CN109902345A - 基于极限分析下限定理的二维边坡极限荷载求解方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种基于极限分析下限定理的二维边坡极限荷载求解方法，首先构建边坡的二维块分模型，结合边坡岩土体材料特性，建立基于线段的变量体系；然后，根据极限分析下限定理，基于边坡的二维块分系统、线段的变量体系，推导出二维边坡极限荷载的优化求解算法表达式；最后通过优化算法表达式，求解二维边坡极限荷载。本发明根据极限分析下限定理，不引入刚性块体外任何假定，通过优化方法得到最优解，真实、客观地反应了设计边坡的极限荷载。另外，本发明设计的块分系统简化后可回归到条分系统，块分系统可以考虑条块内部边界的作用，能够适应更为复杂的破坏模式。
Description
技术领域
本发明涉及一种岩土工程边坡极限荷载的求解方法，具体地说，本发明涉及一种根据极限分析下限定理、基于块分系统的边坡极限荷载求解方法。本发明属于岩土工程边坡极限荷载领域。
背景技术
边坡极限荷载求解是岩土力学和岩土工程的重要研究课题,具有重大的工程意义和实践价值。现阶段极限平衡法因其计算简单、易于实现、且具有比较成熟的工程应用经验，是目前最常用的分析方法。但该方法大多数情况下未能完全满足静力平衡条件(仅满足部分力和力矩平衡)，同时还需引入条间作用力方向、作用点位置等假定来使问题变得静定可解，因此，极限平衡法始终是一类近似计算方法。极限平衡采用的相关假定在多数情况下是合理的，计算结果可以接受，但在一些特殊情况下，这些假定可能会违背固体力学的基本原理，比如屈服准则、平衡条件，导致错误的分析结果，使得设计的边坡工程过于保守或偏于危险。
因此，进一步深入研究边坡极限荷载求解方法，减少不合理假定对极限荷载分析结果的影响是非常必要的。
发明内容
鉴于上述原因，本发明的目的是提供一种根据极限分析下限定理，基于块分系统的二维边坡极限荷载求解方法。该方法根据极限分析下限定理，不引入除刚性块体外任何假定，基于块分系统，通过优化计算得到边坡极限荷载的最优解。
为实现上述目的，本发明采用以下技术方案：一种基于极限分析下限定理的二维边坡极限荷载求解方法，它包括如下步骤：
S1：根据边坡尺寸、地质条件，构建二维边坡的块分模型；
S2：基于二维边坡的块分模型，结合边坡岩土体材料特性，建立基于线段的变量体系；
S3：根据极限分析下限定理，基于二维边坡的块分模型和基于线段的变量体系，推导出二维边坡极限荷载的优化算法表达式；
S4：通过优化算法表达式，求解二维边坡的极限荷载系数，评价边坡极限荷载。
所述步骤S1包括如下步骤：
S1.1：寻找边坡的几何边界、材料分界、结构面分界、地下水位线等任意边界，然后用点和线段描述这些边界；
寻找到边坡的各种边界后，在每条边界上标注出若干个点，并按顺序对这些点进行编号；然后，按顺序编号表示边界的线段；
S1.2：根据所有以线段描述的边界及预设边界将边坡划分成若干个二维块体，建立二维块分模型，每个二维块体按顺序编号，每个二维块体由若干段线段按顺序描述；
在对边坡划分的二维块体描述时，二维块体、描述二维块体的线段、描述线段的点均按相同顺序、独立编号；当描述块体的线段方向与线段编号系统中存储的起点终点方向相反时，该线段编号前加﹣。
所述顺序可以是按顺时针方向，也可以按照逆时针方向。
所述步骤S2包括如下步骤：
S2.1：根据边坡极限荷载，定义极限荷载变量q，表示作用在边坡顶面的均布荷载；
S2.2描述边界受力特征的变量系统，分别建立每条边界局部坐标系，以边界指向块体内部的垂线方向为N轴，受到的法向力为Ni；以边界前进方向为T轴，受到的切向力Ti；i为表示边界的线段编号；
S2.3确定边界作用点的比例系数ri，比例系数ri表示边界作用点位置在边界线段上的比例，边界作用点坐标可以通过下式求得。
式中xri，yri为第i条边界上作用点坐标，x0i，y0i为第i条边界的起点坐标， x1i，y1i为第i条边界的终点坐标。
所述步骤S3包括如下步骤：
S3.1：根据极限分析下限定理，建立目标函数，求二维边坡的荷载的最大值：
f＝max(q) (2)
S3.2：根据极限分析下限定理中条件(a)平衡方程，建立二维块分模型中每一个块体的力和力矩的平衡方程，具体计算公式如下：
式中Fxj、Fyj分别为块体j在x、y方向上的合力；Mj为块体j重心弯矩；Gxj、Gyj为块体j分别在x、y方向所受体积力；dti为块体j重心到边界的垂直距离，可通过集合关系直接求得；ri为作用点位置在边界线段上的比例，为未知量；gri为块体j重心投影到边界线段上的比例，可根据几何关系求得
li为线段i的方向导数；lxi为线段i单位向量在x方向的方向导数；lyi为线段i单位向量在y方向的方向导数；qx、qy分别为极限荷载在x、y方向上的分量， dqx、dqy分别为极限荷载作用点到重心的x、y向的距离；等式方程(3)与块体对应，每个块体一组等式方程；
S3.3：根据极限分析下限定理中条件(b)屈服准则，建立每一个块体边界满足摩尔库仑屈服条件，如下式所示：
式中Ti为边界切向力，沿块体边界顺时针旋转为正；Ni为边界法向力，指向块体内部为正，且Ni＞0；ci分别为边界强度参数内摩擦角和黏聚力；li为表示边界的线段i的长度。除外破面临空边界外，不等式方程与边界一一对应，每条边界对应一组不等式方程；
S3.4建立一般性约束条件：通常认为岩土体材料不受拉力，数学表达为法向力总是指向块体内部；边界上的作用点落在边界线段内部，不会超出边界线段范围，约束条件如下式所示：
Ni≥0 (5)
0≤ri≤1 (6)
式中Ni≥0表示岩土体为不受拉材料，法向力不会指向块体外部；0≤ri≤1 表示边界荷载作用点作用在边界内部，不会超出边界自身范围。
所述步骤S4可以通过输出常用的优化求解算法计算文件，也可通过编程软件编制优化算法求得边坡安全系数。
附图说明
图1是本发明基于极限分析下限定理的二维边坡极限荷载求解方法流程图；
图2是本发明实例虚拟边坡模型；
图3是构建图2所示的边坡块分系统的节点编号系统；
图4是构建图2所示的边坡块分系统的线段编号系统；
图5是构建图2所示的边坡块分系统的块体编号系统；
图6是针对构建边坡块分系统的线段建立的局部坐标系和变量系统；
图7是本发明根据极限分析下限定理优化求解边坡极限荷载的方法流程图；
图8是利用本发明评价图2所示的虚拟边坡极限荷载的实施例图。
具体实施方式
下面结合具体实例，进一步阐明本发明，应理解这些实例仅用于说明本发明而不用于限制本发明的范围，在阅读了本发明之后，本领域技术人员对本发明的各种等价形式的修改均落于本申请所附权利要求所限定的范围。
目前，在岩土工程边坡极限荷载极限分析领域，主要通过极限平衡法对边坡极限荷载进行分析评价。该方法对应不同的假定，这些假定在多数情况下是合理的，可以获得可靠的稳定分析结果。但在一些特殊情况下，这些假定可能会违背固体力学的基本原则，比如屈服准则、平衡条件，得出错误的分析结果，导致设计人员的错误判断，使得设计的边坡工程过于保守或偏于危险。
本发明公开的基于极限分析下限定理的二维边坡极限荷载求解方法，不引入除刚性块体外任何假定，基于块分系统，通过优化计算得到边坡极限荷载的最优解。如图1所示，该边坡极限荷载二维极限分析下限解法为：
S1：根据边坡尺寸、地质条件，构建二维边坡的块分模型；
S2：基于二维边坡的块分模型，结合边坡岩土体材料特性，建立基于线段的变量体系；
S3：根据极限分析下限定理，基于二维边坡的块分模型和基于线段的变量体系，推导出二维边坡极限荷载的优化算法表达式；
S4：通过优化算法表达式，求解二维边坡极限荷载系数，评价边坡极限荷载。
本发明评价所设计的边坡极限荷载的原理是：用若干个块体描述二维边坡；然后，基于二维边坡的块分模型，结合边坡岩土体材料特性，建立基于线段的变量体系；再根据极限分析下限定理，二维边坡的块分模型、基于线段的变量体系，推导出二维边坡极限荷载的优化算法表达式；最后，通过优化算法表达式，求解出二维边坡极限荷载系数，评价设计边坡的极限荷载。
本发明根据设计边坡的尺寸、地质条件，如地层岩性、风化程度、结构面等特征，构建二维边坡的块分模型，具体步骤为：
S1.1：寻找设计边坡的几何边界、材料分界、结构面分界、地下水位线等任意边界，然后用点和线段描述这些边界。
图2为虚拟的设计边坡，图中的0为边坡边界，1为底滑面边界，2为代表不同材料的边界，这些边界可以是软弱夹层边界、岩层边界、断层边界、节理边界、裂隙边界、地下水位线等。
寻找到设计边坡的各种边界后，将设计边坡的各种边界转化成几何上的线段。
寻找到设计边坡的各种边界后，在每条边界上标注出若干个点，并按顺序对这些点进行标号。该顺序可以是按顺时针方向，也可以是按逆时针方向。在本发明具体实施例中，按逆时针方向对每条边界上的点进行标号。例如，图3所示为底滑面边界1，在该边界线上标注若干个点，并按逆时针方向编号 然后，按照逆时针方向编号表示边界的线段，如图4所示，线段1、2、3、4、5、6、7、8、9、10表示底滑面边界，线段21、11表示边坡边界0，线段12、13、14、15、16、17、18、19、20表示岩层边界线2。然后，按照逆时针方向描述表示线段的起点和终点，例如线段1的起点①终点②，线段20的起点是⑩终点是
S1.2：根据所有以线段描述的边界及预设边界将设计边坡划分成若干个二维块体，建立二维块分模型，每个二维块体按顺序编号，每个二维块体由若干段线段按顺序描述。
需要注意的是，在对设计边坡划分的二维块体描述时，二维块体、描述二维块体的线段、描述线段的点均按相同顺序、独立编号，便于计算和索引。其中，线段编号和块体编号还包含材料属性及明确的方向性，如线段1为起点①→终点②，线段20为起点⑩→终点当描述块体的线段方向与线段编号系统中存储的起点终点方向相反时，该线段编号前加﹣，如图5所示，块体中线段排序为 9→20→-19、块体中线段排序为10→21→-20，其中20号线段为两个块体的共用边界分别存储为一正一负。
根据设计边坡的尺寸、地质条件，将设计边坡划分成若干个二维块体，并构建包含地层岩性、风化程度、结构面等特征的二维边坡块分模型后，结合边坡岩土体材料特性，建立基于线段的变量体系。具体方法如下：
S2.1：根据边坡极限荷载，定义极限荷载变量q，表示作用在边坡顶面的均布荷载。
S2.2描述边界受力特征的变量系统，分别建立每条边界局部坐标系，以边界指向块体内部的垂线方向为N轴，受到的法向力为Ni；以边界前进方向为T轴，受到的切向力Ti；i为表示边界的线段编号；
图6为针对每条边建立局部坐标系，以线段在块体上的前进方向为T轴，指向前进方向为正，以垂直线段的方向为N轴，指向块体内部为正。块体包含的边界-20和块体包含的边界20分别建立局部坐标系，对应的轴向力和切向力量值相同均用，N20、T20通过这样的处理自动构建成为一对作用力与反作用力。
S2.3确定边界作用点的比例系数ri，比例系数ri表示边界作用点位置在边界线段上的比例，边界作用点坐标可以通过下式求得。
式中xri，yri为第i条边界上作用点坐标，x0i，y0i为第i条边界的起点坐标， x1i，y1i为第i条边界的终点坐标。
本发明通过比例系数ri和线段起始、终点坐标可以直接求得作用点坐标，只通过一个变量ri就可以准确描述作用点位置。
图6为针对每条边建立的变量系统，块体包含的边界20从起点到作用点的比例为r20，块体包含的边界-20从起到到作用点的比例为1-r20，上述处理保证边界-20和20的作用点位置通过一个变量描述并在同一个位置。
基于二维边坡的块分模型，结合边坡岩土体材料特性，建立基于线段的变量体系后，本发明根据极限分析下限定理，推导出二维边坡极限荷载的优化算法表达式；该优化算法表达式包括：
S3.1：根据极限分析下限定理，建立目标函数。极限分析下限定理可以描述为：满足(a)平衡方程、(b)屈服准则两个条件的应力分布称为静力许可应力场。通过静力学可应力场所确定的极限荷载是不大于实际极限荷载，在众多静力学可达应力场中极限荷载越大越接近实际极限荷载。因此，通过优化求解算法计算二维边坡的荷载最大值，具体公式为：
f＝max(q) (2)
S3.2：根据极限分析下限定理中条件(a)平衡方程，建立二维块分模型中每一个块体的力和力矩的平衡方程，具体计算公式如下：
式中Fxj、Fyj分别为块体j在x、y方向上的合力；Mj为块体j重心弯矩；Gxi、Gyj为块体j分别在x、y方向所受体积力；dti为块体j重心到边界的垂直距离，可通过集合关系直接求得；ri为作用点位置在边界线段上的比例，为未知量；gri为块体j重心投影到边界线段上的比例，可根据几何关系求得。
li为线段i的方向导数；lxi为线段i单位向量在x方向的方向导数lyi为线段i单位向量在y方向的方向导数；qx、qy分别为极限荷载在x、y方向上的分量， dqx、dqy分别为极限荷载作用点到重心的x、y向的距离；等式方程(3)与块体对应，每个块体一组等式方程；
S3.3：根据极限分析下限定理中条件(b)屈服准则，建立每一个块体边界满足摩尔库仑屈服条件，如下式所示：
式中Ti为边界切向力，沿块体边界顺时针旋转为正；Ni为边界法向力，指向块体内部为正，且Ni＞0；ci分别为边界强度参数内摩擦角和黏聚力；li为表示边界的线段i的长度。除外破面临空边界外，不等式方程与边界一一对应，每条边界对应一组不等式方程。
S3.4建立一般性约束条件：通常认为岩土体材料不受拉力，数学表达为法向力总是指向块体内部；边界上的作用点落在边界线段内部，不会超出边界线段范围，约束条件如下式所示：
Ni≥0 (5)
0≤ri≤1 (6)
式中Ni≥0表示岩土体为不受拉材料，法向力不会指向块体外部；0≤ri≤1 表示边界荷载作用点作用在边界内部，不会超出边界自身范围。
根据极限分析下限定理，二维边坡块分模型、线段的变量体系，推导出二维边坡极限荷载的优化算法表达式后，如图7所示，本发明优化算法表达式，求解出二维边坡的极限荷载系数，根据边坡安全系统评价设计边坡的极限荷载。
求解边坡极限荷载，评价边坡极限荷载可以通过输出常用的优化求解算法计算文件(如LINGO、R软件等)，也可通过编程软件编制优化算法(如Matlab、 C#等)求得边坡安全系数。
图8是利用本发明公开的根据极限分析下限定理，基于块分系统的二维边坡极限荷载求解方法评价图2所示的虚拟边坡极限荷载的实施例图。
本发明根据极限分析下限定理，二维边坡二维块分模型、基于线段的变量体系，推导出二维边坡极限荷载的优化算法表达式后，通过C#编程软件，求得图 2所示的边坡极限荷载系数q＝1094.402，从而验证本发明提出极限荷载计算方法的准确性。
通过C#编程软件，计算边坡安全系数，首先，需要输入构建边坡二维块分模型的各点、各线段、各块体参数：如下：
然后，将推导出的优化算法表达式(1)-(6)编程输入至优化计算软件求解二维边坡极限荷载q。
max＝Q；
T0<N0*0.577350269189626+629459.663620792；
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@free(T0)；
T1<N1*0.577350269189626+629450.197548845；
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@free(T1)；
T2<N2*0.577350269189626+184600.569962825；
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T4<N4*0.577350269189626+150215.332173517；
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@free(T4)；
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-N5*0.577350269189626-153514.267361571<T5；
@free(T5)；
T6<N6*0.577350269189626+137976.452471137；
-N6*0.577350269189626-137976.452471137<T6；
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T7<N7*0.577350269189626+122481.788286259；
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T8<N8*0.577350269189626+399960.558454706；
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-N12*0.577350269189626-1258909.86116708<T12；
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-N13*0.577350269189626-1162905.92792521<T13；
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T14<N14*0.577350269189626+1082312；
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@free(T16)；
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-N17*0.577350269189626-858040.622922342<T17；
@free(T17)；
T18<N18*0.577350269189626+799919.803731974；
-N18*0.577350269189626-799919.803731974<T18；
@free(T18)；
T19<N19*0.577350269189626+692759.150105894；
-N19*0.577350269189626-692759.150105894<T19；
@free(T19)；
T0*(0.965926230288661)+N0*(-0.258817537350806)+T11*(0.560732597761108)+N11*(-0.827996952777049)+(0)＝0；
T0*(0.258817537350806)+N0*(0.965926230288661)+T11*(0.827996952777049)+N11*(0.560732597761108)+(0)＝0；
T1*(0.965925187358162)+N1*(-0.258821429613354)+T12*(0.258819483467972)+N12*(-0.965925708829293)+T11*(-0. 560732597761108)+N11*(0.827996952777049)+(0)＝0；
T1*(0.258821429613354)+N1*(0.965925187358162)+T12*(0.965925708829293)+N12*(0.258819483467972)+T11*(-0.8 27996952777049)+N11*(-0.560732597761108)+(0)＝0；
T2*(0.939703490812261)+N2*(-0.341990276696943)+T13*(0.131017132462153)+N13*(-0.991380104198886)+T12*(-0. 258819483467972)+N12*(0.965925708829293)+(0)＝0；
T2*(0.341990276696943)+N2*(0.939703490812261)+T13*(0.991380104198886)+N13*(0.131017132462153)+T12*(-0.9 65925708829293)+N12*(-0.258819483467972)+(0)＝0；
T3*(0.907393133967368)+N3*(-0.42028288143687)+T14*(0)+N14*(-1)+T13*(-0.131017132462153)+N13*(0.99138010 4198886)+(0)＝0；
T3*(0.42028288143687)+N3*(0.907393133967368)+T14*(1)+N14*(0)+T13*(-0.991380104198886)+N13*(-0.131017132 462153)+(0)＝0；
T4*(0.840287061071742)+N4*(-0.542141729620045)+T15*(-0.125122683359792)+N15*(-0.992141277293131)+T14*(0) +N14*(1)+(0)＝0；
T4*(0.542141729620045)+N4*(0.840287061071742)+T15*(0.992141277293131)+N15*(-0.125122683359792)+T14*(-1) +N14*(0)+(0)＝0；
T5*(0.746390560104271)+N5*(-0.66550817559759)+T16*(-0.25881628662981)+N16*(-0.965926565415382)+T15*(0.12 5122683359792)+N15*(0.992141277293131)+(0)＝0；
T5*(0.66550817559759)+N5*(0.746390560104271)+T16*(0.965926565415382)+N16*(-0.25881628662981)+T15*(-0.992 141277293131)+N15*(0.125122683359792)+(0)＝0；
T6*(0.638387191600143)+N6*(-0.769715397793809)+T17*(-0.383301199516479)+N17*(-0.923623402935)+T16*(0.258 81628662981)+N16*(0.965926565415382)+(0)＝0；
T6*(0.769715397793809)+N6*(0.638387191600143)+T17*(0.923623402935)+N17*(-0.383301199516479)+T16*(-0.9659 26565415382)+N16*(0.25881628662981)+(0)＝0；
T7*(0.580246263500818)+N7*(-0.814441080553615)+T18*(-0.499997122379048)+N18*(-0.866027065173295)+T17*(0. 383301199516479)+N17*(0.923623402935)+(0)＝0；
T7*(0.814441080553615)+N7*(0.580246263500818)+T18*(0.866027065173295)+N18*(-0.499997122379048)+T17*(-0.9 23623402935)+N17*(0.383301199516479)+(0)＝0；
T8*(0.500020803982971)+N8*(-0.866013392266092)+T19*(-0.866024216220448)+N19*(-0.500002056915528)+T18*(0. 499997122379048)+N18*(0.866027065173295)+(0)＝0；
T8*(0.866013392266091)+N8*(0.500020803982971)+T19*(0.500002056915528)+N19*(-0.866024216220448)+T18*(-0.8 66027065173295)+N18*(0.499997122379048)+(0)＝0；
T9*(0.499991817508913)+N9*(-0.86603012789633)+T19*(0.866024216220448)+N19*(0.500002056915528)+(0)＝0；
T9*(0.86603012789633)+N9*(0.499991817508913)+Q*(-8.1625)+T19*(-0.500002056915528)+N19*(0.866024216220 448)+(0)＝0；
最后，执行上述程序，计算求得图2所示的二维边坡极限荷载q＝1094.402，接近理想值q＝1091.417，从而验证本发明提出极限荷载计算方法的准确性。
发明根据极限分析下限定理，不引入除刚性块体外的假定，通过优化方法得到最优解，真实、客观地反应了设计二维边坡的极限荷载。另外，本发明设计的块分系统简化后可回归到条分系统，块分系统可以考虑条块内部边界的作用，能够适应更为复杂的破坏模式。
Claims (6)
1.一种基于极限分析下限定理的二维边坡极限荷载求解方法，其特征在于：它包括如下步骤：
S1：根据边坡尺寸、地质条件，构建二维边坡的块分模型；
S2：基于二维边坡的块分模型，结合边坡岩土体材料特性，建立基于线段的变量体系；
S3：根据极限分析下限定理，基于二维边坡的块分模型和基于线段的变量体系，推导出二维边坡极限荷载的优化算法表达式；
S4：通过优化算法表达式，求解二维边坡的极限荷载系数，评价边坡极限荷载。
2.根据权利要求1所述的基于极限分析下限定理的二维边坡极限荷载求解方法，其特征在于：所述步骤S1包括如下步骤：
S1.1：寻找边坡的几何边界、材料分界、结构面分界、地下水位线等任意边界，然后用点和线段描述这些边界；
寻找到边坡的各种边界后，在每条边界上标注出若干个点，并按顺序对这些点进行编号；然后，按顺序编号表示边界的线段；
S1.2：根据所有以线段描述的边界及预设边界将边坡划分成若干个二维块体，建立二维块分模型，每个二维块体按顺序编号，每个二维块体由若干段线段按顺序描述；
在对边坡划分的二维块体描述时，二维块体、描述二维块体的线段、描述线段的点均按相同顺序、独立编号；当描述块体的线段方向与线段编号系统中存储的起点终点方向相反时，该线段编号前加-。
3.根据权利要求2所述的基于极限分析下限定理的二维边坡极限荷载求解方法，其特征在于：所述顺序可以是按顺时针方向，也可以按照逆时针方向。
4.根据权利要求2所述的基于极限分析下限定理的二维边坡极限荷载求解方法，其特征在于：所述步骤S2包括如下步骤：
S2.1：根据边坡极限荷载，定义极限荷载变量q，表示作用在边坡顶面的均布荷载；
S2.2描述边界受力特征的变量系统，分别建立每条边界局部坐标系，以边界指向块体内部的垂线方向为N轴，受到的法向力为Ni；以边界前进方向为T轴，受到的切向力Ti；i为表示边界的线段编号；
S2.3确定边界作用点的比例系数ri，比例系数ri表示边界作用点位置在边界线段上的比例，边界作用点坐标可以通过下式求得。
式中xri、yri为第i条边界上作用点坐标，x0i、y0i为第i条边界的起点坐标，x1i、y1i为第i条边界的终点坐标。
5.根据权利要求4所述的基于极限分析下限定理的二维边坡极限荷载求解方法，其特征在于：所述步骤S3包括如下步骤：
S3.1：根据极限分析下限定理，建立目标函数，求二维边坡的荷载的最大值：
f＝max(q) (2)
S3.2：根据极限分析下限定理中条件(a)平衡方程，建立二维块分模型中每一个块体的力和力矩的平衡方程，具体计算公式如下：
式中Fxj、Fyj分别为块体j在x、y方向上的合力；
Mj为块体j重心弯矩；Gxj、Gyj为块体j分别在x、y方向所受体积力；dti为块体j重心到边界的垂直距离，可通过集合关系直接求得；ri为作用点位置在边界线段上的比例，为未知量；gri为块体j重心投影到边界线段上的比例，可根据几何关系求得
li为线段i的方向导数；lxi为线段i单位向量在x方向的方向导数；lyi为线段i单位向量在y方向的方向导数；qx、qy分别为极限荷载在x、y方向上的分量，dqx、dqy分别为极限荷载作用点到重心的x、y向的距离；等式方程(3)与块体对应，每个块体一组等式方程；
S3.3：根据极限分析下限定理中条件(b)屈服准则，建立每一个块体边界满足摩尔库仑屈服条件，如下式所示：
式中Ti为边界切向力，沿块体边界顺时针旋转为正；Ni为边界法向力，指向块体内部为正，且Ni＞0；ci分别为边界强度参数内摩擦角和黏聚力；li为表示边界的线段i的长度。除外破面临空边界外，不等式方程与边界一一对应，每条边界对应一组不等式方程；
S3.4建立一般性约束条件：通常认为岩土体材料不受拉力，数学表达为法向力总是指向块体内部；边界上的作用点落在边界线段内部，不会超出边界线段范围，约束条件如下式所示：
Ni≥0 (5)
0≤ri≤1 (6)
式中Ni≥0表示岩土体为不受拉材料，法向力不会指向块体外部；0≤ri≤1表示边界荷载作用点作用在边界内部，不会超出边界自身范围。
6.根据权利要求5所述的基于极限分析下限定理的二维边坡极限荷载求解方法，其特征在于：所述步骤S4可以通过输出常用的优化求解算法计算文件，也可通过编程软件编制优化算法求得二维边坡极限荷载系数。
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