CN109977433B - 一种曲面约束下机器人线缆建模方法 - Google Patents

一种曲面约束下机器人线缆建模方法 Download PDF

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Abstract

本发明涉及一种曲面约束下机器人线缆建模方法，将操作机器人约束线缆的截面简化成圆截面；对简化后的线缆进行静力学分析，得到线缆非线性力学模型；采用有限差分法进行离散化，得到离散化数学模型；添加操作机器人空间中的线缆曲面约束、定长条件约束和边界条件约束；基于信赖域策略调整的非线性最小二乘算法对约束后的离散化数学模型进行求解，得到包含线所有线缆离散点的欧拉参数和力学特性。本发明根据求解结果验证了该发明的正确性和合理性，利用求解得到的欧拉参数拟合高精度操作机器人线缆的形态，验证了本发明的有效性和正确性，得到了机器人线缆离散点的力学特性，为柔弱高精度操作机器人关节的稳定性分型提供了重要支持。

Description

一种曲面约束下机器人线缆建模方法
技术领域
本发明涉及高精度操作机器人技术领域，具体地说是一种曲面约束下机器人线缆建模方法。
背景技术
在多维物理场耦合下，受到机器人有限操作空间的约束，高精度操作电机的动力输出往往比较小，机器人关节一般相比普通机器人关节显得比较柔弱。在超低温等极端环境下，受到安全屏蔽层包覆而显粗重的特殊强力线缆会对柔弱高精度操作机器人关节造成强力非线性干扰。目前，对柔性线缆的力学建模方法仅仅存在于线缆的两端约束下，无法用于高精度操作多维物理场耦合下受空间约束的特殊线缆建模，对柔弱高精度操作机器人关节的稳定性分析有着很大的制约。现有的方法没有涉及到特殊高精度操作机器人线缆与曲面接触时的线缆方法研究。
发明内容
针对现有技术的不足，本发明提供一种曲面约束下机器人线缆建模方法。
本发明为实现上述目的所采用的技术方案是：
一种曲面约束下机器人线缆建模方法，包括以下步骤：
步骤1：将操作机器人约束线缆的截面简化成圆截面；
步骤2：对简化后的操作机器人约束线缆进行静力学分析，得到线缆非线性力学模型；
步骤3：采用有限差分法对线缆非线性力学模型进行离散化，得到离散化数学模型；
步骤4：对离散化数学模型添加操作机器人空间中的线缆曲面约束、定长条件约束和边界条件约束；
步骤5：基于信赖域策略调整的非线性最小二乘算法对约束后的离散化数学模型进行求解，得到包含线所有线缆离散点的欧拉参数和力学特性。
所述线缆非线性力学模型为：
Figure BDA0001527410500000021
Figure BDA0001527410500000022
Figure BDA0001527410500000023
Figure BDA0001527410500000024
Figure BDA0001527410500000025
Figure BDA0001527410500000026
Figure BDA0001527410500000027
线缆无原始的曲率和扭率，得到线缆的本构关系为：
Figure BDA0001527410500000028
其中，
Figure BDA0001527410500000029
q1、q2、q3和q4是线缆截面的欧拉参数，它们相对于机器人线缆弧坐标s的导数分别为Q1、Q2、Q3和Q4；A、B分别为机器人线缆截面绕x轴和y轴的抗弯刚度，C为线缆截面绕z轴的抗扭刚度；根据线缆截面为圆截面，得到：
Figure BDA00015274105000000210
其中d为线缆的截面的直径；将线缆理想化为均匀各向同性，其中E、G为线缆的杨氏模量和剪切模量；(Fx,Fy,Fz)是机器人线缆内力F在线缆截面主轴坐标系中的投影；(Mx,My,Mz)表示机器人线缆内力矩M在线缆截面主轴坐标系中的投影；(fx,fy,fz)是机器人线缆分布力f在线缆截面主轴坐标系中的投影，包括线缆的重力分布力fg和接触面对线缆的接触力分布力。
所述离散化数学模型为假定线缆长度恒定，将线缆n等分，每段长度为
Figure BDA0001527410500000031
具有n+1个离散点。
所述线缆曲面约束为：
当操作机器人线缆与曲面不接触时，有fsp,i+1＝0、
Figure BDA0001527410500000032
且接触点处的半径矢量p1和切线矢量p2不垂直；
当操作机器人线缆与曲面接触时，有fsp,i+1≠0、
Figure BDA0001527410500000033
且接触点处的半径矢量p1和切线矢量p2垂直；
其中，fsp,i+1是高精度操作机器人线缆的第i+1个离散点与曲面发生的接触分布力；曲面表面方程为
Figure BDA0001527410500000034
(X0,Y0,Z0)是曲面在世界坐标系中圆心坐标，R0是其半径大小，r是在世界坐标系O-XYZ下任意一点的坐标，r＝(X,Y,Z)；
Figure BDA0001527410500000035
为操作机器人线缆与可能与曲面发生接触的离散点，即第i+1个离散点在世界坐标系中的坐标，当该离散点在曲面上时，有
Figure BDA0001527410500000036
成立。
所述定长条件约束为：
Figure BDA0001527410500000037
其中，(rX,i,rY,i,rZ,i)和(rX,i+1,rY,i+1,rZ,i+1)是离散点i和离散点i+1的坐标在世界坐标系中坐标值；操作机器人线缆每个离散点在世界坐标系中的坐标通过线缆中心线切线方向矢量积分得到。
所述边界条件约束通过线缆首末两个端点欧拉参数和首末两个端点在世界坐标系下的相对坐标共同约束。
所述线缆首末两个端点欧拉参数为：
Figure BDA0001527410500000041
Figure BDA0001527410500000042
其中，(q1,1,q2,1,q3,1,q4,1)是操作机器人线缆的第1个离散点的欧拉参数，(q1,n+1,q2,n+1,q3,n+1,q4,n+1)是操作机器人线缆的第n+1个离散点的欧拉参数；(a1,a2,a3,a4)和(b1,b2,b3,b4)是给定的已知量，满足
Figure BDA0001527410500000043
和
Figure BDA0001527410500000044
所述首末两个端点在世界坐标系下的相对坐标为：
Figure BDA0001527410500000045
其中，(rX,n+1,rY,n+1,rZ,n+1)表示操作机器人线缆第n+1个离散点在世界坐标系中的坐标，操作机器人线缆第1个离散点与世界坐标系的原点重合，(rX,rY,rZ)是给出的线缆第n+1个离散点在世界坐标系中的已知坐标。
所述基于信赖域策略调整的非线性最小二乘算法为通过信赖域策略对Levenberg-Marquardt算法的迭代步长因子进行调整。
本发明具有以下有益效果及优点：
1.本发明建立了曲面接触下的高精度操作机器人线缆建模方法，弥补了该方面的技术空白；
2.本发明考虑到线缆的重力分布力、曲面的接触力和线缆与曲面之间的摩擦力，线缆的力学模型更为合理；
3.本发明基于信赖域策略改进的求解算法对上述高精度操作线缆力学模型进行求解，保证了计算过程的全局收敛性和求解精确性。
附图说明
图1为高精度操作机器人线缆的受力分析图；
图2为本发明建模方法得到的高精度操作机器人线缆形态在世界坐标系XOZ平面的投影；
图3为本发明建模方法得到的高精度操作机器人线缆形态在世界坐标系YOZ平面的投影；
图4为本发明建模方法得到的高精度操作机器人线缆形态在世界坐标系XOY平面的投影；
图5为在跟随高精度操作机器人关节运动时线缆的末端点力曲线图。
具体实施方式
下面结合附图及实施例对本发明做进一步的详细说明。
如图1所示为高精度操作机器人线缆的受力分析图。
本发明包括以下步骤：
步骤一：将高精度操作机器人线缆截面简化为圆截面。
包括如下内容：
1.机器人线缆截面为刚性的圆形截面；
2.忽略机器人线缆截面的剪切应变；
3.机器人线缆的长度远大于线缆的直径，同时忽略机器人线缆的直径；
4.机器人线缆的中心线为2阶以上的光滑曲线。
步骤二：高精度操作机器人线缆的起点与世界坐标系的圆心O重合。选取高精度操作机器人线缆中的“微弧段”进行力学分析，“微弧段”处于静力平衡状态。式(1)-式(2)中：基于Kirchhoff力学模型，建立曲面约束下的高精度操作机器人线缆非线性力学模型。(Fx,Fy,Fz)是机器人线缆内力F在线缆截面主轴坐标系中投影，(fx,fy,fz)是机器人线缆分布力f在线缆截面主轴坐标系中投影，包括线缆的重力分布力、曲面对线缆的接触力分布力和曲面与线缆之间的摩擦力分布力。(Mx,My,Mz)表示机器人线缆内力矩M在线缆截面主轴坐标系中投影。q1、q2、q3和q4是线缆截面的欧拉参数，它们相对于线缆弧坐标s的导数分别为Q1、Q2、Q3和Q4。A、B分别为机器人线缆截面绕截面主轴坐标系x轴和y轴的抗弯刚度，C为线缆截面绕截面主轴坐标系z轴的抗扭刚度；根据线缆截面为圆截面，得到：
Figure BDA0001527410500000061
其中d为线缆的截面的直径；将线缆理想化为均匀各向同性，其中E、G为线缆的杨氏模量和剪切模量；
Figure BDA0001527410500000062
Figure BDA0001527410500000063
Figure BDA0001527410500000064
Figure BDA0001527410500000065
Figure BDA0001527410500000066
Figure BDA0001527410500000067
Figure BDA0001527410500000068
假设线缆无原始的曲率和扭率，得到线缆的本构关系为：
Figure BDA0001527410500000069
其中，
Figure BDA00015274105000000610
步骤三：基于有限差分法对线缆的力学模型进行离散化，得到离散化数学模型。
离散化过程：基于有限差分法将高精度操作机器人线缆进行n等分，至此，该高精度操作机器人线缆具有n+1个离散点。假设线缆在受力变形前后的长度不变,均为L0，每段长度为
Figure BDA0001527410500000071
步骤四：添加非光滑曲面约束下高精度操作机器人线缆的边界条件、定长条件和曲面条件。
边界条件：式(3)中：给出线缆首末两个端点欧拉参数的具体值。(q1,1,q2,1,q3,1,q4,1)是离散点1的欧拉参数，(q1,n+1,q2,n+1,q3,n+1,q4,n+1)是离散点n+1的欧拉参数。(a1,a2,a3,a4)和(b1,b2,b3,b4)是给定的已知量，满足
Figure BDA0001527410500000072
和
Figure BDA0001527410500000073
Figure BDA0001527410500000074
式(4)中：(rX,n+1,rY,n+1,rZ,n+1)表示线缆末端点在世界坐标系中的坐标，(rX,rY,rZ)是给出的线缆末端点已知值。
Figure BDA0001527410500000075
定长条件：式(5)中：(rX,i,rY,i,rZ,i)和(rX,i+1,rY,i+1,rZ,i+1)是离散点i和离散点i+1的坐标在世界坐标系中坐标值，它们通过线缆中心线切线方向矢量积分得到。
Figure BDA0001527410500000076
曲面条件：首先添加高精度操作机器人线缆重力分布力、线缆与曲面的接触力分布力和线缆与曲面之间的摩擦力分布力，用以修正式(1)中的高精度操作机器人线缆分布力项。用球面作为特例代表高精度操作机器人线缆与曲面接触的特殊工况。
Figure BDA0001527410500000077
式(6)中：给出的曲面在世界坐标系中的表面方程。(X0,Y0,Z0)是曲面在世界坐标系中圆心坐标，R0是其半径大小。fsp,i+1是高精度操作机器人线缆的i+1个离散点与曲面发生的接触分布力，是需要求解的未知量。r是在世界坐标系O-XYZ下任意一点的坐标，r＝(X,Y,Z)；
Figure BDA0001527410500000081
为操作机器人线缆与可能与曲面发生接触的离散点(第i+1个离散点)在世界坐标系中的坐标，当该离散点在曲面上时，有
Figure BDA0001527410500000082
成立；当高精度操作机器人线缆不与曲面发生接触时，有fsp,i+1＝0、
Figure BDA0001527410500000083
和接触点处的半径矢量p1和切线矢量p2不垂直。半径矢量p1和切线矢量p2的数量积不为零，有p1·p2≠0；当高精度操作机器人线缆与曲面发生接触时，有fsp,i+1≠0、
Figure BDA0001527410500000084
以及接触点处的半径矢量p1和切线矢量p2垂直。半径矢量p1和切线矢量p2的数量积为零，有p1·p2＝0。机器人线缆摩擦力的方向垂直于半径矢量p1和切线矢量p2，由半径矢量p1和切线矢量p2的方向可以确定线缆摩擦力的方向。根据该曲面约束条件，添加约束方程，完善高精度操作机器人线缆非线性力学模型的约束条件。
步骤五：通过基于信赖域策略调整的Levenberg-Marquardt求解算法对上述高精度操作机器人线缆的非线性力学模型进行求解，主要是采用信赖域策略对高精度操作机器人线缆模型的迭代步长因子进行调节，保证算法的全局收敛性，从而得到线缆各个离散点的参数。
步骤六：将线缆的欧拉参数用于拟合线缆的几何形态，使用三次样条曲线拟合线缆形态。而高精度操作机器人线缆的力学特性可以用于分析机器人关节稳定性分析问题。图2是利用基于曲面接触的高精度操作机器人线缆模型的求解结果中的欧拉参数拟合而成的线缆形态在世界坐标系XOZ平面中的投影(单位：mm)；图3是利用基于曲面接触的高精度操作机器人线缆模型的求解结果中的欧拉参数拟合而成的线缆形态在世界坐标系YOZ平面中的投影(单位：mm)；图4是利用基于曲面接触的高精度操作机器人线缆模型的求解结果中的欧拉参数拟合而成的线缆形态在世界坐标系XOY平面中的投影(单位：mm)。上述求解结果验证了本发明的有效性和正确性。图5是随着高精度操作机器人方位关节运动而俯仰关节不发生运动时，线缆末端点力的理论值，γ是高精度操作机器人方位关节的方位角，(Fx,Fy,Fz)是高精度操作机器人线缆末端点力F在线缆截面主轴坐标系中投影。本发明为高精度操作机器人关节的稳定性分析提供了重要的支撑。

Claims (7)

1.一种曲面约束下机器人线缆建模方法，其特征在于：包括以下步骤：
步骤1：将操作机器人约束线缆的截面简化成圆截面；
步骤2：对简化后的操作机器人约束线缆进行静力学分析，得到线缆非线性力学模型；所述线缆非线性力学模型为：
Figure FDA0002725514600000011
Figure FDA0002725514600000012
Figure FDA0002725514600000013
Figure FDA0002725514600000014
Figure FDA0002725514600000015
Figure FDA0002725514600000016
Figure FDA0002725514600000017
线缆无原始的曲率和扭率，得到线缆的本构关系为：
Figure FDA0002725514600000018
其中，
Figure FDA0002725514600000019
q1、q2、q3和q4是线缆截面的欧拉参数，它们相对于机器人线缆弧坐标s的导数分别为Q1、Q2、Q3和Q4；A、B分别为机器人线缆截面绕x轴和y轴的抗弯刚度，C为线缆截面绕z轴的抗扭刚度；根据线缆截面为圆截面，得到：
Figure FDA00027255146000000110
其中d为线缆的截面的直径；将线缆理想化为均匀各向同性，其中E、G为线缆的杨氏模量和剪切模量；(Fx,Fy,Fz)是机器人线缆内力F在线缆截面主轴坐标系中的投影；(Mx,My,Mz)表示机器人线缆内力矩M在线缆截面主轴坐标系中的投影；(fx,fy,fz)是机器人线缆分布力f在线缆截面主轴坐标系中的投影，包括线缆的重力分布力fg和接触面对线缆的接触力分布力；
步骤3：采用有限差分法对线缆非线性力学模型进行离散化，得到离散化数学模型；
步骤4：对离散化数学模型添加操作机器人空间中的线缆曲面约束、定长条件约束和边界条件约束；
步骤5：基于信赖域策略调整的非线性最小二乘算法对约束后的离散化数学模型进行求解，得到包含线所有线缆离散点的欧拉参数和力学特性；
所述基于信赖域策略调整的非线性最小二乘算法为通过信赖域策略对Levenberg-Marquardt算法的迭代步长因子进行调整。
2.根据权利要求1所述的曲面约束下机器人线缆建模方法，其特征在于：所述离散化数学模型为假定线缆长度恒定，将线缆n等分，每段长度为
Figure FDA0002725514600000021
具有n+1个离散点。
3.根据权利要求1所述的曲面约束下机器人线缆建模方法，其特征在于：所述线缆曲面约束为：
当操作机器人线缆与曲面不接触时，有fsp,i+1＝0、
Figure FDA0002725514600000022
且接触点处的半径矢量p1和切线矢量p2不垂直；
当操作机器人线缆与曲面接触时，有fsp,i+1≠0、
Figure FDA0002725514600000023
且接触点处的半径矢量p1和切线矢量p2垂直；
其中，fsp,i+1是高精度操作机器人线缆的第i+1个离散点与曲面发生的接触分布力；曲面表面方程为
Figure FDA0002725514600000024
(X0,Y0,Z0)是曲面在世界坐标系中圆心坐标，R0是其半径大小，r是在世界坐标系O-XYZ下任意一点的坐标，r＝(X,Y,Z)；
Figure FDA0002725514600000025
为操作机器人线缆与可能与曲面发生接触的离散点在世界坐标系中的坐标，当该离散点在曲面上时，有
Figure FDA0002725514600000031
成立。
4.根据权利要求1所述的曲面约束下机器人线缆建模方法，其特征在于：所述定长条件约束为：
Figure FDA0002725514600000032
其中，(rX,i,rY,i,rZ,i)和(rX,i+1,rY,i+1,rZ,i+1)是离散点i和离散点i+1的坐标在世界坐标系中坐标值；操作机器人线缆每个离散点在世界坐标系中的坐标通过线缆中心线切线方向矢量积分得到。
5.根据权利要求1所述的曲面约束下机器人线缆建模方法，其特征在于：所述边界条件约束通过线缆首末两个端点欧拉参数和首末两个端点在世界坐标系下的相对坐标共同约束。
6.根据权利要求5所述的曲面约束下机器人线缆建模方法，其特征在于：所述线缆首末两个端点欧拉参数为：
Figure FDA0002725514600000033
Figure FDA0002725514600000034
其中，(q1,1,q2,1,q3,1,q4,1)是操作机器人线缆的第1个离散点的欧拉参数，(q1,n+1,q2,n+1,q3,n+1,q4,n+1)是操作机器人线缆的第n+1个离散点的欧拉参数；(a1,a2,a3,a4)和(b1,b2,b3,b4)是给定的已知量，满足
Figure FDA0002725514600000035
和
Figure FDA0002725514600000036
7.根据权利要求5所述的曲面约束下机器人线缆建模方法，其特征在于：所述首末两个端点在世界坐标系下的相对坐标为：
Figure FDA0002725514600000041
其中，(rX,n+1,rY,n+1,rZ,n+1)表示操作机器人线缆第n+1个离散点在世界坐标系中的坐标，操作机器人线缆第1个离散点与世界坐标系的原点重合，(rX,rY,rZ)是给出的线缆第n+1个离散点在世界坐标系中的已知坐标。
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