CN110146903B - 一种基于反馈调整惯性权重的粒子群北斗卫星选择方法 - Google Patents

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CN110146903B CN201910441448.XA CN201910441448A CN110146903B CN 110146903 B CN110146903 B CN 110146903B CN 201910441448 A CN201910441448 A CN 201910441448A CN 110146903 B CN110146903 B CN 110146903B
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Abstract

本发明公开了一种基于反馈调整惯性权重的粒子群北斗卫星选择方法，其步骤包括：首先计算出北斗可视卫星的方位角和高度角，得到选择n颗卫星的状态矩阵，并将GDOP值作为卫星选择的目标函数；然后利用一种反馈调整惯性权重的离散粒子群算法搜索能使目标函数值达到最小的卫星组合，在算法的惯性权重中设计的反馈调整机制可以提高算法的收敛速度，快速求解出全局最优解。本发明将改进型离散粒子群算法应用于北斗卫星选择，有效提高了北斗卫星选择的质量和效率，具有广阔的应用前景。

Description

一种基于反馈调整惯性权重的粒子群北斗卫星选择方法
技术领域
本发明属于北斗卫星导航领域，具体地说是一种基于反馈调整惯性权重的粒子群北斗卫星选择方法。
背景技术
在北斗卫星导航的各种应用中，为了保证定位精度，需要从多颗可视卫星中选出合适的n(n＞4)颗北斗卫星用于导航解算。从研究中发现，当观测误差一定时，观测点和参与定位的n颗北斗卫星几何关系的差异将直接影响定位误差。北斗导航卫星定位方程的最终求解结果可表达为：
ΔX＝GDOP·Δρ
在上式中，ΔX为位置误差，Δρ为观测误差，GDOP(geometrical dilution ofprecision)为几何精度衰减因子。GDOP反映了观测点和卫星之间的空间几何关系。在观测误差一定时，GDOP值越小，位置误差越小，定位精度越高。
现有的北斗卫星选择方法主要有传统选星算法(Traditional method)和几何优化法(Geometric optimized method)等。传统选星算法通过遍历选出GDOP值最小的北斗卫星组合，该算法的定位精度最高，但计算量大，实时性较差，难以适用于高动态观测。几何优化算法在一定程度上减少了计算量，但需要建立参考坐标系并进行大量的矢量运算，复杂度高。
发明内容
本发明为解决上述现有方法中存在的不足之处，提供一种基于反馈调整惯性权重的粒子群北斗卫星选择方法，以期有效提高北斗卫星选择的时效性和所选北斗卫星组合的定位精度。
为了达到上述目的，本发明所采用的技术方案为：
本发明一种基于反馈调整惯性权重的粒子群北斗卫星选择方法的特点是按如下步骤进行：
步骤1、计算可视卫星的方位角和高度角；
步骤1.1、以观测点为原点O，以地球椭球的长半轴为X轴，以地球椭球的短半轴为Y轴，以地球椭球的法线为Z轴，构建载体坐标系；
利用式(1)得到可视卫星在载体坐标系下的坐标
Figure GDA0002667148020000011
Figure GDA0002667148020000021
式(1)中，Xzs，Yzs，Zzs分别表示所述可视卫星在载体坐标系下的X轴坐标值、Y轴坐标值和Z轴坐标值；Xes，Yes，Zes分别表示所述可视卫星在地心坐标系下的X轴坐标值、Y轴坐标值和Z轴坐标值；Xp，Yp，Zp分别表示所述观测点在地心坐标系下的X轴坐标值、Y轴坐标值和Z轴坐标值；H为载体坐标系和地心坐标系的转换矩阵；并有：
Figure GDA0002667148020000022
式(2)中，Bp,Lp为观测点的大地纬度和经度；
步骤1.2、利用式(3)和式(4)分别得到所述可视卫星的方位角As和高度角Es：
AS＝arctan(Yzs/Xzs) (3)
Figure GDA0002667148020000023
步骤2、计算n颗北斗卫星的状态矩阵，并构造目标函数；
步骤2.1、假设所选择的n颗北斗卫星组合为N＝[S1,S2,…,Sj,…,Sn]，其中Sj为选中的第j颗北斗卫星，j＝1,2,…,n；则n颗北斗卫星的方位角和高度角分别为[AS1,AS2,…,Asj,…,ASn]和[ES1,ES2,…,Esj,…,ESn]，其中Asj为第j颗北斗卫星的方位角，Esj为第j颗北斗卫星的高度角；
步骤2.2、利用式(5)计算n颗北斗卫星组合的状态矩阵G(N)：
Figure GDA0002667148020000024
步骤2.3、利用式(6)得到n颗北斗卫星组合N的目标函数GDOP(N)：
Figure GDA0002667148020000025
式(6)中，trace(·)函数表示求矩阵的迹；
步骤3、确定卫星组合的搜索空间；
构建一个n搜索维空间，且每一维均包含m颗可视卫星；令Ni表示每一维上的i号可视卫星节点；i＝1,2,…,m；
步骤4、利用改进型离散粒子群算法求解最优北斗卫星组合；
步骤4.1、定义t为迭代次数，令tmax为最大迭代次数，初始化t＝1；
步骤4.2、设k是粒子群中粒子的总数量，数值大小自定义；定义s为粒子的编号，并初始化s＝1；
步骤4.3、定义s号粒子在第t次迭代中编码的总维数为L，定义第t次迭代中的当前编码维数为d，且d＝1，2，…,L，初始化d＝1；
令s号粒子在第t次迭代中第d维的位置为xsd(t)，令s号粒子在第t次迭代中的整体位置为xs(t)；
令s号粒子在第t次迭代中第d维的速度为Vsd(t)；
随机生成s号粒子在第t次迭代中第d维的初始位置xsd(t)，并初始化s号粒子在第t次迭代中第d维的速度Vsd(t)＝0；
令目标函数初始值GDOP(Ns(0))为一个固定常数；
定义k个粒子的全局最优位置为Pgd；定义s号粒子的个体最优位置为Psd；
步骤4.4、利用式(7)得到s号粒子在第t次迭代中第d维的速度Vsd(t)：
Vsd(t)＝w·Vsd(t-1)+c1·r1·(Psd-xsd(t-1))+c2·r2·(Pgd-xsd(t-1)) (7)
式(7)中，Vsd(t-1)为s号粒子在第t-1次迭代中第d维时的速度；c1、c2为学习因子；r1、r2为[0，1]之间均匀分布随机数；ρsd(t)为在第t次迭代中第d维时[0，1]之间的随机数，xsd(t-1)为s号粒子在第t-1次迭代中第d维时的位置；w为惯性权重，并通过式(8)所示的“反馈调整的惯性权重”策略得到：
Figure GDA0002667148020000031
式(8)中，wmax和wmin是分别自定义的惯性权重最大值和最小值；I(·)是反馈调整系数，初始化I(·)＝1；
利用式(9)得到s号粒子在第t次迭代中的整体位置xs(t)的二进制编码维数L：
L＝n·p (9)
式(9)中，p为二进制译码位数，并有：
Figure GDA0002667148020000041
式(10)中，m为北斗可视卫星数量，
Figure GDA0002667148020000042
表示向下取整；
利用式(11)得到s号粒子在第t次迭代中第d维时的位置xsd(t)，从而得到第d维二进制编码：
Figure GDA0002667148020000043
式(11)中，sigmoid(·)表示阈值函数，并有：
sigmoid(Vsd(t))＝1/(1+exp(-Vsd(t)) (12)
式(12)中，|Vsd(t)|≤Vmax，Vmax为粒子飞行的最大速度；
步骤4.5、判断d≥L是否成立，若成立，则表示s号粒子完成第t次迭代中的L维编码，得到第t次迭代的整体位置xs(t)＝{xs1(t),xs2(t),…，xsL(t)}，并执行步骤4.6；否则，将d+1赋值给d后，返回步骤4.4；
步骤4.6、对s号粒子在第t次迭代的整体位置xs(t)进行译码；
在L维二进制码中，以每p位的二进制码为一个译码周期并进行译码，从而得到s号粒子在L维二进制编码下的整数矢量Is(t)＝{Is1(t),Is2(t),…,Isu(t),…,Isn(t)}，u＝1,2,…,n，其中Isu(t)为s号粒子在第t次迭代中第u个周期的译码得到的整数；
步骤4.7、将整数矢量Is(t)映射为m颗北斗可视卫星集合{N1,N2,…,Ni,…,Nm}中的n颗北斗卫星，从而选出s号粒子在第t次迭代中搜索出的n颗北斗卫星组合Ns(t)；
计算当前在第t次迭代中选择的n颗北斗卫星组合Ns(t)对应的目标函数值GDOP(Ns(t))，如果GDOP(Ns(t))＜GDOP(Ns(t-1))，则更新个体最优位置Psd为xs(t)；否则，保持个体最优位置Psd不变；并按式(13)得到更新后的反馈调整系数I′(·)并赋值给I(·)：
Figure GDA0002667148020000051
步骤4.8、判断s≥k是否成立，若成立，则表示k个粒子完成第t次搜索，得到第t次迭代的k个北斗卫星组合Ns(t)，并执行步骤4.9；否则，将s+1赋值给s后，返回步骤4.3；
步骤4.9、根据式(1)～(6)求出k个粒子在第t次迭代中的位置对应的目标函数值GDOP(N(t))＝[GDOP(N1(t)),GDOP(N2(t)),…,GDOP(Nk(t))]，找出目标函数值集合中的最小值所对应的粒子编号记为min，并更新全局最优位置Pgd为最小值所对应的min号粒子在第t次迭代中的位置xmin(t)；
步骤4.10、判断t≥tmax是否成立，若成立，执行步骤4.11；否则，返回步骤4.2；
步骤4.11、根据步骤4.6对全局最优位置Pgd进行译码，从而得到对应的最优北斗卫星组合Nbest。
与已有技术相比，本发明的有益效果为：
1、本发明构建了一个北斗卫星组合选择的网络模型，指出最优北斗卫星组合问题的实质是一个多维的组合优化问题，从问题的本质出发，指明了解决北斗卫星组合选择问题的方向，开拓了解决最优北斗卫星组合问题的思路。
2、本发明引入离散粒子群算法，采用离散粒子群算法搜索最优北斗卫星组合，发挥了粒子群算法计算简单、收敛速度快、鲁棒性好等先天优点，提高了北斗卫星选择的时效性。
3、本发明在离散粒子群算法中引入“反馈调整的惯性权重”改进策略，可以进一步提高算法的收敛速度，快速求解出全局最优解，提高了算法的全局搜索效率，从而进一步提高了北斗卫星选择的效率和所选北斗卫星组合的定位精度。
附图说明
图1为本发明卫星组合搜索空间示意图；
图2为本发明一种基于反馈调整惯性权重的粒子群北斗卫星选择方法原理图；
图3为本发明粒子群算法中的粒子的编码方法。
具体实施方式
本实施例中，一种基于反馈调整惯性权重的粒子群北斗卫星选择方法，是应用改进型粒子群算法，让粒子在搜索空间进行搜索，并以“反馈调整的惯性权重”的策略，快速收敛到最优或近似最优的一组北斗卫星组合。该方法是适应于北斗卫星导航的定位、导航、授时等应用中，从观测点处的多颗可视卫星中选择合适的n颗北斗卫星用于导航解算；其中，可视卫星是指在观测点可以接收到其信号的卫星，通常在某一时刻北斗可视卫星数在15颗左右；n颗北斗卫星是指具有最小GDOP值的卫星组合，它们可以保证定位精度。
具体的说，如图2所示，该北斗卫星选择方法按如下步骤进行：
步骤1、计算可视卫星的方位角和高度角；
步骤1.1、以观测点为坐标系原点O，Z轴与地球椭球法线重合，向上为正(天向)，Y轴与地球椭球短半轴重合(北向)，X轴与地球椭球的长半轴重合(东向)，构成直角坐标系，并定义为载体坐标系；由可视卫星和观测点在地心坐标系下的坐标，通过坐标系转换，利用式(1)得到可视卫星在载体坐标系下的坐标
Figure GDA0002667148020000061
Figure GDA0002667148020000062
式(1)中，Xzs，Yzs，Zzs分别表示可视卫星在载体坐标系下的X轴坐标值、Y轴坐标值和Z轴坐标值；Xes，Yes，Zes分别表示可视卫星在地心坐标系下的X轴坐标值、Y轴坐标值和Z轴坐标值；Xp，Yp，Zp分别表示观测点在地心坐标系下的X轴坐标值、Y轴坐标值和Z轴坐标值；H为载体坐标系和地心坐标系的转换矩阵；并有：
Figure GDA0002667148020000063
式(2)中，Bp,Lp为观测点的大地纬度和经度；
步骤1.2、载体坐标系下的卫星坐标Xzs，Yzs，Zzs和卫星的方位角As、高度角Es之间的关系如式(3)：
Figure GDA0002667148020000064
式(3)中，
Figure GDA0002667148020000071
利用式(4)和式(5)分别得到可视卫星的方位角As和高度角Es：
AS＝arctan(Yzs/Xzs) (4)
Figure GDA0002667148020000072
步骤2、计算n颗北斗卫星的状态矩阵，并构造目标函数；
步骤2.1、假设所选择的n颗北斗卫星组合为N＝[S1,S2,…,Sj,…,Sn]，其中Sj为选中的第j颗北斗卫星，j＝1,2,…,n；则n颗北斗卫星的方位角和高度角分别为[AS1,AS2,…,Asj,…,ASn]和[ES1,ES2,…,Esj,…,ESn]，其中Asj为第j颗北斗卫星的方位角，Esj为第j颗北斗卫星的高度角；
步骤2.2、利用式(6)计算n颗北斗卫星组合的状态矩阵G(N)：
Figure GDA0002667148020000073
步骤2.3、利用式(7)得到n颗北斗卫星组合N的目标函数GDOP(N)；根据领域知识，目标函数值GDOP(N)越小，表示该卫星组合N性能越好；
Figure GDA0002667148020000074
式(7)中，trace(·)函数表示求矩阵的迹；
步骤3、确定卫星组合的搜索空间；
构建一个n搜索维空间，且每一维均包含m颗可视卫星；令Ni表示每一维上的i号可视卫星节点；i＝1,2,…,m；如图1所示；
步骤4、利用改进型离散粒子群算法求解最优北斗卫星组合；
由卫星选择问题可知，就是在步骤3搜索空间中寻找一组最优卫星组合Nbest，以使式(7)的目标函数值最小，属于一类离散组合优化问题。我们应用离散粒子群算法，让粒子群在解空间搜索，逐渐收敛到最优或近似最优的一组北斗卫星组合。
粒子群优化(particle sw arm optimization,PSO)算法起源于对鸟群捕食行为的观察和研究，由Kennedy和Eberhart于1995年首次提出，其引入近邻速度匹配、多维搜索及距离加速概念，形成了PSO的最初版本。随后，Kennedy和Eberhart在基本粒子群算法(Particle Swarm Optimization,PSO)的基础上发展了离散二进制粒子群算法。
在PSO算法对鸟群捕食行为的模拟中，每只鸟被命名为一个没有质量和体积的粒子，多个粒子共存、合作寻优。每个粒子根据其自身以及群体经验，在问题空间中向更好的位置“飞行”。粒子本身在飞行过程所经历过的最好位置称为个体最优位置，整个群体目前所经历过的最好位置称为全局最优位置。
根据以上粒子群算法原理，如图2所示，进行以下步骤求解最优北斗卫星组合：
步骤4.1、定义t为迭代次数，令tmax为最大迭代次数，初始化t＝1；
步骤4.2、设k是粒子群中粒子的总数量，数值大小自定义；粒子群算法对种群规模要求不高，一般取20～40就可以达到较好的搜索效果，对于比较难的问题或者特定类别的问题，粒子数可以取到100～200；
定义s为粒子的编号，并初始化s＝1；
步骤4.3、粒子在第t次迭代中的整体位置xs(t)为一个L维二进制编码，如图2所示；所以s号粒子在第t次迭代中编码的总维数为L，定义第t次迭代中的当前编码维数为d，且d＝1，2，…,L，初始化d＝1；
令s号粒子在第t次迭代中第d维的位置为xsd(t)，即s号粒子在第t次迭代中第d维的编码结果；令s号粒子在第t次迭代中的整体位置为xs(t)，即s号粒子在第t次迭代中L维编码结果的集合，xs(t)＝{xs1(t),xs2(t),…，xsLt)}；
令s号粒子在第t次迭代中第d维的速度为Vsd(t)；
随机生成s号粒子在第t次迭代中第d维的初始位置xsd(t)，并初始化s号粒子在第t次迭代中第d维的速度Vsd(t)＝0；
令目标函数初始值GDOP(Ns(0))为一个固定常数；
定义k个粒子的全局最优位置为Pgd，表示k个粒子目前所经历过的最好位置；定义s号粒子的个体最优位置为Psd，表示s号粒子在飞行过程中所经历过的最好位置；
步骤4.4、利用式(8)得到s号粒子在第t次迭代中第d维的速度Vsd(t)：
Vsd(t)＝w·Vsd(t-1)+c1·r1·(Psd-xsd(t-1))+c2·r2·(Pgd-xsd(t-1)) (8)
式(8)中，Vsd(t-1)为s号粒子在第t-1次迭代中第d维时的速度；c1、c2为学习因子；r1、r2为[0，1]之间均匀分布随机数；ρsd(t)为在第t次迭代中第d维时[0，1]之间的随机数，xsd(t-1)为s号粒子在第t-1次迭代中第d维时的位置；
粒子状态更新公式(8)由三部分组成：第一部分粒子的当前速度，也称惯性作用，可以平衡全局和局部搜索；第二部分是认知部分，表示粒子本身的思考，使粒子有足够强的全局搜索能力，避免局部极小；第三部分为社会部分，体现了粒子间的信息共享。在这三部分的共同作用下，粒子才能有效地到达最好位置，换言之，这三个部分共同决定了粒子的空间搜索能力。
w为惯性权重，并通过式(9)所示的“反馈调整的惯性权重”策略得到：
Figure GDA0002667148020000091
式(9)中，wmax和wmin是分别自定义的惯性权重最大值和最小值；I(·)是反馈调整系数，初始化I(·)＝1；当I(·)＝1时，由式(8)可知，惯性权重增加，相应地，式(9)中最优解向着原有方向继续进化；当I(·)＝-1时，惯性权重减小，相应地，从而算法选择以前选过的卫星节点的概率降低，倾向于探索新解，提高算法的收敛速度；
利用式(10)得到s号粒子在第t次迭代中的整体位置xs(t)的二进制编码维数L：
L＝n·p (10)
式(10)中，p为二进制译码位数，并有：
Figure GDA0002667148020000092
式(11)中，m为北斗可视卫星数量，
Figure GDA0002667148020000093
表示向下取整；
利用式(13)得到s号粒子在第t次迭代中第d维时的位置xsd(t)，从而得到第d维二进制编码：
Figure GDA0002667148020000094
式(12)中，sigmoid(·)表示阈值函数，并有：
sigmoid(Vsd(t))＝1/(1+exp(-Vsd(t)) (13)
s号粒子的飞行速度会被限制在最大速度Vmax，即满足保护规则|Vsd(t)|≤Vmax，以保证sigmoid(Vsd(t))不会太靠近0或1，从而增大xsd(t)改变比特位置的几率，不易陷入局部最优；
步骤4.5、判断d≥L是否成立，若成立，则表示s号粒子完成第t次迭代中的L维编码，得到第t次迭代的整体位置xs(t)＝{xs1(t),xs2(t),…，xsL(t)}，并执行步骤4.6；否则，将d+1赋值给d后，返回步骤4.4；
步骤4.6、对s号粒子在第t次迭代的整体位置xs(t)进行译码；
在L维二进制码中，以每p位的二进制码为一个译码周期并进行译码，如图3所示；从而得到s号粒子在L维二进制编码下的整数矢量Is(t)＝{Is1(t),Is2(t),…,Isu(t),…,Isn(t)}，u＝1,2,…,n，其中Isu(t)为s号粒子在第t次迭代中第u个周期的译码得到的整数；
步骤4.7、将整数矢量Is(t)映射为m颗北斗可视卫星集合{N1,N2,…,Ni,…,Nm}中的n颗北斗卫星，从而选出s号粒子在第t次迭代中搜索出的n颗北斗卫星组合Ns(t)；
计算当前在第t次迭代中选择的n颗北斗卫星组合Ns(t)对应的目标函数值GDOP(Ns(t))，如果GDOP(Ns(t))＜GDOP(Ns(t-1))，则更新个体最优位置Psd为xs(t)；否则，保持个体最优位置Psd不变；并按式(14)得到更新后的反馈调整系数I′(·)并赋值给I(·)：
Figure GDA0002667148020000101
由式(14)可见，在粒子群算法运行周期中，当所求得的最优解仍在进化时，I(·)＝+1，由式(8)可知，相应地，惯性权重增加，最优解向着原有方向继续进化；当算法所求得的最优解没有明显改进或下降时，I(·)＝-1，相应地，惯性权重减小，从而算法选择以前选过的卫星节点的概率降低，倾向于探索新解，提高算法的收敛速度；
步骤4.8、判断s≥k是否成立，若成立，则表示k个粒子完成第t次搜索，得到第t次迭代的k个北斗卫星组合Ns(t)，并执行步骤4.9；否则，将s+1赋值给s后，返回步骤4.3；
步骤4.9、根据式(1)～(6)求出k个粒子在第t次迭代中的位置对应的目标函数值GDOP(N(t))＝[GDOP(N1(t)),GDOP(N2(t)),…,GDOP(Nn(t))]，找出目标函数值集合中的最小值所对应的粒子编号记为min，并更新全局最优位置Pgd为最小值所对应的min号粒子在第t次迭代中的位置xmin(t)；
步骤4.10、判断t≥tmax是否成立，若成立，执行步骤4.11；否则，返回步骤4.2；
步骤4.11、根据步骤4.6对全局最优位置Pgd进行译码，从而得到对应的最优北斗卫星组合Nbest。

Claims (1)

1.一种基于反馈调整惯性权重的粒子群北斗卫星选择方法，其特征是按如下步骤进行：
步骤1、计算可视卫星的方位角和高度角；
步骤1.1、以观测点为原点O，以地球椭球的长半轴为X轴，以地球椭球的短半轴为Y轴，以地球椭球的法线为Z轴，构建载体坐标系；
利用式(1)得到可视卫星在载体坐标系下的坐标
Figure FDA0002667148010000011
Figure FDA0002667148010000012
式(1)中，Xzs，Yzs，Zzs分别表示所述可视卫星在载体坐标系下的X轴坐标值、Y轴坐标值和Z轴坐标值；Xes，Yes，Zes分别表示所述可视卫星在地心坐标系下的X轴坐标值、Y轴坐标值和Z轴坐标值；Xp，Yp，Zp分别表示所述观测点在地心坐标系下的X轴坐标值、Y轴坐标值和Z轴坐标值；H为载体坐标系和地心坐标系的转换矩阵；并有：
Figure FDA0002667148010000013
式(2)中，Bp,Lp为观测点的大地纬度和经度；
步骤1.2、利用式(3)和式(4)分别得到所述可视卫星的方位角As和高度角Es：
AS＝arctan(Yzs/Xzs) (3)
Figure FDA0002667148010000014
步骤2、计算n颗北斗卫星的状态矩阵，并构造目标函数；
步骤2.1、假设所选择的n颗北斗卫星组合为N＝[S1,S2,…,Sj,…,Sn]，其中Sj为选中的第j颗北斗卫星，j＝1,2,…,n；则n颗北斗卫星的方位角和高度角分别为[AS1,AS2,…,Asj,…,ASn]和[ES1,ES2,…,Esj,…,ESn]，其中Asj为第j颗北斗卫星的方位角，Esj为第j颗北斗卫星的高度角；
步骤2.2、利用式(5)计算n颗北斗卫星组合的状态矩阵G(N)：
Figure FDA0002667148010000021
步骤2.3、利用式(6)得到n颗北斗卫星组合N的目标函数GDOP(N)：
Figure FDA0002667148010000022
式(6)中，trace(·)函数表示求矩阵的迹；
步骤3、确定卫星组合的搜索空间；
构建一个n搜索维空间，且每一维均包含m颗可视卫星；令Ni表示每一维上的i号可视卫星节点；i＝1,2,…,m；
步骤4、利用改进型离散粒子群算法求解最优北斗卫星组合；
步骤4.1、定义t为迭代次数，令tmax为最大迭代次数，初始化t＝1；
步骤4.2、设k是粒子群中粒子的总数量，数值大小自定义；定义s为粒子的编号，并初始化s＝1；
步骤4.3、定义s号粒子在第t次迭代中编码的总维数为L，定义第t次迭代中的当前编码维数为d，且d＝1，2，…,L，初始化d＝1；
令s号粒子在第t次迭代中第d维的位置为xsd(t)，令s号粒子在第t次迭代中的整体位置为xs(t)；
令s号粒子在第t次迭代中第d维的速度为Vsd(t)；
随机生成s号粒子在第t次迭代中第d维的初始位置xsd(t)，并初始化s号粒子在第t次迭代中第d维的速度Vsd(t)＝0；
令目标函数初始值GDOP(Ns(0))为一个固定常数；
定义k个粒子的全局最优位置为Pgd；定义s号粒子的个体最优位置为Psd；
步骤4.4、利用式(7)得到s号粒子在第t次迭代中第d维的速度Vsd(t)：
Vsd(t)＝w·Vsd(t-1)+c1·r1·(Psd-xsd(t-1))+c2·r2·(Pgd-xsd(t-1)) (7)
式(7)中，Vsd(t-1)为s号粒子在第t-1次迭代中第d维时的速度；c1、c2为学习因子；r1、r2为[0，1]之间均匀分布随机数；ρsd(t)为在第t次迭代中第d维时[0，1]之间的随机数，xsd(t-1)为s号粒子在第t-1次迭代中第d维时的位置；w为惯性权重，并通过式(8)所示的“反馈调整的惯性权重”策略得到：
Figure FDA0002667148010000031
式(8)中，wmax和wmin是分别自定义的惯性权重最大值和最小值；I(·)是反馈调整系数，初始化I(·)＝1；
利用式(9)得到s号粒子在第t次迭代中的整体位置xs(t)的二进制编码维数L：
L＝n·p (9)
式(9)中，p为二进制译码位数，并有：
Figure FDA0002667148010000032
式(10)中，m为北斗可视卫星数量，
Figure FDA0002667148010000033
表示向下取整；
利用式(11)得到s号粒子在第t次迭代中第d维时的位置xsd(t)，从而得到第d维二进制编码：
Figure FDA0002667148010000034
式(11)中，sigmoid(·)表示阈值函数，并有：
sigmoid(Vsd(t))＝1/(1+exp(-Vsd(t)) (12)
式(12)中，|Vsd(t)|≤Vmax，Vmax为粒子飞行的最大速度；
步骤4.5、判断d≥L是否成立，若成立，则表示s号粒子完成第t次迭代中的L维编码，得到第t次迭代的整体位置xs(t)＝{xs1(t),xs2(t),…，xsL(t)}，并执行步骤4.6；否则，将d+1赋值给d后，返回步骤4.4；
步骤4.6、对s号粒子在第t次迭代的整体位置xs(t)进行译码；
在L维二进制码中，以每p位的二进制码为一个译码周期并进行译码，从而得到s号粒子在L维二进制编码下的整数矢量Is(t)＝{Is1(t),Is2(t),…,Isu(t),…,Isn(t)}，u＝1,2,…,n，其中Isu(t)为s号粒子在第t次迭代中第u个周期的译码得到的整数；
步骤4.7、将整数矢量Is(t)映射为m颗北斗可视卫星集合{N1,N2,…,Ni,…,Nm}中的n颗北斗卫星，从而选出s号粒子在第t次迭代中搜索出的n颗北斗卫星组合Ns(t)；
计算当前在第t次迭代中选择的n颗北斗卫星组合Ns(t)对应的目标函数值GDOP(Ns(t))，如果GDOP(Ns(t))＜GDOP(Ns(t-1))，则更新个体最优位置Psd为xs(t)；否则，保持个体最优位置Psd不变；并按式(13)得到更新后的反馈调整系数I′(·)并赋值给I(·)：
Figure FDA0002667148010000041
步骤4.8、判断s≥k是否成立，若成立，则表示k个粒子完成第t次搜索，得到第t次迭代的k个北斗卫星组合Ns(t)，并执行步骤4.9；否则，将s+1赋值给s后，返回步骤4.3；
步骤4.9、根据式(1)～(6)求出k个粒子在第t次迭代中的位置对应的目标函数值GDOP(N(t))＝[GDOP(N1(t)),GDOP(N2(t)),…,GDOP(Nk(t))]，找出目标函数值集合中的最小值所对应的粒子编号记为min，并更新全局最优位置Pgd为最小值所对应的min号粒子在第t次迭代中的位置xmin(t)；
步骤4.10、判断t≥tmax是否成立，若成立，执行步骤4.11；否则，返回步骤4.2；
步骤4.11、根据步骤4.6对全局最优位置Pgd进行译码，从而得到对应的最优北斗卫星组合Nbest。
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