CN110533621A - 一种基于图像融合的光强传输方程相位恢复方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于图像融合的光强传输方程相位恢复方法，采集沿光轴方向的多幅不同离焦距离下的光强图像；利用快速傅里叶变换分别求解离焦距离小和离焦距离大两种情况下的光强传输方程；通过图像融合方法将两种离焦距离的情况下恢复的相位分布融合得到最终相位结果。本发明解决了在TIE相位恢复中离家距离选取矛盾的问题。所恢复的相位图像，数值上，更加精确，恢复误差更小；从恢复的图像来看，结果不仅细节信息丰富，而且整体形貌大小与真实相位的契合度更高、受噪声影响更小。

Description

一种基于图像融合的光强传输方程相位恢复方法

技术领域

本发明属于光学测量中的相位恢复技术领域，具体涉及一种基于图像融合的光强传输方程相位恢复方法。

背景技术

相位恢复技术是一种采用非干涉方法进行相位定量测量的方法，通过直接测量光强分布信息来恢复相位信息。相较于传统的光学干涉测量法，其具有：对光源相干性要求低(可以使用部分相干光)；测量光路装置简单；无需引入参考光，对测试环境要求不苛刻；无需相位解包裹等优点。因此被广泛地应用在生物医学、天文望远系统、电子或光学显微成像、工业检测等领域。

相位恢复技术主流上可以分为迭代法(Iterative algorithm)和光强传输方程法(TIE,Transport of Intensity Equation)。其中TIE源于1983年M.R.Teague等人的研究，利用亥姆霍兹方程在傍轴近似下推导得出，同时给出了TIE的格林函数的解。TIE描述了垂直于光轴平面的光强分布在平行于光轴方向的变化与垂直于光轴平面的相位分布之间的定量关系。利用待求平面(焦面)的光强分布，光强的轴向微分(通过两个离焦面光强利用差分计算)通过对TIE进行数值求解，获得待求相位分布。实际测量中，只需要采集三个面的光强分布(欠焦面、焦面、过焦面)和离焦距离(离焦面至焦面的距离)，就可以计算出焦面的相位分布。对于TIE的求解，目前有以下几种方案：

(1)基于德里克雷边界条件的格林函数求解，由Teague等人在1983年提出；

(2)泽尼克多项式法，由T.E.Gureyev和K.A.Nugent在1995年提出；

(3)多重网格法，由L.J.Allen和M.P.Oxley于2001年提出；

(4)傅里叶变换法，由Kazuichi Ichikawa最早应用来解TIE。

在这些求解方案中，均需要预先得知光强的轴向微分。一般而言，通过有限差分法(两离焦面相减后除以两倍的离焦距离)计算可以得到。可见，采集光强图像时，离焦距离的选取直接影响着相位计算结果。离焦距离选取过大，会导致相位恢复结果模糊，细节信息丢失。换而言之，恢复结果中包含大量非线性误差，这是由于差分计算本身是线性估计而光强在轴向的变化却是非线性的，离焦距离的增大会导致对光强轴向微分估算中非线性误差的增加。但同时，离焦距离也不可以过小，因为在实际测量中噪声的存在会使得在离焦距离过小时信号被淹没，这导致相位恢复结果虽然细节丰富、清晰度高，但整体形貌大小却会失真，信息被噪声污染。为了调和两者矛盾，往往会选择一个介于两者之间的最优离焦距离来进行计算。然而，实际中，即使使用了这个最优离焦距离，所得到的结果在数值精度上和形貌特征上还是令人不够满意。

发明内容

本发明所要解决的技术问题在于针对上述现有技术中的不足，提供一种基于图像融合的光强传输方程相位恢复方法，解决了现有方法中离焦距离在TIE精确相位恢复中选取矛盾的问题。

本发明采用以下技术方案：

一种基于图像融合的光强传输方程相位恢复方法，包括以下步骤：

S1、采集沿光轴方向的多幅不同离焦距离下的光强图像；

S2、利用快速傅里叶变换分别求解离焦距离小于最优离焦距离和离焦距离大于最优离焦距离两种情况下的光强传输方程TIE；

S3、采用图像融合方法将步骤S2两种离焦距离的情况下恢复的相位分布融合得到最终相位结果。

具体的，步骤S1中，光强图像包括I_-2,I_-1,I₀,I₊₁,I₊₂，-为处于欠焦面，+为处于过焦面；I₀为焦面处图像，I_-2和I₊₂为离焦距离大于最优离焦距离的一对，I_-1和I₊₁为离焦距离小于最优离焦距离的一对；I₊₁到I₀的距离与I₀到I_-1的距离大小与方向均相同，记作Δd₁；I₊₂到I₀的距离与I₀到I_-2的距离大小与方向均相同，记作Δd₂。

具体的，步骤S2中，离焦距离小的情况下的相位分布为：

其中，为傅里叶变换，为傅里叶逆变换，(f_x,f_y)为频域坐标，I₀为焦面处图像，I_-1和I₊₁为离焦距离小的一对；Δd₁为I₊₁到I₀的距离与I₀到I_-1的距离，▽为梯度算子，λ为测量光的波长。

进一步的，梯度算子▽为：

快速傅里叶变换完成得到▽^-2为：

其中，i，j分别为x方向和y方向的单位向量。

具体的，步骤S3具体为：

将步骤S2获得的相位分布和作为图像融合的原图像输入；然后使用小波变换对和分别进行多层小波分解到不同频率域，获取各层的小波系数和尺度系数；然后结合被融合图像特点设计恰当的融合准则，将各层系数按照既定的融合准则进行融合；最后对融合后的系数矩阵进行小波逆变换得到融合后的图像。

进一步的，具体步骤如下：

S301、使用Mallat小波变换的快速算法对和分别进行多层分解得到各层系数；

S302、设计融合准则对各层系数按照准则融合；

S303、对融合后的尺度系数和各层小波系数形成的系数矩阵进行小波逆变换，得到融合结果即相位恢复结果。

更进一步的，步骤S301中，经过N层分解得到尺度系数小波系数为：

进行N层小波分解后得到尺度系数小波系数为：

更进一步的，设是空间R²上的一个多分辨分析，对于二维图像将它在V_i ²空间投影表示为即

其中，A_j为第j层的尺度系数，为第j层图像的水平细节的小波系数，为第j层图像的垂直细节的小波系数，为第j层图像对角细节的小波系数。

更进一步的，步骤S302中，融合后各层的小波系数为：

其中，i∈[1,3]，j∈[1,N]，为的各层小波系数，为的各层小波系数，V_j为图像在各层的窗口内的方差。

更进一步的，对于低频系数，直接取平均值为：

对于高频系数，求取两图像窗口内方差，按照方差大小进行加权平均，各层图像的窗口内方差为：

其中，j∈[1,N]，M×N为窗口大小，μ为窗口内所有系数平均值。

与现有技术相比，本发明至少具有以下有益效果：

本发明一种基于图像融合的光强传输方程相位恢复方法，通过使用多幅轴向光强图像(不同离焦距离)解决了现有方法中离焦距离在TIE精确相位恢复中选取矛盾的问题，既利用了离焦距离大时恢复相位图像的低频信息，又利用了离焦距离小时恢复相位图像的高频信息，使得最终得到的相位图像精度更高，更加接近真实相位分布。

进一步的，采集多幅轴向光强图像，目的是采集离焦距离大于最优离焦距离(包含更为准确的整体形貌大小和更好的噪声抵抗性)和离焦距离小于最优离焦距离(包含更加丰富的细节信息)的光强图像。

进一步的，使用快速傅里叶算法(FFT)分别计算离焦距离不同情况下得到的相位恢复结果，目的是快速解出不同离焦距离下相位分布结果。

进一步的，使用基于小波变换的图像融合技术将不同离焦距离下所恢复的相位图像按照既定的融合准则进行融合，目的是提取离焦距离大的相位图像的低频信息和离焦距离小的相位图像的高频信息并分别进行融合。

进一步的，使用Mallat小波变换对不同离焦距离下的相位图像进行小波分解，目的是将待融合的相位图像分解为不同分解层下的高、低频分量，对其进行分频融合。

进一步的，对上一步得到的高频分量和低频分量分别制定不同的融合准则并进行融合，目的是利用待融合图像各自的优势信息互补使融合后的图像得到更加接近真实图像。

综上所述，本发明方法解决了在TIE相位恢复中离家距离选取矛盾的问题。所恢复的相位图像，数值上，更加精确，恢复误差更小；从恢复的图像来看，结果不仅细节信息丰富，而且整体形貌大小与真实相位的契合度更高、受噪声影响更小。

下面通过附图和实施例，对本发明的技术方案做进一步的详细描述。

附图说明

图1为本发明方法流程图；

图2为相位图，其中，(a)是仿真中真实相位图；(b)是离焦距离为0.05mm时所恢复的相位图；(c)是离焦距离为0.4mm时所恢复的相位图；(d)是离焦距离为0.1mm时所恢复的相位图；(e)是采用本发明方法得到的相位图。

具体实施方式

图像融合技术是一种将不同条件下针对同一目标图像进行信息互补，得到融合后的图像，在同时具备融合前图像的特征的同时，从数值上和形貌上更加接近真实图像。一般而言，图像融合从低到高有：信号级融合，像素级融合，特征级融合以及决策级融合。采用地经典方法有：加权平均法；金字塔式图像融合方法；基于小波变换的图像融合等方法。在图像融合中，合适的融合准则是融合成功的关键。在基于光强传输方程的相位恢复技术中，较小的离焦距离所恢复的相位图像更好地保留了原始图像的高频信息。较大的离焦距离所恢复的相位图像更好地保留了原始图像的低频信息。通过将不同离焦距离的情况下所恢复的相位图像，在合适的融合准则下融合，可以在保留各自优势信息的情况下互补缺失的信息，获得更高精度、更清晰、更准确的相位图像。

在TIE进行相位恢复中，离焦距离的选取直接决定恢复精度的高低，而离焦距离选取则是一个矛盾的问题，过大会使得恢复相位中包含巨大的非线性误差，整幅图模糊不清；过小又会使得噪声影响恢复结果，恢复图像形貌失真。即便是在最优情况下(折中选择)，恢复结果在数值精度和形貌特征上仍然不够理想。

本发明提供了一种基于图像融合的光强传输方程相位恢复方法，首先分别采集一组离焦距离大于最优离焦距离(包含欠焦面、过焦面两幅图像)、离焦距离小于最优离焦距离(包含欠焦面、过焦面两幅图像)和焦面的光强图一共五幅图；然后，分别计算离焦距离大于最优离焦距离和离焦距离小于最优离焦距离的两种情况下的相位恢复结果；最后，对两种情况下的相位恢复图像通过恰当的融合准则进行图像融合获得最终相位结果。在恰当的融合准则下，相位恢复结果既包含了离焦距离小于最优离焦距离下的丰富、清晰的细节信息，也包含了离焦距离大于最优离焦距离下的相位整体形貌的大小，减小了噪声影响，能够在数值上更加精准地求得待测相位，显著减小恢复相位的误差。

最优离焦距离：利用在此离焦距离下采集的光强图像，通过求解TIE得到相位分布，使其与真实相位最为接近的距离。

请参阅图1，本发明一种基于图像融合的光强传输方程相位恢复方法，包括以下步骤：

S1、采集沿光轴方向的多幅不同离焦距离下的光强图像；

采集沿光轴方向的五幅光强图像，依次记作I_-2,I_-1,I₀,I₊₁,I₊₂,；

其中：“-”号代表处于欠焦面，“+”号代表处于过焦面；I₀为焦面处图像，I_-2和I₊₂为离焦距离大于最优离焦距离的一对，I_-1和I₊₁为离焦距离小于最优离焦距离的一对；I_-1到I₀的距离与I₀到I₊₁的距离大小与方向均相同，记作Δd₁；I_-2到I₀的距离与的I₀到I₊₂的距离大小与方向均相同，记作Δd₂；

S2、利用快速傅里叶变换(FFT)分别求解不同离焦距离的情况下的光强传输方程的解；

光强传输方程(TIE)的一般形式为：

其中，▽为梯度算子，I为垂轴面在沿光轴方向的光强分布，为与光强对应面的相位分布，λ为测量光的波长。

以离焦距离小于最优离焦距离的一组为例说明求解光强传输方程的具体方法。首先确定TIE中左边的光强值和右边的轴向微分值，利用采集的焦面光强分布I₀作为I，利用差分法估计得到光强轴向微分项：

然后，开始求解TIE，引入Teague辅助函数结合TIE，即可得到：

进一步得到:

其中，需要完成两次▽^-2和梯度算子▽的计算，梯度算子▽为：

使用快速傅里叶变换计算得到▽^-2为

其中，i，j分别为x方向和y方向的单位向量，为傅里叶变换，为傅里叶逆变换。(f_x,f_y)为频域坐标，是频谱的自变量。所以，最终在已知I_-1、I₀、I₊₁和它们之间离焦距离Δd₁的情况下，焦面对应相位分布计算式为：

通过上述步骤，即可求得离焦距离小于最优离焦距离的情况下的相位分布，记作

同理，也在已知I_-2、I₀、I₊₂和它们之间离焦距离Δd₂的情况下可求得离焦距离大于最优离焦距离的情况下的相位分布，记作

S3、通过图像融合方法将两种离焦距离的情况下恢复的相位分布融合得到最终精确的相位分布。

首先，将之前获得的相位分布和作为图像融合的原图像输入；然后，使用小波变换对和分别进行多层小波分解到不同频率域，获取各层的小波系数和尺度系数；然后，结合被融合图像的特点设计恰当的融合准则，将各层的系数按照既定的融合准则进行融合；最后，对融合后的系数矩阵进行小波逆变换得到融合后的图像。

S301、使用Mallat小波变换的快速算法对和分别进行多层分解得到各层系数；

Mallat在多分辨分析的基础上，提出了小波变换的快速算法。以相位图像为例，进行N层小波分解：

设是空间R²上的一个多分辨分析，对于二维图像将它在V_i ²空间投影表示为即

其中，A_j为第j层的尺度系数，为第j层图像的水平细节的小波系数，为第j层图像的垂直细节的小波系数，为第j层图像对角细节的小波系数。

经过N层分解得到尺度系数小波系数为：

同理可得，对进行N层小波分解后，得到尺度系数小波系数为：

S302、设计恰当的融合准则，对各层系数按照准则融合；

结合不同离焦距离下所恢复相位图像的特点，设计融合准则如下：

对于低频系数(尺度系数)，直接取平均值为：

对于高频系数(小波系数)，按照局部方差加权平均法(求取两图像窗口内方差，按照方差大小进行加权平均)。

各层图像的窗口内方差为：

其中，j∈[1,N]，M×N为窗口大小，μ为窗口内所有系数平均值。

同理可得各点窗口内方差为

则融合后的各层的小波系数为：

其中，i∈[1,3]，j∈[1,N]，为的各层小波系数，为的各层小波系数，V_j为图像在各层的窗口内的方差。

S303、对融合后的系数矩阵进行小波逆变换获得最终结果。

对融合后的尺度系数和各层小波系数形成的系数矩阵进行小波逆变换，得到融合结果作为最后相位恢复结果。

本发明采用将不同离焦距离的相位恢复图像进行图像融合，充分利用了离焦距离小于最优离焦距离时的优势的高频信息和离焦距离大于最优离焦距离时的优势的低频信息相组合。这样，所得到的相位图像不仅细节丰富、整体形貌吻合、受噪声影响小，而且在数值上，也大大提高了恢复精度。

为使本发明实施例的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。通常在此处附图中的描述和所示的本发明实施例的组件可以通过各种不同的配置来布置和设计。因此，以下对在附图中提供的本发明的实施例的详细描述并非旨在限制要求保护的本发明的范围，而是仅仅表示本发明的选定实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有作出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

仿真验证

请参阅图2，参数设定如下：

待测相位物体(包含丰富的高频和低频信息)，如图2(a)，真实尺寸1.5cm×1.5cm，像素点数512×512，PV值为2π。光源波长为632.8nm。仿真中加入的噪声为泊松噪声(σ²＝0.05)。

光波在各个面之间的衍射传播使用角谱衍射算法进行计算。恢复结果精度评估采用恢复相位与真实相位之间的均方根(RMS)误差：

图2(b)，图2(c)，图2(d)分别显示了真实相位在较小离焦距离(0.05mm)、较大离焦距离(0.4mm)和最优离焦距离(折中选择，0.1mm)下的恢复结果。

可以看出，图2(b)中轮廓清晰、细节丰富，但是整体形貌恢复(可以从颜色轴中看出)偏差大，而且背景中含有云雾状的噪声干扰。

图2(c)中整体形貌接近真实相位且几乎看不到噪声影响，但是轮廓模糊，细节丢失。

图2(d)中，由于是前两者折中的选择，所以可以看出，恢复图像有较为清晰的轮廓、部分细节信息、更加接近的整体形貌和较小的噪声干扰，较前两者有所提高但是仍不够理想。

图2(e)给出了使用本发明所提出的基于图像融合技术的TIE相位恢复方法，对离焦距离为0.05mm和0.4mm的图像进行融合后的结果，可以看到，恢复结果相较之前，轮廓清晰、细节丰富，而且整体形貌与真实图像相吻合的同时几乎看不到噪声的影响。

数值精度上，采用恢复相位的RMS误差计算来进行对比说明，见表1。

表1不同离焦位置以及本方法下的恢复相位的误差

可以看到，本发明的精度相较不同离焦距离所恢复的相位精度均有明显提升，实现了相位恢复精度数值上的提升。

综上所述，本发明所提出的基于图像融合的光强传输方程的相位恢复方法能够明显地提升相位恢复的精度，解决了离焦距离在相位恢复中的选择矛盾的问题。

以上内容仅为说明本发明的技术思想，不能以此限定本发明的保护范围，凡是按照本发明提出的技术思想，在技术方案基础上所做的任何改动，均落入本发明权利要求书的保护范围之内。

Claims (10)

1.一种基于图像融合的光强传输方程相位恢复方法，其特征在于，包括以下步骤：

S1、采集沿光轴方向的多幅不同离焦距离下的光强图像；

S2、利用快速傅里叶变换分别求解离焦距离小于最优离焦距离和离焦距离大于最优离焦距离的两种情况下的光强传输方程的解；

S3、采用图像融合方法将步骤S2两种离焦距离的情况下恢复的相位分布融合得到最终相位结果。

2.根据权利要求1所述的基于图像融合的光强传输方程相位恢复方法，其特征在于，步骤S1中，光强图像包括I_-2,I_-1,I₀,I₊₁,I₊₂，-为处于欠焦面，+为处于过焦面；I₀为焦面处图像，I_-2和I₊₂为离焦距离大于最优离焦距离的一对，I_-1和I₊₁为离焦距离小于最优离焦距离的一对；I_-1到I₀的距离与I₀到I₊₁的距离大小与方向均相同，记作Δd₁；I_-2到I₀的距离与的I₀到I₊₂的距离大小与方向均相同，记作Δd₂。

3.根据权利要求1所述的基于图像融合的光强传输方程相位恢复方法，其特征在于，步骤S2中，离焦距离小的情况下的相位分布为：

其中，为傅里叶变换，为傅里叶逆变换，(f_x,f_y)为频域坐标，I₀为焦面处图像，I_-1和I₊₁为离焦距离小的一对；Δd₁为I_-1到I₀的距离与I₀到I₊₁的距离，为梯度算子，λ为测量光的波长。

4.根据权利要求3所述的基于图像融合的光强传输方程相位恢复方法，其特征在于，梯度算子为：

快速傅里叶变换完成得到为：

其中，i，j分别为x方向和y方向的单位向量。

5.根据权利要求1所述的基于图像融合的光强传输方程相位恢复方法，其特征在于，步骤S3具体为：

将步骤S2获得的相位分布和作为图像融合的原图像输入；然后使用小波变换对和分别进行多层小波分解到不同频率域，获取各层的小波系数和尺度系数；然后结合被融合图像的特点设计恰当的融合准则，将各层的系数按照既定的融合准则进行融合；最后对融合后的系数矩阵进行小波逆变换得到融合后的图像。

6.根据权利要求5所述的基于图像融合的光强传输方程相位恢复方法，其特征在于，具体步骤如下：

S301、使用Mallat小波变换的快速算法对和分别进行多层分解得到各层系数；

S302、设计融合准则对各层系数按照准则融合；

S303、对融合后的尺度系数和各层小波系数形成的系数矩阵进行小波逆变换，得到融合结果即相位恢复结果。

7.根据权利要求6所述的基于图像融合的光强传输方程相位恢复方法，其特征在于，步骤S301中，经过N层分解得到尺度系数小波系数为：

进行N层小波分解后得到尺度系数小波系数为：

8.根据权利要求7所述的基于图像融合的光强传输方程相位恢复方法，其特征在于，设是空间R²上的一个多分辨分析，对于二维图像将它在V_i ²空间投影表示为即

其中，A_j为第j层的尺度系数，为第j层图像的水平细节的小波系数，为第j层图像的垂直细节的小波系数，为第j层图像对角细节的小波系数。

9.根据权利要求6所述的基于图像融合的光强传输方程相位恢复方法，其特征在于，步骤S302中，融合后的尺度系数，直接取平均值为：

融合后各层的小波系数为：

其中，i∈[1,3]，j∈[1,N]，为的各层小波系数，为的各层小波系数，V_j为图像在各层的窗口内的方差。

10.根据权利要求9所述的基于图像融合的光强传输方程相位恢复方法，其特征在于，

对于小波系数，求取两图像窗口内方差，按照方差大小进行加权平均，各层图像的窗口内方差为：

其中，j∈[1,N]，M×N为窗口大小，μ为窗口内所有系数平均值。