CN110119088B - 一种分数阶迭代学习频域控制器及系统 - Google Patents

Abstract

本公开提供了一种分数阶迭代学习频域控制器及系统。其中，分数阶迭代学习频域控制器为：

γ和Φ均为分数阶迭代学习控制器的增益矩阵，且γ和Φ使得

k∈N⁺为迭代次数；α∈[0,1]为Caputo定义下的α阶导数；U_k+1(s)为含有时延的分数阶轨迹跟踪系统的动态模型第k+1次迭代的控制量，U_k(s)为含有时延的分数阶轨迹跟踪系统的动态模型第k次迭代的控制量；U₀(s)为含有时延的分数阶轨迹跟踪系统的动态模型控制量的初始值；E_k(s)为追踪误差，即为含有时延的分数阶轨迹跟踪系统的动态模型的输出动态轨迹与期望轨迹模型中的期望轨迹之差。

Description

一种分数阶迭代学习频域控制器及系统

技术领域

本公开属于控制技术领域，尤其涉及一种分数阶迭代学习频域控制器及系统。

背景技术

本部分的陈述仅仅是提供了与本公开相关的背景技术信息，不必然构成在先技术。

近年研究发现，当研究者面对复杂系统以及复杂现象时，特别是传统整数阶微分方程建模不能描述一些特殊的现象以及含有一些特殊条件的物理系统等，分数阶微积分可以较好地刻画这些现象而得到研究者的青睐，分数阶系统控制成为当前系统控制领域的一个研究热点。而分数阶时延微分方程是其中重要的一类系统，时延分数阶系统能更好的描述问题的发生过程，如复杂轨迹跟踪的跟踪，复杂网络等。

发明人发现，控制领域的研究者对复杂轨迹跟踪的研究，轨迹跟踪学习控制算法尽管可以实现对期望轨迹的完全跟踪，但现有的方法都是要求系统满足严格的重置条件，即迭代的系统不存在时延现象。另一方面，现有的控制方法都是存在于时域且为整数阶算法，不仅可调参数少，而且控制器可观测的特性较少，也使得控制器的适用性较差。

国内外学者已经对路径跟踪问题进行了大量的研究并取得了相关的成果，但大多路径以及控制器都是建立在整数阶微分方程，对问题的分析也仅仅局限于时域。然而在实际问题中，整数阶动态模型已经满足不了现在的需要，因此需要建更加精确地动态模型对现有的复杂路径进行跟踪。现有的控制器都是基于时域范围内设计的，缺少对系统的频域分析。相比时域分数阶控制器，频域分数阶控制器可以体现频率结构及频率与该频率信号幅度的关系，信号信息不仅随时间变化，还与频率、相位等信息有关，这就需要进一步分析信号的频率结构，并在频率域中对信号信息进行描述，更好地剖析问题更为深刻和方便。

发明内容

本公开的第一个方面提供一种分数阶迭代学习频域控制器，其解决了分数阶线性跟踪控制系统中存在时延情形下的追踪问题，所提出的控制器不仅设计要求低，可以修复时延对系统跟踪的影响，而且可以观察控制器的频域特性，最终能够保证分数阶追踪系统经过一定迭代次数之后使得跟踪误差控制在理想范围之内，具有很强的实用性与观测性。

为了实现上述目的，本公开采用如下技术方案：

一种分数阶迭代学习频域控制器，所述分数阶迭代学习频域控制器为：

其中，γ和Φ均为分数阶迭代学习控制器的增益矩阵，且γ和Φ使得

k∈N⁺为迭代次数；α∈[0,1]为Caputo定义下的α阶导数；U_k+1(s)为含有时延的分数阶轨迹跟踪系统的动态模型第k+1次迭代的控制量，U_k(s)为含有时延的分数阶轨迹跟踪系统的动态模型第k次迭代的控制量；U₀(s)为含有时延的分数阶轨迹跟踪系统的动态模型控制量的初始值；E_k(s)为追踪误差，即为含有时延的分数阶轨迹跟踪系统的动态模型的输出动态轨迹与期望轨迹模型中的期望轨迹之差。

本公开的第二个方面提供一种含有时延的分数阶轨迹跟踪系统。

一种含有时延的分数阶轨迹跟踪系统，包括上述所述的分数阶迭代学习频域控制器。

本公开的有益效果是：

(1)本公开解决了分数阶线性跟踪控制系统中存在时延情形下的追踪问题，所提出的控制器不仅设计要求低，可以修复时延对系统跟踪的影响，而且可以观察控制器的频域特性，最终能够保证分数阶追踪系统经过一定迭代次数之后使得跟踪误差控制在理想范围之内，具有很强的实用性与观测性。

(2)本公开考虑了实际路径跟踪应用中，分数阶系统存在控制时延与模型未知同时存在情形下的路径追踪问题，充实了迭代学习控制的研究内容，拓宽了其工程应用范围。

(3)本公开所提出的分数阶频域迭代学习控制器不仅设计求解简单，不仅可以消除系统控制时延，而且能够保证经过一定迭代次数之后在整个跟踪过程中的一致性，具有很强的实用性与可观性。

附图说明

构成本公开的一部分的说明书附图用来提供对本公开的进一步理解，本公开的示意性实施例及其说明用于解释本公开，并不构成对本公开的不当限定。

图1为本公开实施例提供的频域分数阶迭代学习控制器作用下，含有时延的分数阶轨迹跟踪系统结构示意图；

图2为本公开实施例提供的分数阶频域迭代学习控制器的频域收敛带图；

图3为本公开实施例提供的分数阶频域迭代学习轨迹跟踪控制方法的系统奈奎斯特图；

图4为本公开实施例提供的分数阶频域迭代学习轨迹跟踪控制方法的跟踪仿真结果图；

图5为本公开实施例提供的分数阶频域迭代学习轨迹跟踪控制方法的误差收敛仿真结果图；

图6为本公开实施例提供的在不同时延下分数阶频域迭代学习轨迹跟踪控制中频率与最大收敛频率关系仿真结果图。

具体实施方式

下面结合附图与实施例对本公开作进一步说明。

应该指出，以下详细说明都是例示性的，旨在对本公开提供进一步的说明。除非另有指明，本文使用的所有技术和科学术语具有与本公开所属技术领域的普通技术人员通常理解的相同含义。

需要注意的是，这里所使用的术语仅是为了描述具体实施方式，而非意图限制根据本公开的示例性实施方式。如在这里所使用的，除非上下文另外明确指出，否则单数形式也意图包括复数形式，此外，还应当理解的是，当在本说明书中使用术语“包含”和/或“包括”时，其指明存在特征、步骤、操作、器件、组件和/或它们的组合。

图1为本公开实施例提供的频域分数阶迭代学习控制器作用下，含有时延的分数阶轨迹跟踪系统结构示意图。

如图1所示，一种含有时延的分数阶轨迹跟踪系统，包括分数阶迭代学习频域控制器及时延器。

具体地，所述含有时延的分数阶轨迹跟踪系统，还包括：

移动机构，所述移动机构与分数阶迭代学习频域控制器相连，所述分数阶迭代学习频域控制器用于跟踪移动机构的期望轨迹。

作为可选实施方式，所述移动机构为轮式机器人。

需要说明的是，移动机构也可为其他现有的移动设备，本领域技术人员可根据实际情况来具体选择。

在图1所示的结构下：

对复杂的跟踪轨迹进行分析可以组成频域范围内的动态模型：

其中，k∈N⁺为迭代次数；U_k(s),Y_k(s)∈R^r，X_k(s)∈Rⁿ(R为实数集合；r，n为矩阵的维数)分别代表动态模型第k次迭代的控制，输出和状态变量，h₁<t∈[0,T]为控制时延，A,B,C为相应的满足收敛条件的合适维数矩阵。

定义将复杂的路径转化为频域范围内的分数阶系统轨迹，称之为期望轨迹模型，然后设计跟踪轨迹的动态模型，期望轨迹定义为：

其中，U_d(s)，Y_d(s)∈R^r，X_d(s)∈Rⁿ(R为实数集合；r，n为矩阵的维数)分别代表期望轨迹模型的控制，输出和状态变量，α∈[0,1]，为Caputo定义下的α阶导数；A_d,B_d,C_d为已知维数矩阵，表达式是已知的。

本实施例的目标是：对于频域分数阶跟踪系统(2)，设计具有初始状态学习能力的频域分数阶迭代学习控制器，使系统(2)的输出能够跟踪到系统(1)的输出轨迹。

频域分数阶迭代学习控制器的具体实现过程如下：

步骤1：问题转化

定义追踪误差

E_k(s)＝Y_d(s)-Y_k(s)

那么，本实施例的目的为：对于任意的时延h₁<t，t∈[0,T]，设计分数阶频域迭代控制器使得

k＝1,2,…,N成立，就将分数阶路径追踪的控制问题转化为追踪误差系统在时间区间t∈[0,T]内的稳定性控制问题。

步骤l中通过定义一个合适的分数阶频域跟踪函数，将复杂的带有控制时延的轨迹跟踪问题转化为追踪误差系统在一定频域区间内的稳定性控制问题。

步骤2：具有控制时延修复能力的分数阶频域迭代学习控制器的设计，设计的控制器为：

其中，γ，Φ为分数阶迭代学习控制器的增益矩阵，需要依据收敛条件进行设计。分数阶频域迭代学习控制器是无模型的，控制器只依赖系统(1)与(2)的输入与输出信息。

本实施例设计的是一个具有控制时延修复能力的分数阶频域迭代学习控制器，并且控制器的增益矩阵不需要路径跟踪动态模型的信息。

步骤3：频域分数阶跟踪系统实现输出一致性的频域收敛条件分析；

由ΔE_k(s)＝E_k+1(s)-E_k(s)可得，

对上式取范数可得，

令

(G₁(s)＝C(s^αI-A)^-1B)，为使得系统收敛

收敛条件满足ρ₁<1，由s＝jω，从而可以得出控制器的收敛范围：

其中，

N_Φ和N_γ分别代表G₁、Φ和γ的幅值；

表示G₁的相位值。

本实施例基于压缩映射理论，结合∞-范数与2范数，给出能够保证分数阶跟踪系统实现输出一致性的收敛条件。根据收敛范围以及频域内幅值与相域特性，求解分数阶控制器在频域范围内的收敛范围。

步骤4：初始状态学习矩阵和迭代学习增益矩阵的求解；

设计增益矩阵γ和Φ，使得满足

以及收敛范围，从而得到满足收敛条件的控制器。

设计频域分数阶迭代学习控制器中增益矩阵，可采用MATLAB等软件验证是否满足收敛条件；选择不同时延，分析频率的选择与最大频域收敛范围的关系，从而验证控制器对时延的修复能力。

本实施例的效果可以通过以下仿真进一步说明：

仿真内容：在轮式机器人存在输入控制时延的复杂轨迹跟踪过程中，期望轨迹为y_d(t)＝sin(3πt)，初始状态为X_k(0)＝0，令t∈[0,3]，时延设定为0.05s，为了更加精确地跟踪轮式机器人的期望轨迹，依据轮式机器人运行轨迹的输入输出信息，定义频域分数阶跟踪系统动态模型为：

s^0.5X_k(s)＝-X_k(s)+0.8e^-0.05sU_k(s)

Y_k(s)＝X_k(s)

设计的频域迭代学习控制器为

追踪系统的传递函数为

图2为分数阶频域迭代学习控制器的频域收敛带图；

图3为本系统的传递函数的奈奎斯特图；

由已知的信息，

可得

满足收敛条件。

图4描述了轮式机器人在频域分数阶迭代学习控制器作用下系统实现输出跟踪轨迹过程图；图5描述了轮式机器人轨迹跟踪迭代收敛过程图。图6是在不同时延下分数阶频域迭代学习轮式机器人轨迹跟踪控制中频率与最大收敛频率关系仿真结果图。由图4可以看出，本实施例所提出的频域分数阶迭代学习控制器能实现分数阶跟踪系统的输出一致性。

本实施例与现有技术相比的优点在于：

(1)本实施例考虑了实际路径跟踪应用中，分数阶系统存在控制时延与模型未知同时存在情形下的路径追踪问题，充实了迭代学习控制的研究内容，拓宽了其工程应用范围。

(2)本实施例所提出的分数阶频域迭代学习控制器不仅设计求解简单，不仅可以消除系统控制时延，而且能够保证经过一定迭代次数之后在整个跟踪过程中的一致性，具有很强的实用性与可观性。

以上所述仅为本公开的优选实施例而已，并不用于限制本公开，对于本领域的技术人员来说，本公开可以有各种更改和变化。凡在本公开的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本公开的保护范围之内。

Claims (4)

1.一种分数阶迭代学习频域控制器，其特征在于，所述分数阶迭代学习频域控制器为：

其中，γ和Φ均为分数阶迭代学习控制器的增益矩阵，且γ和Φ使得

k∈N⁺为迭代次数；α∈[0,1]为Caputo定义下的α阶导数；U_k+1(s)为含有时延的分数阶轨迹跟踪系统的动态模型第k+1次迭代的控制量，U_k(s)为含有时延的分数阶轨迹跟踪系统的动态模型第k次迭代的控制量；U₀(s)为含有时延的分数阶轨迹跟踪系统的动态模型控制量的初始值；E_k(s)为追踪误差，即E_k(s)＝Y_d(s)-Y_k(s)；

含有时延的分数阶轨迹跟踪系统的动态模型为：

Y_k(s)＝CX_k(s)

其中，Y_k(s)和X_k(s)分别代表动态模型第k次迭代的输出和状态变量，控制时延h₁<t，t∈[0,T]，T为时延设定值；A,B,C为相应的满足收敛条件的维数矩阵；

含有时延的分数阶轨迹跟踪系统的期望轨迹模型为：

Y_d(s)＝C_dX_d(s)

其中，U_d(s)，Y_d(s)，X_d(s)分别代表期望轨迹模型的控制、输出和状态变量；控制时延h₁<t，t∈[0,T]，T为时延设定值；A_d,B_d,C_d为已知维数矩阵；

为了使得

含有时延的分数阶轨迹跟踪系统的收敛条件必须满足ρ₁<1；其中，

G₁(s)＝C(s^αI-A)^-1B。

2.一种含有时延的分数阶轨迹跟踪系统，其特征在于，包括如权利要求1中所述的分数阶迭代学习频域控制器。

3.如权利要求2所述的一种含有时延的分数阶轨迹跟踪系统，其特征在于，所述含有时延的分数阶轨迹跟踪系统，还包括：

移动机构，所述移动机构与分数阶迭代学习频域控制器相连，所述分数阶迭代学习频域控制器用于跟踪移动机构的期望轨迹。

4.如权利要求3所述的一种含有时延的分数阶轨迹跟踪系统，其特征在于，所述移动机构为轮式机器人。

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