CN109947394B - 一种基于三角形覆盖的图像二维分形维数计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于三角形覆盖的图像二维分形维数计算方法，该方法用三角形模块对边长为2的整数次幂的正方形图像进行覆盖，计算其二维分形维数。本发明证明了三角形模块覆盖形式能够充分并精确地包含图像的细节信息，三角形模块覆盖形式计算出的图像维数相较常用的正方形模块覆盖形式计算出的图像维数更接近图像的理论hasudorff维数。因此三角形模块覆盖形式可以使得图像的分维分析更加准确。

Description

一种基于三角形覆盖的图像二维分形维数计算方法

技术领域

本发明属于图像识别技术领域，具体涉及一种基于三角形覆盖的图像二维分形维数的计算方法，适用于以图像的分形维数作为特征值的图像识别研究。

背景技术

盒子法是一种经典的二维分形维数计算方法，它的特征是在空间域内用不同边长R的正方形模块

覆盖边长为2的整数次幂的二维正方形图像，得到一系列不同尺度R下的测度N，将这一系列尺度R与测度N带入相关公式中进行运算，即可得出图像的二维分形维数，从而实现对图像二维分形特性-分形维数的计算。

常用的盒维法计算图像分形维数时，一般以正方形模块的形式覆盖图像。使用正方形模块使分形维数计算简便，但是该方法容易形成过度覆盖，使得图像目标区域的轮廓占据的正方形模块区域不够充分。

发明内容

为了解决上述技术问题，本发明提供了一种基于三角形覆盖的图像二维分形维数的计算方法。

本发明所采用的技术方案是：一种基于三角形覆盖的图像二维分形维数计算方法，其特征在于：用三角形模块代替正方形模块对边长为2的整数次幂的正方形图像进行覆盖，并计算其二维分形维数。

本发明提供的三角形模块覆盖形式可以充分并精确地包含图像的细节信息，使得图像的分维分析更加准确。

附图说明

图1为本发明实施例的基于三角形覆盖的结构示意图，其中(a)、(b)、(c)、(d)分别表示的为模块1、2、3、4，模块1是边长为2的整数次幂正方形模块右上方处的一个三角模块，占正方形模块面积的1/4。将模块1分别顺时针旋转90°，180°与270°即可得模块2、3与4。

具体实施方式

为了便于本领域普通技术人员理解和实施本发明，下面结合附图及实施例对本发明作进一步的详细描述，应当理解，此处所描述的实施示例仅用于说明和解释本发明，并不用于限定本发明。

针对盒子法中用正方形模块

覆盖边长为2的整数次幂图像时可能存在过度覆盖的问题，本发明提出了一个技术方案是：用三角形模块(▲)代替正方形模块

对边长为2的整数次幂的正方形图像进行覆盖，并计算其二维分形维数。

请见图1，本发明提供的一种基于三角形覆盖的图像二维分形维数计算方法，具体实现包括以下步骤：

步骤1：在一幅大小为M*M的图像中，可将任意一个边长为r的正方形模块分成4个尺寸相同方向不同的三角形模块，如图1(a)所示，包含“1”的阴影区域即为覆盖图像的三角形模块，其中h为三角形模块的高度，h等于r/2。

步骤2：使用这四种三角形模块对图像进行覆盖，若图像中模块阴影(包含1值)的三角形区域内灰度值存在不为0的像素点，则计为1个模块，统计四种模块的高度h与覆盖整幅图像所需的模块数即测度N_h；

步骤3：改变四个三角形模块的高h(h为2的整数次幂实数，取值范围为2至M/2)，重复步骤2，获得一组不同尺度h下的测度N_h，对1/h和N_h取对数得到log(1/h)和log(N_h)；

步骤4：计算基于三角形二维盒维数D；

以下对三角形覆盖的二维分形维数计算方法的有效性进行证明。

豪斯多夫测度的定义：U为n维欧式几何空间的Rn非空子集，U的直径定义为：

式(1)中x与y分别为U集合内的任意两点，sup为上确界(supremum)的缩写。因此，|U|即U集合内任意两点间距离的最大值。

如果{U_i}为有限个直径不超过δ的集构成的覆盖A(在n维欧式空间Rⁿ)的集类，即：

且对任意的i值有0＜|U_i|≤δ，则称n维欧氏空间Rⁿ的{U_i}是A的一个δ-覆盖。

Hausdorff测度定义如下：假设s为非负数，对任意集合A为Rⁿ中的任意子集，δ>0，令

式(3)中inf为下确界(infimum)的缩写。

表示对A中所有的δ-覆盖取下确界。考察所有直径不超过δ时A的覆盖，并使这些直径的s次幂的和达到最小值，注式(3)中

单调非减，且当δ→0时趋于一个极限值，记为。

对于任意Rⁿ中的子集A这个极限都存在。称H^s(A)为A的s-维Hausdorff测度。此外，E、F为Rⁿ中δ覆盖的任意子集，若E、F间的距离d(E,F)＞δ(E、F为Rⁿ的子集)，它隐含

则在E∪F的δ覆盖中没有一个集合能同时与E和F相交，故

即有

H^s(E∪F)＝H^s(E)+H^s(F) (5)

用▲和

两种方式对集合A进行覆盖后：

(1)▲覆盖集合A的结果集合记为B，且

(2)

覆盖集合A的结果集合记为C，且

(3)由于▲覆盖集合所占面积小于

覆盖方式，可得

由于集合

所以，集合B可以表示为B＝A∪Δ₁，且A∩Δ₁＝φ，其中，Δ₁为▲覆盖集合A时过度覆盖的集合；集合C可表示为C＝B∪Δ₂，其中，Δ₂为

覆盖集合B时过度覆盖的集合。即C＝A∪Δ₁∪Δ₂，且B∩Δ₂＝φ，A∩Δ₁∩Δ₂＝φ。

所以，用▲覆盖集合A可以表示为：

B＝A∪Δ₁ (6)

根据式(5)可得：

即

同理，用

覆盖集合A可以表示为:

C＝B∪Δ₂＝A∪Δ₁∪Δ₂ (9)

根据式(5)可得：

即：

由于集合A的Hasudorff测度

记其Hasudorff维数为D_f。同理可得：集合Δ₁的Hasudorff测度

记其维数为ΔD₁；集合Δ₂的Hasudorff测度

记其维数为ΔD₂。

根据上述推导，可以得出：▲覆盖法计算出集合A的维数D_t＝D_f+ΔD₁；

覆盖法计算出集合A的维数。D_s＝D_f+ΔD₁+ΔD₂因为维数D≥0，所以，D_f＜D_t≤D_s。

由此可以证明：▲方法计算A的维数D_t出更接近A的理论hasudorff维数。

故，当分别使用三角形模块(▲)和正方形模块

对二维图像进行覆盖时(假设，

是由4个▲组成)可推导出以下计算定理：假设集合A∈U，用▲和

分别对A进行覆盖，可分别计算出集合A的分形维数D_t和D_s，▲方法计算的A的分形维数D_t相较于

方法计算的A的分形维数D_s更接近A的理论Hasudorff维数D_f。

本实施例证明了三角形模块覆盖形式能够充分并精确地包含图像的细节信息，三角形模块覆盖形式计算出的图像维数D_t相较正方形模块覆盖形式计算出的图像维数D_s更接近图像的理论hasudorff维数D_f。因此三角形模块覆盖形式可以使得图像的分维分析更加准确。

应当理解的是，本说明书未详细阐述的部分均属于现有技术。

应当理解的是，上述针对较佳实施例的描述较为详细，并不能因此而认为是对本发明专利保护范围的限制，本领域的普通技术人员在本发明的启示下，在不脱离本发明权利要求所保护的范围情况下，还可以做出替换或变形，均落入本发明的保护范围之内，本发明的请求保护范围应以所附权利要求为准。

Claims (1)

1.一种基于三角形覆盖的图像二维分形维数计算方法，其特征在于：用三角形模块代替正方形模块对边长为2的整数次幂的正方形图像进行覆盖，并计算其二维分形维数；

具体实现包括以下步骤：

步骤1：在一幅大小为M*M的图像中，将任意一个边长为r的正方形模块分成4个尺寸相同方向不同的三角形模块，其中h为三角形模块的高度，h等于r/2；

步骤2：使用这四种三角形模块对图像进行覆盖，若图像中模块阴影的三角形区域存在灰度值不为0的像素点，则计为1个模块，统计四种模块的高度h与覆盖整幅图像所需的模块数即测度N_h；

步骤3：改变四种三角形模块的高度h，h为2的整数次幂实数，取值范围为2至M/2；重复步骤2，获得一组不同尺度h下的测度N_h，对1/h和N_h取对数得到log(1/h)和log(N_h)；

步骤4：计算基于三角形二维盒维数D；

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