CN110307820B - 全反长焦敏捷相机二次曲面实测参数获取方法 - Google Patents

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Abstract

全反长焦敏捷相机二次曲面实测参数获取方法，步骤包括：(1)基于二次曲面幂积函数的定义，同时结合三坐标的测量数据，建立起以二次曲面变量为自变量的线性方程组；(2)计算以Hermit矩阵的迹为参数的阻尼因子；(3)依据阻尼因子，完成评价函数的建立，并对其进行求导，以确立线性方程组的法方程组；(4)对线性方程组的系数矩阵进行奇异值分解，提取该矩阵的奇异值等信息；(5)借助于线性方程组系数矩阵奇异值分解的结果，完成法方程组的求解，得到线性方程组的最优化解，即所测量二次曲面的二次曲面变量，以从中提取中心曲率半径、二次曲面系数。

Description

全反长焦敏捷相机二次曲面实测参数获取方法
技术领域
本发明涉及一种全反长焦敏捷相机二次曲面实测参数获取方法，该方法基于奇异值分解的阻尼最小二乘法，适用于各种类型、各种口径的全反长焦航天遥感器成像系统高精度二次光学表面二次曲面系数的实测数值的获取，属于航天遥感方法领域。
背景技术
随着对航天遥感器成像光学系统高分辨率、高性能的要求不断增强，具备大口径、长焦距、无色差等优点的全反射式光学系统得到了广泛的应用。由于所使用的镜面数量有限，此类系统大都借助于二次曲面来校正各种轴向和离轴单色像差以提高系统的成像质量，相较于球面，二次曲面的测试和装调对精度有更加严格的要求。而中心曲率半径和二次曲面系数的获取是二次曲面的一个重要测试环节，能够为后续系统装调过程中的镜间距和焦距控制、离轴非球面初装控制等提供数据支持。但是，由于中心开孔或者面型中心对称轴偏离出反射镜面实际使用的部分，反射镜中心的面型信息往往是无法通过直接测量的手段来获取的。
发明内容
本发明的方法解决问题是：在无法完成反射镜面二次曲面系数直接测量的情况下，能够通过反射镜中心以外的面型测试数据来获取该数值高精度的准确结果。该方法克服了最小二乘法不能有效地避免早期发散，不能使伪解快速衰减的同时使得真实解得到巩固的不足，能够高速、准确、稳定地从不同工况下实测的三坐标测试数据中获取二次曲面系数等参数信息。
本发明的技术方案是：一种全反长焦敏捷相机二次曲面实测参数获取方法，步骤如下：
(1)将三坐标的测量数据带入到二次曲面的幂积函数中，得到一组以二次曲面变量为自变量的线性方程组；
(2)提取步骤1)中得到的线性方程组的系数矩阵；
(3)对步骤2)中的系数矩阵进行共轭转置，再与其自身相乘，得到Hermit矩阵；根据最小二乘理论、多元函数的极值理论以及矩阵运算和求导规则，利用得到的Hermit矩阵，完成线性方程组的法方程组的定义；
(4)对线性方程组的系数矩阵进行奇异值分解，得到一个对角矩阵和两个正交矩阵，其中包含有系数矩阵的全部奇异值；
(5)将系数矩阵奇异值分解所得的对角矩阵和两个正交矩阵带入到步骤3)得到的法方程组的定义中，完成线性方程组的最优化求解，即得到所测量二次曲面的二次曲面变量；
(6)构建二次曲面的二次型系数矩阵，并对该二次型系数矩阵进行平移、旋转，使二次型系数矩阵转化为对角矩阵，提取二次曲面系数。
所述步骤(1)得到曲面变量为自变量的线性方程组的具体方法为：将每一个三坐标的测量数据按照XYZ的对应数值带入到二次曲面幂积函数中，获得一个以二次曲面变量为自变量的线性方程，即一组三坐标的测量数据即确定一个以所测量二次曲面的二次曲面变量为自变量的线性方程组。
所述的步骤(1)中，二次曲面幂积函数的统一形式为：
t＝-x2＝b1+b2y2+b3z2+b4xy+b5yz+b6xz+b7x+b8y+b9z
其中bi(i＝1,2,,…,9)为二次曲面变量；所述三坐标的测量数据为一组笛卡尔坐标系下的XYZ坐标值。
所述的步骤(2)中，提取步骤1)中得到的线性方程组的系数矩阵，可将在步骤(1)所获取的线性方程组修改为如下的矩阵乘积的形式：
L·B＝T
其中，
L为系数矩阵，
Figure BDA0002108923330000031
B＝[b1 b2 b3 b4 b5 b6 b7 b8 b9]T，为所测量二次曲面的二次曲面变量组成的列向量；
T为线性方程组的常数列向量，其中的每一行等于对应的一个三坐标测试数据X分量的平方的相反数，
Figure BDA0002108923330000032
所述的步骤(3)中，根据最小二乘法的理论、多元函数的极值理论，以及矩阵运算和求导规则得到线性方程组的法方程组具体为：
(H+Ip)B＝LTT
其中，
H＝LTL，为Hermite矩阵；
L、B和T分别为线性方程组的系数矩阵、二次曲面变量列向量和常数列向量；
p为阻尼因子，其确定方法是，计算H的迹的平均值，再乘以0.01；
I为单位矩阵.
所述的步骤(4)中，线性方程组的系数矩阵L的奇异值分解结果的形式为：
L＝UDVT；
其中，U和V是正交矩阵；D为对角矩阵，该对角矩阵上的元素为系数矩阵L的奇异值σ1,…,σm；其中σ1≥σ2≥…≥σm，具体如下：
Figure BDA0002108923330000041
所述的步骤(5)中，基于步骤(4)奇异值分解的结果，由法方程组最终确定的线性方程组的最优解为：
B＝V[(DTD+pI)-1DT]UTT。
所述的步骤(6)的具体方法为：
构建二次曲面的二次型系数矩阵
Figure BDA0002108923330000042
通过平移、旋转，使上述二次型系数矩阵转化为对角矩阵
Figure BDA0002108923330000043
则所测量二次曲面的二次曲面系数为-a33/a22。
本发明与现有方法相比的优点在于：
本发明方法能够实现中心开孔的主镜或者二次曲面对称轴偏离出其实际使用部分的三镜等的二次曲面系数的获取，避免了直接测量方法无法获取此类参数的弊端。
本发明对传统的最小二乘法进行了改进，在评价函数中增加了阻尼项，并通过奇异值分解的方法求解法方程，避免了拟合过程中的早期发散问题，不仅无需对三坐标的测量工况提出任何特殊要求，而且其自身具备高速、准确、稳定的特点。
附图说明
图1为本发明所提全反长焦敏捷相机二次曲面实测参数获取方法的实现流程图；
图2为二次曲面三坐标测量工况示意图；
具体实施方式
如图1所示，本发明一种全反长焦敏捷相机二次曲面实测参数获取方法，步骤如下：
(1)将三坐标的测量数据带入到二次曲面的幂积函数中，得到一组以二次曲面变量为自变量的线性方程组；
(2)提取步骤1)中得到的线性方程组的系数矩阵；
(3)对步骤2)中的系数矩阵进行共轭转置，再与其自身相乘，得到Hermit矩阵；根据最小二乘理论、多元函数的极值理论以及矩阵运算和求导规则，利用得到的Hermit矩阵，完成线性方程组的法方程组的定义；
(4)对线性方程组的系数矩阵进行奇异值分解，得到一个对角矩阵和两个正交矩阵，其中包含有系数矩阵的全部奇异值；
(5)将系数矩阵奇异值分解所得的对角矩阵和两个正交矩阵带入到步骤3)得到的法方程组的定义中，完成线性方程组的最优化求解，即得到所测量二次曲面的二次曲面变量；
(6)构建二次曲面的二次型系数矩阵，并对该二次型系数矩阵进行平移、旋转，使二次型系数矩阵转化为对角矩阵，提取二次曲面系数。
所述步骤(1)得到曲面变量为自变量的线性方程组的具体方法为：将每一个三坐标的测量数据按照XYZ的对应数值带入到二次曲面幂积函数中，获得一个以二次曲面变量为自变量的线性方程，即一组三坐标的测量数据即确定一个以所测量二次曲面的二次曲面变量为自变量的线性方程组。
所述的步骤(1)中，二次曲面幂积函数的统一形式为：
t＝-x2＝b1+b2y2+b3z2+b4xy+b5yz+b6xz+b7x+b8y+b9z
其中bi(i＝1,2,,…,9)为二次曲面变量；所述三坐标的测量数据为一组笛卡尔坐标系下的XYZ坐标值。
所述的步骤(2)中，提取步骤1)中得到的线性方程组的系数矩阵，可将在步骤(1)所获取的线性方程组修改为如下的矩阵乘积的形式：
L·B＝T
其中，
L为系数矩阵，
Figure BDA0002108923330000061
B＝[b1 b2 b3 b4 b5 b6 b7 b8 b9]T，为所测量二次曲面的二次曲面变量组成的列向量；
T为线性方程组的常数列向量，其中的每一行等于对应的一个三坐标测试数据X分量的平方的相反数，
Figure BDA0002108923330000071
所述的步骤(3)中，根据最小二乘法的理论、多元函数的极值理论，以及矩阵运算和求导规则得到线性方程组的法方程组具体为：
(H+Ip)B＝LTT
其中，
H＝LTL，为Hermite矩阵；
L、B和T分别为线性方程组的系数矩阵、二次曲面变量列向量和常数列向量；
p为阻尼因子，其确定方法是，计算H的迹的平均值，再乘以0.01；
I为单位矩阵.
所述的步骤(4)中，线性方程组的系数矩阵L的奇异值分解结果的形式为：
L＝UDVT；
其中，U和V是正交矩阵；D为对角矩阵，该对角矩阵上的元素为系数矩阵L的奇异值σ1,…,σm；其中σ1≥σ2≥…≥σm，具体如下：
Figure BDA0002108923330000072
所述的步骤(5)中，基于步骤(4)奇异值分解的结果，由法方程组最终确定的线性方程组的最优解为：
B＝V[(DTD+pI)-1DT]UTT。
所述的步骤(6)的具体方法为：
构建二次曲面的二次型系数矩阵
Figure BDA0002108923330000081
通过平移、旋转，使上述二次型系数矩阵转化为对角矩阵
Figure BDA0002108923330000082
则所测量二次曲面的二次曲面系数为-a33/a22。
实施例：
从中心开孔的主镜三坐标测试数据中获取其二次曲面系数，三坐标测试数据的规模为768个三坐标数值。其中每个数值由XYZ三个分量构成，具体形式为：
0.1593506,16.05294503,-21.79821355
具体步骤如下：
(1)线性方程组的确定
将768个三坐标数值数据按照XYZ的对应数值带入到二次曲面幂积函数中，如下：
1.00*b1+257.69*b2+475.16*b3+2.55*b4-349.92*b5-3.47*b6+0.15*b7+16.05*b8-21.79*b9＝-0.0254
1.00*b1+257.69*b2+474.79*b3+50.71*b4-349.78*b5-68.84*b6+3.15*b7+16.05*b8-21.78*b9＝-9.9821
得到由768个线性方程组组成的一个线性方程组。其中，方程组系数矩阵L的规模为768*9。
(2)阻尼因子的确定
计算LTT，得到一个规模为9*9的Hermit矩阵(在实数范围内退化为对称矩阵)，将该Hermit矩阵的对角线元素相加并且除以9，再乘以0.01，得到阻尼因子的数值为1.44。
(3)法方程的定义
线性方程组的法方程组为：
(LTL+Ip)B＝LTT
其中，L为线性方程组的系数矩阵，p为阻尼因子等于1.44，I为9*9规模的单位矩阵。
(4)系数矩阵的奇异值分解
对系数矩阵进行奇异值分解，分解的目的是得到正交矩阵U和V以及对角矩阵D，三者的规模分别为768*9、9*9和9*9。
(5)二次曲面变量的求解
将矩阵U、V和D带入到下面的法方程组的求解公式中：
B＝V[(DTD+pI)-1DT]UTT
得到所测量二次曲面的二次曲面变量为：
Figure BDA0002108923330000101
(6)二次型系数矩阵的构建以及二次曲面系数的提取
基于上述求取的所测量二次曲面的二次曲面变量构建二次型系数矩阵，该矩阵的结果如下：
Figure BDA0002108923330000102
对该矩阵进行平移、旋转等操作，使之转换为对角矩阵如下：
Figure BDA0002108923330000103
求得二次曲面系数为：-1.19432E+00/1.21100E+00＝-9.862230E-01。

Claims (6)

1.一种全反长焦敏捷相机二次曲面实测参数获取方法，其特征在于步骤如下：
(1)将三坐标的测量数据带入到二次曲面的幂积函数中，得到一组以二次曲面变量为自变量的线性方程组；
(2)提取步骤1)中得到的线性方程组的系数矩阵；
(3)对步骤2)中的系数矩阵进行共轭转置，再与其自身相乘，得到Hermit矩阵；根据最小二乘理论、多元函数的极值理论以及矩阵运算和求导规则，利用得到的Hermit矩阵，同时引入阻尼因子，完成线性方程组的法方程组的定义；
(4)对线性方程组的系数矩阵进行奇异值分解，得到一个对角矩阵和两个正交矩阵，其中包含有系数矩阵的全部奇异值；
(5)将系数矩阵奇异值分解所得的对角矩阵和两个正交矩阵带入到步骤3)得到的法方程组的定义中，完成线性方程组的最优化求解，即得到所测量二次曲面的二次曲面变量；
(6)构建二次曲面的二次型系数矩阵，并对该二次型系数矩阵进行平移、旋转，使二次型系数矩阵转化为对角矩阵，提取二次曲面系数；
所述步骤(1)得到曲面变量为自变量的线性方程组的具体方法为：将每一个三坐标的测量数据按照XYZ的对应数值带入到二次曲面幂积函数中，获得一个以二次曲面变量为自变量的线性方程，即一组三坐标的测量数据即确定一个以所测量二次曲面的二次曲面变量为自变量的线性方程组；
所述的步骤(1)中，二次曲面幂积函数的统一形式为：
t＝-x2＝b1+b2y2+b3z2+b4xy+b5yz+b6xz+b7x+b8y+b9z
其中bi(i＝1,2,,…,9)为二次曲面变量；所述三坐标的测量数据为一组笛卡尔坐标系下的XYZ坐标值。
2.根据权利要求1所述的全反长焦敏捷相机二次曲面实测参数获取方法，其特征在于：所述的步骤(2)中，提取步骤1)中得到的线性方程组的系数矩阵，可将在步骤(1)所获取的线性方程组修改为如下的矩阵乘积的形式：
L·B＝T，
其中，L为线性方程组的系数矩阵；B＝[b1 b2 b3 b4 b5 b6 b7 b8 b9]T，为所测量二次曲面的二次曲面变量组成的列向量；T为线性方程组的常数列向量，其中的每一行等于对应的一个三坐标测试数据X分量的平方的相反数。
3.根据权利要求2所述的全反长焦敏捷相机二次曲面实测参数获取方法，其特征在于：所述的步骤(3)中，根据最小二乘法的理论、多元函数的极值理论，以及矩阵运算和求导规则得到线性方程组的法方程组具体为：
(H+Ip)B＝LTT
其中，H＝LTL，为Hermite矩阵；p为阻尼因子，其确定方法是，计算H的迹的平均值，再乘以0.01；I为单位矩阵。
4.根据权利要求3所述的全反长焦敏捷相机二次曲面实测参数获取方法，其特征在于：所述的步骤(4)中，线性方程组的系数矩阵L的奇异值分解结果的形式为：
L＝UDVT；
其中，U和V是正交矩阵；D为对角矩阵，该对角矩阵上的元素为系数矩阵L的奇异值σ1,…,σm；其中σ1≥σ2≥…≥σm，具体如下：
Figure FDA0002957071740000021
5.根据权利要求4所述的全反长焦敏捷相机二次曲面实测参数获取方法，其特征在于：所述的步骤(5)中，基于步骤(4)奇异值分解的结果，由法方程组最终确定的线性方程组的最优解为：
B＝V[(DTD+pI)-1DT]UTT。
6.根据权利要求5所述的全反长焦敏捷相机二次曲面实测参数获取方法，其特征在于：所述的步骤(6)的具体方法为：
构建二次曲面的二次型系数矩阵
Figure FDA0002957071740000031
通过平移、旋转，使上述二次型系数矩阵转化为对角矩阵
Figure FDA0002957071740000032
则所测量二次曲面的二次曲面系数为-a33/a22。
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