CN109884894A - 电液助力转向系统神经网络积分滑模控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出一种电液助力转向系统神经网络积分滑模控制方法，包括以下步骤：建立电液助力转向系统的数学模型；基于滑模方法和智能控制理论设计得到自适应RBF神经网络积分滑模控制器。本发明采用非线性积分滑模技术作为基本控制方法，其切换性能够使得控制系统对参数不确定性及外部干扰具有很强的鲁棒性，通过结合自适应RBF神经网络的方法实时逼近电液助力转向系统的动态行为，所设计的控制方法不仅不必推导适用于控制器设计所需的精确数学表达式，同时也不再需要泵源压力、工作压力和左、右侧轮胎阻力矩的测量。最终，所设计的神经网络积分滑模控制方法对模型不确定性和外部时变干扰具有很强的鲁棒性，并且能够及时、准确地跟踪电液助力转向系统的给定期望指令。

Description

电液助力转向系统神经网络积分滑模控制方法

技术领域

本发明涉及电液助力转向控制技术领域，尤其涉及一种电液助力转向系统神经网络积分滑模控制方法。

背景技术

随着重型车辆转向系统对低速灵活性和高速稳定性要求的不断提高，电液助力转向系统以其动态响应快、输出力/转矩大被广泛应用于重型车辆。然而电液助力转向系统是一类复杂而又有代表性的系统，通常由转向机构、阀控双转向助力缸和轮胎转向动态组成。此外，整个系统各部分之间的耦合关系进一步增加了控制系统的复杂性，模型不确定性和外界未知干扰也使得实际轮胎转角更难以及时准确地跟踪给定期望指令。因此，如何设置一种有效的鲁棒控制器来保证电液助力转向系统操作的稳定性和精确性仍然是一个重大的挑战。

积分滑模控制不仅是非线性控制理论中的一种典型技术，同时也是解决转向跟踪控制问题的一种极其有潜力的方法。近几十年的研究表明，积分滑模方法是一种有效的处理匹配参数不确定性和外部扰动的鲁棒非线性控制方法。凭借积分滑模面的特殊特性，积分滑模控制不仅保证了系统运行初始时间的鲁棒性，而且与传统滑模方法相比进一步减小了稳态误差。因此，采用积分滑模方法去控制跟踪给定期望指令是电液助力转向系统的一种较好选择。

然而，虽然积分滑模方法能够有效地解决电液助力转向系统高度的非线性问题，但控制器设置所需的系统数学模型表达式严重制约了控制性能的进一步提高。

发明内容

本发明的目的在于提供一种鲁棒性强、跟踪性能高的电液助力转向系统自适应RBF神经网络积分滑模控制方法。本发明通过径向基神经网络(RBF神经网络，在不需要精确了解整个系统结构和相关参数的情况下重建电液助力转向系统整体动力学行，并通过将RBF神经网络与自适应参数更新技术相结合来获得一种自适应RBF神经网络控制方法，便可实现电液助力转向系统对给定期望指令跟踪控制过程中权重的连续自适应更新。

本发明具体采用以下技术方案：

一种电液助力转向系统神经网络积分滑模控制方法，其特征在于,包括以下步骤：

步骤1：建立电液助力转向系统的数学模型；

步骤2：基于滑模方法和智能控制理论获得自适应RBF神经网络积分滑模控制器。

优选地，步骤1具体包括以下步骤：

步骤11：对于通过伺服比例阀控制双转向助力缸驱动轮胎转动电液的助力转向系统：

左、右轮胎转向角之间的关系表示为：

式(1)中，α和β分别为左、右侧轮胎的转向角度，m为转向节臂的长度，L为拉杆长度，γ为转向臂与轴横梁的夹角，B为单轴两主销间的距离。

电液助力转向系统的拉格朗日方程为：

式(2)～(9)中，T为系统的动能；D为系统的耗散能；Q为对应广义坐标的广义力；J_L和J_R分别为左、右侧轮胎及其附属结构(包括：轮毂、转向节及转向节臂)的等效转动惯量；C_L和C_R分别为左、右侧轮胎及其附属结构的等效阻尼系数；F_L和F_R分别为左右两个助力缸的助力；n为转向缸动作点与主销间的距离；v_L和v_R分别为左、右侧转向节臂上转向助力缸驱动力作用点的速度，且被定义为θ₃'和θ₃分别为左右两侧转向助力缸作用力与作用点速度的夹角；T_L和T_R分别为左、右侧轮胎的所有阻力矩之和；是由机构运动学关系导出的变量；

步骤12：由式(1)～(9)推导获得：

步骤13：对电液助力转向系统的液压系统进行简化：设油箱压力为零，并忽略伺服比例阀与助力缸之间的距离(考虑到伺服比例阀与助力缸之间的距离较短，其长度对系统的影响可以忽略不计)；

则电液助力转向系统的液压系统模型简化为：

式(11)中，q₁为流入两转向助力缸的流量，q₂为流出两转向助力缸的流量，a和A分别为转向助力缸有杆腔和无杆腔的面积，x_L和x_R分别为左、右侧转向助力缸活塞的位移，并定义向左移为正方向，C_ip为转向助力缸内泄漏系数，C_ep为转向助力缸外泄漏系数，p_s为伺服比例阀的进油压力，p₁为伺服比例阀A口的工作压力，p₂为伺服比例阀B口的工作压力，V_t为每一个转向助力缸的总容积，β_e为有效体积弹性模量，C_d为伺服比例阀各节流口的流量系数，w₁和w₂为伺服比例阀各节流口的面积梯度，ρ为液压油的密度；

步骤14：根据现代控制理论，将电液助力转向系统视为一个以阀口开度x_v为输入u，右轮转向角β为输出y的单输入单输出系统：

对式(10)进行求导，把和中的和用式(11)中的和代替，并把式(11)前两个式子的q₁和q₂用式(11)中的后两个式子代替；

选取状态变量为电液助力转向系统总干扰为d_T，获得电液助力转向系统状态变量与输入的内在关系为：

则电液助力转向系统的状态空间方程写为：

式(13)即为电液助力转向系统模型的正则形式。

优选地，所述自适应RBF神经网络积分滑模控制器对于给定的系统参考指令信号y_d(t)＝x_1d(t)，有一个控制输入u(t)，使系统的输出y＝x₁能够跟踪所给的指令信号。

步骤2具体包括以下步骤：

步骤21:根据式(13)给出的电液助力转向系统数学模型的正则形式，设置积分滑动面为：

式(14)中，λ＞0，为跟踪误差；

定义滑模面中的增益为k₁＝3λ,k₂＝3λ²,k₃＝λ³，则积分滑模面为：

步骤22:对式(15)求导，获得电液助力转向系统的滑动模态为：

并从式(16)中分离目标信号的最高阶导数，即

为简化表达式，定义：

则式(17)记为：

步骤23:为实现连续的控制，即基于电液助力转向系统的正则形式式(13)，选择等效控制律为：

为满足到达滑模面s＝0的条件，即在等效控制律中增加一个切换项，设置控制率为：

式(21)中，k₄＝D_T+η,η≥0，|d_T(t)|≤D_T，

步骤24：为了进一步提高趋近运动阶段系统的动态品质，采用指数逼近律来使得转向系统能更好地应对突发性间歇扰动等外部扰动，并采用饱和函数代替符号函数来减弱滑模方法固有的抖振问题，将积分滑模控制率(ISMC)设置为：

式(23)中，k₅＞0；

式(24)中，Φ为边界层，在边界层外，采用切换控制，在边界层内，采用线性化反馈控制；

步骤25：对于式(23)，f(x)所含不确定性包括左、右轮的阻力矩T_L,T_R，g(x)所含不确定性包括需要传感器连续测量的泵源压力p_s以及阀口A、B的工作压力p₁,p₂，因此该电液助力转向系统模型是不确定的非线性函数，并需要实时动态逼近其表达式。本发明采用自适应RBF神经网络分别逼近不确定项f(x)和g(x)：

其采用的RBF神经网络的算法为：

f(·)＝w^*Th_f(x)+ε_f (26)

g(·)＝v^*Th_g(x)+ε_g (27)

式(25)～(27)中，i表示网络输入层的输入数，j表示网络隐含层数，w^*和v^*分别为所逼近表达式f(x)和g(x)的理想神经网络权重值，ε_f和ε_g分别为神经网络的逼近误差，并定义|ε_f|≤ε_Mf，|ε_g|≤ε_Mg；

为了使所设计的控制方法更好地应对多变的行驶工况和未知的负载扰动，并且避免复杂的权值训练，采用参数更新技术以实现在转向跟踪控制过程中权值的连续自适应更新，定义RBF神经网络输入为x＝[x₁ x₂ x₃]^T，则其估计输出可表示为：

式(28)～(29)中，h_f(x)和h_g(x)为RBF神经网络的高斯基函数；

步骤26：基于李雅普诺夫定理，设置RBF神经网络的自适应律：

式(30)～(31)中，γ₁＞0,γ₂＞0；

基于式(23)、(28)和(29)获得自适应RBF神经网络积分滑模控制器(ARBFNN-ISMC)：

本发明还提供了对上述获得的自适应RBF神经网络积分滑模控制器进行性能及稳定性验证分析的具体方案：

结合式(19)和(32)，可得滑动模态为：

式(33)中，且有：

为了分析电液助力转向控制系统的稳定性，选取如下李雅普诺夫函数：

对式(36)求导可得：

式(37)中，

基于式(21)、(30)和(31)，对式(37)进一步推导：

选取控制器的参数保证以下不等式：

k₅|s|≥ε_Mf+ε_Mg|u|+η (39)

则得以证明。

由对上述获得的自适应RBF神经网络积分滑模控制器进行性能及稳定性验证分析可知，在李雅普诺夫理论意义下，本发明提供的的电液助力转向系统是稳定的，自适应RBF神经网络积分滑模控制器能够保证闭环系统中所有信号最终一致有界，并能使跟踪误差任意小。

本发明采用非线性积分滑模技术作为基本控制方法，其切换性能够使得控制系统对参数不确定性及外部干扰具有很强的鲁棒性，通过结合自适应RBF神经网络的方法实时逼近电液助力转向系统的动态行为，所设计的控制方法不仅不必推导适用于控制器设计所需的精确数学表达式，同时也不再需要泵源压力、工作压力和左、右侧轮胎阻力矩的测量。最终，所设计的神经网络积分滑模控制方法对模型不确定性和外部时变干扰具有很强的鲁棒性，并且能够及时、准确地跟踪电液助力转向系统的给定期望指令。

附图说明

下面结合附图和具体实施方式对本发明进一步详细的说明：

图1为电液助力转向系统结构示意图。

图2为本发明实施例实现的自适应RBF神经网络积分滑模控制器应用场景结构框图。

图3为本发明实施例轮胎阻力矩与转角之间的关系示意图。

图4为本发明实施例在自适应RBF神经网络积分滑模控制器作用下系统输出对给定期望指令的跟踪曲线示意图。

图5为本发明实施例在自适应RBF神经网络积分滑模控制器作用下跟踪误差曲线示意图。

图6为本发明实施例在自适应RBF神经网络积分滑模控制器作用下系统控制输入随时间变化的曲线示意图。

具体实施方式

为让本专利的特征和优点能更明显易懂，下文特举实施例，并配合附图，作详细说明如下：

本实施例在仿真系统中取如下参数对电液助力转向系统进行建模：

如图1、图2所示，在电液助力转向系统当中，转向节臂的长度m＝0.36m，转向缸动作点与主销间的距离n＝0.21m，单轴两主销间的距离B＝2.0596m，拉杆长度L＝1.8854m，转向臂与轴横梁的夹角γ＝76°，左、右侧轮胎及其附属结构的等效转动惯量J_L＝J_R＝143.1kg·m²，左、右侧轮胎等结构的等效阻尼系数C_L＝C_R＝4×10³N/rad，转向助力缸有杆腔面积a＝0.0029m²，转向助力缸无杆腔面积A＝0.0038m²，每一个转向助力缸的总容积V_t＝0.002m³，液压油的有效体积弹性模量β_e＝700×10⁶Pa，液压油的密度ρ＝870kg/m³，转向助力缸内泄漏系数C_ip＝4×10^-13m³/(s·Pa)，转向助力缸外泄漏系数C_ep＝4×10^-14m³/(s·Pa)，伺服比例阀各节流口的流量系数C_d＝0.62，伺服比例阀各节流口的面积梯度w₁＝w₂＝0.0364m，伺服比例阀的进油压力p_s＝13MPa。

假设轮胎从-20°转到20°需要3.4s，选取电液助力转向系统的期望指令为x_1d＝20sin(2π/6.8×t)，并对期望指令的初始阶段进行光滑过渡处理。

其中自适应RBF神经网络积分滑模控制器的建立过程包括以下步骤：

步骤1：建立电液助力转向系统的数学模型；

步骤2：基于滑模方法和智能控制理论获得自适应RBF神经网络积分滑模控制器。

其中，步骤1具体包括以下步骤：

步骤11：对于通过伺服比例阀控制双转向助力缸驱动轮胎转动电液的助力转向系统：

左、右轮胎转向角之间的关系表示为：

式(1)中，α和β分别为左、右侧轮胎的转向角度，m为转向节臂的长度，L为拉杆长度，γ为转向臂与轴横梁的夹角，B为单轴两主销间的距离。

电液助力转向系统的拉格朗日方程为：

式(2)～(9)中，T为系统的动能；D为系统的耗散能；Q为对应广义坐标的广义力；J_L和J_R分别为左、右侧轮胎及其附属结构，包括：轮毂、转向节及转向节臂的等效转动惯量；C_L和C_R分别为左、右侧轮胎及其附属结构的等效阻尼系数；F_L和F_R分别为左右两个助力缸的助力；n为转向缸动作点与主销间的距离；v_L和v_R分别为左、右侧转向节臂上转向助力缸驱动力作用点的速度，且被定义为θ₃'和θ₃分别为左右两侧转向助力缸作用力与作用点速度的夹角；T_L和T_R分别为左、右侧轮胎的所有阻力矩之和；是由机构运动学关系导出的变量；

步骤12：由式(1)～(9)推导获得：

步骤13：对电液助力转向系统的液压系统进行简化：设油箱压力为零，并忽略伺服比例阀与助力缸之间的距离(考虑到伺服比例阀与助力缸之间的距离较短，其长度对系统的影响可以忽略不计)；

则电液助力转向系统的液压系统模型简化为：

式(11)中，q₁为流入两转向助力缸的流量，q₂为流出两转向助力缸的流量，a和A分别为转向助力缸有杆腔和无杆腔的面积，x_L和x_R分别为左、右侧转向助力缸活塞的位移，并定义向左移为正方向，C_ip为转向助力缸内泄漏系数，C_ep为转向助力缸外泄漏系数，p_s为伺服比例阀的进油压力，p₁为伺服比例阀A口的工作压力，p₂为伺服比例阀B口的工作压力，V_t为每一个转向助力缸的总容积，β_e为有效体积弹性模量，C_d为伺服比例阀各节流口的流量系数，w₁和w₂为伺服比例阀各节流口的面积梯度，ρ为液压油的密度；

步骤14：根据现代控制理论，将电液助力转向系统视为一个以阀口开度x_v为输入u，右轮转向角β为输出y的单输入单输出系统：

对式(10)进行求导，把和中的和用式(11)中的和代替，并把式(11)前两个式子的q₁和q₂用式(11)中的后两个式子代替；

选取状态变量为电液助力转向系统总干扰为d_T，获得电液助力转向系统状态变量与输入的内在关系为：

则电液助力转向系统的状态空间方程写为：

式(13)即为电液助力转向系统模型的正则形式。

自适应RBF神经网络积分滑模控制器对于给定的系统参考指令信号y_d(t)＝x_1d(t)，有一个控制输入u(t)，使系统的输出y＝x₁能够跟踪所给的指令信号。

步骤2具体包括以下步骤：

步骤21:根据式(13)给出的电液助力转向系统数学模型的正则形式，设置积分滑动面为：

式(14)中，λ＞0，为跟踪误差；

定义滑模面中的增益为k₁＝3λ,k₂＝3λ²,k₃＝λ³，则积分滑模面为：

步骤22:对式(15)求导，获得电液助力转向系统的滑动模态为：

并从式(16)中分离目标信号的最高阶导数，即

为简化表达式，定义：

则式(17)记为：

步骤23:为实现连续的控制，即基于电液助力转向系统的正则形式式(13)，选择等效控制律为：

为满足到达滑模面s＝0的条件，即在等效控制律中增加一个切换项，设置控制率为：

式(21)中，k₄＝D_T+η,η≥0，|d_T(t)|≤D_T，

步骤24：为了进一步提高趋近运动阶段系统的动态品质，采用指数逼近律来使得转向系统能更好地应对突发性间歇扰动等外部扰动，并采用饱和函数代替符号函数来减弱滑模方法固有的抖振问题，将积分滑模控制率(ISMC)设置为：

式(23)中，k₅＞0；

式(24)中，Φ为边界层，在边界层外，采用切换控制，在边界层内，采用线性化反馈控制；

步骤25：对于式(23)，f(x)所含不确定性包括左、右轮的阻力矩T_L,T_R，g(x)所含不确定性包括需要传感器连续测量的泵源压力p_s以及阀口A、B的工作压力p₁,p₂，因此该电液助力转向系统模型是不确定的非线性函数，并需要实时动态逼近其表达式。本发明采用自适应RBF神经网络分别逼近不确定项f(x)和g(x)：

其采用的RBF神经网络的算法为：

f(·)＝w^*Th_f(x)+ε_f (26)

g(·)＝v^*Th_g(x)+ε_g (27)

式(25)～(27)中，i表示网络输入层的输入数，j表示网络隐含层数，w^*和v^*分别为所逼近表达式f(x)和g(x)的理想神经网络权重值，ε_f和ε_g分别为神经网络的逼近误差，并定义|ε_f|≤ε_Mf，|ε_g|≤ε_Mg；

为了使所设计的控制方法更好地应对多变的行驶工况和未知的负载扰动，并且避免复杂的权值训练，采用参数更新技术以实现在转向跟踪控制过程中权值的连续自适应更新，定义RBF神经网络输入为x＝[x₁ x₂ x₃]^T，则其估计输出可表示为：

式(28)～(29)中，h_f(x)和h_g(x)为RBF神经网络的高斯基函数；

步骤26：基于李雅普诺夫定理，设置RBF神经网络的自适应律：

式(30)～(31)中，γ₁＞0,γ₂＞0；

基于式(23)、(28)和(29)获得自适应RBF神经网络积分滑模控制器(ARBFNN-ISMC)：

本实施例还提供了对上述获得的自适应RBF神经网络积分滑模控制器进行性能及稳定性验证分析的具体方案：

结合式(19)和(32)，可得滑动模态为：

式(33)中，且有：

为了分析电液助力转向控制系统的稳定性，选取如下李雅普诺夫函数：

对式(36)求导可得：

式(37)中，

基于式(21)、(30)和(31)，对式(37)进一步推导：

选取控制器的参数保证以下不等式：

k₅|s|≥ε_Mf+ε_Mg|u|+η (39)

则得以证明。

为了更好地模拟车辆的转向过程，在闭环仿真模型中加入了简化的轮胎转向阻力矩。图3显示了轮胎阻力矩与转角之间的关系。

自适应RBF神经网络积分滑模控制器参数：λ＝200，k₄＝2000，Φ＝6，k₅＝50，γ₁＝1200，γ₂＝8.5×10¹⁰，c_ij＝[-1 -0.5 0 0.5 1；-1 -0.5 0 0.5 1；-1 -0.5 0 0.5 1]，b_j＝6。

自适应RBF神经网络积分滑模控制器作用下系统输出对给定期望指令的跟踪曲线、跟踪误差曲线以及系统控制输入随时间变化的曲线分别如图4、图5和图6。

本专利不局限于上述最佳实施方式，任何人在本专利的启示下都可以得出其它各种形式的电液助力转向系统神经网络积分滑模控制方法，凡依本发明申请专利范围所做的均等变化与修饰，皆应属本专利的涵盖范围。

Claims (3)

1.一种电液助力转向系统神经网络积分滑模控制方法，其特征在于,包括以下步骤：

步骤1：建立电液助力转向系统的数学模型；

步骤2：基于滑模方法和智能控制理论获得自适应RBF神经网络积分滑模控制器。

2.根据权利要求1所述的电液助力转向系统神经网络积分滑模控制方法，其特征在于，步骤1具体包括以下步骤：

步骤11：对于通过伺服比例阀控制双转向助力缸驱动轮胎转动电液的助力转向系统：

左、右轮胎转向角之间的关系表示为：

式(1)中，α和β分别为左、右侧轮胎的转向角度，m为转向节臂的长度，L为拉杆长度，γ为转向臂与轴横梁的夹角，B为单轴两主销间的距离。

电液助力转向系统的拉格朗日方程为：

式(2)～(9)中，T为系统的动能；D为系统的耗散能；Q为对应广义坐标的广义力；J_L和J_R分别为左、右侧轮胎及其附属结构的等效转动惯量；C_L和C_R分别为左、右侧轮胎及其附属结构的等效阻尼系数；F_L和F_R分别为左右两个助力缸的助力；n为转向缸动作点与主销间的距离；v_L和v_R分别为左、右侧转向节臂上转向助力缸驱动力作用点的速度，且被定义为θ₃'和θ₃分别为左右两侧转向助力缸作用力与作用点速度的夹角；T_L和T_R分别为左、右侧轮胎的所有阻力矩之和；是由机构运动学关系导出的变量；

步骤12：由式(1)～(9)推导获得：

步骤13：对电液助力转向系统的液压系统进行简化：设油箱压力为零，忽略伺服比例阀与助力缸之间的距离；

则电液助力转向系统的液压系统模型简化为：

式(11)中，q₁为流入两转向助力缸的流量，q₂为流出两转向助力缸的流量，a和A分别为转向助力缸有杆腔和无杆腔的面积，x_L和x_R分别为左、右侧转向助力缸活塞的位移，并定义向左移为正方向，C_ip为转向助力缸内泄漏系数，C_ep为转向助力缸外泄漏系数，p_s为伺服比例阀的进油压力，p₁为伺服比例阀A口的工作压力，p₂为伺服比例阀B口的工作压力，V_t为每一个转向助力缸的总容积，β_e为有效体积弹性模量，C_d为伺服比例阀各节流口的流量系数，w₁和w₂为伺服比例阀各节流口的面积梯度，ρ为液压油的密度；

步骤14：根据现代控制理论，将电液助力转向系统视为一个以阀口开度x_v为输入u，右轮转向角β为输出y的单输入单输出系统：

对式(10)进行求导，把和中的和用式(11)中的和代替，并把式(11)前两个式子的q₁和q₂用式(11)中的后两个式子代替；

选取状态变量为电液助力转向系统总干扰为d_T，获得电液助力转向系统状态变量与输入的内在关系为：

则电液助力转向系统的状态空间方程写为：

3.根据权利要求2所述的电液助力转向系统神经网络积分滑模控制方法，其特征在于，所述自适应RBF神经网络积分滑模控制器对于给定的系统参考指令信号y_d(t)＝x_1d(t)，有一个控制输入u(t)，使系统的输出y＝x₁跟踪所给的指令信号；步骤2具体包括以下步骤：

步骤21:根据电液助力转向系统数学模型的正则形式，设置积分滑动面为：

式(14)中，λ＞0，为跟踪误差；

定义滑模面中的增益为k₁＝3λ,k₂＝3λ²,k₃＝λ³，则积分滑模面为：

步骤22:对式(15)求导，获得电液助力转向系统的滑动模态为：

并从式(16)中分离目标信号的最高阶导数，即

为简化表达式，定义：

则式(17)记为：

步骤23:为实现连续的控制，即基于电液助力转向系统的正则形式式(13)，选择等效控制律为：

为满足到达滑模面s＝0的条件，即在等效控制律中增加一个切换项，设置控制率为：

式(21)中，k₄＝D_T+η,η≥0，|d_T(t)|≤D_T，

步骤24：采用指数逼近律以及饱和函数代替符号函数，将积分滑模控制率(ISMC)设置为：

式(23)中，k₅＞0；

式(24)中，Φ为边界层，在边界层外，采用切换控制，在边界层内，采用线性化反馈控制；

步骤25：采用自适应RBF神经网络分别逼近不确定项f(x)和g(x)：

其中，RBF神经网络的算法为：

f(·)＝w^*Th_f(x)+ε_f (26)

g(·)＝v^*Th_g(x)+ε_g (27)

式(25)^～(27)中，i表示网络输入层的输入数，j表示网络隐含层数，w^*和v^*分别为所逼近表达式f(x)和g(x)的理想神经网络权重值，ε_f和ε_g分别为神经网络的逼近误差，并定义|ε_f|≤ε_Mf，|ε_g|≤ε_Mg；

定义RBF神经网络输入为x＝[x₁x₂x₃]^T，则其估计输出可表示为：

式(28)^～(29)中，h_f(x)和h_g(x)为RBF神经网络的高斯基函数；

步骤26：基于李雅普诺夫定理，设置RBF神经网络的自适应律：

式(30)～(31)中，γ₁＞0,γ₂＞0；

基于式(23)、(28)和(29)获得自适应RBF神经网络积分滑模控制器(ARBFNN-ISMC)：