985和27.0414rad/s。均匀和一般调制的激励被考虑。
均匀调制激励取为调制的Kanai-Tajimi谱表示为
g(t)＝e-at-e-bt (28)
其中：f是频率(Hz)；a＝0.1and b＝0.3；fg＝10/πHz,ζg＝0.24和S1＝1/7500m2s-3。在响应计算中，激励EPSD的截止频率选取为fu＝8Hz且频率步长为Δf＝0.03125Hz。计算时间为32s且时间步长为Δt＝0.0625s。
一般调制激励假定为如下的不可分离谱
其中：S2＝1/690m2s-3,C＝2and D＝0.2。激励EPSD的截止频率选取为fu＝8Hz且频率步长为Δf＝0.03125Hz。计算时间取为32s且时间步长为Δt＝0.0625s。
本发明提出的方法被用于获得非平稳激励下建筑结构位移的方差。另外，基于输入激励插值的时间步进法用于对比。为了确保小于0.1％的误差并获得相同的精度，插值方法和所提出的方法的时间步长应分别选择为1/64和1/16秒。因此，图3显示了采用两种方法在第10 层和第20层位移的时变方差。可以看出，两种方法的结果有很好的一致性，0.5s的时间间隔就足以反映响应的时变特性。
此外，在相同精度下比较了相应的计算效率，计算时间统计在表1。为了研究模态数量对计算效率的影响，在计算中还考虑10和20阶模态。可以看到，所提FFT方法的计算效率远高于插值方法，特别是对于模态较多的情况。
实例2：Duffing系统，该分析方法在非线性结构系统的运用，当地震影响120个自由度的 duffing系统时：
在该示例中，考虑了120个自由度的Duffing系统。当1≤i≤120时系统的集总质量是 mi＝3000kg和线性刚度是ki＝8×107N/m。阻尼矩阵由瑞利阻尼模型给出。通过假设线性系统的第一和第120模态的阻尼比为0.05，取决于质量和刚度矩阵。当1≤i≤120时非线性系数是ηi＝1000m-2。该系统受到非平稳地震加速度激励基于公式(27)和(30)的两种地震加速度EPSD被使用。在公式(27)中，调制函数给出为：
其中：t1＝6s；t2＝18s；t3＝32s；c＝0.18；平稳PSD给出如公式(29)且S1＝0.05m2s-3, fg＝2.5Hz,ζg＝0.6。一般调制EPSD给出如公式且S2＝0.25m2s-3。其他参数和实例1取相同数值。
下面，使用两种ESLM来计算系统位移的时变方差。通常，由于额外的等效刚度矩阵，等效线性系统不是比例阻尼系统。因此，在基于所提出的方法的ESLM中，使用了复模态分析。在计算中考虑前5对复模态。为了比较，采用基于Newmark方法的ESLM，其中Newmark的方法用于直接求解公式(23)。对于这两种方法，计算时间取为32秒；时间步长选为1/32秒；并且仅计算间隔0.5秒的时刻位移的方差。此外，还使用具有4000个样本的蒙特卡罗模拟(MCS)方法作为基准。
系统的位移分量y60和y120的时变方差如图4所示。显然，三种方法对结果有很好的一致性，表明所提出的方法可以提供令人满意的精度。表2总结了两种ESLM的计算时间。可以看出，对于均匀和一般调制的激励，基于所提出FFT方法的ESLM所消耗的时间分别仅为13.9s 和11.5s。这只是Newmark方法的1.12％和1.13％。因此，所提出的方法对非线性分析显示出更明显的优势。
表1两种方法计算效率的比较
表2两种等效统计线性化方法的计算效率对比
上面结合附图对本发明的具体实施方式作了详细说明，但是本发明并不限于上述实施方式，在本领域普通技术人员所具备的知识范围内，还可以在不脱离本发明宗旨的前提下做出各种变化。
Claims (6)
1.一种基于FFT的非线性结构响应高效分析方法，其特征在于：
(1)获取作用于结构的多点非平稳随机激励的演化功率谱；
(2)对结构作模态分析，获取模态坐标和模态脉冲响应函数；
(3)使用FFT高效地计算演化频响函数矩阵；
(4)获得结构响应的演化功率谱矩阵和方差矩阵。
2.根据权利要求1所述的一种基于FFT的非线性结构响应高效分析方法，其特征在于：
所述步骤(1)中，xr(t)的自演化功率谱和xr(t)和xs(t)的互演化功率谱定义如下
3.根据权利要求1所述的一种基于FFT的非线性结构响应高效分析方法，其特征在于：所述步骤(2)中：
考虑具有N个自由度的最初静止状态的线性结构，受到上述随机激励X(t)作用，它的运动方程表示为：
当C为比例阻尼矩阵时，模态叠加方法可以大大减少计算量，脉冲响应矩阵h(t)可以很容易的表示为：
其中，Φk是对应于M的第k阶N×1维归一化实模态向量；Nd是考虑的模态阶数；hk(t)是第k阶模态脉冲响应函数表示如下：
对于具有非比例阻尼的结构，可以使用复模态分析，式(3)可以以状态空间的形式表示为：
其中
且F(t)＝[0 ΓX(t)]T，结构响应的脉冲响应矩阵可以得到如下：
其中，是对应于速度向量的N×N维脉冲响应矩阵，Ψk是第k阶2N×1维归一化复模态向量，hk(t)是第k阶复模态脉冲响应函数且表示如下：
其中，μk是第k阶复频率。
4.根据权利要求1所述的一种基于FFT的非线性结构响应高效分析方法，其特征在于：所述步骤(3)中：
演化频响函数矩阵I(ω,t)可以由下式求解：
其中：A(ω,t)＝diag[Ar(ω,t)]是一个n×n维对角矩阵；h(t)是关于位移向量Y(t)的N×N维单位脉冲响应函数矩阵，把公式(4)代入到公式(10)可得到：
其中，是一系列n×n维对角矩阵，且对角元素为：
类似的，对于速度和加速度的演化响应频率函数矩阵可以使用相对应的脉冲响应函数表示为公式(11)和(12)的相同形式。将公式(8)代入公式(10)，演化频响矩阵I(ω,t)可以表示成与公式(11)和(12)一样的形式；
假设激励是均匀调制的非平稳过程，公式(12)可变为
其中gr(τ)是与频率无关的调制函数，由于当τ＜0时gr(τ)＝0且当τ＞t时hk(t-τ)＝0，公式(13)可以表示为
另外，公式(14)中的积分可以转换为傅里叶变换形式，如
对于一般调制激励，将非均匀调制函数Ar(ω,t)在时域和频域中离散化并被视为Nt个频率向量，基于POD技术，它可以近似地分解为时间和频率向量的几个乘积的总和，即
其中，是Nt个频率向量的相关矩阵Rr的第p阶特征向量；是第p阶主坐标向量，是近似项的数量，通常，足以保证式获得令人满意的精度
把公式(16)代入公式(12)，调制函数的频率项可以从时间积分中分离，即
按照公式(15)的推导，公式(17)的时间积分项可以表示为
5.根据权利要求1所述的一种基于FFT的非线性结构响应高效分析方法，其特征在于：所述步骤(4)中：
基于非平稳随机振动理论，结构响应的EPSD矩阵可以计算如下
其中，SY(ω,t)是位移向量Y(t)的EPSD矩阵；于是，位移的时变协方差矩阵表示为
6.根据权利要求5所述的一种基于FFT的非线性结构响应高效分析方法，其特征在于：基于等效线性化方法，将上述算法扩展应用于非线性结构的非平稳随机响应高效分析，包括以下步骤：
步骤A：建立非线性系统在非平稳激励下的运动方程；
考虑受到非平稳随机激励X(t)的一个具有N个自由度的Duffing系统，它的运动方程表示为
其中，Y(t)＝[y1,y2,…,yN]T，G(t)是非线性项表示为
其中，ηi(i＝1,2,…,N)是第i层的非线性系数；ki(i＝1,2,…,N)是第i层的线性刚度；
步骤B：在特定时刻，将非线性系统转化为等效线性系统。
通过ESLM，非线性系统可以在不同时刻由一系列等效线性系统代替，非线性系统在特定时刻α的响应统计量是以下线性运动方程的对应解
其中Ke(α)是特定时刻α的等效刚度矩阵，表示如下：
其中
步骤C：迭代求解每一个等效线性系统在特定时刻的非平稳响应；
对于特定时刻α，可以从方程式(24)和(25)中发现，等效刚度矩阵Ke(α)与同一时刻的响应统计量有关，需要通过等式(23)线性系统的非平稳随机响应分析确定，因此，需要一个迭代求解过程，并给出如下：
(1)设置位移协方差和E[yi(α)yi-1(α)]的初始值，它们通常被视为前一时刻的收敛结果。然后基于等式(24)和(25)确定等效刚度矩阵Ke(α)的初始值；
(2)用所提出方法基于公式(23)计算新的位移协方差和E[yi(α)yi-1(α)]，这与公式(3)的求解相同；
(3)基于公式(24)和(25)更新等效刚度矩阵Ke(α)；
(4)重复步骤2-3直到位移协方差和E[yi(α)yi-1(α)]收敛；
(5)考虑下一时刻并且重复步骤1-4直到所有关心的时刻的响应统计特性被确定。
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2019
- 2019-03-07 CN CN201910170555.3A patent/CN110059286A/zh active Pending
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