CN110308654B - 基于模型预测控制的电感耦合等离子体产生系统的整定方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于模型预测控制的电感耦合等离子体产生系统的整定方法，是以鲁棒稳定性条件、输出的稳态误差判决门限为约束，以最小化不同不确定性等级下的最大输出震荡量为整定目标，根据稳态误差判决门限和不同的电感耦合等离子体产生系统真实模型的不确定性等级自动获取最优整定参数。先建立电感耦合等离子体产生系统的名义数学模型；设计模型预测控制器，构造带约束的代价函数，确定模型预测控制器的整定参数；然后确定电感耦合等离子体产生系统的真实传递函数模型的不确定性等级及灵敏度函数边界值；最后以输出的稳态误差判决门限为约束，确定满足稳态误差和鲁棒稳定性条件的模型预测控制器的整定参数，提升了系统的时域输出性能。

Description

基于模型预测控制的电感耦合等离子体产生系统的整定方法

技术领域

本发明属于自动控制技术领域，涉及一种基于模型预测控制(MPC)算法的电感耦合等离子体产生系统(Inductively Coupled Plasma，简称ICP产生系统)的整定方法。

背景技术

高超声速飞行器再入地球大气层时，机体与空气剧烈摩擦，会产生等离子鞘套。电子密度变化的等离子体鞘层会产生一系列的电磁效应，不仅会削弱通信及检测信号，还会使通信系统的特性发生畸变，极端情况下等离子鞘套会造成飞行器与外界通信中断，产生“黑障”现象。为了复现黑障环境，研究不同电子密度下的等离子体对遥测遥控信号的影响，首要问题便是产生具有特定电子密度参数的等离子体产生装置。因此，实现电子密度准确、高效的控制具有重要意义。

目前，等离子体段的控制方法主要有两种：比例-积分-微分(PID)控制和MPC算法。ICP产生系统的物理进程呈现出多变量耦合、多约束的特点，而MPC在处理多变量耦合和多约束控制问题时，较PID都有着显著的优势。然而，MPC控制算法对控制系统的数学模型有着较高的要求，因而采用MPC算法实现ICP产生系统的可靠性和精确跟踪的前提是获取准确的ICP控制系统的数学模型。事实上，在工程应用中，ICP产生系统的真实控制模型往往是不能确定的，通过输入输出数据辨识得到的名义系统控制模型始终与ICP产生系统的真实控制模型存在辨识误差。模型误差的存在会导致控制器的输出性能恶化，严重时会导致ICP产生系统输出不稳定。同时，工程应用中对控制器的时域输出性能也有着严格的要求。而MPC控制器权重参数选择对控制器的鲁棒性和时域输出性能有着至关重要的影响，故可以通过优化权重参数以解决上述问题。由此可见，需要一种可以提升MPC控制器鲁棒性和时域输出性能的整定优化方法，对传统的MPC控制器的代价函数权重参数进行优化整定，使得预测控制器能够满足不同不确定性等级系统进程的鲁棒性和时域性能要求。

发明内容

基于上述目的，本发明提供一种基于模型预测控制的电感耦合等离子体产生系统的优化方法，为ICP产生系统的控制提供一种整定方法，以解决由于ICP产生系统的控制真实模型的不确定性问题所导致的ICP产生系统的时域输出性能下降的问题。

本发明所采用的技术方案是，基于模型预测的电感耦合等离子体产生系统的整定方法，是以鲁棒稳定性条件、输出的稳态误差判决门限为约束，以最小化不同不确定性等级下的最大输出震荡量为整定目标，根据稳态误差判决门限和不同的ICP产生系统真实模型的不确定性等级自动获取最优整定参数。

进一步的，具体步骤如下：

步骤S1、建立ICP产生系统的名义数学模型；

步骤S2、对ICP产生系统的名义数学模型进行离散化处理；

步骤S3、基于离散化的ICP产生系统的名义数学模型，设计MPC控制器，构造带约束的代价函数；

步骤S4、基于ICP产生系统的名义数学模型，确定ICP产生系统真实的数学模型的不确定性等级；

步骤S5、基于闭环系统鲁棒稳定性条件和ICP产生系统真实传递函数模型的不同不确定性等级，确定灵敏度函数边界值；

步骤S6、以输出的稳态误差判决门限为约束，确定满足稳态误差和鲁棒稳定性条件的MPC控制器的整定参数即最优整定参数，使得不同不确定性等级下的最大输出震荡量最小。

进一步的，所述步骤S1采用稳态响应和动态响应相结合的建模方法建立名义ICP产生系统的名义数学模型，其名义数学模型可表征为：

Y(s)＝G_nom(s)U(s)；

其中，

Ne为电子密度，Ve为气体流速，Y(s)为ICP产生系统的名义数学模型在s域的输出；

P_ICP为电源功率，A_ICP为进气量，U(s)为ICP产生系统的名义数学模型在s域的输入；G_nom(s)为ICP产生系统在s域的名义传递函数模型，

G_nom11(s)为电子密度对电源功率的响应在s域的名义子传递函数模型，G_nom12(s)为电子密度对进气量的响应在s域的名义子传递函数模型，G_nom21(s)为气体流速对电源功率的响应在s域的名义子传递函数模型，G_nom22(s)为气体流速对进气量的响应在s域的名义子传递函数模型；其中，g₁₁为电子密度对电源功率的稳态响应，h₁₁为电子密度对电源功率的动态响应，g₁₂为电子密度对进气量的稳态响应，h₁₂为电子密度对进气量的动态响应，g₂₁为气体流速对电源功率的稳态响应，h₂₁为气体流速对电源功率的动态响应，g₂₂为气体流速对进气量的稳态响应，h₂₂为气体流速对进气量的动态响应。即ICP产生系统的真实传递函数模型由4个子传递函数模型构成。

进一步的，所述步骤S2采用零阶保持法对ICP产生系统的名义数学模型进行离散化，离散化的电ICP产生系统的名义数学模型为：

其中，x(k)为离散化的ICP产生系统的名义模型在当前采样时刻即k采样时刻的状态值，x(k+1)为离散化的ICP产生系统的名义模型在下一采样时刻即k+1采样时刻的状态值，u(k)为离散化的ICP产生系统的名义模型在k采样时刻的输入，y(k)为离散化的ICP产生系统的名义模型在k采样时刻的输出，A、B和C为离散化的ICP产生系统的名义数学模型的状态空间矩阵。

进一步的，所述步骤S3中MPC控制器的代价函数

为：

其中，

为MPC控制器的预测输出；Y_ref为MPC控制器的参考信号，即ICP产生系统的目标信号；U为MPC控制器的输入，即ICP产生系统的输入；H_p为MPC控制器的预测步长，H_c为MPC控制器的控制步长；u_min为输入约束的最小值，u_max为输入约束的最大值，Δu_min为输入增量约束的最小值，Δu_max为输入增量约束的最大值；u(k+j)为MPC控制器当前k时刻所预测k+j采样时刻的输入值；

为MPC控制器在k采样时刻预测的ICP产生系统在k+j采样时刻的状态值，

为MPC控制器在k时刻预测的ICP产生系统在k+j采样时刻的输出值；A^j为状态空间矩阵A的j次方，A^j-i为状态空间矩阵A的j-i次方，Q₁为MPC控制器预测输出和MPC控制器的参考信号的误差的代价函数权重值，Q₂为MPC控制器的输入的代价函数权重；

依据MPC控制器的代价函数得知，通过调节Q₁和Q₂的取值能够调节MPC控制器的控制特性，设定Q₁为一个固定值、Q₂＝γQ₁，γ为整定比，通过γ能够调节MPC控制器的性能，即MPC控制器的整定参数为整定比γ。

进一步的，所述步骤S4中ICP产生系统的真实传递函数模型为：

G_real(z)＝G_nom(z)+ΔG(z)；

其中，G_real(z)为ICP产生系统在z域的真实传递函数模型，G_nom(z)为ICP产生系统在z域的名义传递函数模型，ΔG(z)为ICP产生系统在z域的名义传递函数模型的附加不确定性函数，

则上式中可以写为：

其中，G_nom11(z)表征G_nom11(s)在z域的表达式，G_nom12(z)表征G_nom12(s)在z域的表达式，G_nom21(z)表征G_nom21(s)在z域的表达式，G_nom22(z)表征G_nom22(s)在z域的表达式；ΔG₁₁(z)表征G_nom11(z)的附加不确定性在z域的表达式，ΔG₁₂(z)表征G_nom12(z)的附加不确定性在z域的表达式，ΔG₂₁(z)表征G_nom21(z)的附加不确定性在z域的表达式，ΔG₂₂(z)表征G_nom22(z)的附加不确定性在z域的表达式；G_real11(z)为电子密度对电源功率的响应在z域的真实子传递函数模型，G_real12(z)为电子密度对进气量的响应在z域的真实子传递函数模型，G_real21(z)为气体流速对电源功率的响应在z域的真实子传递函数模型，G_real22(z)为气体流速对进气量的响应在z域的真实子传递函数模型。

进一步的，所述步骤S4中真实的ICP产生系统的传递函数模型的不确定性等级为其4个子传递函数模型的不确定等级的最大值，通过下式计算得到：

上式中，(i’,j’)表征子传递函数的行列，ε_Gnom(i',j')表征ICP产生系统的名义子传递函数模型G_{nom(i′,j′)}的阶跃响应幅值，ε_Greal(i',j')表征ICP产生系统的真实子传递函数模型G_{real(i′,j′)}的阶跃响应幅值；l表征阶跃响应幅值采样个数，t表示阶跃响应幅值的第t个采样点，t＝1,2,…,l；此处得到的是大于零的不确定性等级值ζ。

进一步的，所述步骤S5是先由下式计算出不同不确定性等级ζ下的ICP产生系统的真实传递函数模型的不确定性指数δ：

上式中，i为虚数，ω为奈奎斯特角频率，δ(|ΔG(ζ,e^i2πω)|^-1)表征当前不确定性等级ζ下的ICP产生系统的真实传递函数的不确定性指数值；|ΔG₁₁(ζ,e^i2πω)|^-1表征当前不确定性等级为ζ下电子密度对电源功率的响应的真实子传递函数模型的不确定性指数值；|ΔG₁₂(ζ,e^i2πω)|^-1表征当前不确定性等级为ζ下电子密度对进气量的响应的真实子传递函数模型的不确定性指数值；|ΔG₂₁(ζ,e^i2πω)|^-1表征当前不确定性等级为ζ下气体流速对电源功率的响应的真实的子传递函数模型的不确定性指数值；|ΔG₂₂(ζ,e^i2πω)|^-1表征当前不确定性等级为ζ下气体流速对进气量的响应的真实子传递函数模型的不确定性指数值；

然后根据鲁棒稳定性条件和ICP产生系统的真实传递函数的不确定性指数δ(|ΔG(e^i2πω)|^-1)，得到灵敏度函数边界值；

所述当前不确定性等级为ζ的ICP产生系统的真实传递函数模型的不确定性指数值δ(|ΔG(ζ,e^i2πω)|^-1)的计算方法为：带入当前不确定性等级ζ即可得到ΔG₁₁(z)、ΔG₁₂(z)、ΔG₂₁(z)和ΔG₂₂(z)的表达式，令z＝e^j2πω，再分别计算在整个ω范围内ΔG₁₁(e^j2πω)、ΔG₁₂(e^j2πω)、ΔG₂₁(e^j2πω)和ΔG₂₂(e^j2πω)的绝对值的倒数的最大值，即可得到|ΔG₁₁(ζ,e^j2πω)|^-1，|ΔG₁₂(ζ，e^j2πω)|^-1，|ΔG₂₁(ζ,e^j2πω)|^-1和|ΔG₂₂(ζ,e^j2πω)|^-1；然后选取|ΔG₁₁(ζ,e^j2πω)|^-1、|ΔG₁₂(ζ，e^j2πω)|^-1、|ΔG₂₁(ζ,e^j2πω)|^-1和|ΔG₂₂(ζ,e^j2πω)|^-1中的最大值作为不确定性等级为ζ的ICP产生系统真实模型的不确定性指数δ(|ΔG(ζ,e^i2πω)|^-1)。

进一步的，所述步骤S6先基于二分法搜索算法确定满足稳态误差和鲁棒稳定条件的整定比，具体步骤如下：

步骤S61、预设搜索整定比起始值γ_start和搜索整定比终止值γ_end，则整定比γ为：

γ＝γ_start+γ_end；

步骤S62、设定输出电子密度的稳态误差

和输出气体流速的稳态误差

计算当前整定比γ下，等离子体产生段的控制系统输出的电子密度的最大稳态误差E_Ne(γ,ζ)、气体流速的最大稳态误差E_Ve(γ,ζ)，并执行下式判断：

若上述判断为假，则令γ_start＝γ，并返回步骤S61继续执行；若上述判断为真，则向下执行；

步骤S63、计算当前整定比γ下的灵敏度函数值T_ud(γ,e^j2πω)，并执行下式判断：

|T_ud(γ,e^j2πω)|＜δ

若上述判断为假，则令γ_start＝γ，并返回步骤S61继续执行；若上式判断为真，则向下执行；

步骤S64、计算当前不确定性级数ζ下，在整定比γ作用下电子密度的最大震荡量TV_Ne(γ,ζ)并记录保存，计算公式为：

其中，G_real表示ICP产生系统的真实传递函数，y_Ne(k)表示真实的ICP产生系统在k时刻输出的电子密度，y_Ne(k-1)表示真实的ICP产生系统在k-1时刻输出的电子密度值；

步骤S65、执行γ_end＝γ，并向下执行；

步骤S66、执行γ＝(γ_start+γ_end)/2，并判断下式：

γ＜bp^*

bp^*为预设的二分法搜索的精度，若上式判断为假，则返回步骤S61继续执行；若上式判断为真，则向下执行；

步骤S67、比较步骤S64中计算的所有的TV_Ne(γ,ζ)值，选出其最小值以及其最小值对应的整定比γ，即为最优的整定比γ_RJT；然后将最优整定比γ_RJT作为MPC控制器的整定参数。

进一步的，所述权重矩阵Q₂＝γ_RJTQ₁。

本发明的有益效果是，在确定整定参数时以鲁棒稳定性为约束限制，所确定的参数保证了MPC控制器的鲁棒稳定性。根据真实模型的不确定性等级，自动确定整定参数，保证了MPC控制器的鲁棒稳定性。考虑了输出总震荡量和稳态误差的需求，提升了MPC控制器的时域输出性能。解决了由于ICP产生系统的控制模型的不确定性导致时域输出性能下降的问题。与已有的预测控制整定方法相比，本发明的方法待选参数少、方法简洁、计算量小、通用性强。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1为本发明的模型预测控制器结构框图；

图2为本发明的鲁棒整定算法实现流程图；

图3(a)为不确定性ζ＝0时，本发明方法与传统方式控制的ICP产生系统的电子密度输出对比曲线图；

图3(b)为不确定性ζ＝0.1时，本发明方法与传统方式控制的ICP产生系统的电子密度输出对比曲线图。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

基于预测控制的等离子体产生段的控制系统的优化方法，实现思想是以鲁棒稳定性条件、稳态误差判决门限为约束，以最小化不同不确定性等级下的最大输出震荡量为优化目标，根据稳态误差判决门限和不同的模型不确定性等级自动获取最优的鲁棒整定比。

如图2所示，具体步骤如下：

步骤S1、通过稳态响应和动态响应相结合的建模方法，建立ICP产生系统的名义数学模型。

如图1所示，ICP产生系统的传递函数模型为一个双输入双输出数学模型，其输入为高频电源功率和进气量，其输出为电子密度和气体流速。ICP产生系统的名义数学模型可以表述为：

Y(s)＝G_nom(s)U(s)；

其中，

Y为ICP产生系统的名义数学模型的输出，Ne为ICP产生系统的电子密度，Ve为ICP产生系统的气体流速。U为ICP产生系统的名义数学模型的输入，

P_ICP为ICP产生系统的电源功率，A_ICP为ICP产生系统的进气量。Y(s)，U(s)分别表征s域的输入输出。

G_nom(s)为ICP产生系统在s域的名义传递函数模型，G_mom11(s)为电子密度对电源功率的响应在s域的名义子传递函数模型，G_mom12(s)为电子密度对进气量的响应在s域的名义子传递函数模型，G_mom21(s)为气体流速对进气量的响应在s域的名义子传递函数模型，G_mom22(s)为气体流速对进气量的响应在s域的名义子传递函数模型。

采用稳态响应和动态响应相结合的方式建立ICP产生系统的名义传递函数模型，则ICP产生系统的名义传递函数模型可表示为：

其中，g₁₁为电子密度对电源功率的稳态响应，g₁₂为电子密度对进气量的稳态响应，g₂₁为气体流速对电源功率的稳态响应，g₂₂为气体流速对进气量的稳态响应；h₁₁为电子密度对电源功率的动态响应，h₁₂为电子密度对进气量的动态响应，h₂₁为气体流速对电源功率的动态响应，h₂₂为气体流速对进气量的动态响应。

对于ICP产生系统而言，其输入为电源功率和进气量，输出为电子密度、气体流速的稳态特性数据g₁₁、g₁₂、g₂₁、g₂₂，和动态特性数据h₁₁、h₁₂、h₂₁、h₂₂，均可通过COMSOL软件仿真得出，动态响应数据及稳态响应数据基于COMSOL软件仿真数据并通过模型辨识方法得出。

步骤S2、使用零阶保持法对ICP产生系统的名义数学模型进行离散化处理。

在添加MPC算法之前还需对ICP产生系统的名义数学模型进行离散化处理，此处采用零阶保持法对ICP产生系统的名义数学模型进行离散化处理，采样间隔T_s＝3×10^-4s。处理后的离散化等离子体产生段系统模型可以表示为：

上式中，x(k)为离散化的ICP产生系统的名义模型在当前采样时刻即k采样时刻的状态值，x(k+1)为离散化的ICP产生系统的名义模型在下一采样时刻即k+1采样时刻的状态值，u(k)为离散化的ICP产生系统的名义模型在当前采样时刻的输入，y(k)为离散化的ICP产生系统的名义模型在k采样时刻的输出，A、B和C为离散化的ICP产生系统的状态空间矩阵。

x(k)为离散化ICP产生系统在当前采样时刻的状态，x(k+1)为ICP产生系统在下一采样时刻的状态，u(k)为离散化ICP产生系统在当前采样时刻的输入，y(k)为离散化等离子体产生段系统在当前采样时刻的输出，A、B和C为离散化后的ICP产生系统的名义数学模型的状态空间矩阵。

步骤S3、设计MPC控制器，构造带约束的代价函数，确定MPC控制器的整定参数。

MPC算法是一种基于模型的控制策略，其核心思想是基于系统的显式的内部模型，在当前时刻构造优化问题，MPC控制器通过在线求解该优化问题，确定下一时刻的输入量。MPC控制器的执行流程为：在当前k时刻，MPC控制器根据当前k时刻测量的ICP产生系统的名义数学模型的状态值，将控制问题转化为一个二次规划问题，并对该二次规划问题进行在线求解，求解后得到的优化值将作为k+1时刻的输入。在k+1时刻，MPC控制器将重复k时刻的执行流程，求解得到k+2时刻的输入。为了求解上述二次规划问题，我们还需要构造代价函数

其数学意义为求解最小化代价函数J(k)的优化解Δu(k)。

可由下式表征：

考虑到MPC对控制精度的要求，因此添加

部分，其物理意义为目标输出信号与MPC控制器预测输出的差值的代价函数；考虑到MPC控制器能耗的要求，因此添加||U||²，其物理含义为输入信号的代价函数。在构造上述代价函数，并配合约束条件即可完成二次规划问题的构造，则最小化代价函数的优化解Δu(k)即为上述二次规划问题的最优解。需要说明的是，求出当前k采样时刻的Δu(k)之后，MPC控制器下一时刻的输入u(k+1)则可通过u(k+1)＝u(k)+Δu(k)计算得出。上述代价函数中，

为MPC控制器的预测输出信号，Y_ref为MPC控制器的参考信号，即ICP产生系统的参考输出信号；U为MPC控制器的输入，即ICP产生系统的输入；H_p为控制器的预测步长，H_c为控制器的控制步长。u_min为输入约束的最小值，u_max为输入约束的最大值，Δu_min为输入增量约束的最小值，Δu_max为输入增量约束的最大值，u(k+j)为MPC控制器在k+j时刻的输入值。

为MPC控制器预测的ICP产生系统在k+j采样时刻的状态值，

为MPC控制器预测的ICP产生系统在k+j时刻的输出值。A^j为状态空间矩阵A的j次方，A^j-i为状态空间矩阵A的j-i次方。Q₁为MPC控制器预测的输出和MPC控制器的参考信号的误差的代价函数权重值，Q₂为MPC控制器的输入的代价函数权重，Q₁和Q₂为权重矩阵，Q₁的取值影响输出的控制精度，Q₂的取值影响输入的能耗。直观而言，Q₁的取值大时而Q₂的取值小时，MPC控制器的控制灵敏度提升而鲁棒性能下降；反之，则MPC的控制器的控制灵敏度下降而鲁棒性能提升。则MPC控制器的控制特性可以通过Q₁和Q₂的取值来调节。此处，设定Q₁为一个固定值、Q₂＝γQ₁，γ为整定比。则设定闭环系统的性能优化可以通过改变整定比γ的值进行调节，即MPC控制器的整定参数为整定比γ。

步骤S4、估计ICP产生系统的真实传递函数模型的不确定性等级。

由于ICP产生系统的真实传递函数模型可能存在非线性或者参数扰动，加之某些未知的系统的一些状态难以准确观测得到，又或真实的ICP产生系统的元器件的非线性特性，故我们所获得的系统参数并不能准确的描述被控对象进程。这使得我们难以准确描述ICP产生系统的真实传递函数模型，上述原因造成了经过辨识得到的ICP产生系统的名义传递函数模型必然存在一定量的误差。模型误差会导致控制器性能下降，严重时还会造成控制器的输出不稳定，而ICP产生系统的高功率和高动态特性使得这种现象更为严重。为了准确的描述不确定性问题，我们认为对于ICP产生系统的真实传递函数模型，其参数围绕ICP产生系统的名义传递函数模型参数附近上下波动。设经模型辨识所得到ICP产生系统的名义传递函数模型为G_nom，ICP控制系统的真实模型以G_nom为基准上下扰动，则ICP产生系统的真实传递函数模型G_real(z)在z域的形式可由下式所表征。

G_real(z)＝G_nom(z)+ΔG(z)；

其中，

则上式中可以写为：

其中，G_nom11(z)表征G_nom11(s)在z域的表达式，G_nom12(z)表征G_nom12(s)在z域的表达式，G_nom21(z)表征G_nom21(s)在z域的表达式，G_nom22(z)表征G_nom22(s)在z域的表达式；ΔG₁₁(z)表征G_nom11(z)的附加不确定性在z域的表达式，ΔG₁₂(z)表征G_nom12(z)的附加不确定性在z域的表达式，ΔG₂₁(z)表征G_nom21(z)的附加不确定性在z域的表达式，ΔG₂₂(z)表征G_nom22(z)的附加不确定性在z域的表达式；G_real11(z)为电子密度对电源功率的响应在z域的真实子传递函数模型，G_real12(z)为电子密度对进气量的响应在z域的真实子传递函数模型，G_real21(z)为气体流速对电源功率的响应在z域的真实子传递函数模型，G_real22(z)为气体流速对进气量的响应在z域的真实子传递函数模型。

ICP产生系统的名义传递函数模型由4个子传递函数构成，真实ICP产生系统模型不确定性等级可通过以下步骤求出：

1.分别求出ICP产生系统真实的4个子传递函数的不确定等级；

2.选择上述4个子传递函数的不确定等级的最大值作为ICP产生系统真实模型的不确定性等级，即ICP产生系统真实模型的不确定性等级可由所求出的子传递函数的不确定性等级的最大值所确定。设ICP控制系统的真实模型相对于名义ICP控制系统模型而言，其不确定性等级为η，ICP产生系统的真实传递函数模型的不确定级数可以通过下式计算得到：

其中，(i’,j’)表征子传递函数的行列，ε_Gnom(i',j')表征ICP产生系统的名义子传递函数模型G_{nom(i′,j′)}的阶跃响应幅值，ε_Greal(i',j')表征ICP产生系统真实的子传递函数模型G_{real(i′,j′)}的阶跃响应幅值；l表征阶跃响应幅值采样个数，k表示阶跃响应幅值的第t个采样点，t＝1,2,…,l；首先求出l个阶跃响应幅值采样点的ICP产生系统的名义子传递函数模型G_{nom(i′,j′)}的阶跃响应幅值和ICP产生系统的真实子传递函数模型G_{real(i′,j′)}的阶跃响应幅值；然后计算ICP产生系统的名义子传递模型G_{nom(i′,j′)}的阶跃响应幅值和ICP产生系统真实的子传递函数模型G_{real(i′,j′)}的阶跃响应幅值在各阶跃响应幅值采样点的差值的绝对值之和，得到

将得到的

除以ICP产生系统的名义子传递函数模型G_{nom(i′,j′)}在l个阶跃响应幅值采样点的阶跃响应幅值之和得到

即得到的ICP产生系统的真实子传递函数模型G_{real(i′,j′)}的不确定性等级；比较求出的4个子传递函数的不确定性等级，将4个子传递函数的不确定性等级的最大值作为ICP产生系统的真实数学模型的不确定性等级，此处得到的是大于零的不确定性等级值ζ。ζ表示ICP产生系统的真实传递函数所有参数值都以ICP产生系统的名义传递函数模型参数为基准而上下波动，波动范围为±ζ。

步骤S5、基于ICP产生系统的真实传递函数的不确定性等级和鲁棒稳定性条件，即可计算灵敏度函数边界值。

基于步骤S4中计算得到ζ，可由下式计算出ICP产生系统的真实传递函数的不确定性指数值δ：

上式中，i为虚数，ω为奈奎斯特角频率，δ(|ΔG(ζ,e^i2πω)|^-1)表征当前不确定性等级ζ下的ICP产生系统真实的传递函数的不确定性指数值；|ΔG₁₁(ζ,e^i2πω)|^-1表征当前不确定性等级为ζ下电子密度对电源功率的响应的真实子传递函数模型的不确定性指数值；|ΔG₁₂(ζ,e^i2πω)|^-1表征当前不确定性等级为ζ下电子密度对进气量的响应的真实子传递函数的不确定性指数值；|ΔG₂₁(ζ,e^i2πω)|^-1表征当前不确定性等级为ζ下气体流速对电源功率的响应的真实的传递函数的不确定性指数值；|ΔG₂₂(ζ,e^i2πω)|^-1表征当前不确定性等级为ζ下气体流速对进气量的响应的真实子传递函数的不确定性指数值。

所述当前不确定性等级为ζ的ICP产生系统的真实传递函数模型的不确定性指数值δ(|ΔG(ζ,e^i2πω)|^-1)的计算方法为：带入当前不确定性等级ζ即可得到ΔG₁₁(z)、ΔG₁₂(z)、ΔG₂₁(z)和ΔG₂₂(z)的表达式，令z＝e^j2πω，再分别计算在整个ω范围内ΔG₁₁(e^j2πω)、ΔG₁₂(e^j2πω)、ΔG₂₁(e^j2πω)和ΔG₂₂(e^j2πω)的绝对值的倒数的最大值，即可得到|ΔG₁₁(ζ,e^j2πω)|^-1，|ΔG₁₂(ζ，e^j2πω)|^-1，|ΔG₂₁(ζ,e^j2πω)|^-1和|ΔG₂₂(ζ,e^j2πω)|^-1；然后选取|ΔG₁₁(ζ,e^j2πω)|^-1、|ΔG₁₂(ζ，e^j2πω)|-¹、|ΔG₂₁(ζ,e^j2πω)|^-1和|ΔG₂₂(ζ,e^j2πω)|^-1中的最大值作为不确定性等级为ζ的ICP产生系统的真实不确定性指数δ(|ΔG(ζ,e^i2πω)|^-1)。

然后根据鲁棒稳定性条件和ICP产生系统的真实模型的不确定性指数δ(|ΔG(e^{i2 πω})|^-1)，计算灵敏度函数边界值；对于MPC控制器，需严格满足以下鲁棒稳定性条件：

上式中，T_ud(z)表征ICP产生系统的名义数学模型即名义ICP产生系统的灵敏度函数在z域的数学表达式，α(|T_ud(γ,e^i2πω)|)表征名义的ICP产生系统在整定比γ下的灵敏度函数值。α(|T_ud(γ,e^i2πω)|)的计算方法为：利用名义的ICP产生系统的状态空间矩阵A，B，C和权重值Q₁和Q₂(Q₂通过Q₂＝γQ₁确定)求出其z域灵敏度函数的表达式，然后转化为频域形式并求出在ω下的最大值即可得出α(|T_ud(γ,e^i2πω)|)。由上式可知，对于任意ω下的名义的ICP产生系统的灵敏度函数而言，名义的ICP产生系统的灵敏度函数值应当严格小于不确定性指数δ(|ΔG(e^i2πω)|^-1)的值。

步骤S6、基于二分法搜索算法确定满足稳态误差和鲁棒稳定条件的整定比；

步骤S61、人为预设搜索整定比起始值γ_start和搜索整定比终止值γ_end，则初始整定比γ为

γ＝(γ_start+γ_end)/2

步骤S62、分别设定输出电子密度的稳态误差

和输出气体流速的稳态误差

计算当前整定比γ下，等离子体产生段的控制系统输出的电子密度的最大稳态误差E_Ne(γ,ζ)和气体流速的最大稳态误差E_Ve(γ,ζ)，并执行下式判断：

判断E_Ne(γ,ζ)和E_Ve(γ,ζ)是否均满足稳态误差要求，若上述判断为假，则设定γ_start＝γ，并返回步骤S61继续执行；若上述判断为真，则向下执行；

步骤S63、计算当前调整定比γ下的控制灵敏度函数值T_ud(γ,e^j2πω)，并执行下式判断：

|T_ud(γ,e^j2πω)|＜δ

若上述判断为假，则令γ_start＝γ，并返回步骤S61继续执行；若上式判断为真，则向下执行；

步骤S64、定义不确定性级数ζ下的电子密度的最大输出震荡量TV_Ne(γ,ζ)如下式所示：

上式中G_p表示ICP产生系统真实的传递函数模型，y_Ne(k)表示真实ICP产生系统在k时刻输出的电子密度，y_Ne(k-1)表示真实的ICP产生系统在k-1时刻输出的电子密度值；计算当前整定比γ下电子密度的最大震荡量TV_Ne(γ,ζ)并记录保存；

步骤S65、执行γ_end＝γ，并向下执行；

步骤S66、执行γ＝(γ_start+γ_end)/2，并判断下式：

γ＜bp^*

bp^*为预设的二分法搜索算法的精度，若上式判断为假，则返回步骤S61继续执行；若上式判断为真，则向下执行；

步骤S67、比较步骤S64中的TV_Ne(γ)值，并选出TV_Ne(γ)的最小值以及该最小值对应的整定比γ，该正定比γ即为最优的整定比γ_RJT，则Q₂取值便可以通过Q₂＝γ_RJTQ₁，Q₁可为自适应单位矩阵。

将得到的最优的整定比作为改进后的MPC控制器整定参数。

本发明的效果可通过以下仿真(使用COMSOL和MATLAB软件)进一步说明：

基于感性耦合放电方式的等离子体产生段为一个二维轴对称结构，进气段采用氩气供给。该模型的轴向半径为0.16m，线圈匝数为4匝，径向距离为0.8m，入口处半径为0.05m。仿真环境的初始条件为：固定压强为5pa，射频输入功率为600～1000W，进气量为1.5-30g/s。初始边界条件为：电子密度为10¹²/m³，平均电子能量为3V，温度为300K。

设预设等离子体密度设定值为2×10¹⁹～3×10¹⁹m^-3的阶跃变化，对应的预设气体流速预设值为60m/s，最大不确定性等级设为10％，采样时间为3×10^-4s，预测长度为1，控制步长为3，二分法搜索精度为1×10^-6。

使用传统整定方法未进行整定参数优化的整定比为γ₀，经过本发明所提出的鲁棒联合整定方法得到的整定参数为γ_RJT，通过经验整定优化后的整定比为γ_ET。为了说明该种方法的有效性，选取了典型的不确定ζ＝0和ζ＝0.1，分别对目标电子密度的阶跃信号进行跟踪仿真，其结果如图3所示，其中图3(a)为不确定性ζ＝0时的跟踪结果，图3(b)为不确定性ζ＝0.1时跟踪结果。

由图3(a)可见，不确定性ζ＝0时，ICP控制系统的输出控制器在整定比为γ_ET和γ_RJT的电子密度的输出性能相当，稳态误差较小，同时电子密度输出最终保持稳定；然而，ICP控制系统的输出控制器在整定比为γ₀下的电子密度的输出虽然最终也保持稳定，但是存在较为严重的稳态误差。由图3(b)可见，在不确定性ζ＝0.1时，在整定比为γ₀条件下，最终使得电子密度输出值保持稳定，但是始终存在较为严重的稳态误差。在整定比为γ_ET条件下，控制器的输出震荡较大，输出值不再稳定，不能准确跟踪设定值。而经过本发明方法优化后所得到的整定比γ_RJT条件下，的相较于传统的预测控制算法的输出震荡量明显减小，并且实现了准确跟踪，证明本发明是有效的。

以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并非用于限定本发明的保护范围。凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换、改进等，均包含在本发明的保护范围内。

Claims (10)

1.基于模型预测控制的电感耦合等离子体产生系统的整定方法，其特征在于，是以鲁棒稳定性条件、输出的稳态误差判决门限为约束，以最小化不同不确定性等级下的最大输出震荡量为整定目标，根据输出的稳态误差判决门限和不同的电感耦合等离子体产生系统真实模型的不确定性等级自动获取最优整定参数。

2.根据权利要求1所述的基于模型预测控制的电感耦合等离子体产生系统的整定方法，其特征在于，具体步骤如下：

步骤S1、建立电感耦合等离子体产生系统的名义数学模型；

步骤S2、对电感耦合等离子体产生系统的名义数学模型进行离散化；

步骤S3、基于离散化的电感耦合等离子体产生系统的名义数学模型，设计MPC控制器，构造带约束的代价函数；

步骤S4、基于电感耦合等离子体产生系统的名义数学模型，确定电感耦合等离子体产生系统的真实传递函数模型的不确定性等级；

步骤S5、基于闭环系统鲁棒稳定性条件和电感耦合等离子体产生系统的真实传递函数模型的不同不确定性等级，基于电感耦合等离子体产生系统的真实模型，确定灵敏度函数的边界值；

步骤S6、以输出的稳态误差判决门限为约束，确定满足稳态误差和鲁棒稳定性条件的MPC控制器的整定参数即最优整定参数，使得不同不确定性等级下的最大输出震荡量最小。

3.根据权利要求2所述的模型基于预测控制的电感耦合等离子体产生系统的整定方法，其特征在于，所述步骤S1采用稳态响应和动态响应相结合的建模方法建立电感耦合等离子体产生系统的名义数学模型，建立的电感耦合等离子体产生系统的名义数学模型为：

Y(s)＝G_nom(s)U(s)；

其中，

Ne为电子密度，Ve为气体流速，Y(s)为电感耦合等离子体产生系统的名义数学模型在s域的输出；

P_ICP为电源功率，A_ICP为进气量，U(s)为电感耦合等离子体产生系统的名义数学模型在s域的输入；G_nom(s)为电感耦合等离子体产生系统在s域的名义传递函数模型，

G_nom11(s)为电子密度对电源功率的响应在s域的名义子传递函数模型，G_nom12(s)为电子密度对进气量的响应在s域的名义子传递函数模型，G_nom21(s)为气体流速对电源功率的响应在s域的名义子传递函数模型，G_nom22(s)为气体流速对进气量的响应在s域的名义子传递函数模型；其中，g₁₁为电子密度对电源功率的稳态响应，h₁₁为电子密度对电源功率的动态响应，g₁₂为电子密度对进气量的稳态响应，h₁₂为电子密度对进气量的动态响应，g₂₁为气体流速对电源功率的稳态响应，h₂₁为气体流速对电源功率的动态响应，g₂₂为气体流速对进气量的稳态响应，h₂₂为气体流速对进气量的动态响应，即电感耦合等离子体产生系统的名义传递函数模型由4个子传递函数模型构成。

4.根据权利要求3所述的基于模型预测控制的电感耦合等离子体产生系统的整定方法，其特征在于，所述步骤S2采用零阶保持法对电感耦合等离子体产生系统的名义数学模型进行离散化，离散化的电感耦合等离子体产生系统的名义数学模型为：

其中，x(k)为离散化的电感耦合等离子体产生系统的名义模型在当前采样时刻即k采样时刻的状态值，x(k+1)为离散化的电感耦合等离子体产生系统的名义模型在下一采样时刻即k+1采样时刻的状态值，u(k)为离散化的电感耦合等离子体产生系统的名义模型在k采样时刻的输入，y(k)为离散化的电感耦合等离子体产生系统的名义模型在k采样时刻的输出，A、B和C为离散化的电感耦合等离子体产生系统的名义数学模型的状态空间矩阵。

5.根据权利要求4所述的基于模型预测控制的电感耦合等离子体产生系统的整定方法，其特征在于，所述步骤S3中MPC控制器的代价函数

为：

其中，

为MPC控制器的预测输出；Y_ref为MPC控制器的参考信号，即电感耦合等离子体产生系统的目标信号；U为MPC控制器的输入，即电感耦合等离子体产生系统的输入；H_p为MPC控制器的预测步长，H_c为MPC控制器的控制步长；u_min为输入约束的最小值，u_max为输入约束的最大值，Δu_min为输入增量约束的最小值，Δu_max为输入增量约束的最大值；u(k+j)为MPC控制器当前k时刻所预测k+j采样时刻的输入值；

为MPC控制器在k采样时刻预测的电感耦合等离子体产生系统在k+j采样时刻的状态值，

为MPC控制器在k时刻预测的电感耦合等离子体产生系统在k+j采样时刻的输出值；A^j为状态空间矩阵A的j次方，A^j-i为状态空间矩阵A的j-i次方，Q₁为MPC控制器预测输出和MPC控制器的参考信号的误差的代价函数权重值，Q₂为MPC控制器的输入的代价函数权重；

依据MPC控制器的代价函数得知，通过调节Q₁和Q₂的取值能够调节MPC控制器的控制特性，设定Q₁为一个固定值、Q₂＝γQ₁，γ为整定比，通过γ能够调节MPC控制器的性能，即MPC控制器的整定参数为整定比γ。

6.根据权利要求4或5所述的基于模型预测控制的电感耦合等离子体产生系统的整定方法，其特征在于，所述步骤S4中电感耦合等离子体产生系统的真实传递函数模型为：

G_real(z)＝G_nom(z)+ΔG(z)；

其中，G_real(z)为电感耦合等离子体产生系统在z域的真实传递函数模型，G_nom(z)为电感耦合等离子体产生系统在z域的名义传递函数模型，ΔG(z)为电感耦合等离子体产生系统在z域的名义传递函数模型的附加不确定性函数，

则上式中可以写为：

其中，G_nom11(z)表征G_nom11(s)在z域的表达式，G_nom12(z)表征G_nom12(s)在z域的表达式，G_nom21(z)表征G_nom21(s)在z域的表达式，G_nom22(z)表征G_nom22(s)在z域的表达式；ΔG₁₁(z)表征G_nom11(z)的附加不确定性在z域的表达式，ΔG₁₂(z)表征G_nom12(z)的附加不确定性在z域的表达式，ΔG₂₁(z)表征G_nom21(z)的附加不确定性在z域的表达式，ΔG₂₂(z) 表征G_nom22(z)的附加不确定性在z域的表达式；G_real11(z)为电子密度对电源功率的响应在z域的真实子传递函数模型，G_real12(z)为电子密度对进气量的响应在z域的真实子传递函数模型，G_real21(z)为气体流速对电源功率的响应在z域的真实子传递函数模型，G_real22(z)为气体流速对进气量的响应在z域的真实子传递函数模型。

7.根据权利要求6所述的基于模型预测控制的电感耦合等离子体产生系统的整定方法，其特征在于，所述步骤S4中电感耦合等离子体产生系统的真实传递函数模型的不确定性等级为其4个子传递函数模型的不确定等级的最大值，通过下式计算得到：

上式中，(i’,j’)表征子传递函数的行列，ε_Gnom(i',j')表征电感耦合等离子体产生系统的名义子传递函数模型G_{nom(i′,j′)}的阶跃响应幅值，ε_Greal(i',j')表征电感耦合等离子体产生系统的真实子传递函数模型G_{real(i′,j′)}的阶跃响应幅值；l表征阶跃响应幅值采样个数，t表示阶跃响应幅值的第t个采样点，t＝1,2,…,l；此处得到的是大于零的不确定性等级值ζ。

8.根据权利要求7所述的基于模型预测控制的电感耦合等离子体产生系统的整定方法，其特征在于，所述步骤S5是先由下式计算出不同不确定性等级ζ下的电感耦合等离子体产生系统的真实传递函数模型的不确定性指数δ：

上式中，i为虚数，ω为奈奎斯特角频率，δ(|ΔG(ζ,e^i2πω)|^-1)表征当前不确定性等级ζ下的电感耦合等离子体产生系统的真实传递函数的不确定性指数值；|ΔG₁₁(ζ,e^i2πω)|^-1表征当前不确定性等级为ζ下电子密度对电源功率的响应的真实子传递函数模型的不确定性指数值；|ΔG₁₂(ζ,e^i2πω)|^-1表征当前不确定性等级为ζ下电子密度对进气量的响应的真实子传递函数模型的不确定性指数值；|ΔG₂₁(ζ,e^i2πω)|^-1表征当前不确定性等级为ζ下气体流速对电源功率的响应的真实子传递函数模型的不确定性指数值；|ΔG₂₂(ζ,e^i2πω)|^-1表征当前不确定性等级为ζ下气体流速对进气量的响应的真实子传递函数模型的不确定性指数值；

然后根据鲁棒稳定性条件和电感耦合等离子体产生系统的真实传递函数的不确定性指数δ(|ΔG(e^i2πω)|^-1)，即可得到灵敏度函数边界值；

所述当前不确定性等级为ζ的电感耦合等离子体产生系统的真实传递函数模型的不确定性指数值δ(|ΔG(ζ,e^i2πω)|^-1)的计算方法为：带入当前不确定性等级ζ即可得到ΔG₁₁(z)、ΔG₁₂(z)、ΔG₂₁(z)和ΔG₂₂(z)的表达式，令z＝e^j2πω，再分别计算在整个ω范围内ΔG₁₁(e^j2πω)、ΔG₁₂(e^j2πω)、ΔG₂₁(e^j2πω)和ΔG₂₂(e^j2πω)的绝对值的倒数的最大值，即可得到|ΔG₁₁(ζ,e^j2πω)|^-1，|ΔG₁₂(ζ，e^j2πω)|^-1，|ΔG₂₁(ζ,e^j2πω)|^-1和|ΔG₂₂(ζ,e^j2πω)|^-1；然后选取|ΔG₁₁(ζ,e^j2πω)|^-1、|ΔG₁₂(ζ，e^j2πω)|^-1、|ΔG₂₁(ζ,e^j2πω)|^-1和|ΔG₂₂(ζ,e^j2πω)|^-1中的最大值作为不确定性等级为ζ的ICP产生系统的真实传递函数模型的不确定性指数δ(|ΔG(ζ,e^i2πω)|^-1)。

9.根据权利要求8所述的模型基于预测控制的电感耦合等离子体产生系统的整定方法，其特征在于，所述步骤S6先基于二分法搜索算法确定满足稳态误差和鲁棒稳定条件的整定比，具体步骤如下：

步骤S61、预设搜索整定比起始值γ_start和搜索整定比终止值γ_end，则初始化的搜索整定比值γ设为：

γ＝(γ_start+γ_end)/2；

步骤S62、设定输出电子密度的稳态误差

和输出气体流速的稳态误差

计算当前整定比γ下，等离子体产生段的控制系统输出的电子密度的最大稳态误差E_Ne(γ,ζ)、气体流速的最大稳态误差E_Ve(γ,ζ)，并执行下式判断：

若上述判断为假，则令γ_start＝γ，并返回步骤S61继续执行；若上述判断为真，则向下执行；

步骤S63、计算当前整定比γ下的灵敏度函数值T_ud(γ,e^j2πω)，并执行下式判断：

|T_ud(γ,e^j2πω)|＜δ

若上述判断为假，则令γ_start＝γ，并返回步骤S61继续执行；若上式判断为真，则向下执行；

步骤S64、计算当前不确定性级数ζ下，在整定比γ作用下电子密度的最大震荡量TV_Ne(γ,ζ)并记录保存，计算公式为：

其中，G_real表示电感耦合等离子体产生系统的真实传递函数，y_Ne(k)表示真实的电感耦合等离子体产生系统在k时刻输出的电子密度，y_Ne(k-1)表示真实的电感耦合等离子体产生系统在k-1时刻输出的名义电子密度值；

步骤S65、执行γ_end＝γ，并向下执行；

步骤S66、执行γ＝(γ_start+γ_end)/2，并判断下式：

γ＜bp^*

bp^*为预设的二分法搜索的精度，若上式判断为假，则返回步骤S61继续执行；若上式判断为真，则向下执行；

步骤S67、比较步骤S64中计算的所有的TV_Ne(γ,ζ)值，选出其最小值以及其最小值对应的整定比γ，即为最优的整定比γ_RJT；然后将最优整定比γ_RJT作为MPC控制器的整定参数。

10.根据权利要求9所述的基于模型预测控制的电感耦合等离子体产生系统的整定方法，其特征在于，所述权重矩阵Q₂＝γ_RJT Q₁。

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