KR20180138498A - 비엄격 피드백 기반 비선형 시스템의 제어 장치 - Google Patents

비엄격 피드백 기반 비선형 시스템의 제어 장치 Download PDF

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KR20180138498A
KR20180138498A KR1020170078783A KR20170078783A KR20180138498A KR 20180138498 A KR20180138498 A KR 20180138498A KR 1020170078783 A KR1020170078783 A KR 1020170078783A KR 20170078783 A KR20170078783 A KR 20170078783A KR 20180138498 A KR20180138498 A KR 20180138498A
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유성진
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    • G05—CONTROLLING; REGULATING
    • G05B—CONTROL OR REGULATING SYSTEMS IN GENERAL; FUNCTIONAL ELEMENTS OF SUCH SYSTEMS; MONITORING OR TESTING ARRANGEMENTS FOR SUCH SYSTEMS OR ELEMENTS
    • G05B6/00—Internal feedback arrangements for obtaining particular characteristics, e.g. proportional, integral or differential
    • G05B6/02—Internal feedback arrangements for obtaining particular characteristics, e.g. proportional, integral or differential electric
    • G—PHYSICS
    • G05—CONTROLLING; REGULATING
    • G05B—CONTROL OR REGULATING SYSTEMS IN GENERAL; FUNCTIONAL ELEMENTS OF SUCH SYSTEMS; MONITORING OR TESTING ARRANGEMENTS FOR SUCH SYSTEMS OR ELEMENTS
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Abstract

비엄격 피드백 기반의 비선형 시스템의 제어 장치는, 상태 변수 및 시간 지연된 상태 변수와 관련하여 비선형 함수를 포함하는 비엄격 피드백 (nonstrict-feedback) 기반의 비선형 시스템; 및 비선형 시스템의 출력 에러가 유계(有界)되는 제어 입력을 산출하는 제어기; 를 포함할 수 있다.
이와 같은 비엄격 피드백 기반의 비선형 시스템의 제어 장치에 의하면, 상태 변수 등과 같이 소정의 설계 상수나 파라미터에 민감하게 반응하지 않으며, 출력 에러가 소정의 경계값에 의해 유계(有界)되는 안정화된 시스템을 제공할 수 있다. 또한, 경계값은 조절 가능한 값으로 사용자가 사전에 설정 가능하다. 즉, 사용자가 사전에 제어 장치의 성능을 조절할 수 있으며, 경계값의 설정에 따라 시스템의 정확성을 향상시킬 수 있다. 또한, 미지의 비엄격 피드백 및 미지의 비선형이 적용될 수 있다. 시간 지연을 포함하며, 이 때 시간 지연 또한 미지의 시간 지연이 적용될 수 있다. 또한, 시스템 내부의 특성뿐만 아니라 시스템에 인가되는 외부의 외란 또한 적용할 수 있다. 이와 같이 외부 외란 및 시간 지연의 적용에도 불구하고, 경계값을 설정함으로써 외란이나 시간 가변성 지연의 영향을 감소시키고 안정성 및 정확성이 향상된 비선형 시스템을 제공할 수 있다. 또한, 상태 변수 및 시간 지연과 관련된 비선형 함수들을 구성하고 있으므로, 화학 반응기, 재활용 저장 탱크, 풍력 터빈, 로봇 시스템 등과 같이 다양한 영역의 비선형 시스템에 적응적으로 이용될 수 있다.

Description

비엄격 피드백 기반 비선형 시스템의 제어 장치{Control Apparatus for Nonlinear System Based on Nonstrict-Feedback}
본 발명은 시간 가변성 지연을 포함하는 비엄격 피드백 기반 비선형 시스템의 제어 장치에 관한 것이다.
비선형 시스템에 있어서 지난 10여년 간 백스테핑(backstepping), 동적 표면 제어 기법(dynamic surface control method) 등과 같이 엄격 피드백 기반의 비선형 시스템의 제어 방법이 주로 이용되어 왔다. 이와 같은 엄격 피드백 기반의 비선형 시스템의 제어 방법에는 반복적 구조 갖는 i차 동적 방정식이 적용되고 있는데, 엄격 피드백 기반의 i차 동적 방적식의 비선형 함수는 첫번째 상태 변수의 설정에 따라 과도한 출력 에러를 발생시킬 수 있다는 제약을 가지게 되었다.
최근에는 비엄격 피드백 기반의 비선형 시스템의 제어 방법이 활발하게 연구되고 있으나, 여전히 과도한 출력 에러의 발생을 극복하지 못하고 있으며, 출력 에러를 조절하지 못하는 어려움이 존재하고 있다. 현재까지 개발된 비엄격 피드백 기반의 비선형 시스템의 제어 방법은 출력 에러의 경계값을 규정하기 어려우며, 이에 따라 시스템의 정확성 및 안정성을 보장하지 못하는 문제를 가지고 있는 것이다.
이에 대응하여 과도한 출력 에러를 방지하고 에러의 경계값을 갖는 즉, 시스템의 정확성과 안정성을 향상시키는 제어 방법에 대한 개발 니즈가 있는 실정이다.
관련 선행기술로는 대한민국 등록특허공보 제10-1727491호(발명의 명칭: 직접 이산 설계 기법을 적용한 제어 장치 및 그 방법, 공개일자: 2017. 04. 11)가 있다.
본 발명은 출력 에러가 소정의 경계값에 의해 유계되는 비엄격 피드백 기반의 비선형 시스템의 제어 장치를 제공하고자 한다.
상술한 과제를 해결하기 위하여, 다음과 같은 비엄격 피드백 기반의 비선형 시스템의 제어 장치가 제공된다.
비엄격 피드백 기반의 비선형 시스템의 제어 장치는, 상태 변수 및 시간 지연된 상태 변수와 관련하여 비선형 함수를 포함하는 비엄격 피드백 (nonstrict-feedback) 기반의 비선형 시스템; 및 비선형 시스템의 출력 에러가 유계(有界)되는 제어 입력을 산출하는 제어기; 를 포함할 수 있다.
비선형 시스템은, 하기의 [수학식 1]을 이용하여 설계될 수 있다.
[수학식 1]
Figure pat00001

여기서, i=1,2,…, n-1에 대하여,
Figure pat00002
및
Figure pat00003
는 상태 변수,
Figure pat00004
는 비선형 시스템의 출력,
Figure pat00005
는 비선형 시스템의 제어 입력을 각각 의미하며,
Figure pat00006
는 소정의 상수
Figure pat00007
,
Figure pat00008
, 및
Figure pat00009
에 대해
Figure pat00010
및
Figure pat00011
의 조건을 가지는 시간 지연,
Figure pat00012
는 시간 지연된 상태 변수,
Figure pat00013
는 상태 변수의 초기값,
Figure pat00014
는 비선형 함수,
Figure pat00015
는
Figure pat00016
의 조건을 가지는 비선형 함수,
Figure pat00017
는
Figure pat00018
의 조건을 가지는 비선형 함수,
Figure pat00019
는 외부 외란을 각각 의미한다.
출력 에러는, 하기의 [수학식 2]를 이용하여 정의될 수 있다.
[수학식 2]
Figure pat00020

여기서,
Figure pat00021
는 소정의 상수
Figure pat00022
에 대해
Figure pat00023
의 조건을 만족하는 출력 에러,
Figure pat00024
는 비선형 시스템의 출력, 및
Figure pat00025
는 목표 신호를 각각 의미한다.
목표 신호는, 연속(continuous), 소정의 상수
Figure pat00026
에 대해
Figure pat00027
, 및 소정의 상수
Figure pat00028
에 대해
Figure pat00029
의 조건을 만족할 수 있다.
비선형 시스템은 폐루프(closed-loop) 시스템이고, 폐루프 시스템의 목표 신호는 유계(有界)일 수 있다.
비선형 함수
Figure pat00030
는, 소정의 상수
Figure pat00031
에 대해
Figure pat00032
및
Figure pat00033
의 조건을 만족할 수 있다.
비선형 함수
Figure pat00034
및
Figure pat00035
은, 소정의
Figure pat00036
함수
Figure pat00037
및
Figure pat00038
에 대해,
Figure pat00039
및
Figure pat00040
의 조건을 만족할 수 있다.
외부 외란은, 소정의 상수
Figure pat00041
에 대해
Figure pat00042
의 조건을 만족할 수 있다.
제어기는, 하기의 [수학식 4]을 이용하여 제어 입력을 산출할 수 있다.
[수학식 4]
Figure pat00043

여기서,
Figure pat00044
는 가상 제어 법칙(virtual conntrol laws),
Figure pat00045
,
Figure pat00046
,
Figure pat00047
는 파라미터,
Figure pat00048
는
Figure pat00049
을 만족하는 파라미터
Figure pat00050
에 대한 추정값,
Figure pat00051
는 튜닝 이득을 각각 의미하며, 에러 표면
Figure pat00052
, 상수
Figure pat00053
및
Figure pat00054
,
Figure pat00055
을 만족하는 파라미터
Figure pat00056
,
Figure pat00057
,
Figure pat00058
에 대해
Figure pat00059
로 정의되고,
Figure pat00060
,
Figure pat00061
,
Figure pat00062
를 만족하는 단조증가함수
Figure pat00063
에 대해
Figure pat00064
로 정의된다.
에러 표면은, 하기의 [수학식 3]를 이용하여 정의될 수 있다.
[수학식 3]
Figure pat00065
여기서,
Figure pat00066
는 표면 에러,
Figure pat00067
는 가상 제어 법칙(virtual conntrol laws)를 각각 의미한다.
에러 표면은, 모든
Figure pat00068
에 대해
Figure pat00069
의 조건을 만족할 수 있다.
이와 같은 비엄격 피드백 기반의 비선형 시스템의 제어 장치에 의하면, 상태 변수 등과 같이 소정의 설계 상수나 파라미터에 민감하게 반응하지 않으며, 출력 에러가 소정의 경계값에 의해 유계(有界)되는 안정화된 시스템을 제공할 수 있다.
또한, 경계값은 조절 가능한 값으로 사용자가 사전에 설정 가능하다. 즉, 사용자가 사전에 제어 장치의 성능을 조절할 수 있으며, 경계값의 설정에 따라 시스템의 정확성을 향상시킬 수 있다.
또한, 미지의 비엄격 피드백 및 미지의 비선형이 적용될 수 있다.
시간 지연을 포함하며, 이 때 시간 지연 또한 미지의 시간 지연이 적용될 수 있다. 또한, 시스템 내부의 특성뿐만 아니라 시스템에 인가되는 외부의 외란 또한 적용할 수 있다. 이와 같이 외부 외란 및 시간 지연의 적용에도 불구하고, 경계값을 설정함으로써 외란이나 시간 가변성 지연의 영향을 감소시키고 안정성 및 정확성이 향상된 비선형 시스템을 제공할 수 있다.
또한, 상태 변수 및 시간 지연과 관련된 비선형 함수들을 구성하고 있으므로, 화학 반응기, 재활용 저장 탱크, 풍력 터빈, 로봇 시스템 등과 같이 다양한 영역의 비선형 시스템에 적응적으로 이용될 수 있다.
도 1은 비엄격 피드백 기반의 비선형 시스템의 제어 장치의 일 실시예에 따른 제어 블록도이다.
도 2는 일 실시예에 따른 비선형 시스템의 출력을 예시한 그래프이다.
도 3은 도 2의 출력에 대응하여, 일 실시예에 따른 비선형 시스템의 출력 에러의 그래프이다.
도 4는 도 2의 출력에 대응하여, 일 실시예에 따른 비선형 시스템의 추정 파라미터
Figure pat00070
및
Figure pat00071
에 대한 그래프이다.
도 5는 도 2의 출력에 대응하여, 일 실시예에 따른 비선형 시스템의 상태 변수
Figure pat00072
에 대한 그래프이다.
도 6은 도 2의 출력에 대응하여, 일 실시예에 따른 비선형 시스템의 제어 입력에 대한 그래프이다.
도 7은 일 실시예에 따른 비선형 시스템 및 종래 비선형 시스템의 출력을 비교한 그래프이다.
도 8은 도 7의 출력에 대응하여, 일 실시예에 따른 비선형 시스템의 출력 에러 및 종래 비선형 시스템의 출력 에러를 비교한 그래프이다.
도 9는 도 7의 출력에 대응하여, 일 실시예에 따른 비선형 시스템의 제어 입력 및 종래 비선형 시스템의 제어 입력를 비교한 그래프이다.
도 10은 도 7의 출력에 대응하여, 일 실시예에 따른 비선형 시스템의 추정 파라미터
Figure pat00073
및
Figure pat00074
에 대한 그래프이다.
도 11은 도 7의 출력에 대응하여, 일 실시예에 따른 비선형 시스템의 상태 변수
Figure pat00075
에 대한 그래프이다.
본 명세서에 기재된 실시예와 도면에 도시된 구성은 개시된 발명의 바람직한 일 예에 불과할 뿐이며, 본 출원의 출원시점에 있어서 본 명세서의 실시예와 도면을 대체할 수 있는 다양한 변형 예들이 있을 수 있다.
이하에서는 첨부된 도면을 참조하여 비엄격 피드백 기반의 비선형 시스템의 제어 장치를 후술된 실시예들에 따라 구체적으로 설명하도록 한다. 도면에서 동일한 부호는 동일한 구성 요소를 나타낸다.
도 1은 비엄격 피드백 기반의 비선형 시스템의 제어 장치의 일 실시예에 따른 제어 블록도이다.
도 1을 참조하면, 일 실시예에 따른 비엄격 피드백 기반의 비선형 시스템의 제어 장치(1)는 비선형 시스템(100) 및 제어기(200)를 포함할 수 있다.
비선형 시스템(100)은 비엄격 피드백 형태로 마련될 수 있다.
비선형 시스템(100)은 시간 지연을 포함할 수 있다. 비선형 시스템(100)은 상태 변수뿐만 아니라 시간 지연된 상태 변수를 적용할 수 있다.
비선형 시스템(100)은 입력이나 변수에 대응하여 비선형 함수를 포함하는 시스템으로서, 이 때, 비선형 함수의 변수는 상태 변수 및 시간 지연된 상태 변수가 될 수 있다. 즉, 비선형 시스템(100)은 상태 변수 및 시간 지연된 상태 변수를 변수로 하는 비선형 함수를 포함할 수 있다.
또한, 비선형 시스템(100)은 후술될 제어기(200)로부터 산출되는 입력(이하, '제어 입력' 이라 칭함)을 계수로 하는 비선형 함수를 포함할 수 있다.
비선형 시스템(100)은 시스템 자체의 특성 외에 외부로부터 받는 외란을 함께 고려할 수 있다. 즉, 비선형 시스템(100)은 외부 외란과 관련된 외란항을 포함할 수 있다.
비선형 시스템(100)의 비엄격 피드백은 미지의 비엄격 피드백 형태로 마련될 수 있으며, 시간 지연 및 외부 외란은 미지의 시간 지연 및 미지의 외부 외란이 적용될 수 있다.
비선형 시스템(100)은 상태 변수, 시간 지연된 상태 변수, 제어 입력, 외부 외란에 대하여 하나의 함수 근사기로 설계될 수 있다. 비선형 시스템(100)은 하기의 [수학식 1]를 이용하여 설계될 수 있다.
[수학식 1]
Figure pat00076

여기서, i=1,2,…, n-1에 대하여,
Figure pat00077
및
Figure pat00078
는 상태 변수,
Figure pat00079
는 비선형 시스템의 출력,
Figure pat00080
는 비선형 시스템의 제어 입력을 각각 의미한다.
또한,
Figure pat00081
는 소정의 상수
Figure pat00082
,
Figure pat00083
, 및
Figure pat00084
에 대해
Figure pat00085
및
Figure pat00086
의 조건을 가지는 시간 지연,
Figure pat00087
는 시간 지연된 상태 변수,
Figure pat00088
는 상태 변수의 초기값,
Figure pat00089
는 비선형 함수,
Figure pat00090
는
Figure pat00091
의 조건을 가지는 비선형 함수,
Figure pat00092
는
Figure pat00093
의 조건을 가지는 비선형 함수,
Figure pat00094
는 외부 외란을 각각 의미한다.
[수학식 1]에서와 같이, 비선형 시스템(100)은 시간 지연을 적용하고 있으며, 모든 상태 변수 즉, 상태 변수
Figure pat00095
,
Figure pat00096
및 시간 지연된 상태 변수
Figure pat00097
와 관련된 비선형 함수들
Figure pat00098
,
Figure pat00099
, 및
Figure pat00100
을 포함하고 있으므로, 화학 반응기, 재활용 저장 탱크, 풍력 터빈, 로봇 시스템 등과 같이 다양한 영역의 비선형 시스템에 적응적으로 이용될 수 있다.
비선형 시스템(100)의 출력 에러는 비선형 시스템(100)에 의해 제공되는 출력과 비선형 시스템(100)이 목표로 하는 신호(이하, 간단히 '목표 신호' 라 칭함) 간의 차로 정의되며, 소정의 상수에 의해 유계될 수 있다. 이와 같이, 출력 에러를 유계시키는 소정의 상수를 이하에서는 '경계값' 이라 칭하는 것으로 한다.
출력 에러는 하기의 [수학식 2]를 이용하여 정의될 수 있다.
[수학식 2]
Figure pat00101

여기서,
Figure pat00102
는 소정의 상수
Figure pat00103
에 대해
Figure pat00104
의 조건을 만족하는 출력 에러,
Figure pat00105
는 비선형 시스템의 출력, 및
Figure pat00106
는 목표 신호를 각각 의미한다.
출력 에러
Figure pat00107
는 기하급수적으로 감소하는 형태로 유계될 수 있다. 또한, 비선형 시스템(100)은 폐루프 시스템으로, 이와 같은 폐루프 비선형 시스템(100)의 목표 신호
Figure pat00108
은 유계될 수 있다. 출력 에러 및 목표 신호의 유계에 대한 구체적인 설명은 후술될 제어기(300)와 함께 상술하기로 한다.
비선형 시스템(100)은 하기와 같은 조건을 만족할 수 있다.
(1) 조건 1 : 목표 신호
Figure pat00109
은 연속(continuous)이며, 소정의 상수
Figure pat00110
에 대해
Figure pat00111
, 및 소정의 상수
Figure pat00112
에 대해
Figure pat00113
이다. 즉, 목표 신호 및 목표 신호의 미분은 각각 상한을 갖는 위로 유계이다.
(2) 조건 2 : 비선형 함수
Figure pat00114
는 소정의 상수
Figure pat00115
에 대해
Figure pat00116
및
Figure pat00117
이다. 즉, 비선형 함수
Figure pat00118
는 양수의 값을 갖으며, 하한을 갖는 아래로 유계이다.
(3) 조건 3 : 비선형 함수
Figure pat00119
및
Figure pat00120
은 소정의
Figure pat00121
함수
Figure pat00122
및
Figure pat00123
에 대해,
Figure pat00124
및
Figure pat00125
이다. 즉, 비선형 함수
Figure pat00126
는
Figure pat00127
이고, 비선형 함수
Figure pat00128
는
Figure pat00129
이며, 여기서
Figure pat00130
및
Figure pat00131
는
Figure pat00132
함수이다. 비선형 함수
Figure pat00133
및
Figure pat00134
은 각각 상한을 갖는 위로 유계인 것이다.
(4) 조건 4 : 외부 외란은 소정의 상수
Figure pat00135
에 대해
Figure pat00136
이다. 즉, 외부 외란은 상한을 갖는 위로 유계이다.
비선형 시스템(100)는 상술한 조건 1 내지 조건 4의 조건을 만족하며, 조건 1 내지 조건 4 하에서 비선형 시스템(100)의 출력 에러는 유계될 수 있다. 여기서, 출력 에러를 유계시키는 제어값은 조절 가능한 값으로 사용자에 의해 기설정될 수 있다. 즉, 사용자는 경계값 설정에 따라 시스템의 성능을 조절할 수 있으며, 경계값의 설정에 따라 시스템의 정확성을 향상시킬 수 있다.
제어기(200)는 비선형 시스템(100)의 출력 에러가 유계되도록 하는 제어 입력을 산출하며, 산출된 제어 입력은 비선형 시스템(100)에 제공된다. 즉, 제어기(200)는 출력 에러가 유계되는 제어 입력을 제공하여, 비선형 시스템(100)이 안정화되도록 한다.
제어기(200)는 시간 지연 및 외란의 존재에 영향을 받지 않고 비선형 시스템(100)의 출력 에러가 유계되는 제어 입력을 제공할 수 있다.
제어 입력의 산출을 위해, 하기의 [수학식 3]과 같은 에러 표면이 정의될 수 있다.
[수학식 3]
Figure pat00137

여기서,
Figure pat00138
는 표면 에러,
Figure pat00139
는 가상 제어 법칙(virtual conntrol laws)를 각각 의미한다.
제어기(300)는 에러 표면을 이용하여 제어 입력을 산출할 수 있다. 제어기(300)는 에러 표면을 변수로 하는 하기의 [수학식 4]를 이용하여 제어 입력을 산출할 수 있다.
[수학식 4]
Figure pat00140

여기서,
Figure pat00141
는 가상 제어 법칙(virtual conntrol laws),
Figure pat00142
,
Figure pat00143
,
Figure pat00144
는 파라미터,
Figure pat00145
는
Figure pat00146
을 만족하는 파라미터
Figure pat00147
에 대한 추정값,
Figure pat00148
는 튜닝 이득을 각각 의미한다.
또한, 에러 표면
Figure pat00149
, 상수
Figure pat00150
및
Figure pat00151
,
Figure pat00152
을 만족하는 파라미터
Figure pat00153
,
Figure pat00154
,
Figure pat00155
에 대해
Figure pat00156
로 정의된다.
또한,
Figure pat00157
,
Figure pat00158
,
Figure pat00159
를 만족하는 단조증가함수
Figure pat00160
에 대해
Figure pat00161
로 정의된다. 예를 들어, 단조증가함수
Figure pat00162
를 이용할 수 있다.
상술한 [수학식 4]를 통해, 다음과 같은 보조 정리(Lemma) 1 내지 보조 정리(Lemma) 3이 성립될 수 있다.
보조 정리(Lemma) 1 : 상태 변수는 하기의 [수학식 5]와 같이 상한을 갖는 위로 유계이다.
[수학식 5]
Figure pat00163

여기서,
Figure pat00164
이며,
Figure pat00165
에 대해
Figure pat00166
이다.
보조 정리(Lemma) 2 : 비선형 함수
Figure pat00167
및
Figure pat00168
은 하기의 [수학식 6]과 같이 상한을 갖는 위로 유계이다.
[수학식 6]
Figure pat00169

여기서,
Figure pat00170
및
Figure pat00171
을 의미하며,
Figure pat00172
및
Figure pat00173
은 연속 함수
Figure pat00174
,
Figure pat00175
에 대해 각각
Figure pat00176
및
Figure pat00177
이다.
보조 정리(Lemma) 3 : 에러 함수
Figure pat00178
가 유계(즉,
Figure pat00179
)이면, 표면 에러
Figure pat00180
또한 하기의 [수학식 7]과 같이 유계이다.
[수학식 7]
Figure pat00181
,
Figure pat00182

상술한 보조 정리(Lemma) 3에서, 에러 함수
Figure pat00183
는 유계될 수 있다. 즉,
Figure pat00184
가 성립될 수 있다.
구체적으로, 전술한 바 있듯이 비선형 시스템(100)은 폐루프 시스템으로, 이와 같은 폐루프 비선형 시스템(100)의 에러 함수
Figure pat00185
은 유계될 수 있으며, 모든 에러 함수가 유계된다는 것은 하기의 [수학식 8]과 같은 관계가 성립함을 의미한다.
[수학식 8]
Figure pat00186

여기서,
Figure pat00187
및
Figure pat00188
은 각각 소정의 상수이다.
[수학식 8]에 의해, 에러 함수
Figure pat00189
는 하기의 [수학식 9]와 같은 옹골 집합(Compact Set)을 구성할 수 있으며, 소정의 상수
Figure pat00190
및
Figure pat00191
에 대해 유계될 수 있다.
[수학식 9]
Figure pat00192

즉, 에러 함수
Figure pat00193
는 상한을 갖는 위로 유계이며, 보조 정리(Lemma) 3 에 따라 표면 에러
Figure pat00194
는 상술한 [수학식 7]과 같이 유계된다. 또한, [수학식 9]는 에러 함수
Figure pat00195
가 원점으로 수렴함을 의미하는 것으로, 보조 정리(Lemma) 3 에 따라 표면 에러
Figure pat00196
또한 0으로 수렴하게 된다.
표면 에러
Figure pat00197
가 상술한 [수학식 7]과 같이 유계되며 원점으로 수렴하므로, 비선형 시스템(100)의 출력 에러
Figure pat00198
는 소정의 상수
Figure pat00199
에 대해
Figure pat00200
가 성립하게 된다. 즉, 비선형 시스템(100)의 출력 에러
Figure pat00201
가 기하급수적으로 감소하는 형태로 유계됨을 의미한다.
비엄격 피드백 기반의 비선형 시스템의 제어 장치(1)는 제어기(200)를 통해 상태 변수를 이용하여 제어 입력을 산출하고, 이와 같이 산출된 제어 입력은 비선형 시스템(100)의 출력 에러를 유계시키는 즉, 소정의 상수
Figure pat00202
에 대해
Figure pat00203
가 성립하게 되는 제어 입력이 된다.
따라서, 비선형 시스템(100)은 제어기(200)의 제어 입력을 입력 받아, 비선형 시스템(100)의 출력 에러가 0으로 수렴하는 출력을 제공할 수 있다. 즉, 비선형 시스템(100)은 목표 신호에 근사한 출력을 제공하게 되는 것이다.
도 2 내지 도 6은 일 실시예에 따른 비엄격 기반의 비선형 시스템의 제어 장치의 결과값에 대한 그래프이다.
구체적으로, 도 2는 일 실시예에 따른 비선형 시스템의 출력을 예시한 그래프이다. 여기서, y는 비선형 시스템(100)의 출력, r은 비선형 시스템(100)의 목표 신호를 각각 의미한다. 도 3은 도 2의 출력에 대응하여, 일 실시예에 따른 비선형 시스템의 시스템 에러의 그래프이고, 도 4는 도 2의 출력에 대응하여, 일 실시예에 따른 비선형 시스템의 추정 파라미터
Figure pat00204
및
Figure pat00205
에 대한 그래프이다. 도 5는 도 2의 출력에 대응하여, 일 실시예에 따른 비선형 시스템의 상태 변수
Figure pat00206
에 대한 그래프이고, 도 6은 도 2의 출력에 대응하여, 일 실시예에 따른 비선형 시스템의 제어 입력에 대한 그래프이다.
도 2 내지 도 6을 참조하면, 비선형 시스템(100)은 기설정된 경계값에 의해 출력 에러
Figure pat00207
가 유계되며, 비선형 시스템(100)의 출력 y가 목표 신호 r에 수렴하고 있음을 확인할 수 있다.
도 7 내지 도 11은 일 실시예에 따른 비엄격 피드백 기반의 비선형 시스템의 제어 장치의 결과값을 종래 비선형 시스템의 제어 장치에 의한 결과값과 비교하여 도시한 그래프이다.
구체적으로, 도 7은 일 실시예에 따른 비선형 시스템 및 종래 비선형 시스템의 출력을 비교한 그래프이다. 여기서, y(Proposed)는 비선형 시스템(100)의 출력, y(Conventional)은 종래 비선형 시스템의 출력, r은 비선형 시스템(100)의 목표 신호를 각각 의미한다. 도 8은 도 7의 출력에 대응하여, 일 실시예에 따른 비선형 시스템의 출력 에러 및 종래 비선형 시스템의 출력 에러를 비교한 그래프이고, 도 9는 도 7의 출력에 대응하여, 일 실시예에 따른 비선형 시스템의 제어 입력 및 종래 비선형 시스템의 제어 입력를 비교한 그래프이고, 도 10은 도 7의 출력에 대응하여, 일 실시예에 따른 비선형 시스템의 추정 파라미터
Figure pat00208
및
Figure pat00209
에 대한 그래프이고, 도 11은 도 7의 출력에 대응하여, 일 실시예에 따른 비선형 시스템의 상태 변수
Figure pat00210
에 대한 그래프이다.
도 7 내지 도 11을 참조하면, 일 실시예에 따른 비선형 시스템(100)의 경우, 사용자가 경계값을 기설정할 수 있으며, 설정된 경계값에 대해 출력 에러
Figure pat00211
(Proposed)가 유계됨을 확인할 수 있다. 즉, 비선형 시스템(100)은 시간 지연 및 외부 외란과 같은 각종 설계 상수나 파라미터에 관계 없이, 출력 에러 y(Proposed)가 목표 신호 r에 수렴한다.
반면, 종래 비선형 시스템의 경우, 비선형 시스템(100)의 제어 입력 u(Proposed)와 유사한 제어 입력 u(Conventional)이 입력되더라도, 출력 에러
Figure pat00212
(Conventional)가 소정의 상수 내에 유계되지 않는 시점들이 발생하게 된다. 즉, 종래 비선형 시스템은 각종 설계 상수나 파라미터에 의존하여 출력 에러가 민감하게 반응한다.
따라서, 종래 비선형 시스템과 대비하여, 미지의 비엄격 피드백 기반으로 설계된 일 실시예에 따른 비선형 시스템(100)이 비교적 정확하고, 안정적인 출력을 제공하고 있음을 확인할 수 있다.
상술한 비엄격 피드백 기반의 비선형 시스템의 제어 장치에 의하면, 상태 변수 등과 같이 소정의 설계 상수나 파라미터에 민감하게 반응하지 않으며, 출력 에러가 소정의 경계값에 의해 유계(有界)되는 안정화된 시스템을 제공할 수 있다.
또한, 경계값은 조절 가능한 값으로 사용자가 사전에 설정 가능하다. 즉, 사용자가 사전에 제어 장치의 성능을 조절할 수 있으며, 경계값의 설정에 따라 시스템의 정확성을 향상시킬 수 있다.
또한, 미지의 비엄격 피드백 및 미지의 비선형이 적용될 수 있다. 시간 지연을 포함하며, 이 때 시간 지연 또한 미지의 시간 지연이 적용될 수 있다. 또한, 시스템 내부의 특성뿐만 아니라 시스템에 인가되는 외부의 외란 또한 적용할 수 있다. 이와 같이 외부 외란 및 시간 지연의 적용에도 불구하고, 경계값을 설정함으로써 외란이나 시간 가변성 지연의 영향을 감소시키고 안정성 및 정확성이 향상된 비선형 시스템을 제공할 수 있다.
또한, 상태 변수 및 시간 지연과 관련된 비선형 함수들을 구성하고 있으므로, 화학 반응기, 재활용 저장 탱크, 풍력 터빈, 로봇 시스템 등과 같이 다양한 영역의 비선형 시스템에 적응적으로 이용될 수 있다.
이상으로 예시된 도면을 참조로 하여, 비엄격 피드백 기반의 비선형 시스템의 실시예들을 설명하였지만, 본 발명이 속하는 기술분야에서 통상의 지식을 가진 자는 본 발명이 그 기술적 사상이나 필수적인 특징을 변경하지 않고서 다른 구체적인 형태로 실시될 수 있다는 것을 이해할 수 있을 것이다. 그러므로 이상에서 기술한 실시예들은 모든 면에서 예시적인 것이며, 한정적이 아닌 것으로 이해해야만 한다.
1 : 비엄격 피드백 기반의 비선형 시스템의 제어 장치
100 : 비선형 시스템
200 : 제어기

Claims (11)

  1. 상태 변수 및 시간 지연된 상태 변수와 관련하여 비선형 함수를 포함하는 비엄격 피드백 (nonstrict-feedback) 기반의 비선형 시스템; 및
    상기 비선형 시스템의 출력 에러가 유계(有界)되는 제어 입력을 산출하는 제어기;
    를 포함하는 비엄격 피드백 기반의 비선형 시스템.
  2. 제 1 항에 있어서,
    상기 비선형 시스템은,
    하기의 [수학식 1]을 이용하여 설계되는 비엄격 피드백 기반의 비선형 시스템의 제어 장치.

    [수학식 1]
    Figure pat00213


    여기서, i=1,2,…, n-1에 대하여,
    Figure pat00214
    및
    Figure pat00215
    는 상태 변수,
    Figure pat00216
    는 비선형 시스템의 출력,
    Figure pat00217
    는 비선형 시스템의 제어 입력을 각각 의미하며,
    Figure pat00218
    는 소정의 상수
    Figure pat00219
    ,
    Figure pat00220
    , 및
    Figure pat00221
    에 대해
    Figure pat00222
    및
    Figure pat00223
    의 조건을 가지는 시간 지연,
    Figure pat00224
    는 시간 지연된 상태 변수,
    Figure pat00225
    는 상태 변수의 초기값,
    Figure pat00226
    는 비선형 함수,
    Figure pat00227
    는
    Figure pat00228
    의 조건을 가지는 비선형 함수,
    Figure pat00229
    는
    Figure pat00230
    의 조건을 가지는 비선형 함수,
    Figure pat00231
    는 외부 외란을 각각 의미한다.
  3. 제 2 항에 있어서,
    상기 출력 에러는,
    하기의 [수학식 2]를 이용하여 정의되는 비엄격 피드백 기반의 비선형 시스템의 제어 장치.

    [수학식 2]
    Figure pat00232


    여기서,
    Figure pat00233
    는 소정의 상수
    Figure pat00234
    에 대해
    Figure pat00235
    의 조건을 만족하는 출력 에러,
    Figure pat00236
    는 비선형 시스템의 출력, 및
    Figure pat00237
    는 목표 신호를 각각 의미한다.
  4. 제 3 항에 있어서,
    상기 목표 신호는,
    연속(continuous), 소정의 상수
    Figure pat00238
    에 대해
    Figure pat00239
    , 및 소정의 상수
    Figure pat00240
    에 대해
    Figure pat00241
    의 조건을 만족하는 비엄격 피드백 기반의 비선형 시스템의 제어 장치.
  5. 제 3 항에 있어서,
    상기 비선형 시스템은 폐루프(closed-loop) 시스템이고,
    상기 폐루프 시스템의 상기 목표 신호는 유계(有界)인 비엄격 피드백 기반의 비선형 시스템의 제어 장치.
  6. 제 2 항에 있어서,
    상기 비선형 함수
    Figure pat00242
    는,
    소정의 상수
    Figure pat00243
    에 대해
    Figure pat00244
    및
    Figure pat00245
    의 조건을 만족하는 비엄격 피드백 기반의 비선형 시스템의 제어 장치.
  7. 제 2 항에 있어서,
    상기 비선형 함수
    Figure pat00246
    및
    Figure pat00247
    은,
    소정의
    Figure pat00248
    함수
    Figure pat00249
    및
    Figure pat00250
    에 대해,
    Figure pat00251
    및
    Figure pat00252
    의 조건을 만족하는 비엄격 피드백 기반의 비선형 시스템의 제어 장치.
  8. 제 2 항에 있어서,
    상기 외부 외란은,
    소정의 상수
    Figure pat00253
    에 대해
    Figure pat00254
    의 조건을 만족하는 비엄격 피드백 기반의 비선형 시스템의 제어 장치.
  9. 제 2 항에 있어서,
    상기 제어기는,
    하기의 [수학식 4]을 이용하여 상기 제어 입력을 산출하는 비엄격 피드백 기반의 비선형 시스템의 제어 장치.

    [수학식 4]
    Figure pat00255


    여기서,
    Figure pat00256
    는 가상 제어 법칙(virtual conntrol laws),
    Figure pat00257
    ,
    Figure pat00258
    ,
    Figure pat00259
    는 파라미터,
    Figure pat00260
    는
    Figure pat00261
    을 만족하는 파라미터
    Figure pat00262
    에 대한 추정값,
    Figure pat00263
    는 튜닝 이득을 각각 의미하며, 에러 표면
    Figure pat00264
    , 상수
    Figure pat00265
    및
    Figure pat00266
    ,
    Figure pat00267
    을 만족하는 파라미터
    Figure pat00268
    ,
    Figure pat00269
    ,
    Figure pat00270
    에 대해
    Figure pat00271
    로 정의되고,
    Figure pat00272
    ,
    Figure pat00273
    ,
    Figure pat00274
    를 만족하는 단조증가함수
    Figure pat00275
    에 대해
    Figure pat00276
    로 정의된다.
  10. 제 9 항에 있어서,
    상기 에러 표면은,
    하기의 [수학식 3]를 이용하여 정의되는 비엄격 피드백 기반의 비선형 시스템의 제어 장치.

    [수학식 3]
    Figure pat00277


    여기서,
    Figure pat00278
    는 표면 에러,
    Figure pat00279
    는 가상 제어 법칙(virtual conntrol laws)를 각각 의미한다.
  11. 제 9 항에 있어서,
    상기 에러 표면은,
    모든
    Figure pat00280
    에 대해
    Figure pat00281
    의 조건을 만족하는 비엄격 피드백 기반의 비선형 시스템의 제어 장치.
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