CN110032787B - 各向同性多层涂层体系二维温度场的求解方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种各向同性多层涂层体系半平面在表面线分布移动摩擦热源作用下二维温度场的求解方法，包括以下步骤：1)通过引入一维傅里叶积分变换在频域推导各向同性多层涂层体系在表面线分布移动热源作用下二维温度场的频域解析解；2)采用基于一维快速傅里叶积分变换的转换算法由步骤1)的频域解析解转换获得多层涂层体系在表面线分布移动热源作用下二维温度场分布。该方法避免了求解线性方程组造成的大量耗时，并应用了快速傅里叶逆变换算法，求解速度快、精度高；该方法适用于具有任意涂层层数的涂层体系半平面在表面线分布移动摩擦热源作用下的温度场的求解，适用范围广。

Description

各向同性多层涂层体系二维温度场的求解方法

技术领域

本发明涉及表面移动摩擦热源作用下温度场模拟仿真领域，尤其涉及一种各向同性多层涂层体系半平面在表面线分布移动摩擦热源作用下其热源作用微区二维温度场的模拟计算方法。

背景技术

随着航空发动机等机械动力传动系统转速和传动功率的不断提升，滚动轴承与齿轮等关键基础零部件摩擦副接触微区在表面移动摩擦热源作用下温度急剧升高，接触微区材料在高温状态下服役将出现热软化、材料微观组织恶化以及机械力学性能退化等一系列问题。此外在摩擦热源作用下，如果接触微区温度升高超过材料的耐温极限，摩擦副将发生热胶合，导致机械传动系统丧失工作能力。因此，求解摩擦副接触微区在表面移动摩擦热源作用下的微区温度场是评估摩擦副的服役状态的重要依据和避免出现热胶合恶性失效的关键。

但在表面热源作用下二维稳态温度场的现有求解方法主要是针对无涂层、单层涂层或双层涂层的涂层体系。随着材料科学和表面工程技术的发展，涂层技术已由单层涂层发展为多层复合涂层、纳米超晶格多层涂层体系，并被应用于提高航空发动机的机械传动系统摩擦副的抗磨损、抗疲劳和热胶合性能，但对于各向同性多层涂层体系半平面在表面线分布移动摩擦热源作用下的二维温度场的求解尚无现成的求解方法。

发明内容

为解决现有技术中存在的问题，本发明提供一种各向同性多层涂层体系半平面在表面线分布移动摩擦热源作用下二维温度场的求解方法。

为此，本发明的技术方案如下：

一种各向同性多层涂层体系半平面在表面线分布移动摩擦热源作用下二维温度场的求解方法，包括以下步骤：

1)通过引入一维傅里叶积分变换在频域推导各向同性多层涂层体系在表面线分布移动热源作用下二维温度场的频域解析解；

2)选择一个区域作为计算域，采用基于一维快速傅里叶积分逆变换的转换算法，由步骤1)的频域解析解转换获得多层涂层体系在表面线分布移动热源作用下二维温度场分布。

上述方法中，步骤1)中的频域解析解的推导步骤如下：

步骤一、对第k层各向同性层状材料二维温度场的微分控制方程：

实施一维傅里叶积分变换

获得二维温度场微分控制方程的频域形式：/>

其中：

x为平行于移动热源方向的坐标，单位为m；

z_k为第k层横观各向同性层状材料垂直于同性平面的坐标，m；

ω_x为一维傅里叶积分变换与变量x对应的频域变量；

T^(k)为温度，K；

κ_k为第k层材料的热传导系数，W/(m·K)；

c_k为第k层材料体积比热容，J/(m³·K)；

V为热源移动速度，m/s；

i为虚数单位符号，

步骤二、求解第k层各向同性层状材料二维温度场微分控制方程的通解：

其中：

为与ω_x相关的待定参数，/>

步骤三、确定各层材料二维温度场微分控制方程频域通解的待定参数

对于基体，由于z_N+1→∞时，

所以/>

对于其它待定参数，由表面边界条件和各界面连续条件建立关于各层材料二维温度场微分控制方程频域通解待定参数的线性方程组：

A_{(2N+1)×(2N+1)}M_(2N+1)×1＝R_(2N+1)×1 (4)

其中：

线性方程组的系数矩阵A_{(2N+1)×(2N+1)}的子矩阵分别为：

/>

其中：

h_l为第l层涂层的厚度；N为涂层体系的涂层层数；

线性方程组的待求变量矩阵M_(2N+1)×1的子矩阵分别为：

线性方程组的右边矩阵R_(2N+1)×1的子矩阵分别为：

其中：

为作用在多层涂层体系半平面表面的线分布移动热源Q_H(x)的傅里叶积分变换；通过分析方程的系数矩阵的特殊形式推导获得关于各个待定参数的解的递推公式：

其中：

上述方法中，步骤2)的具体步骤如下：

步骤一、在任意深度z处选择一个区域Ω_c＝{x|x_b≤x≤x_e}作为计算域，通常x_b＝-2b_H，x_e＝2b_H，然后把计算域Ω_c＝{x|x_b≤x≤x_e}划分为N_x-1个均匀网格单元，b_H为赫兹线接触的接触半宽，单位为m，N_x为2的正整数次幂，单元尺寸为Δ_x＝(x_e-x_b)/(N_x-1)，第i个单元几何中心处的温度记为T[i]；

步骤二、把对应频域的计算域Ω_F＝{ω_x|-π/2Δx≤ω_x<π/2Δx}划分为

个均匀网格单元，/>

E_p为频域网格细化倍数，为2的非负整数次幂，那么频域网格单元的尺寸为/>

步骤三、由深度z处的温度频域解

计算在频域网格[i]节点处的值：

从而构造一个具有

个元素的一维数组/>

步骤四、通过对一维数组

的元素位置进行翻转操作得到一维矩阵/>

/>

步骤五、对一维数组

进行一维快速傅里叶积分逆变换(IFFT)得到新的一维数组T′：

步骤六、深度z处各节点的温度值T[i]为：

本发明中，涂层层数N理论上可以是任意的正整数。

本发明具有以下有益效果：

1、推导出了多层涂层体系半平面表面在线分布移动摩擦热源作用下确定各层涂层频域通解待定参数的解的递推公式，获得了二维温度场分布频域解的封闭解析解，避免了求解线性方程组造成的大量耗时，并应用了快速傅里叶逆变换算法，求解速度快、精度高。

2、涂层的层数N可以为任意正整数，适用于具有任意涂层层数的涂层体系半平面在表面线分布移动摩擦热源作用下的温度场的求解，适用范围广。

附图说明

图1是本发明中各向同性多层涂层体系半平面在表面线分布移动摩擦热源作用下的示意图；

图2是本发明的求解方法的流程图；

图3是本发明中空间计算域的网格单元划分示意图；

图4是本发明中频域的网格单元加密划分示意图；

图5是本发明中一维数组

进行翻转操作示意图；

图6是本发明中由一维数组T′提取空间计算域各节点温度值的示意图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的技术方案做进一步的详细说明。

如图1所示，本发明为一种各向同性多层涂层体系半平面在表面线分布移动摩擦热源作用下二维温度场的求解方法，图中N为各向同性涂层层数，h_k为第k层涂层的厚度，κ_k为第k层涂层材料的热传递系数，c_k为第k层涂层材料的热扩散系数，V为表面热源的移动速度，Q_H(x)为热源分布。参见图2，本发明求解方法的具体实施步骤如下：

本发明的技术方案的具体实施步骤如下：

步骤一、对第k层各向同性层状材料二维温度场的微分控制方程

实施一维傅里叶积分变换

获得温度场微分控制方程的频域形式为：

其中：

x为平行于移动热源方向的坐标，m；

z_k为第k层横观各向同性层状材料垂直于同性平面的坐标，m；

ω_x为一维傅里叶积分变换与变量x对应的频域变量；

T^(k)为温度，K；

κ_k为第k层材料的热传导系数，W/(m·K)；

c_k为第k层材料体积比热容，J/(m³·K)；

V为热源移动速度，m/s；

i为虚数单位符号。

步骤二、求解第k层各向同性层状材料二维温度场微分控制方程的通解可得：

其中：

为与ω_x相关的待定参数，/>

步骤三、确定各层材料二维温度场微分控制方程通解的待定参数

对于基体，由于z_N+1→∞时，

所以/>

对于其它待定参数，由表面边界条件和各界面连续条件可建立关于各层材料二维温度控制方程频域通解待求参数的线性方程组：

A_{(2N+1)×(2N+1)}M_(2N+1)×1＝R_(2N+1)×1 (4)

其中：

线性方程组的系数矩阵A_{(2N+1)×(2N+1)}的子矩阵分别为：

/>

其中：

h_l为第l层涂层的厚度；N为涂层体系的涂层层数。

线性方程组的待求变量矩阵M_(2N+1)×1的子矩阵分别为：

线性方程组的右边矩阵R_(2N+1)×1的子矩阵分别为：

其中：

为作用在多层涂层体系半平面表面的移动热源Q_H(x)的傅里叶积分变换。通常摩擦热源分布可以假设为：

其一维傅里叶积分变换为：

其中：J₁为贝塞尔函数。

通过分析方程的系数矩阵的特殊形式可以推导获得关于各个未知待定参数的解的递推公式，具体结果如下：

其中：

步骤四、选择一个区域Ω_c＝{x|x_b≤x≤x_e}作为计算域，通常x_b＝-2b_H，x_e＝2b_H，其中b_H为赫兹线接触的接触半宽度，单位为m。采用基于一维快速傅里叶积分逆变换的转换算法可以由任意深度z处的温度场的频域解转换获得其空间计算域各网格单元的温度值，其具体实过程如下：

(1)如图3所示，把深度z处的计算域Ω_c＝{x|x_b≤x≤x_e}划分为N_x-1个均匀网格单元，N_x为2的正整数次幂，单元尺寸为Δ_x＝(x_e-x_b)/(N_x-1)，第i个单元几何中心处的温度记为T[i]。

(2)把对应频域的计算域Ω_F＝{ω_x|-π/2Δx≤ω_x<π/2Δx}划分为

个均匀网格单元，/>

其中，E_p为频域网格细化倍数，为2的非负整数次幂，那么频域网格单元的尺寸为/>

(3)如图4所示，由深度z处的温度频域解

计算在频域网格[i]节点处的频域值：

从而构造一个具有

个元素的一维数组/>

①如图5所示，通过对一维数组

的元素位置进行翻转操作得到一维矩阵/>

即：

②对一维数组

进行一维快速傅里叶逆变换(IFFT)得到新的一维数组T′，即：

③如图6所示，由矩阵T′提取获得深度z处各节点的温度值T[i]：

/>

Claims (2)

1.一种各向同性多层涂层体系半平面在表面线分布移动摩擦热源作用下二维温度场的求解方法，其特征在于包括以下步骤：

1)通过引入一维傅里叶积分变换在频域推导各向同性多层涂层体系在表面线分布移动热源作用下二维温度场的频域解析解；

2)选择一个区域作为计算域，采用基于一维快速傅里叶积分逆变换的转换算法，由步骤1)的频域解析解转换获得多层涂层体系在表面线分布移动热源作用下二维温度场分布；

其中，步骤1)中的频域解析解的推导步骤如下：

步骤一、对第k层各向同性层状材料二维温度场的微分控制方程：

实施一维傅里叶积分变换

获得二维温度场微分控制方程的频域形式：

其中：

x为平行于移动热源方向的坐标，单位为m；

z_k为第k层横观各向同性层状材料垂直于同性平面的坐标，m；

ω_x为一维傅里叶积分变换与变量x对应的频域变量；

T^(k)为温度，K；

κ_k为第k层材料的热传导系数，W/(m·K)；

c_k为第k层材料体积比热容，J/(m³·K)；

V为热源移动速度，m/s；

i为虚数单位符号，

步骤二、求解第k层各向同性层状材料二维温度场微分控制方程的通解：

其中：

为与ω_x相关的待定参数，/>

步骤三、确定各层材料二维温度场微分控制方程频域通解的待定参数

对于基体，由于z_N+1→∞时，

所以/>

对于其它待定参数，由表面边界条件和各界面连续条件建立关于各层材料二维温度场微分控制方程频域通解待定参数的线性方程组：

A_{(2N+1)×(2N+1)}M_(2N+1)×1＝R_(2N+1)×1 (4)

其中：

线性方程组的系数矩阵A_{(2N+1)×(2N+1)}的子矩阵分别为：

其中：

h_l为第l层涂层的厚度；N为涂层体系的涂层层数，

线性方程组的待求变量矩阵M_(2N+1)×1的子矩阵分别为：

线性方程组的右边矩阵R_(2N+1)×1的子矩阵分别为：

其中：

为作用在多层涂层体系半平面表面的线分布移动热源Q_H(x)的傅里叶积分变换；

通过分析方程的系数矩阵的特殊形式推导获得关于各个待定参数的解的递推公式：

其中：

/>

2.如权利要求1所述各向同性多层涂层体系半平面在表面线分布移动摩擦热源作用下二维温度场的求解方法，其特征在于：步骤2)的具体步骤如下：

步骤一、在任意深度z处选择一个区域Ω_c＝{x|x_b≤x≤x_e}作为计算域，x_b＝-2b_H，x_e＝2b_H，然后把计算域Ω_c＝{x|x_b≤x≤x_e}划分为N_x-1个均匀网格单元，b_H为赫兹线接触的接触半宽，单位为m，N_x为2的正整数次幂，单元尺寸为Δ_x＝(x_e-x_b)/(N_x-1)，第i个单元几何中心处的温度记为T[i]；

步骤二、把对应频域的计算域Ω_F＝{ω_x|-π/2Δx≤ω_x<π/2Δx}划分为

个均匀网格单元，/>

E_p为频域网格细化倍数，为2的非负整数次幂，那么频域网格单元的尺寸为

步骤三、由深度z处的温度频域解

计算在频域网格[i]节点处的值：

从而构造一个具有

个元素的一维数组/>

步骤四、通过对一维数组

的元素位置进行翻转操作得到一维矩阵/>

步骤五、对一维数组

进行一维快速傅里叶积分逆变换(IFFT)得到新的一维数组T′：

步骤六、深度z处各节点的温度值T[i]为：

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