CN109947049B - 一种基于摆动误差的刀具姿角可行域求解方法 - Google Patents

Abstract

本发明一种基于摆动误差的刀具姿角可行域求解方法属于多轴数控机床高精加工领域，涉及一种基于摆动误差的刀具姿角可行域求解方法。该方法在求解单点无干涉可行域的基础上，通过分析刀具与工件切触几何关系，根据旋转轴变化建立相邻刀位点间实际切削轨迹方程。计算实际切削轨迹偏离插补轨迹的偏差即刀轴摆动误差，建立旋转轴角度变化与刀轴摆动误差的关联关系，求解相邻刀位点旋转轴角度变化范围。利用当前刀轨参数确定的后一刀位点，将其单点无干涉可行刀具姿角范围与刀轴摆动误差约束下可行刀具姿角范围进行求交，获得高精加工刀具姿角无干涉可行域。该方法能有效提高加工曲面轮廓精度，适于应用到多轴数控高精加工中。

Description

一种基于摆动误差的刀具姿角可行域求解方法

技术领域

本发明属于多轴数控机床高精加工领域，涉及一种基于摆动误差的刀具姿角可行域求解方法。

背景技术

复杂几何特征的曲面零件多采用多轴数控加工的方法，然而，由于旋转自由度的增加，刀具和曲面的碰撞干涉和过切干涉等干涉问题更加复杂，且对于高精加工来说，在实际多轴数控加工时产生的非线性误差不可忽略，基于常规方法求解无干涉可行域规划的加工刀矢无法满足零件加工精度要求。当刀轨参数确定时非线性误差主要由刀具姿角变化引起的摆动误差决定，在高精加工过程中微米级的摆动误差不可忽略，因此，考虑多轴数控机床实际加工时产生摆动误差，进行刀具姿角可行域求解，根据该可行域进行刀矢规划在实际加工中对保证加工精度具有重要意义。目前，针对零件几何特征的可行域求解方法已有较多研究，但面向高精加工要求的刀具姿角可行域求解方法鲜有报道。

现有技术文献1“Global obstacle avoidance and minimum workpiece setupsin five-axis machining”，Hu等，Computer-Aided Design，2013，45(10):1222-1237，该文献对五轴加工中的避障问题进行了严格的分析，并提出了刀具姿角域的避障数值计算方法。然而该方法求解可行域未考虑相邻刀位点间刀轴矢量变化引起的摆动误差，虽然避免了由零件几何特征及夹具等引起的干涉问题，但无法保证加工质量。文献2“Singlespherical angle linear interpolation for the control of non-linearity errorsin five-axis flank milling”Zhang等，International Journal of AdvancedManufacturing Technology，2016，87，3289-3299，该文献通过分析五轴CNC加工的旋转轴运动中的刀具路径插补误差，在垂直于刀具路径方向的平面中，通过考虑刀具方向的偏差来构造误差模型，提出了一种插值算法减小非线性误差的方法，虽然考虑摆动误差的影响，但未考虑零件几何特征复杂时，难以规划保证加工无干涉的合适刀矢，难以直接应用于多轴数控高精加工中。

发明内容

本发明旨在克服现有技术缺陷，发明一种基于摆动误差的刀具姿角可行域求解方法，该方法针对旋转轴角度变化时刀轴摆动产生的微误差致使零件加工精度难以达到极端制造需求的问题，通过建立刀具姿角变化与刀轴摆动误差的关联关系，结合刀具姿角单点无干涉可行域，开发出刀轴摆动误差抑制的相邻刀位点旋转轴角度变化范围求解方法，获得高精加工刀具姿角无干涉可行域，该方法可更有效的应用于多轴数控高精加工中。

本发明的技术方案是一种基于摆动误差的刀具姿角无干涉可行域求解方法，其特性在于，该方法在求解单点无干涉可行域的基础上，通过分析刀具与工件切触几何关系，根据旋转轴变化建立相邻刀位点间实际切削轨迹方程；计算实际切削轨迹偏离插补轨迹的偏差即刀轴摆动误差，建立旋转轴角度变化与刀轴摆动误差的关联关系，求解相邻刀位点旋转轴角度变化范围；利用当前刀轨参数确定的后一刀位点，将其单点无干涉可行刀具姿角范围与刀轴摆动误差约束下，可行刀具姿角范围进行求交，确定高精加工无干涉刀具姿角可行域；方法的具体过程如下：

第一步建立单点无干涉可行域

为描述刀具实际切削轨迹，先建立坐标系统：局部坐标系、工件坐标系以及机床坐标系；设待加工自由曲面方程为S(u,v)，u,v分别为自由曲面方程的参数，曲面上刀具运动轨迹方程C(u(t),v(t))，轨迹上任意一刀触点P(u_P,v_P)，建立其局部坐标系，定义局部坐标系X_L轴沿刀触点P进给方向，Z_L轴沿刀触点P处曲面法向方向，Y_L轴根据右手定则确定，记X_L、Y_L、Z_L轴单位向量分别为i、j、k；机床坐标系为机床本身固有坐标系，工件坐标系根据零件的几何模型与实际情况建立；

根据平底刀刀具参数确定刀位点及刀轴矢量，令刀具半径为R_T，刀长为L，刀位点为O_TL，刀轴矢量为T；刀轴在X_LPZ_L平面内与Z轴夹角为倾斜角β，

刀轴绕Z_L轴旋转角度为旋转角θ，θ∈[0,2π)；

在任一刀触点P，将旋转角θ等分为n(n≥1)份，对应每份旋转角度为

p＝1,2,…,n，根据二分法确定倾斜角β，迭代次数为m(m≥1)次，对应倾斜角为β_q，q＝1,2,…,m，则刀轴矢量T表示为：

T＝cos(θ_p)sin(β_q)i+sin(θ_p)sin(β_q)j+cos(β_q)k (1)

相应刀位点O_TL表示为：

将待加工自由曲面进行刀位网格划分，确定刀触点P对应刀轴矢量的待干涉检测点范围，即刀具在曲面上投影区域内网格节点；为减少计算量，将刀具投影在工件坐标系X_WO_WY_W平面内的沿X_W、Y_W方向最小包络矩形定为待检测点范围；

在工件坐标系中，沿Z_W轴方向入射光，取过刀具轴线的投影截面为刀具投影受光截面，取该截面的两个基向量，一个为刀轴矢量T，另一个为单位向量w₁，考虑刀具端面影响，增加一修正单位向量w₂，其中w₁、w₂为：

修正后受光截面顶点A、B、C、D分别按公式(5)计算：

修正后受光截面顶点A、B、C、D沿工件坐标系Z_W轴方向在自由曲面投影的最小包络图形为待干涉检测区域，即待干涉检测区域中任意一点Q(x,y,z)，满足如下条件：

其中，min()表示取最小值函数，max()表示取最大值函数，x_A,x_B,x_C,x_D与y_A,y_B,y_C,y_D分别表示点A、B、C、D在工件坐标系XWYW平面内的横、纵坐标。

确定待检测点与刀具是否发生干涉，即判断待检测点Q是否在刀具内，设Q'为Q在刀轴上的投影点，投影点Q'的坐标计算为：

其中，κ为Q'到刀位点O_TL的距离系数；当κ＞L或κ＜-R_T，则点P不会与刀具干涉，当-R_T≤κ≤L，计算||QQ'||，当||QQ'||＜R_T时，点Q与刀具发生干涉；若刀具与所有待检测点不发生干涉，则认为刀具与曲面不发生干涉，记录当前刀具倾斜角；计算每一旋转角θ_p对应的无干涉倾斜β角，则刀触点P对应刀具姿角可行域可表示为Ω(u_P,v_P)，即P点的单点无干涉可行域；

第二步建立相邻刀触点间实际切削轨迹方程

在工件坐标系中，P₁、P₂为两相邻刀触点，由于两个刀触点间距较小，将理想加工曲线近似为一段圆心角很小的圆弧；计算近似圆弧与实际刀具切触轨迹之间距离，设O_A为圆弧圆心，R_A为圆弧半径，θ_A为圆弧对应的圆心角；为简化计算，用P₁点的曲率半径表示R_A，O_A落在P₁、P₂点中垂线上；

在五轴数控机床坐标系中，设刀具在P₁点处机床A、C轴旋转角度为a₁、c₁，刀具在P₂点处机床A、C轴旋转角度为a₂、c₂；根据测得实际工件位置，工作台旋转矩阵Rot(a,c)表示为：

在机床坐标系中，刀具在P₁点处圆弧圆心矢量O_1m及刀触点矢量P_1m为：

刀具在P₂点的圆弧圆心矢量O_2m及刀触点矢量P_2m为：

工作台以机床坐标原点为中心做线性旋转，则由a₁转动至a₂，c₁转动至c₂过程中A、C角由下式表示：

则在机床坐标系下，圆弧圆心位置矢量O_m(λ)表示为：

O_m(λ)＝Rot(a(λ),c(λ))·O_A (12)

在机床坐标系下，刀具保持竖直，且只做线性移动，因此切触点位置矢量P_m(λ)，即相邻刀触点间实际切削轨迹可表示为：

第三步建立旋转轴角度变化与刀轴摆动误差的关联关系

在多轴数控加工过程中，非线性误差e(λ)为实际切削轨迹与理想切削轨迹的偏差，其中包含线性插补运动引起的直线段逼近待加工曲线的直线插补误差e_n和旋转轴摆动导致的刀触点非线性运动轨迹偏离理论编程直线的刀轴摆动误差e_m两部分；当刀轨参数确定时，非线性误差主要受刀具姿角变化引起的摆动误差e_m影响；

由于向量在不同坐标系中模长相等，则根据公式(12)和公式(13)知非线性误差e(λ)为：

e(λ)＝|||P_m(λ)-O_m(λ)||-R_A| (14)

其中，||·||表示欧几里得范数；

在刀轨参数一定的情况下，非线性误差e_max最大时，||P_m(λ)-O_m(λ)||最小，即求解方程

表示为：

使用二阶泰勒展开式将工作台旋转矩阵Rot(a,c)简化：

则向量O_mP_m在机床坐标系中表示为：

对向量O_mP_m进行一次微分得：

双转台数控机床C轴转动角度对非线性误差影响较小，为简便起见，仅考虑A角对非线性误差的影响；则公式(17)和公式(18)化简为：

将公式(19)和公式(20)代入公式(15)求解λ，得到

即当

时，非线性误差最大；将

带入公式(14)得到：

因此，根据加工轮廓度E_t要求，可得：

令

为使得所求角度具有实际物理意义，A轴旋转角度变化量计算式为：

1)当

时：

2)当

时：

第四步确定刀具姿角可行域

刀具姿角可行域是在局部坐标系定义的刀轴矢量可行范围，因此需将A轴角度范围转化为刀具姿角可行范围；根据第三步计算满足加工轮廓度要求的A轴角度变化量范围Δa，结合P₁点处A轴旋转角度a₁，求得P₂点处A轴旋转角度a₂范围：

根据A轴旋转角度a₂，确定局部坐标系X_L、Y_L、Z_L轴单位向量i、j、k分别在机床坐标系中的表达形式i_m、j_m、k_m：

在机床坐标系中，刀轴无旋转变化，则根据公式(26)-(28)计算局部坐标系下，P₂点处满足加工轮廓度要求刀具姿角β₂、θ₂的可行范围Ω_2m(u_P,v_P)；

根据第一步求得的P₂点处单点无干涉刀具姿角可行域Ω₂(u_P,v_P)与P₂点处满足加工轮廓度要求刀具姿角β₂、θ₂的可行范围Ω_2m(u_P,v_P)进行求交，所得可行域Ω_2e(u_P,v_P)即为基于摆动误差的刀具姿角可行域：

Ω_2e(u_P,v_P)＝Ω₂(u_P,v_P)∩Ω_2m(u_P,v_P) (29)

本发明的显著效果和益处是：针对旋转轴角度变化时刀轴摆动产生的微误差致使零件加工精度难以达到极端制造需求的问题，通过建立刀轴姿角变化与刀轴摆动误差的关联关系，计算刀轴摆动误差抑制的相邻刀位点旋转轴角度变化范围，结合刀具姿角单点无干涉可行域，获得高精加工刀具姿角无干涉可行域。根据本方法所计算可行域规划的刀轴矢量进行加工，在不发生干涉的基础上，能有效提高加工曲面轮廓精度，具有重要意义。

附图说明

图1—方法整体流程图。

图2—曲面零件上坐标系统定义图；其中，{O_M-X_MY_MZ_M}表示机床坐标系，{O_W-X_WY_WZ_W}表示工件坐标系，{O_L-X_LY_LZ_L}表示局部坐标系。

图3—求解单点无干涉可行域示意图；其中，P为刀触点，T为刀轴矢量，O_TL为刀位点，Q为待干涉监测点，Q'为Q在刀轴上的投影点，刀具上阴影为刀具不受光面，w₁为刀具投影受光截面除T外另一基向量，w₂为修正单位向量，A、B、C、D为受光截面修正后顶点，Α'、B'、C'、D'为曲面上待干涉检测区域顶点。

图4—曲面零件轮廓曲线对比图；其中，曲线1表示用基于摆动误差的高精加工刀具姿角可行域规划的刀轨加工后测得的曲线，曲线2表示使用未考虑摆动误差的刀具姿角可行域规划的刀轨加工后测得的曲线，曲线3表示曲面零件上理想曲线。

图5—实际加工曲线与理想曲线偏差图；其中A轴表示测量点序号，B轴表示实际加工曲线与理想曲线偏差值，单位为mm，曲线1为基于摆动误差的刀具姿角可行域规划的刀轨加工所得曲线与理想曲线偏差值，曲线2为使用未考虑摆动误差的刀具姿角可行域规划的刀轨加工所得曲线与理想曲线偏差值。

具体实施方式

结合技术方案与附图详细说明本发明的具体实施方式。

在五轴数控加工过程中，由于旋转轴角度变化时刀轴摆动产生的微误差，导致使零件加工精度难以达到精密加工需求，为解决这一问题，发明一种基于摆动误差的刀具姿角可行域求解方法。

附图1为方法整体流程图，附图2为曲面零件上坐标系统定义图。以附图2上的曲面零件为例，详细说明本发明的具体实施过程。根据附图1所示方法整体流程，以AC双转台五轴机床为例，对零件上加工轨迹刀触点进行基于摆动误差的刀具姿角可行域求解，方法的具体步骤为：

第一步建立单点无干涉可行域：针对附图2中的曲面零件，选择刀具直径为6mm，刀长为75mm的平底刀为加工所用刀具，并建立坐标系统。如附图3所示，用UG软件获得规划的刀触点，对任一刀触点P，将旋转角θ等分为20份，倾斜角β用二分法迭代8次。图3是求解单点无干涉可行域示意图，用公式(1)计算划分的每一刀具姿角对应的刀轴矢量T，根据公式(2)计算对应刀位点O_L，进而根据公式(3)-(6)确定待干涉检测点范围，最终根据公式(7)进行干涉判定，计算每一旋转角θ_p对应的无干涉β角，求得刀触点P对应刀具姿角可行域为Ω(u_P,v_P)，即单点无干涉可行域。

第二步建立相邻刀触点间实际切削轨迹方程：在工件坐标系中，选择两相邻刀触点P₁、P₂，计算近似圆弧半径R_A及其对应的圆心角θ_A，根据测得实际工件位置，结合公式(8)-(10)，确定在机床坐标系中，实际切削时刀具在P₁点处圆弧圆心矢量O_1m及刀触点矢量P_1m和刀具在P₂点的圆弧圆心矢量O_2m及刀触点矢量P_2m，根据公式(11)-(13)建立相邻刀触点间实际切削轨迹方程。

第三步建立旋转轴角度变化与刀轴摆动误差的关联关系：将实际加工轮廓度E_t要求定为25μm，根据公式(14)-(25)确定A轴旋转角度变化量Δa。

第四步确定刀具姿角可行域：将第三步求得的A轴角度范围转化为刀具姿角可行范围，结合P₁点处A轴旋转角度a₁，根据公式(26)-(27)求得P₂点处A轴旋转角度a₂范围，并计算局部坐标系下，P₂点处满足加工轮廓度要求刀具姿角可行域β₂、θ₂的范围Ω_2m(u_P,v_P)，结合第一步求得的P₂点处无干涉刀具姿角可行域Ω₂(u_P,v_P)，根据公式(28)-(29)求得基于摆动误差的刀具姿角可行域Ω_2e(u_P,v_P)。

附图4为曲面零件轮廓曲线对比图，其中，曲线1表示用基于摆动误差的高精加工刀具姿角可行域规划的刀轨加工后测得的曲线，曲线2表示未用基于摆动误差的高精加工刀具姿角可行域规划的刀轨加工后测得的曲线，曲线3表示理想曲面零件上的曲线。

附图5所示为实际加工曲线与理想曲线实际偏差值图；其中A轴表示曲线参数，B轴表示实际加工曲线与理想曲线实际偏差值，单位为mm，曲线1为基于摆动误差的高精加工刀具姿角可行域规划的刀轨加工后实际加工曲线与理想曲线实际偏差值，曲线2为使用未考虑摆动误差的刀具姿角可行域规划的刀轨加工后实际加工曲线与理想曲线实际偏差值。图中可见，利用未基于摆动误差的刀具姿角可行域规划的刀轨加工所得曲线线轮廓度平均值为76μm，最大值为105μm，而利用基于摆动误差的刀具姿角可行域规划的刀轨加工所得曲线线轮廓度平均值为53μm，降低了30.13％，最大值为71μm，降低了32.31％。

综上所述，本发明实施例的基于摆动误差的刀具姿角可行域求解方法，在避免干涉的同时，能有效提高加工曲面轮廓精度。

Claims (1)

1.一种基于摆动误差的刀具姿角无干涉可行域求解方法，其特性在于，该方法在求解单点无干涉可行域的基础上，通过分析刀具与工件切触几何关系，根据旋转轴变化建立相邻刀位点间实际切削轨迹方程；计算实际切削轨迹偏离插补轨迹的偏差即刀轴摆动误差，建立旋转轴角度变化与刀轴摆动误差的关联关系，求解相邻刀位点旋转轴角度变化范围；利用当前刀轨参数确定的后一刀位点，将其单点无干涉可行刀具姿角范围与刀轴摆动误差约束下可行刀具姿角范围进行求交，确定高精加工无干涉刀具姿角可行域；方法的具体过程如下：

第一步 建立单点无干涉可行域

为描述刀具实际切削轨迹，先建立坐标系统，包含局部坐标系、工件坐标系以及机床坐标系；设待加工自由曲面方程为S(u,v)，u,v分别为自由曲面方程的参数，曲面上刀具运动轨迹方程C(u(t),v(t))，轨迹上任意一刀触点P(u_P,v_P)，建立其局部坐标系，定义局部坐标系X_L轴沿刀触点P进给方向，Z_L轴沿刀触点P处曲面法向方向，Y_L轴根据右手定则确定，记X_L、Y_L、Z_L轴单位向量分别为i、j、k；机床坐标系为机床本身固有坐标系，工件坐标系根据零件的几何模型与实际情况建立；

根据平底刀刀具参数确定刀位点及刀轴矢量，令刀具半径为R_T，刀长为L，刀位点为O_TL，刀轴矢量为T；刀轴在X_LPZ_L平面内与Z轴夹角为倾斜角β，

刀轴绕Z_L轴旋转角度为旋转角θ，θ∈[0,2π)；

在任一刀触点P，将旋转角θ等分为n(n≥1)份，对应每份旋转角度为

p＝1,2,…,n，根据二分法确定倾斜角β，迭代次数为m(m≥1)次，对应倾斜角为β_q，q＝1,2,…,m，则刀轴矢量T表示为：

T＝cos(θ_p)sin(β_q)i+sin(θ_p)sin(β_q)j+cos(β_q)k (1)

相应刀位点O_TL表示为：

将待加工自由曲面进行刀位网格划分，确定刀触点P对应刀轴矢量的待干涉检测点范围，即刀具在曲面上投影区域内网格节点；为减少计算量，将刀具投影在工件坐标系X_WO_WY_W平面内的沿X_W、Y_W方向最小包络矩形定为待检测点范围；在工件坐标系中，沿Z_W轴方向入射光，取过刀具轴线的投影截面为刀具投影受光截面，取该截面的两个基向量，一个为刀轴矢量T，另一个为单位向量w₁，考虑刀具端面影响，增加一修正单位向量w₂，其中w₁、w₂为：

修正后受光截面顶点A、B、C、D分别按公式(5)计算：

修正后受光截面顶点A、B、C、D沿工件坐标系Z_W轴方向在自由曲面投影的最小包络图形为待干涉检测区域，即待干涉检测区域中任意一点Q(x,y,z)，满足如下条件：

其中，min()表示取最小值函数，max()表示取最大值函数，x_A,x_B,x_C,x_D与y_A,y_B,y_C,y_D分别表示点A、B、C、D在工件坐标系X_WY_W平面内的横、纵坐标；

确定待检测点与刀具是否发生干涉，即判断待检测点Q是否在刀具内，设Q'为Q在刀轴上的投影点，投影点Q'的坐标计算为：

其中，κ为Q'到刀位点O_TL的距离系数；当κ＞L或κ＜-R_T，则点P不会与刀具干涉，当-R_T≤κ≤L，计算||QQ'||，当||QQ'||＜R_T时，点Q与刀具发生干涉；若刀具与所有待检测点不发生干涉，则认为刀具与曲面不发生干涉，记录当前刀具倾斜角；计算每一旋转角θ_p对应的无干涉倾斜β角，则刀触点P对应刀具姿角可行域可表示为Ω(u_P,v_P)，即P点的单点无干涉可行域；

第二步 建立相邻刀触点间实际切削轨迹方程

在工件坐标系中，P₁、P₂为两相邻刀触点，由于两个刀触点间距较小，将理想加工曲线近似为一段圆心角很小的圆弧；计算近似圆弧与实际刀具切触轨迹之间距离，设O_A为圆弧圆心，R_A为圆弧半径，θ_A为圆弧对应的圆心角；为简化计算，用P₁点的曲率半径表示R_A，O_A落在P₁、P₂点中垂线上；

以双转台五轴数控机床为例，根据测得实际工件位置，在机床坐标系中，设刀具在P₁点处机床A、C轴旋转角度为a₁、c₁，刀具在P₂点处机床A、C轴旋转角度为a₂、c₂；工作台旋转矩阵Rot(a,c)表示为：

在机床坐标系中，刀具在P₁点处圆弧圆心矢量O_1m及刀触点矢量P_1m为：

刀具在P₂点的圆弧圆心矢量O_2m及刀触点矢量P_2m为：

工作台以机床坐标原点为中心做线性旋转，则由a₁转动至a₂，c₁转动至c₂过程中A、C角可由下式表示：

则在机床坐标系下，圆弧圆心位置矢量O_m(λ)表示为：

O_m(λ)＝Rot(a(λ),c(λ))·O_A (12)

在机床坐标系下，刀具保持竖直，且只做线性移动，因此切触点位置矢量P_m(λ)，即相邻刀触点间实际切削轨迹表示为：

第三步 建立旋转轴角度变化与刀轴摆动误差的关联关系

在多轴数控加工过程中，非线性误差e(λ)为实际切削轨迹与理想切削轨迹的偏差，其中包含线性插补运动引起的直线段逼近待加工曲线的直线插补误差e_n和旋转轴摆动导致的刀触点非线性运动轨迹偏离理论编程直线的刀轴摆动误差e_m两部分；当刀轨参数确定时，非线性误差主要受刀具姿角变化引起的摆动误差e_m影响；

由于向量在不同坐标系中模长相等，则根据公式(12)和公式(13)可知非线性误差e(λ)为：

e(λ)＝||P_m(λ)-O_m(λ)||-R_A| (14)

其中，||·||表示欧几里得范数；

在刀轨参数一定的情况下，非线性误差e_max最大时，||P_m(λ)-O_m(λ)||最小，即求解方程

表示为：

使用二阶泰勒展开式将工作台旋转矩阵Rot(a,c)简化：

则向量O_mP_m在机床坐标系中表示为：

对向量O_mP_m进行一次微分得：

数控机床C轴转动角度对非线性误差影响较小，为简便起见，仅考虑A角对非线性误差的影响；则公式(17)和公式(18)化简为：

将公式(19)和公式(20)代入公式(15)求解λ，得到

即当

时，非线性误差最大；将

带入公式(14)得到：

因此，根据加工轮廓度E_t要求，得到：

令

为使得所求角度具有实际物理意义，A轴旋转角度变化量计算式为：

1)当

时：

2)当

时：

第四步 确定刀具姿角可行域

刀具姿角可行域是在局部坐标系定义的刀轴矢量可行范围，因此需将A轴角度范围转化为刀具姿角可行范围；根据第三步可计算满足加工轮廓度要求的A轴角度变化量范围Δa，结合P₁点处A轴旋转角度a₁，求得P₂点处A轴旋转角度a₂范围：

1)

2)

根据A轴旋转角度a₂，确定局部坐标系X_L、Y_L、Z_L轴单位向量i、j、k分别在机床坐标系中的表达形式i_m、j_m、k_m：

在机床坐标系中，刀轴无旋转变化，则根据公式(26)-(28)计算局部坐标系下，P₂点处满足加工轮廓度要求刀具姿角β₂、θ₂的可行范围Ω_2m(u_P,v_P)；

根据第一步求得的P₂点处单点无干涉刀具姿角可行域Ω₂(u_P,v_P)与P₂点处满足加工轮廓度要求刀具姿角β₂、θ₂的可行范围Ω_2m(u_P,v_P)进行求交，用公式(29)求出基于摆动误差的刀具姿角可行域：

Ω_2e(u_P,v_P)＝Ω₂(u_P,v_P)∩Ω_2m(u_P,v_P) (29)

所得可行域Ω_2e(u_P,v_P)即为基于摆动误差的刀具姿角可行域。

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