CN109950984B - 一种基于三维可旋转全向无线电能传输发射器的系统 - Google Patents

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CN109950984B CN201910286241.XA CN201910286241A CN109950984B CN 109950984 B CN109950984 B CN 109950984B CN 201910286241 A CN201910286241 A CN 201910286241A CN 109950984 B CN109950984 B CN 109950984B
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Abstract

本发明涉及一种基于三维可旋转全向无线电能传输发射器的系统，属于无线电能传输技术领域。该系统包括全桥逆变电路、三维可旋转的发射器、接收器、整流电路和谐振匹配电路等；通过简单的几何旋转可以实现真正的三维全向功率传输。接着考虑到发射器围绕x轴，y轴和z轴旋转，获得了在三维旋转期间系统的最大耦合对应的旋转角度。在保持传输距离不变的情况下，通过几何旋转可以使负载的功率连续可调，根据推导的最大互感对应的旋转角度，亦可以针对性地获取系统的最大耦合。由于DC‑AC逆变器的作用，系统的工作频率可在10kHz‑400kHz连续可调。该系统可有效利用在家居或办公空间内，对三维空间任意位置的用电设备实现无线电能传输。

Description

一种基于三维可旋转全向无线电能传输发射器的系统
技术领域
本发明属于无线电能传输技术领域，涉及一种基于三维可旋转全向无线电能传输发射器的系统。
背景技术
无线电能传输主要有三大类，电磁辐射式、电场耦合式和磁场耦合式。其中磁耦合谐振式由于在较远距离也能具有较高效率较大功率的传输，非常适合给家居或办公空间的电子设备充电。而目前Wi-Fi无线传能技术，或称具有空间自由度的无线传能技术正受到越来越多的关注，该技术的主要目的之一是使房间中的单个三维可旋转发射器能够给房间内任何位置的电子设备无线充电。而目前存在的三维全向无线电能传输技术，一般需要三个独立电源，而且需要复杂的相位差或电流幅值控制电路，成本高，操作复杂度高。因此，设计一款仅需单个电源同时可以实现对三维空间内任何位置处的电子设备充电的系统显得很有必要。
发明内容
有鉴于此，本发明的目的在于提供一种基于三维可旋转全向无线电能传输发射器的系统。
为达到上述目的，本发明提供如下技术方案：
一种基于三维可旋转全向无线电能传输发射器的系统，该系统包括全桥逆变电路、三维可旋转发射器、接收器、整流电路和谐振匹配电路；
所述三维可旋转发射器由亚克力底座、两个亚克力支架、三个旋转角度测量仪器RAMI、三维线圈、尼龙螺栓和尼龙螺母组成；
所述三维线圈按照一体式缠绕的方法将利兹线缠绕在3D打印出的支架上而构成的，所述RAMI是由两个量角器和一个亚克力盘制成；
基于全桥逆变电路拓扑以及DSP控制技术搭建高频DC-AC模块，以及基于全桥整流电路搭建AC-DC模块，接着搭建谐振匹配电路，最后添加电子负载实现整个系统的搭建；
基于比奥-萨伐尔定律和旋转矩阵推导出三维可旋转发射器和接收器之间的互感随旋转角度的变化公式；
三维可旋转发射器的线圈由三个正交的环组成，分别称为线圈Z、线圈Y和线圈X；在旋转期间，三维可旋转发射器固定在点O(0,0,0)；
对于任意位置的接收器，首先旋转三维可旋转发射器，使线圈Z面向接收器，使线圈Z的电流方向和接收器相同，并使线圈Y和线圈X的位置与初始旋转状态相同；在初始状态时，正交回路中流动的电流与相应轴满足右手定则；
求解在三维旋转期间系统的最大耦合对应的旋转角度；
由于系统关于z轴对称，当系统围绕z轴旋转时，互感不会改变；只考虑三维可旋转发射器围绕x轴和y轴旋转。
进一步，所述变化公式为：
A.初始状态下三维可旋转发射器和接收器之间的互感
1)线圈Z和接收器的参数方程
接收器平面的表达式为ax+by+cz+d＝0，其中a＝0,b＝0,c＝1；线圈Z的中心点C的坐标是(xC,yC,zC)＝(0,0,0)；线圈Z上的任意点D取做(x0,y0,z0)＝(RP,0,0)，为便于计算，线圈Z的单位法向量是
Figure GDA0002742400230000021
点C和D之间的单位矢量是
Figure GDA0002742400230000022
D点处的单位切向量为
Figure GDA0002742400230000023
并有
Figure GDA0002742400230000024
Figure GDA0002742400230000025
Figure GDA0002742400230000026
线圈Z上任意点p的参数方程
Figure GDA0002742400230000027
2)线圈Y和线圈X的参数方程
通过旋转矩阵得到线圈Y和线圈X的参数方程；线圈Y通过对线圈Z绕着x轴旋转-90°来获得，相应的线圈Y上的单位法向量
Figure GDA0002742400230000028
和单位切向量
Figure GDA0002742400230000029
线圈Y上对应于线圈Z上的矢量
Figure GDA00027424002300000210
的矢量
Figure GDA00027424002300000211
以及线圈Y上的任意点(xY0,yY0,zY0)分别表示为
Figure GDA00027424002300000212
Figure GDA00027424002300000213
其中RX为绕着x轴旋转的旋转矩阵，表示为
Figure GDA0002742400230000031
线圈X通过对线圈Z围绕y轴旋转90°来获得，然后相应的线圈X上的单位法向量
Figure GDA0002742400230000032
和单位切向量
Figure GDA0002742400230000033
线圈X上对应于线圈Z上向量
Figure GDA0002742400230000034
的向量
Figure GDA0002742400230000035
以及线圈X上的任意点(xX0,yX0,zX0)分别表示为
Figure GDA0002742400230000036
Figure GDA0002742400230000037
其中RY是绕着y轴旋转的旋转矩阵，表示为
Figure GDA0002742400230000038
3)初始状态下三维可旋转发射器和接收器之间的互感
根据斯托克斯定理，由于接收器中的电流，通过三维可旋转发射器的通量
Figure GDA0002742400230000039
然后通过线圈i(i＝X，Y，Z)的磁通量为
Figure GDA00027424002300000310
其中RP是三维可旋转发射器的半径,
Figure GDA00027424002300000311
是接收器在线圈i上产生的磁矢量位，其是根据比奥-萨伐尔定律得到的，
Figure GDA00027424002300000312
其中
Figure GDA00027424002300000313
Figure GDA00027424002300000314
μo是真空的磁导率,
Figure GDA00027424002300000315
和
Figure GDA00027424002300000316
是主要与接收器尺寸,点p的坐标相关的参数,Rs是接收器的半径,IP(IS)是三维可旋转发射器的电流，穿过三维可旋转发射器的总磁通量为
Φtotal0＝ΦX0+ΦY0+ΦZ0 (7)
在初始状态下三维可旋转发射器与接收器的互感为
Figure GDA0002742400230000041
B.三维可旋转发射器依次绕着X轴，Y轴和Z轴周围旋转后，三维可旋转发射器与接收器的互感
当三维可旋转发射器依次围绕x轴，y轴，z轴旋转时，线圈Z，线圈Y和线圈X执行相同的旋转操作；
1)三维可旋转发射器绕X轴旋转αX
线圈Z上的单位法向量
Figure GDA0002742400230000042
单位切向量
Figure GDA0002742400230000043
C与D之间的单位向量,以及线圈Z上的任意点
Figure GDA0002742400230000044
分别为
Figure GDA0002742400230000045
Figure GDA0002742400230000046
Figure GDA0002742400230000047
Figure GDA0002742400230000048
利用同样方法，在线圈Y或线圈X上的单位法向量
Figure GDA0002742400230000049
单位切向量
Figure GDA00027424002300000410
对应于向量
Figure GDA00027424002300000411
的向量
Figure GDA00027424002300000412
以及任意点
Figure GDA00027424002300000413
也能获得；
2)接着三维可旋转发射器绕着y轴旋转αY
线圈X上单位法向量
Figure GDA00027424002300000414
单位切向量
Figure GDA00027424002300000415
在线圈Z上对应于C，D点之间单位向量的向量
Figure GDA00027424002300000416
以及任意点
Figure GDA00027424002300000417
分别表示为
Figure GDA00027424002300000418
处在线圈Y或线圈X上的
Figure GDA00027424002300000419
以及
Figure GDA00027424002300000420
也能够获得；
3)最后三维可旋转发射器绕着线圈Z旋转αZ
线圈Y上的单位法向量
Figure GDA00027424002300000421
单位切向量
Figure GDA00027424002300000422
the对应于线圈Z上C,D之间单位向量的向量
Figure GDA00027424002300000423
以及任意点
Figure GDA00027424002300000424
分别为
Figure GDA00027424002300000425
其中
Figure GDA0002742400230000051
线圈Z或线圈X上的
Figure GDA0002742400230000052
和
Figure GDA0002742400230000053
也能够获得；
4)互感的计算
穿过线圈i(i＝X,Y,Z)的磁通量为
Figure GDA0002742400230000054
其中
Figure GDA0002742400230000055
Figure GDA0002742400230000056
Figure GDA0002742400230000057
穿过三维可旋转发射器的总磁通量为
Figure GDA0002742400230000058
旋转过后的互感为
Figure GDA0002742400230000059
旋转角度的正值由旋转方向和满足右手定则的相应轴限定；为使互感值更大并便于随后的实验测量，实验中将三维可旋转发射器和接收器绕制成多匝线圈，接收器采用平面线圈，三维可旋转发射器和接收器的匝数分别为NP，NS；然后系统的总互感为
Figure GDA00027424002300000510
为高效计算，将三维可旋转发射器和接收器的半径分别取为相应半径的平均值。
本发明的有益效果在于：该系统利用三维可旋转发射器的可旋转性，一方面可以保持传输距离不变的情况下实现负载功率的连续可调，另一方面可以依据推导出的最大互感对应的旋转角度，通过三维旋转实现系统的最大耦合。该系统可以有效利用在家居或办公空间内，对三维空间任意位置的用电设备实现无线电能传输。
本发明的其他优点、目标和特征在某种程度上将在随后的说明书中进行阐述，并且在某种程度上，基于对下文的考察研究对本领域技术人员而言将是显而易见的，或者可以从本发明的实践中得到教导。本发明的目标和其他优点可以通过下面的说明书来实现和获得。
附图说明
为了使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合附图对本发明作优选的详细描述，其中：
图1为一体式缠绕的三维可旋转发射器；(缠绕每匝时会有四个拐弯)
图2为接收器位于球面上的任意位置，距离三维可旋转发射器的中心距离为d时的示意图；
图3为无线电能传输系统的等效电路模型；
图4为当三维可旋转发射器围绕x轴旋转然后围绕y轴旋转时，三维可旋转发射器与接收器的互感变化情况。
具体实施方式
以下通过特定的具体实例说明本发明的实施方式，本领域技术人员可由本说明书所揭露的内容轻易地了解本发明的其他优点与功效。本发明还可以通过另外不同的具体实施方式加以实施或应用，本说明书中的各项细节也可以基于不同观点与应用，在没有背离本发明的精神下进行各种修饰或改变。需要说明的是，以下实施例中所提供的图示仅以示意方式说明本发明的基本构想，在不冲突的情况下，以下实施例及实施例中的特征可以相互组合。
其中，附图仅用于示例性说明，表示的仅是示意图，而非实物图，不能理解为对本发明的限制；为了更好地说明本发明的实施例，附图某些部件会有省略、放大或缩小，并不代表实际产品的尺寸；对本领域技术人员来说，附图中某些公知结构及其说明可能省略是可以理解的。
本发明实施例的附图中相同或相似的标号对应相同或相似的部件；在本发明的描述中，需要理解的是，若有术语“上”、“下”、“左”、“右”、“前”、“后”等指示的方位或位置关系为基于附图所示的方位或位置关系，仅是为了便于描述本发明和简化描述，而不是指示或暗示所指的装置或元件必须具有特定的方位、以特定的方位构造和操作，因此附图中描述位置关系的用语仅用于示例性说明，不能理解为对本发明的限制，对于本领域的普通技术人员而言，可以根据具体情况理解上述术语的具体含义。
1)本发明要解决的技术问题
如图3所示，本发明是一个磁耦合谐振无线电能传输系统，首先设计了一种新型三维可旋转发射器，该三维可旋转发射器可以绕着三个正交轴(称为x轴，y轴，z轴)旋转，来实现对三维空间内任意位置处接收设备的电能传输。此外，对固定位置处的设备，改变耦合作用实现负载功率的连续可调。另一方面推导出该三维可旋转发射器与平面式接收线圈的互感公式，找到最大的耦合对应的旋转角度来实现系统的最大耦合。而电源端DC-AC逆变器则可以提供10kHz-400kHz频率范围的电能。
2)本发明采用的技术方案
本发明涉及设计三维可旋转发射器，基于比奥-萨伐尔定律和旋转矩阵推导出三维可旋转发射器和接收器之间互感的计算公式，求解在三维旋转期间系统的最大耦合对应的旋转角度。接着基于全桥逆变电路拓扑以及DSP控制技术搭建高频DC-AC模块，以及基于全桥整流电路搭建AC-DC模块，接着搭建谐振匹配电路，最后添加电子负载(如LED灯)实现系统实验。具体操作如下：
①搭建三维可旋转发射器。该三维可旋转发射器主要由亚克力底座，两个亚克力支架，三个旋转角度测量仪器(RAMI)，三维线圈和一些尼龙螺栓和螺母组成，如图2所示。三维线圈是通过按照一体式缠绕的方法(如图1)将利兹线缠绕在3D打印出的支架上而构成的，RAMI是由两个量角器和一个亚克力盘制成。
②基于全桥逆变电路拓扑以及DSP控制技术搭建高频DC-AC模块，以及基于全桥整流电路搭建AC-DC模块，接着搭建谐振匹配电路，最后添加电子负载(如LED灯)实现整个系统的搭建。
③基于比奥-萨伐尔定律和旋转矩阵推导出三维可旋转发射器和接收器之间的互感的计算公式。
三维可旋转发射器的线圈(如图1所示)由三个正交的环组成，分别称为线圈Z(红色)，线圈Y(蓝色)，线圈X(绿色)。在旋转期间，三维可旋转发射器固定在点O(0,0,0)(如图2所示)。对于任意位置的接收器，如接收球面上的点K(0,0，-d)，首先旋转三维可旋转发射器，使线圈Z面向接收器，使线圈Z的电流方向和接收器相同，并使线圈Y和线圈X的位置与图2中的相同。图2中的三维可旋转发射器的状态被记录为初始旋转状态。在初始状态时，正交回路中流动的电流与相应轴满足右手定则,下面计算给出三维可旋转发射器和接收器之间互感随旋转角度的变化公式。
A.初始状态下三维可旋转发射器和接收器之间的互感
1)线圈Z和接收器的参数方程
此时，图2中接收器平面的表达式为ax+by+cz+d＝0，其中a＝0,b＝0,c＝1。线圈Z的中心点C的坐标是(xC,yC,zC)＝(0,0,0)。线圈Z上的任意点D取做(x0,y0,z0)＝(RP,0,0)，为了便于计算，线圈Z的单位法向量是
Figure GDA0002742400230000081
点C和D之间的单位矢量是
Figure GDA0002742400230000082
D点处的单位切向量为
Figure GDA0002742400230000083
并有
Figure GDA0002742400230000084
Figure GDA0002742400230000085
Figure GDA0002742400230000086
因此，线圈Z上任意点p的参数方程
Figure GDA0002742400230000087
2)线圈Y和线圈X的参数方程
通过旋转矩阵可以得到线圈Y和线圈X的参数方程。线圈Y可以通过对线圈Z绕着x轴旋转-90°来获得，相应的线圈Y上的单位法向量
Figure GDA0002742400230000088
和单位切向量
Figure GDA0002742400230000089
线圈Y上对应于线圈Z上的矢量
Figure GDA00027424002300000810
的矢量
Figure GDA00027424002300000811
以及线圈Y上的任意点(xY0,yY0,zY0)可以分别表示为
Figure GDA00027424002300000812
Figure GDA00027424002300000813
其中RX为绕着x轴旋转的旋转矩阵，表示为
Figure GDA00027424002300000814
线圈X可以通过对线圈Z围绕y轴旋转90°来获得，然后相应的线圈X上的单位法向量
Figure GDA00027424002300000815
和单位切向量
Figure GDA00027424002300000816
线圈X上对应于线圈Z上向量
Figure GDA00027424002300000817
的向量
Figure GDA00027424002300000818
以及线圈X上的任意点(xX0,yX0,zX0)分别表示为
Figure GDA00027424002300000819
Figure GDA00027424002300000820
其中RY是绕着y轴旋转的旋转矩阵，表示为
Figure GDA0002742400230000091
3)初始状态下三维可旋转发射器和接收器之间的互感
根据斯托克斯定理，由于接收器中的电流，通过三维可旋转发射器的通量
Figure GDA0002742400230000092
然后通过线圈i(i＝X，Y，Z)的磁通量为
Figure GDA0002742400230000093
其中RP是三维可旋转发射器的半径,
Figure GDA0002742400230000094
是接收器在线圈i上产生的磁矢量位，其是根据比奥-萨伐尔定律得到的，
Figure GDA0002742400230000095
其中
Figure GDA0002742400230000096
Figure GDA0002742400230000097
μo是真空的磁导率,
Figure GDA0002742400230000098
和
Figure GDA0002742400230000099
是主要与接收器尺寸,点p的坐标相关的参数,Rs是接收器的半径,IP(IS)是三维可旋转发射器(接收器)的电流.穿过三维可旋转发射器的总磁通量为
Φtotal0＝ΦX0+ΦY0+ΦZ0 (7)
因此在初始状态下三维可旋转发射器与接收器的互感为
Figure GDA00027424002300000910
B.三维可旋转发射器依次绕着X轴，Y轴和Z轴周围旋转后，三维可旋转发射器与接收器的互感
当三维可旋转发射器依次围绕x轴，y轴，z轴旋转时，线圈Z，线圈Y和线圈X执行相同的旋转操作。
1)三维可旋转发射器绕X轴旋转αX
线圈Z上的单位法向量
Figure GDA00027424002300000911
单位切向量
Figure GDA00027424002300000912
C与D之间的单位向量,以及线圈Z上的任意点
Figure GDA00027424002300000913
分别为
Figure GDA0002742400230000101
Figure GDA0002742400230000102
Figure GDA0002742400230000103
Figure GDA0002742400230000104
利用同样方法，在线圈Y(线圈X)上的单位法向量
Figure GDA0002742400230000105
单位切向量
Figure GDA0002742400230000106
对应于向量
Figure GDA0002742400230000107
的向量
Figure GDA0002742400230000108
以及任意点
Figure GDA0002742400230000109
也可以获得。
2)接着三维可旋转发射器绕着y轴旋转αY
线圈X上单位法向量
Figure GDA00027424002300001010
单位切向量
Figure GDA00027424002300001011
在线圈Z上对应于C，D点之间单位向量的向量
Figure GDA00027424002300001012
以及任意点
Figure GDA00027424002300001013
分别表示为
Figure GDA00027424002300001014
类似地,处在线圈Y(线圈X)上的
Figure GDA00027424002300001015
以及
Figure GDA00027424002300001016
也可以获得。
3)最后三维可旋转发射器绕着线圈Z旋转αZ
线圈Y上的单位法向量
Figure GDA00027424002300001017
单位切向量
Figure GDA00027424002300001018
the对应于线圈Z上C,D之间单位向量的向量
Figure GDA00027424002300001019
以及任意点
Figure GDA00027424002300001020
分别为
Figure GDA00027424002300001021
其中
Figure GDA00027424002300001022
类似的,线圈Z(线圈X)上的
Figure GDA00027424002300001023
和
Figure GDA00027424002300001024
也可以获得。
4)互感的计算
于是穿过线圈i(i＝X,Y,Z)的磁通量为
Figure GDA00027424002300001025
其中
Figure GDA0002742400230000111
Figure GDA0002742400230000112
Figure GDA0002742400230000113
穿过三维可旋转发射器的总磁通量为
Figure GDA0002742400230000114
因此,旋转过后的互感为
Figure GDA0002742400230000115
值得注意的是，旋转角度的正值由旋转方向和满足右手定则的相应轴限定。为了使互感值更大并便于随后的实验测量，实验中将三维可旋转发射器和接收器绕制成多匝线圈，接收器采用平面线圈，三维可旋转发射器和接收器的匝数分别为NP，NS.然后系统的总互感为
Figure GDA0002742400230000116
为了高效计算，这里将三维可旋转发射器和接收器的半径分别取为相应半径的平均值。
④求解在三维旋转期间系统的最大耦合对应的旋转角度。
由于系统关于z轴对称，当系统围绕z轴旋转时，互感不会改变。我们只考虑三维可旋转发射器围绕x轴和y轴旋转。下面给出三维可旋转发射器先围绕x轴后环绕y轴旋转后的互感变化结果。旋转角度值的变化范围为0-360°。这两个变量是离散的，离散步长取1°，得到图4。图4显示了最大耦合角度在αX＝45°,αY＝145°,αX＝45°,αY＝325°,αX＝225°,αY＝35°,和αX＝225°,αY＝215°的四个点附近，最大值为6.350μH，与初始状态下的2.161μH相比，增加了193.8％。
实施步骤：
(1)搭建三维可旋转发射器以及平面接收器。
(2)对三维可旋转发射器以及接收器进行匹谐。
(3)构建高频DC-AC逆变器和整流电路。
(4)将直流电源，高频DC-AC逆变器，三维可旋转发射器以及平面接收器，谐振匹配电路以及整流电路和LED灯泡接入到无线电能传输系统中，连接上高频源上的电源适配器，打开开关，高频源开始工作。
(5)工作之后发射线圈将产生高频的交流电，高频的交流电产生高频的磁场，通过线圈之间的耦合，在接收线圈中感应出高频的交流电。
(6)通过调节DSP控制部分即高频源上的可调旋钮来改变发射源的输出频率，频率范围10kHz-400kHz可调，通过调节三维可旋转发射器的转角来实现LED灯泡的亮度可调。
(7)根据算出的最大互感对应的旋转角度来相应地旋转三维可旋转发射器，使系统获得最大的耦合。
最后说明的是，以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非限制，尽管参照较佳实施例对本发明进行了详细说明，本领域的普通技术人员应当理解，可以对本发明的技术方案进行修改或者等同替换，而不脱离本技术方案的宗旨和范围，其均应涵盖在本发明的权利要求范围当中。

Claims (1)

1.一种基于三维可旋转全向无线电能传输发射器的系统，其特征在于：该系统包括全桥逆变电路、三维可旋转发射器、接收器、整流电路和谐振匹配电路；
所述三维可旋转发射器由亚克力底座、两个亚克力支架、三个旋转角度测量仪器RAMI、三维线圈、尼龙螺栓和尼龙螺母组成；
所述三维线圈按照一体式缠绕的方法将利兹线缠绕在3D打印出的支架上而构成的，所述RAMI是由两个量角器和一个亚克力盘制成；
基于全桥逆变电路拓扑以及DSP控制技术搭建高频DC-AC模块，以及基于全桥整流电路搭建AC-DC模块，接着搭建谐振匹配电路，最后添加电子负载实现整个系统的搭建；
基于比奥-萨伐尔定律和旋转矩阵推导出三维可旋转发射器和接收器之间的互感随旋转角度的变化公式；
三维可旋转发射器的线圈由三个正交的环组成，分别称为线圈Z、线圈Y和线圈X；在旋转期间，三维可旋转发射器固定在点O(0,0,0)；
对于任意位置的接收器，首先旋转三维可旋转发射器，使线圈Z面向接收器，使线圈Z的电流方向和接收器相同，并使线圈Y和线圈X的位置与初始旋转状态相同；在初始状态时，正交回路中流动的电流与相应轴满足右手定则；
求解在三维旋转期间系统的最大耦合对应的旋转角度；
由于系统关于z轴对称，当系统围绕z轴旋转时，互感不会改变；只考虑三维可旋转发射器围绕x轴和y轴旋转；
所述变化公式为：
A.初始状态下三维可旋转发射器和接收器之间的互感
1)线圈Z和接收器的参数方程
接收器平面的表达式为ax+by+cz+d＝0，其中a＝0,b＝0,c＝1；线圈Z的中心点C的坐标是(xC,yC,zC)＝(0,0,0)；线圈Z上的任意点D取做(x0,y0,z0)＝(RP,0,0)，为便于计算，线圈Z的单位法向量是
Figure FDA0002982279110000011
点C和D之间的单位矢量是
Figure FDA0002982279110000012
D点处的单位切向量为
Figure FDA0002982279110000013
并有
Figure FDA0002982279110000014
Figure FDA0002982279110000015
Figure FDA0002982279110000016
线圈Z上任意点p的参数方程
Figure FDA0002982279110000021
2)线圈Y和线圈X的参数方程
通过旋转矩阵得到线圈Y和线圈X的参数方程；线圈Y通过对线圈Z绕着x轴旋转-90°来获得，相应的线圈Y上的单位法向量
Figure FDA0002982279110000022
和单位切向量
Figure FDA0002982279110000023
线圈Y上对应于线圈Z上的矢量
Figure FDA0002982279110000024
的矢量
Figure FDA0002982279110000025
以及线圈Y上的任意点(xY0,yY0,zY0)分别表示为
Figure FDA0002982279110000026
Figure FDA0002982279110000027
其中RX为绕着x轴旋转的旋转矩阵，表示为
Figure FDA0002982279110000028
线圈X通过对线圈Z围绕y轴旋转90°来获得，然后相应的线圈X上的单位法向量
Figure FDA0002982279110000029
和单位切向量
Figure FDA00029822791100000210
线圈X上对应于线圈Z上向量
Figure FDA00029822791100000211
的向量
Figure FDA00029822791100000212
以及线圈X上的任意点(xX0,yX0,zX0)分别表示为
Figure FDA00029822791100000213
Figure FDA00029822791100000214
其中RY是绕着y轴旋转的旋转矩阵，表示为
Figure FDA00029822791100000215
3)计算初始状态下三维可旋转发射器和接收器之间的互感；
根据斯托克斯定理，由于接收器中的电流，通过三维可旋转发射器的通量
Figure FDA00029822791100000216
然后通过线圈i(i＝X，Y，Z)的磁通量为
Figure FDA00029822791100000217
其中RP是三维可旋转发射器的半径,
Figure FDA0002982279110000031
是接收器在线圈i上产生的磁矢量位，其是根据比奥-萨伐尔定律得到的，
Figure FDA0002982279110000032
其中
Figure FDA0002982279110000033
Figure FDA0002982279110000034
μo是真空的磁导率,Pxi0和Pyi0是主要与接收器尺寸,点p的坐标相关的参数,Rs是接收器的半径,IS是三维可旋转发射器的电流，穿过三维可旋转发射器的总磁通量为
Φtotal0＝ΦX0+ΦY0+ΦZ0 (7)
在初始状态下三维可旋转发射器与接收器的互感为
Figure FDA0002982279110000035
B.三维可旋转发射器依次绕着X轴，Y轴和Z轴周围旋转后，三维可旋转发射器与接收器的互感
当三维可旋转发射器依次围绕x轴，y轴，z轴旋转时，线圈Z，线圈Y和线圈X执行相同的旋转操作；
1)三维可旋转发射器绕X轴旋转αX
线圈Z上的单位法向量
Figure FDA0002982279110000036
单位切向量
Figure FDA0002982279110000037
C与D之间的单位向量,以及线圈Z上的任意点
Figure FDA0002982279110000038
分别为
Figure FDA0002982279110000039
Figure FDA00029822791100000310
Figure FDA00029822791100000311
Figure FDA00029822791100000312
利用同样方法，在线圈Y或线圈X上的单位法向量
Figure FDA00029822791100000313
单位切向量
Figure FDA00029822791100000314
对应于向量
Figure FDA00029822791100000315
的向量
Figure FDA00029822791100000316
以及任意点
Figure FDA00029822791100000317
也能获得；
2)接着三维可旋转发射器绕着y轴旋转αY
线圈X上单位法向量
Figure FDA0002982279110000041
单位切向量
Figure FDA0002982279110000042
在线圈Z上对应于C，D点之间单位向量的向量
Figure FDA0002982279110000043
以及任意点
Figure FDA0002982279110000044
分别表示为
Figure FDA0002982279110000045
处在线圈Y或线圈X上的
Figure FDA0002982279110000046
以及
Figure FDA0002982279110000047
也能够获得；
3)最后三维可旋转发射器绕着线圈Z旋转αZ
线圈Y上的单位法向量
Figure FDA0002982279110000048
单位切向量
Figure FDA0002982279110000049
the对应于线圈Z上C,D之间单位向量的向量
Figure FDA00029822791100000410
以及任意点
Figure FDA00029822791100000411
分别为
Figure FDA00029822791100000412
其中
Figure FDA00029822791100000413
线圈Z或线圈X上的
Figure FDA00029822791100000414
和
Figure FDA00029822791100000415
也能够获得；
4)互感的计算
穿过线圈i(i＝X,Y,Z)的磁通量为
Figure FDA00029822791100000416
其中
Figure FDA00029822791100000417
Figure FDA00029822791100000418
Figure FDA00029822791100000419
穿过三维可旋转发射器的总磁通量为
Figure FDA00029822791100000420
旋转过后的互感为
Figure FDA0002982279110000051
旋转角度的正值由旋转方向和满足右手定则的相应轴限定；为使互感值更大并便于随后的实验测量，实验中将三维可旋转发射器和接收器绕制成多匝线圈，接收器采用平面线圈，三维可旋转发射器和接收器的匝数分别为NP，NS；然后系统的总互感为
Figure FDA0002982279110000052
为高效计算，将三维可旋转发射器和接收器的半径分别取为相应半径的平均值。
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