CN110142766A - 带性能和状态约束的关节型机器人末端轨迹控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种带性能和状态约束的关节型机器人末端轨迹控制方法，包括步骤：1)建立关节型机器人的动力学模型，2)设定对机器人的位置跟踪误差，3)基于预定性能带对跟踪误差进行变换，4)设计考虑性能及全状态约束的跟踪控制器，并通过设计的控制器控制关节机器人系统。本发明能解决关节机器人在存在末端执行器故障、末端位置及移动速度约束的情况下，控制关节型机器人末端位置和速度的跟踪误差都能以指数收敛到极小残差集的技术问题，并且其引入了切换控制方案，保证了整个控制器的连续性，避免了控制器在切换点发生跳跃导致执行器在运行过程中发生切换振荡的问题。

Description

带性能和状态约束的关节型机器人末端轨迹控制方法

技术领域

本发明涉及机器人控制技术领域，特别涉及一种关节型机器人的末端轨迹控制方法。

背景技术

自从世界第一台机器人-Unimate映入人类眼帘开始，机器人的发展就势如破竹，目前已经被广泛应用于家务，工业以及军事等领域。随着机器人应用领域的不断扩展化，先进的控制方法在其产品的迭代中起到重要作用，现有技术中采用了各种自适应控制方法来克服机器人系统在实际控制过程中遇到的各种不可控问题。但是，现有的控制方法都忽略了控制系统中存在的约束条件(包括执行器的物理约束，轨迹跟踪过程的性能约束等系统在实际运行中存在的并且必须考虑的约束条件)。值得注意的是，如果物理系统的约束条件得不到满足，除了会导致系统性能的严重下降，作业失败以外，还有可能造成系统的宕机以及机器人本身结构的不定程度损坏等等问题。因此，在机器人控制系统的研究中考虑系统中存在的约束条件(即，轨迹跟踪过程的瞬态性能约束，状态约束，......)已经成为近年来控制领域的研究焦点。

为了解决机械臂执行器的物理约束问题，目前已经取得了一些成就，可以较好的解决系统中考虑位置或者速度约束时控制器的设计难点，但遗憾的是，机器人的实际应用场景中，往往需要同时考虑位置和速度的约束即控制器设计中需要考虑系统的全状态约束。

除了机器人的运动约束外，在其长期的运行中，执行器发生未知故障也是不可避免的。值得注意的是，极少有文献在满足全状态约束的前提下保证执行器故障时的系统稳定性。因此，需要通过构造一个自适应容错控制策略，以确保机械臂执行器在发生未知故障时，依然能够在满足约束条件的前提下稳定运行。

并且，虽然现有技术中对控制系统的性能约束问题提出了有效的解决方案，但这些方案都是建立在PPB技术的基础之上。PPB技术可以保证系统在轨迹跟踪过程中，跟踪误差按照给定边界收敛，也是最有效的性能约束技术，但是该技术存在的不足就是初始误差需要满足边界初始条件，而现有技术中涉及PPB算法的控制方案均对该条件做了直接或者间接的假设，然而预设条件可能导致该理论在实际系统中不适用。

发明内容

有鉴于此，本发明的目的是提供一种带性能和状态约束的关节型机器人末端轨迹控制方法，以解决存在末端执行器故障、末端位置及移动速度约束的情况下，控制关节型机器人末端位置和速度的跟踪误差都能以指数收敛到极小残差集的的技术问题。

本发明带性能和状态约束的关节型机器人末端轨迹控制方法，包括以下步骤：

1)建立关节型机器人的动力学模型如下：

上式中：是惯性矩阵，是离心力矩阵，是重力向量，是静态或者动态摩擦向量，是外界未知干扰，是执行器实际输入向量；

是机械臂各关节的旋转角度，是机械臂各关节的移动角速度，是机械臂各关节的移动角加速度，由于机械臂的物理结构和性能指标限制，各关节的角度以及角速度都需要满足如下限制：||q||＜c₁，其中c₁和c₂是机械臂关节角度和角速度所能达到的最大极限值；

其中：

U_a＝ρ(t)U+U_r(t)

上式中，ρ(·)＝diag{ρ₁(·),ρ₂(·),...,ρ_n(·)}是个对角矩阵，每个元素满足0＜ρ_i(·)≤1；U_r(·)表示在各关节执行器运行中所有的不可控部分，U是执行器的理想输入转矩；虽然执行器的容错参数ρ(·)和U_r(·)具有未知性，时变性和不可预知性，但是满足有界性：0＜ρ_n＜ρ_i(·)≤ρ_m≤1,0＜||U_r(·)||≤u_rm＜∞，其中ρ_n,ρ_m,u_rm均是已知常数；

将式(1)所示的动力学模型变为如下等式：

上式中，控制输入信号U＝[U₁,U₂,...,U_n]^T，将系统模型重新整理为

控制系统的控制增益A(q,t)＝H^-1(q)ρ(t)，则代表了控制系统中所有的不确定因素的集合，其数学表达式为：函数的幅值只与q(t)和有关；

2)设定对机器人的位置跟踪误差为e＝q-q_d，速度跟踪误差为其中q_d＝[q_d1,q_d2,...,q_dn]^T，为期望轨迹；理想轨迹q_d(t)为设定的已知轨迹，因此其导数和也为已知，且||q_d(t)||＜d₁＜c₁，c₁，c₂是机械臂的关节角度和角速度极限值，d₁，d₂是小于极限值的已知常数；

3)基于预定性能带技术对跟踪误差进行变换，具体如下：

引入中间误差变量η，定义为

其中β＞0是一个正常数；则到的传递函数为

到均是有界输入有界输出稳定，因η_i(t)有界，则e_i和也均有界；因η_i(t)满足指数衰减趋向于0，则e_i和也以同样的衰减速度趋于0；由此将η_i(t)预定义于给定性能界限之内，则e_i和也将具有相同的性质，这样便将同时保证机械臂末端执行器对于理想位置轨迹和速度轨迹的跟踪性能目标转换为保证中间变量η_i(t)以指数形式收敛；

定义性能函数f(t-t_a)，该函数满足条件：1)f(t-t_a)严格递减；2)t_a是指初始时间点；

η_i(t)满足:

则能保证轨迹跟踪误差的收敛状态；其中υ和是大于0的预定性能界限常数，性能函数f(t-t_a)为

f(∞)代表了在稳定状态时跟踪误差η_i(t)的最大允许值，f(t-t_a)则表示了误差收敛速度的最低界限，和υf(t_a)分别表示了跟踪误差的正、负超调量；

将原系统的误差η_i(t)转换为受性能限制的新误差ξ_i(t)，转换误差ξ(t)＝[ξ₁,ξ₂,…,ξ_i,…,ξ_n]^T，ξ_n就是指列向量ξ的第n个元素，转换关系如下

η_i(t)＝f(t-t_a)Γ(ξ_i) (7)

上式中，函数Γ(·)满足光滑性和严格递增性，且： Γ(t_a)＝0；函数Γ(·)定义为：

4)设计考虑性能及全状态约束的跟踪控制器，并通过设计的控制器控制关节机器人系统，具体如下：

第一步：定义控制器的切换范围如下：

上述切换范围定义中是系统中可测的状态向量，ε＝[ε₁,ε₂,...,ε_n]^T是与切换范围相关的参数，Cl表示集合关闭，t_a是当所有的i＝1,2,...,n均满足不等式时的时间点，也就是说对于任意时间t＞t_a，集合∑(t)是期望值的一个紧集，即该集合内的状态实际值与期望值之差为有限值；

以范围D^n×2将关节机器人控制器分成两个部分，当时使用监督控制器控制关节机器人系统，当x∈D^n×2则切换为基于预定性能带技术的自适应控制器控制机器人系统；

第二步：设计软连接器在切换点处连接切换前后的执行器输入信号，以保证执行器在切换点处动作的连续性，软连接器用公式表示为：

上式中为控制器输入信号向量的第i个元素，U_i1(t_a-t_m)为切换点前一刻的控制输入信号，U_i2(t_a)为切换点时刻的控制输入信号，t_a为切换点时间，t_m为系统控制间隔时间；

第三步：设计监督控制器，通过监督控制器在时控制关节机器人系统，具体如下：

由于误差e＝q-q_d，引入作为中间变量出现在控制器中，e和η的导数分别表示为：

以式(3)考虑了全状态约束以及执行器故障的多自由度关节型机器人系统为控制对象，当时，监督控制器U定义为

U＝-k₁η-F_u (11)

上式中控制系数k₁＞0，当时，能实现跟踪误差的一致有界性，并且保证在时间t＝t_a,0＜t_a＜∞时，满足x∈Dⁿײ；

F_u定义为

是已知函数，c₂是关节角速度的极限值，d₂是理想关节角速度的极限值，l₁＝c₁-d₁，c₁是关节角度的极限值，d₁是理想关节角度的极限值；是未知参数a₁的估计值，通过以下式子更新

其中σ₁＞0是由设计者给定的参数；

第四步，设计基于预定性能带技术的自适应控制器，通过基于预定性能带技术的自适应控制器在x∈D^n×2时控制关节机器人系统，具体如下：

选择切换范围D^n×2＝|η_i(t)|≤ε_i，性能函数参数与切换范围之间需要满足如下不等式

ε_i满足不等式

当x∈D^n×2时，基于预定性能带技术的自适应控制器设置为：

其中为软连接器，软连接器用于防止控制器在切换点处发生切换振荡，u_i是输入信号矩阵u＝[u₁,...,u_n]^T的元素，i＝1,2,...,n；控制器u_i的定义为：

其中，是未知参数b_i的估计值，通过以下式子更新

上式中σ₂＞0是由设计者给定的参数，其中，函数ψ_i(·)是由设计者给出的已知函数，满足有界光滑性，取为 γ_n＝0，在函数F₂(·)中，为已知函数，β是由设计者给定的正常数，r＝diag{r₁,...,r_n},m＝diag{m₁,...,m_n}，

本发明的有益效果：

1、本发明带性能和状态约束的关节型机器人末端轨迹控制方法，其设计的控制器不仅能实现控制机械臂末端执行器轨迹跟踪的UUB(最终一致稳定)目标，而且还能实现控制机械臂末端执行器轨迹跟踪的PPB(预定性能)目标，从而解决了关节机器人在存在末端执行器故障、末端位置及移动速度约束的情况下，控制关节型机器人末端位置和速度的跟踪误差都能以指数收敛到极小残差集的技术问题。

2、本发明带性能和状态约束的关节型机器人末端轨迹控制方法，为了解决PPB误差转换技术中对初始状态的条件要求的不足，引入了切换控制方案，当初始误差在切换范围之外时，先使用监督控制器器使得误差快速收敛并保持在PPB条件之内，以满足PPB的初值条件，然后启动基于预定性能带技术的自适应控制器，保证了系统的瞬态性能要求；并且在切换控制器的切换点处通过设计软连接器来过渡，保证了整个控制器的连续性，避免了控制器在切换点发生跳跃导致执行器在运行过程中发生切换振荡的问题。

附图说明

图1为三自由度关节型机器人的结构示意图，图中q₁为第一关节的转动角度，q₂为第二关节的转动角度，q₃为第三关节的转动角度；

图2为考虑初始误差条件的PPB技术图；

图3为考虑性能约束的位置误差图；

图4为未未考虑性能约束的位置误差图；

图5为考虑性能约束的速度误图；

图6为未考虑性能约束的速度误差图；

图7为考虑性能约束的控制输入信号图；

图8为未考虑性能约束的控制输入信号图；

图9为考虑性能约束的中间误差变量图；

图10为未考虑性能约束的中间误差变量图；

图11为执行器工作效率ρ_i(·)参数图；

图12为执行器不可控部分U_ri参数图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明作进一步描述。

本实施例带性能和状态约束的关节型机器人末端轨迹控制方法，包括以下步骤：

1)建立关节型机器人的动力学模型如下：

上式中：是惯性矩阵，是离心力矩阵，是重力向量，是静态或者动态摩擦向量，是外界未知干扰，是执行器实际输入向量。是机械臂各关节的旋转角度，是机械臂各关节的移动角速度，是机械臂各关节的移动角加速度，由于机械臂的物理结构和性能指标限制，各关节的角度以及角速度都需要满足如下限制：||q||＜c₁，其中c₁和c₂是机械臂关节角度和角速度所能达到的最大极限值；

其中：

U_a＝ρ(t)U+U_r(t)

上式中，ρ(·)＝diag{ρ₁(·),ρ₂(·),...,ρ_n(·)}是个对角矩阵，每个元素满足0＜ρ_i(·)≤1；U_r(·)表示在各关节执行器运行中所有的不可控部分，U是执行器的理想输入转矩；虽然执行器的容错参数ρ(·)和U_r(·)具有未知性，时变性和不可预知性，但是满足有界性：0＜ρ_n＜ρ_i(·)≤ρ_m≤1,0＜||U_r(·)||≤u_rm＜∞，其中ρ_n,ρ_m,u_rm均是已知常数。

将式(1)所示的动力学模型变为如下等式：

上式中，控制输入信号U＝[U₁,U₂,...,U_n]^T，将系统模型重新整理为

控制系统的控制增益A(q,t)＝H^-1(q)ρ(t)，则代表了控制系统中所有的不确定因素的集合，其数学表达式为：函数的幅值只与q(t)和有关；

2)设定对机器人的位置跟踪误差为e＝q-q_d，速度跟踪误差为其中q_d＝[q_d1,q_d2,...,q_dn]^T，为期望轨迹；理想轨迹q_d(t)为设定的已知轨迹，因此其导数和也为已知，且||q_d(t)||＜d₁＜c₁，c₁，c₂是机械臂的关节角度和角速度极限值，d₁，d₂是小于极限值的已知常数。

3)基于预定性能带(PPB)技术带对跟踪误差进行变换，具体如下：

为了同时考虑系统对于跟踪位置轨迹和速度轨迹的收敛状态，因此需要引入中间误差变量η，定义为

其中β＞0是一个正常数；则到的传递函数为

到均是有界输入有界输出稳定。

定义性能函数f(t-t_a)，该函数满足条件：1)f(t-t_a)严格递减；2)t_a是指初始时间点。

η_i(t)满足:

则能保证轨迹跟踪误差的收敛状态；其中υ和是大于0的预定性能界限常数，性能函数f(t-t_a)为

f(∞)代表了在稳定状态时跟踪误差η_i(t)的最大允许值，f(t-t_a)则表示了误差收敛速度的最低界限，和υf(t_a)分别表示了跟踪误差的正、负超调量。因此选择合适的性能函数f(t-t_a)并且设计恰当的性能界限常数可以影响系统轨迹跟踪的瞬态性能。

将原系统的误差η_i(t)转换为受性能限制的新误差ξ_i(t)，转换误差ξ(t)＝[ξ₁,ξ₂,…,ξ_i,…,ξ_n]^T，ξ_n就是指列向量ξ的第n个元素，转换关系如下

η_i(t)＝f(t-t_a)Γ(ξ_i) (7)

上式中，函数Γ(·)满足光滑性和严格递增性，且： Γ(t_a)＝0；函数Γ(·)定义为：

4)设计考虑性能及全状态约束的跟踪控制器，并通过设计的控制器控制关节机器人系统，具体如下：

第一步：定义控制器的切换范围如下：

上述切换范围定义中是系统中可测的状态向量，ε＝[ε₁,ε₂,...,ε_n]^T是与切换范围相关的参数，Cl表示集合关闭，t_a是当所有的i＝1,2,...,n均满足不等式时的时间点，也就是说对于任意时间t＞t_a，集合∑(t)是期望值的一个紧集，即该集合内的状态实际值与期望值之差为有限值。

以范围D^n×2将关节机器人控制器分成两个部分，当时使用监督控制器控制关节机器人系统，当x∈D^n×2则切换为基于预定性能带技术的自适应控制器控制机器人系统。

第二步：设计软连接器在切换点处连接切换前后的执行器输入信号，以保证执行器在切换点处动作的连续性，软连接器用公式表示为：

上式中为控制器输入信号向量的第i个元素，U_i1(t_a-t_m)为切换点前一刻的控制输入信号，U_i2(t_a)为切换点时刻的控制输入信号，t_a为切换点时间，t_m为系统控制间隔时间。

第三步：设计监督控制器，通过监督控制器在时控制关节机器人系统，具体如下：

由于误差e＝q-q_d，引入作为中间变量出现在控制器中，e和η的导数分别表示为：

以式(3)考虑了全状态约束以及执行器故障的多自由度关节型机器人系统为控制对象，当时，监督控制器U定义为

U＝-k₁η-F_u (11)

上式中控制系数k₁＞0，当时，能实现跟踪误差的一致有界性，并且保证在时间t＝t_a,0＜t_a＜∞时，满足x∈Dⁿײ。

F_u定义为

是已知函数，c₂是关节角速度的极限值，d₂是理想关节角速度的极限值，l₁＝c₁-d₁，c₁是关节角度的极限值，d₁是理想关节角度的极限值；是未知参数a₁的估计值，通过以下式子更新

其中σ₁＞0是由设计者给定的参数；

第四步，设计基于预定性能带技术的自适应控制器，通过基于预定性能带技术的自适应控制器在x∈D^n×2时控制关节机器人系统，具体如下：

选择切换范围D^n×2＝|η_i(t)|≤ε_i，性能函数参数与切换范围之间需要满足如下不等式

ε_i满足不等式

当x∈D^n×2时，基于预定性能带技术的自适应控制器设置为：

其中为软连接器，软连接器用于防止控制器在切换点处发生切换振荡，u_i是输入信号矩阵u＝[u₁,...,u_n]^T的元素，i＝1,2,...,n；控制器u_i的定义为：

其中，是未知参数b_i的估计值，通过以下式子更新

上式中σ₂＞0是由设计者给定的参数，其中，函数ψ_i(·)是由设计者给出的已知函数，满足有界光滑性，取为 γ_n＝0，在函数F₂(·)中，为已知函数，β是由设计者给定的正常数，r＝diag{r₁,...,r_n},m＝diag{m₁,...,m_n}，

根据上述说明，监督控制器只有在系统状态时激活，该控制器在满足全状态受限的条件下保证了x(t)在时间t_a点时满足x∈D^n×2，并且会确保x(t)一直收敛于集合D^{n ×2}。一旦x(t)满足条件x∈D^n×2，控制器会切换至基于预定性能带技术的自适应容错控制器，该控制器主要是满足系统的瞬态性能约束条件，通过引入预定性能带(PPB)技术，保证了机械臂末端位置以及速度跟踪的误差以指数形式收敛至小残差集。因此整个控制方案在优化传统的单一PPB控制器对初值要求的不足的同时满足了控制目标。

为了证明本实施例中所提出的控制方案的有效性和稳定性，下面以三自由度机器人系统模型进行仿真验证：

上式中H(q),分别代表惯性矩阵和离心力矩阵，是重力矩阵，代表系统中所有的不确定因素以及外界非线性未知干扰，其中q＝[q₁,q₂,q₃]^T指代机械臂各关节位置角度，U＝[U₁,U₂,U₃]^T是系统的实际控制输入信号。ρ(t)为系统中执行器的执行效率，U_r(t)为控制系统执行机构中存在的不可控部分。

G₂(q)＝g(m₁a₂cos q₂+m₂a₂cos q₂+m₂a₃cos(q₂+q₃))

G₃(q)＝g(m₂a₃(q₂+q₃))

上式中，q为关节轴的旋转角度，为关节轴的角速度，为关节轴的角加速度，S_i＝sin q_i,C_i＝cos q_i,S_ij＝sin(q_i+q_j),C_ij＝cos(q_i+q_j)，I_i为各关节轴的转动惯量，m_i为关节杆的质量，a_i为关节轴的长度，i＝1,2,3；g为重力加速度。

机械臂动力学模型中系统未知量给定为： 仿真过程中，理想轨迹给定为：q_d1＝q_d2＝q_d3＝0.2+exp(-t)。为了便于系统仿真，系统模型中容错参数设定为：ρ₁(·)＝ρ₂(·)＝ρ₃(·),U_r1＝U_r2＝U_r3，执行器故障参数设定如图11和图12所示。

为了同时证明监督控制器性能以及基于预定性能带技术的自适应控制器性能，仿真部分需要提前设定的参数为：1)三轴机械臂的各关节角位移以及角加速度的初始状态给定为q₁(0)＝q₂(0)＝q₃(0)＝1，2)控制器参数为：k₁＝1,k₂＝100，σ₁＝σ₂＝1，β＝1，ε₁＝ε₂＝ε₃＝0.013；3)控制器中涉及到的核心函数分别设定为：4)控制系统的全状态受限参数给定为：l₁＝1.1,l₂＝1.3,d₁＝1.2,d₂＝1，因此可得c₁＝l₁+d₁＝2.3，c₂＝l₂+βl₁+d₂＝3.4；5)性能函数的参数设定为：f(0)＝1.1,f(∞)＝0.1,τ＝0.2。为了更直观的展现本实施例中控制方案的优点(考虑跟踪过程的瞬态性能、执行器故障以及全状态受限)，仿真部分与没有考虑瞬态性能的控制器进行了对比实验，具体的对比仿真效果如下图3-10所示。

由图3和图5可知，在切换时间t_a之前，机械臂的位置跟踪误差以及其速度跟踪误差均快速衰减至有限残差集，t_a之后，位置和速度的跟踪误差均趋于0。相比之下图4和图6中不论是位置跟踪误差还是速度的跟踪误差均不能实现快速的收敛，而是呈现震荡波动，因此，可明显得出虽然本实施例中的控制模型中考虑了全状态受限，执行器故障等复杂因素但是本实施例中提出的切换控制方案可以很好的实现机械臂的轨迹跟踪性能。

中间误差变量如图9，由于初始值η(0)在PPB技术的有效范围之外，所以开始是监督控制器运行，快速将其收敛至切换范围之后，激活基于预定性能带技术的自适应控制器，控制器的两个部分协作运行保证了整个关节型机器人系统的稳态性能和瞬态性能。同时，η(t)的指数收敛可以保证跟踪误差以相同的速度收敛，即也是以指数形式衰减。未考虑瞬态性能的控制器跟踪误差和η(t)分别如图4、图6和图10所示，与之相比，本实施例中提出的控制器收敛状态具有明显优势。

输入信号的仿真结果如图7所示。根据仿真结果可得整个控制方案虽然分为两部分，但是软连接器的存在保证控制器在任何时间点的连续性，避免了在切换点处发生切换振荡的可能性。

值得注意的是，虽然执行器故障考虑在了控制模型中，控制方案依旧可以保证整个跟踪过程的稳定性。根据仿真结果可知机械臂系统中所有信号均有界。

最后说明的是，以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非限制，尽管参照较佳实施例对本发明进行了详细说明，本领域的普通技术人员应当理解，可以对本发明的技术方案进行修改或者等同替换，而不脱离本发明技术方案的宗旨和范围，其均应涵盖在本发明的权利要求范围当中。

Claims (1)

1.带性能和状态约束的关节型机器人末端轨迹控制方法，其特征在于：包括以下步骤：

1)建立关节型机器人的动力学模型如下：

上式中：是惯性矩阵，是离心力矩阵，是重力向量，是静态或者动态摩擦向量，是外界未知干扰，是执行器实际输入向量；

是机械臂各关节的旋转角度，是机械臂各关节的移动角速度，是机械臂各关节的移动角加速度，由于机械臂的物理结构和性能指标限制，各关节的角度以及角速度都需要满足如下限制：||q||＜c₁，其中c₁和c₂是机械臂关节角度和角速度所能达到的最大极限值；

其中：

U_a＝ρ(t)U+U_r(t)

上式中，ρ(·)＝diag{ρ₁(·),ρ₂(·),...,ρ_n(·)}是个对角矩阵，每个元素满足0＜ρ_i(·)≤1；U_r(·)表示在各关节执行器运行中所有的不可控部分，U是执行器的理想输入转矩；虽然执行器的容错参数ρ(·)和U_r(·)具有未知性，时变性和不可预知性，但是满足有界性：0＜ρ_n＜ρ_i(·)≤ρ_m≤1,0＜||U_r(·)||≤u_rm＜∞，其中ρ_n,ρ_m,u_rm均是已知常数；

将式(1)所示的动力学模型变为如下等式：

上式中，控制输入信号U＝[U₁,U₂,...,U_n]^T，将系统模型重新整理为

控制系统的控制增益A(q,t)＝H^-1(q)ρ(t)，则代表了控制系统中所有的不确定因素的集合，其数学表达式为：函数的幅值只与q(t)和有关；

2)设定对机器人的位置跟踪误差为e＝q-q_d，速度跟踪误差为其中q_d＝[q_d1,q_d2,...,q_dn]^T，为期望轨迹；理想轨迹q_d(t)为设定的已知轨迹，因此其导数和也为已知，且||q_d(t)||＜d₁＜c₁，c₁，c₂是机械臂的关节角度和角速度极限值，d₁，d₂是小于极限值的已知常数；

3)基于预定性能带技术对跟踪误差进行变换，具体如下：

引入中间误差变量η，定义为

其中β＞0是一个正常数；则e,到η,的传递函数为

e,到η,均是有界输入有界输出稳定；

定义性能函数f(t-t_a)，该函数满足条件：1)f(t-t_a)严格递减；2)t_a是指初始时间点；

η_i(t)满足:

则能保证轨迹跟踪误差的收敛状态；其中υ和是大于0的预定性能界限常数，性能函数f(t-t_a)为

f(∞)代表了在稳定状态时跟踪误差η_i(t)的最大允许值，f(t-t_a)则表示了误差收敛速度的最低界限，和υf(t_a)分别表示了跟踪误差的正、负超调量；

将原系统的误差η_i(t)转换为受性能限制的新误差ξ_i(t)，转换误差ξ(t)＝[ξ₁,ξ₂,…,ξ_i,…,ξ_n]^T，ξ_n就是指列向量ξ的第n个元素，转换关系如下

η_i(t)＝f(t-t_a)Γ(ξ_i) (7)

上式中，函数Γ(·)满足光滑性和严格递增性，且： Γ(t_a)＝0；函数Γ(·)定义为：

4)设计考虑性能及全状态约束的跟踪控制器，并通过设计的控制器控制关节机器人系统，具体如下：

第一步：定义控制器的切换范围如下：

上述切换范围定义中是系统中可测的状态向量，ε＝[ε₁,ε₂,...,ε_n]^T是与切换范围相关的参数，Cl表示集合关闭，t_a是当所有的i＝1,2,...,n均满足不等式时的时间点，也就是说对于任意时间t＞t_a，集合∑(t)是期望值q_d,的一个紧集，即该集合内的状态实际值与期望值之差e_i,为有限值；

以范围D^n×2将关节机器人控制器分成两个部分，当时使用监督控制器控制关节机器人系统，当x∈D^n×2则切换为基于预定性能带技术的自适应控制器控制机器人系统.

第二步：设计软连接器在切换点处连接切换前后的执行器输入信号，以保证执行器在切换点处动作的连续性，软连软连接器用公式表示为：

上式中为控制器输入信号向量的第i个元素，U_i1(t_a-t_m)为切换点前一刻的控制输入信号，U_i2(t_a)为切换点时刻的控制输入信号，t_a为切换点时间，t_m为系统控制间隔时间；

第三步：设计监督控制器，通过监督控制器在时控制关节机器人系统，具体如下：

由于误差e＝q-q_d，引入作为中间变量出现在控制器中，e和η的导数分别表示为：

以式(3)考虑了全状态约束以及执行器故障的多自由度关节型机器人系统为控制对象，当时，监督控制器U定义为

U＝-k₁η-F_u (11)

上式中控制系数k₁＞0，当时，能实现跟踪误差e,的一致有界性，并且保证在时间t＝t_a,0＜t_a＜∞时，满足x∈D^n×2；

F_u定义为

是已知函数，c₂是关节角速度的极限值，d₂是理想关节角速度的极限值，l₁＝c₁-d₁，c₁是关节角度的极限值，d₁是理想关节角度的极限值；是未知参数a₁的估计值，通过以下式子更新

其中σ₁＞0是由设计者给定的参数；

第四步，设计基于预定性能带技术的自适应控制器，通过基于预定性能带技术的自适应控制器在x∈D^n×2时控制关节机器人系统，具体如下：

选择切换范围D^n×2＝|η_i(t)|≤ε_i，性能函数参数与切换范围之间需要满足如下不等式

ε_i满足不等式

当x∈D^n×2时，基于预定性能带技术的自适应控制器设置为：

其中为软连接器，软连接器用于防止控制器在切换点处发生切换振荡，u_i是输入信号矩阵u＝[u₁,...,u_n]^T的元素，i＝1,2,...,n；控制器u_i的定义为：

其中，是未知参数b_i的估计值，通过以下式子更新

上式中σ₂＞0是由设计者给定的参数，其中，函数ψ_i(·)是由设计者给出的已知函数，满足有界光滑性，取为 γ_n＝0，在函数F₂(·)中，为已知函数，β是由设计者给定的正常数，r＝diag{r₁,...,r_n},m＝diag{m₁,...,m_n}，