CN110154666A - 一种可实现路况预测的车辆悬架系统自适应反推控制方法 - Google Patents

Abstract

一种可实现路况预测的车辆悬架系统自适应反推控制方法，步骤一，建立非线性主动悬架系统模型，根据牛顿第二定律得到主动悬架的动力学方程；步骤二，建立基于轴距预瞄估计器的悬架系统动力学模型；步骤三，设计自适应反推控制器；步骤四，选取合适的增益k₁,k₂,k₃和k₄；β₁和β₂，便可保证所有约束限制在合理的范围之内，可以满足控制要求；解决现有主动悬架控制技术设计模型简单，且一般针对单一控制目标，无法应对实际情况下汽车不确定和复杂路况的干扰及模型动态稳定的问题，实现了对路况信息的预测，并且有效提高车辆行驶的平顺性。

Description

一种可实现路况预测的车辆悬架系统自适应反推控制方法

技术领域

本发明属于悬架系统的预测和自适应控制技术领域，具体涉及一种可实现路况预测的车辆悬架系统自适应反推控制方法。

背景技术

悬架是现代汽车上的重要组成之一。悬架系统是指由车身与轮胎间的弹簧和阻尼器组成的整个支撑系统，它决定着车辆系统稳定性、舒适性和安全性，是现代汽车的关键部件之一，车辆悬架主要作用是承载车身重量、减小路面不平激励对车体的振动冲击，并尽量保持轮胎和路面的良好接触。主动悬架通过其作动器产生主动控制力来抑制由于路面不平引起的振动，根据车辆每一时刻运动状态和路面激励产生瞬时不同的主动控制力，使悬架始终处于最优减振状态，进而提高车辆平顺性与操纵稳定性。对于主动悬架系统，研究者们已经将诸多控制策略应用其中。例如，滑模变结构控制，鲁棒控制，模糊控制以及神经网络控制等。

虽然上述工作对车辆性能的提高已经取得了较大的进展，但是仍然存在一些问题值得注意，特别是，车辆行驶中对路面信息的不可预测性和车辆模型存在不确定性的情况。首先，在车辆实际行驶过程中，车辆悬架系统的调节总是滞后于路面扰动量，导致减振器控制滞后和汽车悬架系统的动态性能变差的现象发生，为此对未知路况信息进行提前预测，可以有效提高车辆悬架系统的使用寿命。此外，车辆在不同行驶道路条件和工况下，悬架参数会在一定范围内发生变化，这就使得对悬架系统的动态特性难以用精确数学模型来描述，从而造成控制上的困难，为此考虑悬架模型的不确定性具有一定的工程意义。

车辆预瞄控制技术是一种能够在控制策略中包含系统未来的路面输入信息，同时可以对干扰进行防范，使后轮控制器得到提前的预判，并提前做出反应，进而有效的提高车辆行驶的平顺性，从而得到更好的控制效果，这对提高乘客舒适度和车辆稳定性具有重要意义。因此，正被逐步应用到更多的领域，目前车辆预瞄控制技术分为车前预瞄和轴距预瞄两种。车前预瞄需要相应的测量装置，成本相对较高，和车前预瞄相比，轴距预瞄由于不使用路面位移传感器而无需增加额外的成本，因而成为更加实际可行的控制方法。

同时，自适应反推控制作为非线性系统控制对象的变化和模型的不确定性干扰控制的有效方法，该控制方法针对控制对象变化和外界环境干扰进行有效的自适应调节，根据控制器设计给出相应的自适应规律，该自适应规律能够对模型中的不确定参数进行在线估计，以调节不确定参数带来的影响，实现最终控制目标。该方法成形于1995 年，并且许多学者在此之后对其进行深入研究，吴忠强提出了一种针对磁流变半主动悬架系统的反步自适应控制方法，鲍雪提出了一种自适应模糊的旋转弹反演滑模控制律设计，管成通过引入非线性高、低通滤波器的方法设计一种车辆主动悬架的路面自适应反步控制器，但是目前的研究方法多以结构简单的1/4车模型为基础，且被控悬架系统的初始值可选取的范围较小，控制方法具有一定的保守性，本发明考虑选取具有更低保守性自适应反推的控制方法，因此本发明具有一定的实用性。

发明内容

为克服上述现有技术的不足，本发明目的在于提出一种实现路况预测且具有更低保守性的车辆悬架系统自适应反推控制方法，首先，将路面预瞄信息加入在非线性悬架系统模型，建立基于轴距预瞄控制的非线性悬架系统动力学模型；其次，设计自适应控制律以实现对悬架模型不确定参数的在线估计，以调节不确定参数带来的影响，进而开发出一种实现路况预测的主动悬架自适应控制器来抑制非线性悬架系统模型不确定性和路面冲击带来的负面影响。

为实现上述目的，本发明采用的技术方案是：一种可实现路况预测的车辆悬架系统自适应反推控制方法，考虑了非线性主动悬架系统的不确定性因素，结合轴距预瞄技术和自适应反推控制方法，包括如下步骤：

步骤一，建立非线性主动悬架系统模型，根据牛顿第二定律得到主动悬架的动力学方程为：

公式(1)中u＝u_f+u_r,u_φ＝au_f-bu_r，u是前轮主动控制力输入u_f和后轮主动控制力输入u_r之和，也可定义为垂向运动主动控制力输入，u_φ定义为俯仰运动主动控制力输入；m_s和I_y分别是车身质量和转动惯量；m_uf、m_ur分别为前、后悬架的非簧载质量；a、b分别为前、后悬架中心到车身质心的距离；φ为车身俯仰角，z_c为车身垂直位移；z_sf, z_sr分别为车身前后侧的垂直位移；z_uf,z_ur分别为前、后悬架非簧载质量位移；z_rf,z_rr分别为前后轮路面扰动位移输入；F_sf,F_sr为前、后悬架组件中非线性弹簧产生的弹性力；F_cf,F_cr分别为前、后悬架组件中的非线性阻尼力；k_tf,k_tr和c_tf,c_tr分别为前、后轮胎的刚度和阻尼系数， u_f是前轮主动控制力输入，u_r是后轮主动控制力输入，为主动悬架系统的控制力输入；

公式(2)-(4)中Δy_f＝z_c+a sinφ-z_uf表示为前悬架动行程，Δy_r＝z_c-b sinφ-z_ur表示为后悬架动行程；k_sf,k_sr分别是前、后悬架非线性弹簧刚度，k_nsf,k_nsr分别是前、后悬架空间刚度系数，c_sf1,c_sr1和c_sf2,c_sr2分别表示前、后悬架伸张和压缩时的黏滞阻尼系数；

定义悬架系统的状态变量如下：

将动力学方程(1)转化为

公式(5)中x₁表示车身垂直位移，x₂表示车身垂直速度，x₃表示车身俯仰角度，x₄表示车身俯仰角速度，x₅表示前悬架簧下质量位移， x₆表示前悬架簧下质量速度，x₇表示后悬架簧下质量位移，x₈表示后悬架簧下质量速度；

步骤二，建立基于轴距预瞄估计器的悬架系统动力学模型

当车辆直线行驶时，可认为后轮的路面位移输入与前轮位移输入处相比仅存在一个时间上的滞后τ，即：z_rr＝z_rf(t-τ)，τ近似等于两轮之间的轴距l＝(a+b)/车速v，这样前轮处的路面输入可作为后轮输入的预瞄信息而添加在控制器中，通过拉氏变换近似来表示前、后轮处路面输入之间的关系为：

通过使用Padé方法近似e^-ds为有限阶传递函数，表示为

在公式(8)中

此处设定m＝n＝2,因此根据公式(8)，可以得到：

公式(9)中，a₀＝12/τ²,a₁＝6/τ,a₂＝1。定义一个附加状态矢量η(t)＝[η₁(t),η₂(t)]^T，可得到后轮的路面速度输入与前轮速度输入处状态方程形式为:

结合公式(10)和公式(6)得到基于轴距预瞄控制的悬架系统状态方程为

步骤三，设计自适应反推控制器，具体做法是：

1)对于主动悬架系统公式(11)，假设悬挂质量m_s和转动惯量I_y存在已知上下界，即m_s∈{m_s:m_smin≤m_s≤m_smax}和I_y∈{I:I_ymin≤I_y≤I_ymax}，m_smin和I_ymin表示车辆不载人状态时，m_smax和I_ymax表示车辆载满人状态；将不确定参数考虑与悬架系统中，同时将车身的垂向速度和俯仰角速度作为虚拟控制，通过虚拟控制确保车身位移和俯仰角度在一定的区域内稳定：

根据公式(11)可以看出选取实际的虚拟控制函数为x₂和x₄，设计虚拟控制的期望值α₁,α₂，使得只要垂向速度x₂＝α₁；x₄＝α₂，就可使得车身垂直位移x₁和车身俯仰角度x₃趋于稳定得到满足，同时定义e₂和e₄作为实际状态值x₂和x₄与期望值α₁和α₂之间的误差，即和选择

公式(12)中k₁>0和k₃>0，为可调参数

选取半正定的李亚普诺夫函数对其求导可得：

公式(12)，(13)中k₁和k₃为可调参数，γ₁和γ₃为正常数；

2)设计实际控制主动控制力u，使得虚拟控制的期望值与真实值状态之间的误差e₁(t)趋近于零或有界；车辆的垂向运动表示为公式 (14)：

公式(14)中θ₁＝1/m_s∈[θ_1min,θ_1max],θ_1min＝1/m_smax,θ_1max＝1/m_smin；

对速度误差e₁进一步转化：

公式(15)中τ₁(x,t)＝(-F_cf-F_cr-F_sf-F_sr+u)e₁

设计控制力u为：

公式(16)中：k₂为常数，是θ₁的估计值；

定义自适应控制率：

公式(17)中为自适应控制律可调参数，

选取半正定李亚普诺夫候选函数：

对公式(18)求导，并将公式(15)-(17)带入，可得：

3)设计实际控制主动控制力u_φ，使得虚拟控制的期望值与真实值状态之间的误差e₂(t)趋近于零或有界；车辆的俯仰运动表示为公式 (20)

公式(20)中θ₂＝1/I_y∈[θ_2min,θ_2max],θ_2min＝1/I_ymax,θ_2max＝1/I_ymin。

对速度误差e₂进一步转化：

公式(21)中τ₂(x,t)＝(-F_n+u_φ)e₂，F_n＝a(F_cf+F_sf)-b(F_cr+F_sr)；

设计控制力u_φ为：

公式(22)中：k₄为常数，是θ₂的估计值，

定义自适应控制率：

选取半正定李亚普诺夫候选函数：

对公式(24)求导，并将公式(21)-(23)带入，可得：

最终由公式(16)和公式(22)得出前后轮相应的实际控制输入函数u_f，u_r如下：

4)验证系统轮胎子系统零动态稳定：

令输出变量x₁(t)＝x₃(t)＝e₁(t)＝e₂(t)＝0，可得到主动控制力：

将公式(27)带入到零动态系统中，即带入系统公式(11)中，可得状态空间方程：

公式(28)中:X(t)＝[x₃ x₄ x₃ x₄]^T，

由于矩阵A，B是满足赫尔维茨准则的，因而零动态系统(28)是稳定的；

步骤四，选取合适的增益k₁,k₂,k₃和k₄；β₁和β₂，便可保证所有约束限制在合理的范围之内，可以满足控制要求。

与现有技术相比，本发明具有以下优点：

由于本发明采用了如下步骤：建立1/2车辆非线性主动悬架系统动力学模型；建立基于轴距预瞄估计器的主动悬架模型；设计可调节系统不确定参数的自适应反推控制器；调节可实现道路预测的自适应反推控制器的控制参数。可实现路况预测且具有较低保守性的自适应反推控制。本发明考虑非线性和不确定性的实际因素，用于汽车主动悬架系统的预测和控制。还具有以下优点：

1)通过采用非线性悬架系统模型，使得悬架模型更加接近实际工况，为验证本发明的有效性奠定了坚实的基础。

2)预瞄控制技术是一种能够在控制策略中包含系统未来的路面输入信息，可以对干扰进行防范，从而起到良好的预测效果。

3)针对悬架系统模型中的不确定性，根据自适应反推控制方法设计出相应的自适应规律，并能够对模型中的不确定参数进行在线估计，以调节不确定参数对车辆的影响，使得悬架动行程、轮胎动静载比和主动控制力幅值约束都得到满足，达到多目标控制目的，同时车辆垂向和俯仰角加速度得到了显著提高，有效的改善了乘坐舒适性。

4)方法简单易实现，系统无需冗余的硬件，成本较低。

本发明所提出的方法作为一种可实现路况预测的车辆主动悬架自适应反推控制方法，具有一定的实用意义，简单易实现，系统具有较好的鲁棒性，能够有效提高主动悬架系统的性能，并保证系统的渐进稳定性。

采用本发明解决现有主动悬架控制技术设计模型简单，且一般针对单一控制目标，无法应对实际情况下汽车不确定和复杂路况的干扰及模型动态稳定的问题，实现了对路况信息的预测，并且有效提高车辆行驶的平顺性。

附图说明

图1为1/2车辆主动悬架模型。

图2为基于轴距预瞄的自适应反推控制框图。

图3为真实与预测的路面位移曲线。

图4为车身加速度响应曲线。

图5为俯仰角加速度响应曲线。

图6为前悬架动行程响应曲线。

图7为后悬架动挠度响应曲线。

图8为前轮胎动载荷响应曲线。

图9为后轮胎动载荷响应曲线。

图10为前轮主动控制力响应曲线。

图11为后轮主动控制力响应曲线。

图12为本发明方法的流程图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明作进一步详细说明。

如图1，2所示，考虑车辆主动悬架存在模型不确定性和非线性，结合轴距预瞄方法、自适应反推控制方法，提出一种自适应控制方法，提前预测路况信息，使得车辆悬架系统在道路干扰和模型存在不确定性的情况下依然保持良好的性能，包括如下步骤：

步骤一，建立非线性主动悬架系统模型，根据牛顿第二定律得到主动悬架的动力学方程为：

公式(1)中u＝u_f+u_r,u_φ＝au_f-bu_r，u是前轮主动控制力输入u_f和后轮主动控制力输入u_r之和，也可定义为垂向运动主动控制力输入，u_φ定义为俯仰运动主动控制力输入；m_s和I_y分别是车身质量和转动惯量；m_uf、m_ur分别为前、后悬架的非簧载质量；a、b分别为前、后悬架中心到车身质心的距离；φ为车身俯仰角，z_c为车身垂直位移；z_sf, z_sr分别为车身前后侧的垂直位移；z_uf,z_ur分别为前、后悬架非簧载质量位移；z_rf,z_rr分别为前后轮路面扰动位移输入；F_sf,F_sr为前、后悬架组件中非线性弹簧产生的弹性力；F_cf,F_cr分别为前、后悬架组件中的非线性阻尼力；k_tf,k_tr和c_tf,c_tr分别为前、后轮胎的刚度和阻尼系数， u_f是前轮主动控制力输入，u_r是后轮主动控制力输入；

公式(2)-(4)中Δy_f＝z_c+a sinφ-z_uf表示为前悬架动行程，Δy_r＝z_c-b sinφ-z_ur表示为后悬架动行程；k_sf,k_sr分别是前、后悬架非线性弹簧刚度，k_nsf,k_nsr分别是前、后悬架空间刚度系数，c_sf1,c_sr1和c_sf2,c_sr2分别表示前、后悬架伸张和压缩时的黏滞阻尼系数；

定义悬架系统的状态变量如下：

将动力学方程(1)转化为

公式(5)中x₁表示车身垂直位移，x₂表示车身垂直速度，x₃表示车身俯仰角度，x₄表示车身俯仰角速度，x₅表示前悬架簧下质量位移， x₆表示前悬架簧下质量速度，x₇表示后悬架簧下质量位移，x₈表示后悬架簧下质量速度；

步骤二，建立基于轴距预瞄估计器的悬架系统动力学模型

当车辆直线行驶时，可认为后轮的路面位移输入与前轮位移输入处相比仅存在一个时间上的滞后τ，即：z_rr＝z_rf(t-τ)，τ近似等于两轮之间的轴距l＝(a+b)/车速v，这样前轮处的路面输入可作为后轮输入的预瞄信息而添加在控制器中。通过拉氏变换近似来表示前、后轮处路面输入之间的关系为：

通过使用Padé方法近似e^-ds为有限阶传递函数，表示为：

在公式(8)中

此处设定m＝n＝2,因此根据公式(8)，可以得到：

公式(9)中：a₀＝12/τ²,a₁＝6/τ,a₂＝1。定义一个附加状态矢量η(t)＝[η₁(t),η₂(t)]^T，可得到后轮的路面速度输入与前轮速度输入处状态方程形式为：

结合公式(10)和公式(6)得到基于轴距预瞄控制的悬架系统状态方程为：

步骤三，设计自适应反推控制器的具体步骤如下：

1)对于主动悬架系统公式(11)，假设悬挂质量m_s和转动惯量I_y存在已知上下界，即m_s∈{m_s:m_smin≤m_s≤m_smax}和I_y∈{I:I_ymin≤I_y≤I_ymax}，m_smin和I_ymin表示车辆不载人状态时，m_smax和I_ymax表示车辆载满人状态；将不确定参数考虑与悬架系统中，同时将车身的垂向速度和俯仰角速度作为虚拟控制，通过虚拟控制确保车身位移和俯仰角度在一定的区域内稳定：

根据公式(11)可以看出选取实际的虚拟控制函数为x₂和x₄，设计虚拟控制的期望值α₁,α₂，使得只要垂向速度x₂＝α₁；x₄＝α₂，就可使得车身垂直位移x₁和车身俯仰角度x₃趋于稳定得到满足，同时定义e₂和e₄作为实际状态值x₂和x₄与期望值α₁和α₂之间的误差，即和选择

公式(12)中k₁>0和k₃>0，为可调参数

选取半正定的李亚普诺夫函数对其求导可得：

公式(12)，(13)中k₁和k₃为可调参数，γ₁和γ₃为正常数。

2)设计实际控制主动控制力u，使得虚拟控制的期望值与真实值状态之间的误差e₁(t)趋近于零或有界；车辆的垂向运动表示为公式 (14)

公式(14)中θ₁＝1/m_s∈[θ_1min,θ_1max],θ_1min＝1/m_smax,θ_1max＝1/m_smin，

对速度误差e₁进一步转化

公式(15)中τ₁(x,t)＝(-F_cf-F_cr-F_sf-F_sr+u)e₁

设计控制力u为；

公式(16)中：k₂为常数，是θ₁的估计值，

定义自适应控制率

公式(17)中为自适应控制律可调参数，

选取半正定李亚普诺夫候选函数：

对公式(18)求导，并将公式(15)-(17)带入，可得：

3)设计实际控制主动控制力u_φ，使得虚拟控制的期望值与真实值状态之间的误差e₂(t)趋近于零或有界；车辆的俯仰运动表示为公式 (20)

公式(20)中θ₂＝1/I_y∈[θ_2min,θ_2max],θ_2min＝1/I_ymax,θ_2max＝1/I_ymin，

对速度误差e₂进一步转化

公式(21)中τ₂(x,t)＝(-F_n+u_φ)e₂，F_n＝a(F_cf+F_sf)-b(F_cr+F_sr)，

设计控制力u_φ为：

公式(22)中：k₄为常数，是θ₂的估计值，

定义自适应控制率

选取半正定李亚普诺夫候选函数

对公式(24)求导，并将公式(21)-(23)带入，可得：

最终由公式(16)和公式(22)得出前后轮相应的实际控制输入函数u_f，u_r如下：

4)验证系统轮胎子系统零动态稳定：

令输出变量x₁(t)＝x₃(t)＝e₁(t)＝e₂(t)＝0，可得到主动控制力：

将公式(27)带入到零动态系统中，即带入系统公式(11)中，可得状态空间方程：

公式(28)中:X(t)＝[x₃ x₄ x₃ x₄]^T，

由于矩阵A，B是满足赫尔维茨准则的，因而零动态系统(28)是稳定的；

步骤四，选取合适的增益k₁,k₂,k₃和k₄；β₁和β₂，便可保证所有约束限制在合理的范围之内，可以满足控制要求。

本实施方式的步骤三的2)中根据公式(19)，可得到结论：e₁θ₁u≤0；本实施方式的步骤三的3)中根据公式(25)，可得到结论：e₂θ₂u_φ≤0；因此，可以证明：

因此可知车身的垂向和俯仰位移是有界的，且此界限可以通过β₁和β₂的值而达到无限小。

以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。

下面以实际案例仿真说明实施方案的有效性。

本文对悬架系统质量不确定性的描述为：车身质量为 m_s＝1000-1300(kg)，转动惯量为I_y＝500-700(kg·m²)。

为验证本发明的有效性，考虑选取凸块路面作为路面激励输入，其表达式为：

其中h，l是凸块输入的高度和长度；V_s是汽车的行驶速度。本文选取h＝0.1m，l＝5m和V_s＝45km/h。

悬架系统参数：汽车主动悬架系统参数为车身总质量：m_s＝1200kg；转动惯量：I_y＝600kg·m²；前、后悬架簧下质量：m_uf＝m_ur＝100kg；弹簧线性刚性系数：k_sf＝k_sr＝15000N/m；弹簧非线性刚性系数：k_nsf＝k_nsr＝1000N/m；前轮胎弹性系数：k_tf＝200000N/m；后轮胎弹性系数： k_tf＝150000N/m；前轮胎阻尼系数：c_tf＝2000Ns/m；后轮胎阻尼系数： c_tr＝1200Ns/m；悬架阻尼系数：c_sf1＝c_sr1＝1500Ns/m；c_sf2＝c_sr2＝1200Ns/m；

控制律参数选取：系统初值条件x₁(0)＝6cm,x₃(0)＝6rad,x_i＝0, (i＝2,4,…,8)；γ₁＝γ₃＝0.08；k₁＝k₂＝k₃＝k₄＝100；r_θ1＝r_θ2＝0.001。

在Simulink中基于轴距预瞄控制的非线性悬架系统动力学模型，并搭自适应反推控制器，进而结合相应参数进行时域仿真，并对以下三种模式进行讨论分析：

(1)PS：无控制的被动悬架；

(2)ABC：自适应反推控制下的主动悬架；

(3)WPABC：基于轴距预瞄的自适应反推方法控制下的主动悬架；

图3为轴距预瞄估计器预测的路面位移曲线；图4-图5为车辆的垂向和俯仰加速度响应曲线；图6-图11为悬架系统的性能指在不同模式下响应曲线。

由图3可知，轴距预瞄估计器预测的路面位移较为准确，几乎能完全预测真实的路面位移，因此说明本发明提出的控制器能够对良好的预测真实的路面情况，有效的降低路面对后轮悬架的冲击。通过分析图4-图5的加速度的时域响应曲线可知，本文发明提出的控制器在非零初始条件下能明显改善车身垂直加速度和俯仰角加速度，具有更小的加速度峰值，有效的提高了车辆的乘坐舒适性。通过分析图 6-图11中的悬架系统性能指标时域响应曲线可知，前、后轮悬架动行程均小于悬架允许的最大行程0.15m；前、后轮轮胎载荷比均小于 1，表明动载是小于静载的，这样可以保证车辆行驶过程中轮胎不会脱离路面；作动器前后悬架主动控制力均满足给定的最大控制输入力 5000N约束；同时，相比ABC作用下的悬架系统，WPABC作用下的悬架系统在车辆后轮的悬架动行程、轮胎动载荷和主动控制力各方面都表现出更加平缓的趋势，因此开发出的自适应预测控制器能够以较低的幅度和较短的时间来降低车身振动，进而大大提高悬架的寿命。虽然车辆在通过冲击路面的瞬间，对悬架系统造成较大冲击，但本发明的控制器均能满足主动悬架系统的安全性能指标约束，实现多目标控制目的，同时保证了车辆的乘坐舒适性。

Claims (1)

1.一种可实现路况预测的车辆悬架系统自适应反推控制方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤一，建立非线性主动悬架系统模型，根据牛顿第二定律得到主动悬架的动力学方程为：

公式(1)中u＝u_f+u_r,u_φ＝au_f-bu_r，u是前轮主动控制力输入u_f和后轮主动控制力输入u_r之和，也可定义为垂向运动主动控制力输入，u_φ定义为俯仰运动主动控制力输入；m_s和I_y分别是车身质量和转动惯量；m_uf、m_ur分别为前、后悬架的非簧载质量；a、b分别为前、后悬架中心到车身质心的距离；φ为车身俯仰角，z_c为车身垂直位移；z_sf,z_sr分别为车身前后侧的垂直位移；z_uf,z_ur分别为前、后悬架非簧载质量位移；z_rf,z_rr分别为前后轮路面扰动位移输入；F_sf,F_sr为前、后悬架组件中非线性弹簧产生的弹性力；F_cf,F_cr分别为前、后悬架组件中的非线性阻尼力；k_tf,k_tr和c_tf,c_tr分别为前、后轮胎的刚度和阻尼系数，u_f是前轮主动控制力输入，u_r是后轮主动控制力输入，为主动悬架系统的控制力输入；

公式(2)-(4)中Δy_f＝z_c+asinφ-z_uf表示为前悬架动行程，Δy_r＝z_c-bsinφ-z_ur表示为后悬架动行程；k_sf,k_sr分别是前、后悬架非线性弹簧刚度，k_nsf,k_nsr分别是前、后悬架空间刚度系数，c_sf1,c_sr1和c_sf2,c_sr2分别表示前、后悬架伸张和压缩时的黏滞阻尼系数；

定义悬架系统的状态变量如下：

将动力学方程(1)转化为

公式(5)中x₁表示车身垂直位移，x₂表示车身垂直速度，x₃表示车身俯仰角度，x₄表示车身俯仰角速度，x₅表示前悬架簧下质量位移，x₆表示前悬架簧下质量速度，x₇表示后悬架簧下质量位移，x₈表示后悬架簧下质量速度；

步骤二，建立基于轴距预瞄估计器的悬架系统动力学模型

当车辆直线行驶时，可认为后轮的路面位移输入与前轮位移输入处相比仅存在一个时间上的滞后τ，即：z_rr＝z_rf(t-τ)，τ近似等于两轮之间的轴距l＝(a+b)/车速v，这样前轮处的路面输入可作为后轮输入的预瞄信息而添加在控制器中，通过拉氏变换近似来表示前、后轮处路面输入之间的关系为：

通过使用Padé方法近似e^-ds为有限阶传递函数，表示为

在公式(8)中

此处设定m＝n＝2,因此根据公式(8)，可以得到：

公式(9)中，a₀＝12/τ²,a₁＝6/τ,a₂＝1。定义一个附加状态矢量η(t)＝[η₁(t),η₂(t)]^T，可得到后轮的路面速度输入与前轮速度输入处状态方程形式为:

结合公式(10)和公式(6)得到基于轴距预瞄控制的悬架系统状态方程为

步骤三，设计自适应反推控制器，具体做法是：

1)对于主动悬架系统公式(11)，假设悬挂质量m_s和转动惯量I_y存在已知上下界，即m_s∈{m_s:m_smin≤m_s≤m_smax}和I_y∈{I:I_ymin≤I_y≤I_ymax}，m_smin和I_ymin表示车辆不载人状态时，m_smax和I_ymax表示车辆载满人状态；将不确定参数考虑与悬架系统中，同时将车身的垂向速度和俯仰角速度作为虚拟控制，通过虚拟控制确保车身位移和俯仰角度在一定的区域内稳定：

根据公式(11)可以看出选取实际的虚拟控制函数为x₂和x₄，设计虚拟控制的期望值α₁,α₂，使得只要垂向速度x₂＝α₁；x₄＝α₂，就可使得车身垂直位移x₁和车身俯仰角度x₃趋于稳定得到满足，同时定义e₂和e₄作为实际状态值x₂和x₄与期望值α₁和α₂之间的误差，即和选择

公式(12)中k₁>0和k₃>0，为可调参数

选取半正定的李亚普诺夫函数对其求导可得：

公式(12)，(13)中k₁和k₃为可调参数，γ₁和γ₃为正常数；

2)设计实际控制主动控制力_u，使得虚拟控制的期望值与真实值状态之间的误差e₁(t)趋近于零或有界；车辆的垂向运动表示为公式(14)：

公式(14)中θ₁＝1/m_s∈[θ_1min,θ_1max],θ_1min＝1/m_smax,θ_1max＝1/m_smin；

对速度误差e₁进一步转化：

公式(15)中τ₁(x,t)＝(-F_cf-F_cr-F_sf-F_sr+u)e₁

设计控制力u为：

公式(16)中：k₂为常数，是θ₁的估计值；

定义自适应控制率：

公式(17)中为自适应控制律可调参数，

选取半正定李亚普诺夫候选函数：

对公式(18)求导，并将公式(15)-(17)带入，可得：

3)设计实际控制主动控制力u_φ，使得虚拟控制的期望值与真实值状态之间的误差e₂(t)趋近于零或有界；车辆的俯仰运动表示为公式(20)

公式(20)中θ₂＝1/I_y∈[θ_2min,θ_2max],θ_2min＝1/I_ymax,θ_2max＝1/I_ymin。

对速度误差e₂进一步转化：

公式(21)中τ₂(x,t)＝(-F_n+u_φ)e₂，F_n＝a(F_cf+F_sf)-b(F_cr+F_sr)；

设计控制力u_φ为：

公式(22)中：k₄为常数，是θ₂的估计值，

定义自适应控制率：

选取半正定李亚普诺夫候选函数：

对公式(24)求导，并将公式(21)-(23)带入，可得：

最终由公式(16)和公式(22)得出前后轮相应的实际控制输入函数u_f，u_r如下：

4)验证系统轮胎子系统零动态稳定：

令输出变量x₁(t)＝x₃(t)＝e₁(t)＝e₂(t)＝0，可得到主动控制力：

将公式(27)带入到零动态系统中，即带入系统公式(11)中，可得状态空间方程：

公式(28)中:X(t)＝[x₃ x₄ x₃ x₄]^T，

由于矩阵A，B是满足赫尔维茨准则的，因而零动态系统(28)是稳定的；

步骤四，选取合适的增益k₁,k₂,k₃和k₄；β₁和β₂，便可保证所有约束限制在合理的范围之内，可以满足控制要求。