CN110197006B - 基于二阶锥规划的各向同性材料拓扑优化方法 - Google Patents

基于二阶锥规划的各向同性材料拓扑优化方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种基于二阶锥规划的各向同性材料拓扑优化方法，该方法以各向同性材料的杨氏模量E和泊松比v为设计变量，对单元刚度矩阵进行奇异值分解，构建刚度矩阵的新型分解表示形式；并通过一个双射函数
Figure DDA0002051750720000011
将原始设计变量(E,v)映射为一组新的设计变量(P,Q)，以(P,Q)为设计变量，将原拓扑优化问题转化为二阶锥规划问题，从而获得全局最优的(P,Q)解，并通过双射函数
Figure DDA0002051750720000012
求得相应的最优杨氏模量和泊松比；对任意给定的目标材料种类，对连续解在(P,Q)空间中进行分层聚类，从而获得高保真的离散解。本发明方法通过将自由各向同性材料的拓扑优化问题转化为二阶锥规划问题，可理论上保证求得该问题的最优解并可以获得任意指定材料种类数量下的高保真离散解。

Description

基于二阶锥规划的各向同性材料拓扑优化方法
技术领域
本发明涉及结构优化的技术领域，尤其涉及一种基于二阶锥规划的各向同性材料拓扑优化方法。
背景技术
近年来随着计算机技术的发展，工程和产品设计领域越来越多采用拓扑优化的方法，以获得具有理想最佳性能的结构。拓扑优化旨在于离散设计领域内找到最佳的固体分布，以提高结构性能，经过几十年的巨大发展，拓扑优化已设计出多种新型的极端性质结构，并在工业上得到了广泛的应用。
在传统的拓扑优化研究中，主要是将每个设计单元的杨氏模量直接或隐式地作为设计变量，忽略了泊松比或一般各向异性等其他重要的材料参数。因此，它可能会限制优化结构最终能够达到的性能。与此相比，自由各向同性材料优化(Free Isotropic MaterialOptimization,FIMO)可以良好的解决这一问题，并进一步设计具有极端物理性能的“最佳”结构。材料的各向同性指其弹性性质(特别是它的材料弹性张量)在所有方向上都是一致的，有且仅有杨氏模量和泊松比两个设计变量。泊松比对高刚度复合材料的设计有着显著的影响，在提高结构性能方面有很大的应用前景。将负泊松比材料掺入弹性材料中，可显著增强结构刚度。
FIMO问题主要有两大挑战。一方面，经典拓扑优化方法由于涉及有限元计算问题，需要求解原始力学平衡方程，存在奇异值问题。另一方面，更宽松的自由材料优化问题(Free Material Optimization,FMO)，以材料弹性张量的所有分量为设计变量，通常被转化为半正定规划问题，在问题转化和求解上存在一定难度，将其用来求解FIMO问题时，需要额外施加线性及非线性约束，更进一步增加了计算代价，难以保证求得全局最优解。
此外，出于实际工程制造的目的，需要离散、简化材料空间，以降低制造难度。对于拓扑优化连续解的离散降维问题，目前还没有一个好的解决方案，现有方法大都无法在精简材料种类的同时保持结构性能。
发明内容
设计具有最优性能的工程结构，是工程设计的终极目标，为此已有各种学术研究工作和工程方法。然而，过去的工作主要集中于杨氏模量或材料密度的优化，很少考虑材料的泊松比，而这正是影响各项同性材料性能的另一关键性质。本发明提供一种基于二阶锥规划的各向同性材料拓扑优化方法，该方法解决了基于各向同性材料的拓扑设计问题，同时将杨氏模量和泊松比作为优化设计变量，并求得连续材料空间下的全局最优解。此外，本发明方法通过分层聚类进一步对以上连续解进行降维，从而可获得任意指定目标材料数量下的高保真离散解。
本发明采用的技术方案如下：
1)基于有限元分析框架，以各向同性材料的杨氏模量和泊松比为设计变量，参数化构建材料单元刚度矩阵。对单元刚度矩阵进行奇异值分解，获得并进而构建刚度矩阵的一种新型分解表示形式。
2)基于上述刚度矩阵的分解形式，构造一个双射函数
Figure BDA0002051750700000022
将原始设计变量(杨氏模量，泊松比)映射为一组新的设计变量(P,Q)。
3)构造原始拓扑优化问题的对偶问题。以(P,Q)设计变量，将原问题转化为二阶锥规划问题，并对其进行求解，从而获得全局最优的(P,Q)解，并通过双射
Figure BDA0002051750700000023
求得相应的最优杨氏模量和泊松比。
4)对任意给定的目标材料种类，对连续解在(P,Q)空间中进行分层聚类，从而获得高保真的离散解。
上述技术方案中，进一步的，所述的步骤1)具体如下：
采用正多面性或正多面体对设计区域进行有限元划分，获得N个有限单元，以各向同性材料的杨氏模量E和泊松比v为设计变量，参数化构建材料单元e的单元刚度矩阵Ke(E,v)，其中e＝1,…,N；
采用奇异值分解方法，求取Ke(E,v)的五个特征值λel(E,v)和五个常数特征向量bel，l＝1,…,5；
引入al构建Ke(E,v)的新型分解表达形式：
Figure BDA0002051750700000021
其中kel(E,v)＝alλel(E,ν)。
进一步的，所述的步骤2)中，构造双射函数φ:(E,ν)→(P,Q)，将原始设计变量杨氏模量E和泊松比v映射为一组新的设计变量(P,Q)，具体为：
Figure BDA0002051750700000031
且
Figure BDA0002051750700000032
将上述映射关系带入kel(E,v)，易构造单元刚度矩阵Ke(E,v)的新的分解形式
Figure BDA0002051750700000033
进一步的，所述的步骤3)具体如下：
根据固体材料力学，原始设计变量可行范围为E＞0，-1＜v＜0.5，相应的新设计变量(P,Q)应满足
Figure BDA0002051750700000034
为材料弹性张量的局部单元迹设置上下界
Figure BDA0002051750700000035
约束全局迹之和最大值为
Figure BDA0002051750700000036
为单元泊松比v设置上下界
Figure BDA0002051750700000037
根据双射函数φ，将这些关于(E,v)的线性及非线性约束全部转化为关于(P,Q)的线性约束；
根据经典拓扑优化，原始的结构柔顺度问题为：
Figure BDA0002051750700000038
其中
Figure BDA0002051750700000039
为结构柔顺度，sup为上确界，
Figure BDA00020517507000000310
为外力，
Figure BDA00020517507000000311
为位移，
Figure BDA00020517507000000312
为全局刚度矩阵，d为节点自由度；
将刚度矩阵分解形式Ke(E,v)代入上式，该问题变形为：
Figure BDA00020517507000000313
则其对偶形式为：
Figure BDA00020517507000000314
其中inf为取下确界，wel,sel(e＝1,…,N,l＝1,…,5)为所求对偶变量；此外，为加速数值求解，上式可进一步简单线性展开为关于l的7项求和；
将Ke(P,Q)代入上式，以上述可行域为约束条件，将对偶问题转化为关于变量Pe,Qe,wel,sel(e＝1,…,N,l＝1,…,7)的二阶锥规划问题(Pe,Qe为定义在单元e上的标量)，具体为：
Figure BDA0002051750700000041
用通用的数值优化软件求解该二阶锥规划问题，求得全局最优的连续解(P,Q)，并通过双射函数
Figure BDA0002051750700000042
求得相应的最优材料真实参数杨氏模量E和泊松比ν。
进一步的，所述的步骤4)针对任意给定目标材料种类数量，通过分层聚类获得高保真离散解，具体如下：
给定目标材料种类数量k，对步骤3)得到的连续解(P,Q)，用(P,Q)空间中的欧氏距离度量不同单元上材料张量的相似性，使用经典的机器学习方法——分层聚类方法，通过不断计算类间距-合并类，减少材料种类，降低材料空间维度，最终获得由k类材料组成的离散结构，对于新生成的k类材料，在(P,Q)空间取类内平均为新类的材料属性。
本发明的有益效果是：
1)二阶锥规划是一类经典的数学问题，近几年已发展出集成于商业软件的全局最优解的求解算法。针对自由各向同性材料的拓扑优化问题，传统拓扑优化方法求解难度高，求解最优性难以保证。本方法通过将自由各向同性材料的拓扑优化问题转化为二阶锥规划问题，理论上保证求得该问题的最优解。
2)材料连续分布的结构材料种类多、制造难度大，本方法通过构造一个新的设计空间，并引入层次聚类方法，将拓扑优化问题与经典机器学习方法结合起来，从而可以获得任意指定材料种类数量下的高保真离散解。
附图说明
图1是本发明方法的流程示意图。
具体实施方式
下面结合附图对本发明做进一步说明。
图1为本发明方法的流程示意图，本发明方法具体为：
1)刚度矩阵分解
基于有限元分析框架，以各向同性材料的杨氏模量和泊松比为设计变量，参数化构建材料单元刚度矩阵。对单元刚度矩阵进行奇异值分解，获得并进而构建刚度矩阵的一种新型分解表示形式。具体如下：
采用正多面性或正多面体对设计区域进行有限元划分，获得N个有限单元，以各向同性材料的杨氏模量E和泊松比v为设计变量，参数化构建材料单元e的单元刚度矩阵Ke(E,v)，其中e＝1,…,N。采用奇异值分解(Singular Value Decomposition,SVD)方法，求取Ke(E,v)的五个非零特征值λel(E,v)和五个常数特征向量bel，l＝1,…,5。
引入al(l＝1,…,5)构建Ke(E,v)的新型分解表达形式：
Figure BDA0002051750700000061
其中kel(E,v)＝alλel(E,ν)。
2)设计变量转化
构造双射函数φ:(E,ν)→(P,Q)，将原始设计变量杨氏模量E和泊松比v映射为一组新的设计变量(P,Q)，具体为
Figure BDA0002051750700000062
且
Figure BDA0002051750700000063
将上述映射关系带入kel(E,v)，易构造单元刚度矩阵Ke(E,v)的新的分解形式
Figure BDA0002051750700000064
3)可行域设置。
根据固体材料力学，原始设计变量可行范围为E＞0，-1＜v＜0.5，相应的新设计变量(P,Q)应满足
Figure BDA0002051750700000065
与FMO问题相同，本方法为材料弹性张量的局部单元迹设置上下界
Figure BDA0002051750700000066
约束全局迹之和最大值为
Figure BDA0002051750700000067
此外，设计者还可为单元泊松比v设置上下界
Figure BDA0002051750700000068
根据2)中的映射φ，将这些关于(E,v)的线性及非线性约束，全部转化为关于(P,Q)的线性约束，从而降低进一步的求解难度。
4)问题形式转化。
根据经典拓扑优化，原始的结构柔顺度问题可表示为
Figure BDA0002051750700000069
其中
Figure BDA00020517507000000610
为结构柔顺度，sup为上确界，
Figure BDA00020517507000000611
为外力，
Figure BDA00020517507000000612
为位移，
Figure BDA00020517507000000613
为全局刚度矩阵，d为节点自由度。
将刚度矩阵分解形式Ke(E,ν)代入上式，该问题变形为
Figure BDA0002051750700000071
则其对偶形式为
Figure BDA0002051750700000072
其中inf为取下确界，wel,sel(e＝1,…,N,l＝1,…,5)为所求对偶变量。此外，为加速数值求解，上式可进一步简单线性展开为关于l的7项求和。
根据1)、2)中的刚度矩阵分解方法，将Ke(P,Q)代入上式，以3)中的可行域为约束条件，将对偶问题转化为关于变量Pe,Qe,wel,sel(e＝1,…,N,l＝1,…,7)的二阶锥规划问题(Pe,Qe为定义在单元e上的标量)，具体为
Figure BDA0002051750700000073
Figure BDA0002051750700000081
用通用的数值优化软件求解该二阶锥规划问题，如CPLEX等，求得全局最优的连续解(P,Q)，并通过双射
Figure BDA0002051750700000082
求得相应的最优材料真实参数杨氏模量E和泊松比ν。
5)针对任意给定目标材料种类数量，通过分层聚类获得高保真离散解。
给定目标材料种类数量k，对上述得到的连续解(P,Q)，用(P,Q)空间中的欧氏距离度量不同单元上材料张量的相似性，使用经典的机器学习方法——分层聚类方法，通过不断计算类间距-合并类，减少材料种类，降低材料空间维度，最终获得由k类材料组成的离散结构。对于新生成的k类材料，在(P,Q)空间取类内平均为新类的材料属性。
该离散方法可保证离散结构的局部迹和全局迹与连续解一致，保证满足原始问题的各约束，并且使结构刚度(以结构柔顺度c的大小为度量)不会因离散而产生过多损失，从而获得高保真的离散解。

Claims (3)

1.一种基于二阶锥规划的各向同性材料拓扑优化方法，其特征在于，包括如下步骤：
1)基于有限元分析框架，以各向同性材料的杨氏模量E和泊松比v为设计变量，参数化构建材料单元刚度矩阵；对单元刚度矩阵进行奇异值分解，进而构建刚度矩阵的新型分解表示形式；具体如下：
采用正多面性或正多面体对设计区域进行有限元划分，获得N个有限单元，以各向同性材料的杨氏模量E和泊松比v为设计变量，参数化构建材料单元e的单元刚度矩阵Ke(E，v)，其中e＝1，…，N；
采用奇异值分解方法，求取Ke(E，v)的五个特征值λel(E，v)和五个常数特征向量bel，l＝1，…，5；
引入al构建Ke(E，v)的新型分解表达形式：
Figure FDA0002953094130000011
其中kel(E，v)＝alλel(E，v)；
2)基于上述刚度矩阵的分解形式，构造一个双射函数φ，将原始设计变量(E，v)映射为一组新的设计变量(P，Q)；
3)构造原始拓扑优化问题的对偶问题，以(P，Q)为设计变量，将原拓扑优化问题转化为二阶锥规划问题，并对其进行求解，从而获得全局最优的(P，Q)解，并通过双射函数φ求得相应的最优杨氏模量和泊松比；
4)对任意给定的目标材料种类，对连续解在(P，Q)空间中进行分层聚类，从而获得高保真的离散解；具体如下：
给定目标材料种类数量k，对步骤3)得到的连续解(P，Q)，用(P，Q)空间中的欧氏距离度量不同单元上材料张量的相似性，使用经典的机器学习方法——分层聚类方法，通过不断计算类间距-合并类，减少材料种类，降低材料空间维度，最终获得由k类材料组成的离散结构，对于新生成的k类材料，在(P，Q)空间取类内平均为新类的材料属性。
2.根据权利要求1所述的基于二阶锥规划的各向同性材料拓扑优化方法，其特征在于，所述的步骤2)中，构造双射函数φ：(E，v)→(P，Q)，将原始设计变量杨氏模量E和泊松比v映射为一组新的设计变量(P，Q)，具体为
Figure FDA0002953094130000021
且
Figure FDA0002953094130000022
将上述映射关系带入kel(E，v)，构造单元刚度矩阵Ke(E，v)的新的分解形式
Figure FDA0002953094130000023
3.根据权利要求2所述的基于二阶锥规划的各向同性材料拓扑优化方法，其特征在于，所述的步骤3)具体如下：
根据固体材料力学，原始设计变量可行范围为E＞0，-1＜v＜0.5，相应的新设计变量(P，Q)应满足P＞0，Q＞0，
Figure FDA0002953094130000024
为材料弹性张量的局部单元迹设置上下界
Figure FDA0002953094130000025
约束全局迹之和最大值为
Figure FDA0002953094130000026
为单元泊松比v设置上下界
Figure FDA0002953094130000027
根据双射函数φ，将这些关于(E，v)的线性及非线性约束全部转化为关于(P，Q)的线性约束；
根据经典拓扑优化，原始的结构柔顺度问题为：
Figure FDA0002953094130000028
其中
Figure FDA0002953094130000029
为结构柔顺度，sup为上确界，
Figure FDA00029530941300000210
为外力，
Figure FDA00029530941300000211
为位移，
Figure FDA00029530941300000212
为全局刚度矩阵，d为节点自由度；
将刚度矩阵分解形式Ke(E，v)代入上式，该问题变形为：
Figure FDA00029530941300000213
则其对偶形式为：
Figure FDA00029530941300000214
其中inf为取下确界，wel，sel(e＝1，…，N，l＝1，…，5)为所求对偶变量；此外，为加速数值求解，上式可进一步简单线性展开为关于l的7项求和；
将Ke(P，Q)代入上式，以上述可行域为约束条件，将对偶问题转化为关于变量Pe，Qe，wel，sel(e＝1，…，N，l＝1，…，7)的二阶锥规划问题，具体为：
Figure FDA0002953094130000031
s.t.
(a.1)
Figure FDA0002953094130000032
(a.2)
Figure FDA0002953094130000033
(a.3)
Figure FDA0002953094130000034
(a.4)
Figure FDA0002953094130000035
(a.5)
Figure FDA0002953094130000036
(a.6)
Figure FDA0002953094130000037
(a.7)
Figure FDA0002953094130000038
(b)
Figure FDA0002953094130000039
(c)
Figure FDA00029530941300000310
(d.1)Pe＞0
(d.2)Qe＞0
(d.3)
Figure FDA00029530941300000311
(e.1)
Figure FDA00029530941300000312
(e.2)8Qe+6Pe≥Te
(f.1)
Figure FDA00029530941300000313
(f.2)
Figure FDA00029530941300000314
用通用的数值优化软件求解该二阶锥规划问题，求得全局最优的连续解(P，Q)，并通过双射函数φ求得相应的最优材料真实参数杨氏模量E和泊松比v。
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Makrodimopoulos, Athanasios 等.Second-order cone programming formulations for a class of problems in structural optimization.《STRUCTURAL AND MULTIDISCIPLINARY OPTIMIZATION》.2009,第40卷 *
高阁.桁架结构拓扑优化的理论与应用研究.《中国博士学位论文全文数据库 工程科技Ⅱ辑》.2017,(第11期), *

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