CN109871625A - 基于Johnson变换的非高斯风压模拟方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于Johnson变换的非高斯风压模拟方法，包括以下步骤：首先介绍了Johnson传递模型及参数估计方法；然后介绍了基于谱方法对高斯过程的模拟；进而基于Johnson传递模型推导了非高斯过程的相关系数的显式表达式；最后给出了模拟的整个流程并用数值算例和Hermite模型进行了全面的对比。本发明可以模拟偏度和峰度在Hermite可行区外的非高斯过程，且对硬化和软化都能适用，并具有适用区域大且精度也较高的特点，解决了Hermite可行区有限的问题。

Description

基于Johnson变换的非高斯风压模拟方法

技术领域

本发明属于非高斯过程模拟领域，特别是基于Johnson变换的由高斯过程向强非高斯过程转换的建筑物风压模拟方法。

背景技术

风压作为风荷载的一种重要形式，在建筑设计尤其是屋盖设计中发挥着重要的作用。研究表明，迎风区域的风压可以用高斯分布来描述，而分离区域的风压表现为弱到强的非高斯性(Holmes 1981)。在估算极端风压和荷载效应以及屋盖和构件的疲劳损伤时，风压模拟是行之有效的一种方法(e.g.,Gioffre et al.2000)。除模拟外，还可以直接估算风压极值。这些研究引起了风工程的高度重视。在有限持续时间的非高斯风压的模拟和峰值估计中， Grigoriu(1984)的移动平均过程法得到了广泛的应用(e.g.,Gurley et al.1996；Gioffre et al.2000； Sadek and Simiu 2002；Yang and Tian 2015；Liu et al.2017)。其中，由Winterstein(1988)提出的基于非高斯过程的前四阶统计量的Hermite多项式模型(HPM)因其简单易用在模拟(Gong and Chen 2014)以及极值估计(Ding and Chen 2014；Huang et al.2017)中得到了广泛应用。具体地，该模型包括了由高斯过程分别向软化(峰度>3)和硬化(峰度<3)非高斯过程的转换模型。下面对其进行分别回顾。

针对软化过程,Winterstein(1988)导出了Hermite模型的解析解(称该模型为SHM)。该解析式的形式简单，易于使用。Kareem and Zhao(1994)利用该模型推导出了软化非高斯过程的极值分布和峰值因子。研究表明对于强非高斯软化过程，SHM的精度不高(e.g.,Chen and Huang 2009)。为了提高计算精度，Ditlevsen et al.(1996)和Tognarelliet et al.(1997)推导出了获得这些参数的非线性方程组(称该模型为MHM)。通过对非线性方程组进行迭代可得到Hermite模型参数。然而，非线性方程组需要通过迭代求解，较为复杂和耗时，不便于应用。为了避免迭代求解，同时确保较高的精度，Winterstein和Kashef(2000)提出了计算Hermite模型参数更为精确的解析式(RHM)。Kwon and Kareem(2011)基于MHM和RHM对强非高斯风压数据的峰值因子进行了估计，表明估计的峰值因子比RHM更加接近观测值。然而，Winterstein和 Kashef(2000)提出的解析式仅适用于数据峰度值在3～15之间的情况，无法考虑更强的非高斯性情况，而这些情况可能影响结构的安全。最近，Yang et al.(2013)提出了适用范围比RHM 更大的计算Hermite模型参数的解析表达式。Huang et al.(2017)提出了计算风压极值的半经验公式。针对硬化过程，一阶Hermite模型(HHM)经常被运用(e.g.,Winterstein 1988；Huang et al. 2013)。然而，上述模型不适用于偏态非高斯过程的硬化。此外,该模型在高度倾斜但峰度接近3的情况下表现不佳。对于具有偏度的硬化过程，HHM精度较差。为了更好地建立高斯过程向非高斯硬化过程的转化关系，Ding和Chen(2015)提出了一种新的基于矩的硬化过程多项式模型(PMH)。

最近，Johnson转换模型(JTM)被用来建立高斯过程与非高斯过程之间的显式映射关系。相对于Hermite模型，Johnson转换模型的可行区更广，可涵盖整个Pearson系统中的区域。这就意味着对于所有的非高斯，Johnson转换模型都是适用的。Li and Li(2011)采用AR模型，基于Johnson转换模型对非高斯风速进行了模拟。Ma and Xu(2017)基于Johnson转换模型提出了一种估计非高斯风压的峰值因子的方法。目前，对于Johnson转换模型在非高斯过程的模拟方面还缺少较为系统的研究。

发明内容

本发明目的是提供一种基于Johnson变换的非高斯风压模拟方法，旨在模拟偏度和峰度在Hermite可行区外的非高斯过程，且对硬化和软化都能适用，并具有适用区域大且精度也较高的特点，解决了Hermite可行区有限的问题。

本发明的目的是这样实现的：一种基于Johnson变换的非高斯风压模拟方法，步骤如下：

步骤1：非高斯的Johnson变换模型

Suppose Y(t)是均值为μ_Y和标准差为σ_Y的非高斯风压过程。标准非高斯过程 X(t)＝[Y(t)-μ_Y]/σ_Y可以转换为平稳标准高斯过程Z(t)然后再表示为(Grigoriu 1998)

x(t)＝g[z(t)] (1)

在这里F_X是X(t)的累积分布函数；是F_X的反函数；Φ_Z(·)为Z(t)的累积分布函数。

Johnson(1949)基于中心极限定理并参照Perason的四参数系统，提出了一种能够将标准高斯序列Z(t)转换为非高斯序列X(t)的四参数转换模型，该模型被称为Johnson转化模型。一般地，Johnson转换模型可表示为：

其中，J(·)分别为：

(a)无界转换模型，S_U

(b)有界转换模型，S_B

(c)对数正态转换模型，S_L

其中ε和γ是控制Johnson曲线位置的参数；λ和η是控制Johnson曲线尺度的参数，其值总是大于零。

为了下面分析的简化，定义需要注意的是线性变换不改变偏度和峰度。

式(2a)对应的逆转化模型(I-Johnson转换模型)为：

其中，J^-1(·)分别为：

(a)无界转换模型，S_U

(b)有界转换模型，S_B

(c)对数正态转换模型，S_L

同时，基于(3a)式，可以求出非高斯变量q的概率分布函数为：

(a)无界转化模型，S_U：

(b)有界转化模型，S_B：

(c)对数正态转换模型，S_L:

式中，是标准高斯过程Z的概率密度函数。

图1给出了Johnson转换的适用范围。其中，S_L转换适用范围是偏度-峰度图中的一条曲线，该曲线的闭合表达式为(Hill et al.1976)：

α₄＝w⁴+2w³+3w²-3 (5b)

其中，α₃表示偏度；α₄表示峰度；w＝exp(η^-2)。在偏度-峰度图中，S_L曲线和限制边界线将整个区域分成了三个部分，S_B转换的适用区位于这两条曲线之间的区域，S_U转换的适用区位于S_L曲线的上部区域，限制边界线的下方为偏度和峰度的不可能区域。同时，图1也给出了Hermite模型和PMH的适用区域。可以看出，Johnson转换可行区域覆盖了可能区域的全部。

对于上述三种转换的选取，取决于指定的偏度和峰度。对于指定的偏度α₃，公式(5a)在复数域有三个根。由于w>0，故w取实数正根值。可分别按下式计算：

式中，Q₁和Q₂可表示为：

随后可以将求得的w带入公式(5b)得到α'₄。若α₄＜α'₄，选取S_B转换；若α₄>α'₄，选取S_U转换；当α₄＝α'₄时，即该点落在S_L曲线上，选取S_L转换。

步骤2：矩估计法

Hill et al(1976)基于矩估计法对Johnson转化模型的参数进行了估计。非高斯变量q的前四阶中心矩r_n(n＝1,2,3,4)可表示为：

(1),无界转换模型，S_U:

r₁(q)＝-w^0.5sinh(Ω) (8a)

r₂(q)＝0.5(w-1)[wcosh(2Ω)+1] (8b)

r₃(q)＝-0.25w^0.5(w-1)²[w(w+2)sinh(3Ω)+3sinh(Ω)] (8c)

(2),有界转换模型，S_B

(3),有界对数正态转换模型，S_L:

r_n(q)＝exp(0.5n²η^-2-nγη^-1) (10)

其中，Ω＝γ/η。非高斯变量q的偏度α₃和峰度α₄可表示为：可以看出，偏度和峰度仅与γ和η有关。基于样本数据的偏度和峰度，即可先求出γ和η。再根据关系和ε＝r₁(x)-λr₁(q)求出λ和ε。

该方法基于理论推导而得，不受采样不确定性的影响。我们将基于矩估计法确定Johnson 参数进行下面的分析和基于迭代确定HPM的参数。

步骤3：高斯过程的模拟

谱表示法是一种利用谱分解和三角函数技术叠加来模拟随机过程样本的传统方法。以一维单变量零均值平稳高斯随机过程为例，该方法可表示为：

A_l＝(2S_Z(ω_l)Δω)^1/2,l＝0,1,2,....,N-1 (11b)

ω_l＝lΔω,l＝0,1,2,....,N-1 (11c)

Δω＝ω_u/N (12)

其中，为模拟的平稳高斯过程样本；N为频率分段数，一般取N＝2μ(μ为正整数)，以便于进行快速傅里叶变换；S_Z为高斯过程的目标功率谱；ω_l为频率；Δω为频率间隔；ω_u是上截频率，其值的确定可见Shinozuka和Deodatis(1991)；φ_l为随机相位，可取0～2π之间的随机数。

步骤4：功率谱密度匹配关系

在模拟得到了高斯平稳随机样本后，将这些样本通过Johnson转换模型即可得到相应的平稳非高斯随机样本。但模拟前我们往往只知道非高斯过程X(t)的功率谱或相关函数。高斯与非高斯过程的功率谱密度函数存在偏差。因此，我们需要先基于X(t)的功率谱或相关函数得到相应的高斯过程的功率谱或相关函数。

Grigoriu(1998)给出了非高斯过程X(t)的自相关系数函数ρ_NG(τ)为：

其中，z₁＝z(t)，z₂＝z(t+τ)，表示二元标准高斯向量的联合概率密度函数，其表达式为：

当采用Johnson转换模型时，对于S_L和S_U转换模型，式(13)可以获得求解ρ_NG(τ)的解析式：

(1)，对数高斯转换，即S_L转换

(2),无界转换，即S_U转换

对于S_B转换模型，式(13)很难获得ρ_NG(τ)的解析式，但可通过近似得到其解为

式中，该公式推导如下：

基于Hermite多项式，公式(14)可展开为

式中：He_s(·)是s阶Hermite多项式，可由下式计算

当|ρ_G|＜1时，式(16)会收敛，否则会发散。

将式(16)代入式(13),ρ_NG(τ)可表示为

式中，由于Hermite多项式的正交性，I_1,0＝I_2,0＝0。

忽略s>M的项，式(18)可近似为

当引入Gauss-Hermite求积公式，I_k,s可近似表示为

式中，d是样本数目且建议d＝9～11。z_gh,a是Hermite多项式的解；w_gh,a是相应的权重，可表示为

已知ρ_NG(τ)，可通过迭代法(如牛顿迭代法)求解上述非线性方程(15a)、(15b)或(15c)可以求出ρ_G(τ)。其中ρ_NG(τ)和ρ_G(τ)应满足以下关系：

|ρ_NG(τ)|≤|ρ_G(τ)| (22)

上述公式的解不一定存在，当ρ_G(τ)＝-1和1时，相应的ρ_NG(τ)值分别为和当ρ_NG(τ) 的取值区间在内时，上述公式有解。假如有解，还需要验证ρ_G是非负定矩阵(Gioffre et al.2000)。其中，ρ_G为

式中，τ_ij＝t_i-t_j,i,j＝1,2,...k(k为正整数).

假如上述矩阵不满足非负定，这就意味着指定的非高斯过程X(t)的功率谱密度函数S_X(ω) 和概率分布F_X不匹配。此时，可以通过Shields et al.(2011)提出的方法来解决。

步骤5：整体模拟流程：

值得注意的是，对于有的非高斯过程，基于传递理论(如Hermite模型)模拟得到的谱密度由于非线性转换而有所偏离目标谱(e.g.,Gurley et al.1996)。对于强高斯的窄带过程，谱密度和概率密度的模拟值很难同时与目标值吻合较好。在模拟过程中，本文采用Shields et al.(2011) 提出的方法来减小这种偏离。结合该方法，基于Johnson转换模型的非高斯平稳随机过程整体模拟流程如下：

1，根据非高斯平稳随机过程Y(t)的目标功率谱密度S_Y(ω)和前四阶统计矩：μ_Y,σ_Y,α₃,α₄，获得标准化非高斯平稳随机过程X(t)的目标功率谱密度S_NG(ω)和前四阶统计矩：μ_X＝0,σ_X＝1,α₃,α₄。

2，根据非高斯过程X(t)的前四阶矩，确定Johnson转换类型及相应Johnson模型的参数。

3，基于功率谱密度和概率分布是否匹配，分为下面2种方式进行模拟

3.1当功率谱密度和概率分布是匹配的时候,整个模拟则较为简单并可以用图2来表示。

3.2当功率谱密度和概率分布不匹配的时候，则模拟按照下面进行

3.2.1假定S_NG(ω)为S_G(ω)的初值

3.2.2，将进行IFFT得到 通过(14)式计算求得将进行傅里叶变换(FFT)得到使用作为下一个高斯分布的估计值:

式中，表示作为第J_k+1次迭代高斯过程的谱密度；κ是优化迭代收敛速率的指数，当1.3≤κ≤1.5，迭代速度和精度都能够得到较好的保证(e.g.,Shields etal.2011)。

3.2.3，用更新的高斯过程的谱密度替换重复3.2.2，直到迭代产生的相对误差稳定在一常数值(或进一步迭代不能够得到更小的相对误差)，迭代结束。相对误差可按下式计算：

4，根据得到的高斯过程的功率谱密度，采用谱表示法模拟并得到标准高斯过程样本再将通过Johnson转换模型得到归一化的非高斯过程模拟样本再由关系得到非高斯过程Y(t)的模拟样本。

本发明的有益效果是：

1.本文将提出基于Johnson转换函数对非高斯随机过程进行模拟的方法。下面首先介绍了 Johnson传递模型及参数估计方法；然后介绍基于谱方法对高斯过程的模拟；进而基于Johnson 传递模型推导了非高斯过程的相关系数的显式表达式；最后给出了模拟的整个流程并用数值算例和Hermite模型进行了全面的对比。

2.本发明给出了基于谱表示法并采用Johnson转换模型对非高斯过程进行模拟的总体流程。其中，推导出了高斯过程与非高斯过程的相关函数间的关系。深刻分析了Johnson转换模型和Hermite模型的传递函数在双尾部的表现。随后基于低矮建筑物表面风压数据，对 Johnson转换模型和Hermite模型在非高斯过程模拟分析方面的表现进行了对比。

3.本发明目的是提供一种基于Johnson变换的非高斯风压模拟方法，旨在模拟偏度和峰度在Hermite可行区外的非高斯过程，且对硬化和软化都能适用，并具有适用区域大且精度也较高的特点，解决了Hermite可行区有限的问题。

附图说明

图1为Johnson转换的使用范围图。

图2为基于JTM模拟非高斯的流程图。

图3为风压试验模型图，其中，(a)为鞍形屋面模型图，(b)为测点布置图。

图4为测点的偏度和峰度图。

图5为测点196处的风压模拟，其中，(a)为PSD，(b)为PDF。

图6为测点36处的风压模拟，其中，(a)为PSD，(b))为PDF。

图7为测点48处的风压模拟，其中，(a)为PSD，(b)为PDF。

图8为测点252处的风压模拟，其中，(a)为PSD，(b)为PDF。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式对本发明作进一步详细的说明。数值案例选用的实测风压数据来自在北京交通大学风洞实验室完成的鞍形大跨屋面的风压实验。鞍形屋面模型如图3(a) 所示。模型缩尺比为1:100，屋面上共布置了265个测点，具体的测点布置和风向角定义如图 3(b)。参考高度的平均风速为8.95m/s，采样频率和时长分别为312.5Hz和55min。模型和实际的风速比取为1:2，因此，对应的实际采样频率和时长分别为6.25Hz和2750min。本文仅考虑方向角情况为90°的情况。详情可参考文献Ding and Chen(2014)。

基于Johnson转换模型和Hermite模型(or PMH)对上述风压数据进行了数值模拟和极值估计分析。详细对比了Johnson转换模型和Hermite模型对于软化过程(or硬化过程)的模拟方面的表现。同时，还对Johnson转换模型在Hermite模型可行区外的区域的模拟效果进行了评估。屋面所有测点的偏度和峰度已统计在图4中。同时，图4中还画出了Hermite模型和Johnson 转换模型的可行区域。可以看出，部分测点的偏度和峰度落在了Hermite可行区域外。而所有测点的偏度和峰度都落在了Johnson的可行区内。对于图4所示的测点偏度和峰度，本文将以不同Johnson类型为导向，并且选择强弱非高斯测点进行分析。S_U区域的弱强非高斯我们分别选择测点196和36进行分析。S_B分为软化过程和硬化过程。对于软化过程，本文选择48测点进行分析，注意该测点在Hermite模型可行区外。对于硬化过程，本文选择252测点进行分析。

其具体步骤为：

1)风压时程的模拟

考虑一个单点测压点，对该测压点记录的风压进行标准化，得到均值为0标准差为1的非高斯平稳随机风压时程x(t)。此处分别对测点196、36、48和252进行模拟。本文在进行模拟时，取N＝2048，模拟样本取200。风压的目标功率谱通过AR进行拟合得到。

对测点196的模拟结果见图5所示。可以看出，对于弱高斯风压过程，HPM和JTM转换模型都能够较好的对其PDF和PSD进行模拟。

对测点36的模拟结果见图6所示。从图6可以看出，HPM和JTM转换模型对强非高斯过程的模拟精度不如对弱非高斯高。图6(a)显示，HPM和JTM转换模型模拟的谱密度和目标谱密度吻合较好。从图6(b)可以看出，HPM和JTM转换模型对测点36处的非高斯风压的偏度和峰度值模拟效果不如测点196好。其中，基于Johnson转换模型模拟的峰度值与观测值更为接近。

图7画出了对测点48的PSD和PDF的模拟情况。Johnson转换模型模拟的谱密度与目标谱吻合较好。从图7(b)可以看出，Johnson转换模型模拟的峰度值比目标值稍微小一点。而模拟的PDF在负尾部分和目标值吻合较好，在正尾部分小于目标值。

对测点252的模拟结果见图8所示。可以看出，对于弱高斯风压过程，HPM和JTM转换模型都能够较好的对其PDF和PSD进行模拟。

北交大风洞试验技术效果：首先对于HPM可行区内的测点196,36,和252，JTM的模拟效果和HPM非常相近。其次，对于HPM可行区外的测点48，JTM也能够较好地对其进行模拟。因此，本文所建立的基于Johnson变换的非高斯风压模拟的方法是可行的。

Claims (1)

1.一种基于Johnson变换的非高斯风压模拟方法，其特征在于，

步骤1：非高斯的Johnson变换模型

Suppose Y(t)是均值为μ_Y和标准差为σ_Y的非高斯风压过程；标准非高斯过程即标准非高斯序列，X(t)＝[Y(t)-μ_Y]/σ_Y转换为平稳标准高斯序列Z(t)，然后再表示为(Grigoriu1998)

x(t)＝g[z(t)] (1)

在这里F_X是X(t)的累积分布函数；是F_X的反函数；Φ_Z(·)为Z(t)的累积分布函数；

基于中心极限定理并参照Perason的四参数系统，将平移标准高斯序列Z(t)转换为非高斯序列X(t)的四参数转换模型，该模型被称为Johnson转化模型；Johnson转换模型表示为：

其中，J(·)分别为：

(a)无界转换模型，S_U

(b)有界转换模型，S_B

(c)对数正态转换模型，S_L

其中ε和γ是控制Johnson曲线位置的参数；λ和η是控制Johnson曲线尺度的参数，其值总是大于零；

为了下面分析的简化，定义需要注意的是线性变换不改变偏度和峰度；

式(2a)对应的逆转化模型(I-Johnson转换模型)为：

其中，J^-1(·)分别为：

(a)无界转换模型，S_U

(b)有界转换模型，S_B

(c)对数正态转换模型，S_L

同时，基于(3a)式，求出非高斯变量q的概率分布函数为：

(a)无界转化模型，S_U：

(b)有界转化模型，S_B：

(c)对数正态转换模型，S_L:

式中，是标准高斯过程Z的概率密度函数；

Johnson转换的适用范围中的S_L转换适用范围是偏度-峰度的一条曲线，该曲线的闭合表达式为(Hill et al.1976)：

α₄＝w⁴+2w³+3w²-3 (5b)

其中，α₃表示偏度；α₄表示峰度；w＝exp(η^-2)，

对于上述三种转换的选取，取决于指定的偏度和峰度；对于指定的偏度α₃，公式(5a)在复数域有三个根；由于w>0，故w取实数正根值；分别按下式计算：

式中，Q₁和Q₂表示为：

随后将求得的w带入公式(5b)得到α'₄；若α₄＜α'₄，选取S_B转换；若α₄>α'₄，选取S_U转换；当α₄＝α'₄时，即该点落在S_L曲线上，选取S_L转换；

步骤2：矩估计法

Hill et al(1976)基于矩估计法对Johnson转化模型的参数进行了估计；非高斯变量q的前四阶中心矩r_n(n＝1,2,3,4)表示为：

(1),无界转换模型，S_U:

r₁(q)＝-w^0.5sinh(Ω) (8a)

r₂(q)＝0.5(w-1)[wcosh(2Ω)+1] (8b)

r₃(q)＝-0.25w^0.5(w-1)²[w(w+2)sinh(3Ω)+3sinh(Ω)] (8c)

(2),有界转换模型，S_B

(3),有界对数正态转换模型，S_L:

r_n(q)＝exp(0.5n²η^-2-nγη^-1) (10)

其中，Ω＝γ/η；非高斯变量q的偏度α₃和峰度α₄表示为：偏度和峰度仅与γ和η有关；基于样本数据的偏度和峰度，即先求出γ和η；再根据关系和ε＝r₁(x)-λr₁(q)求出λ和ε；

步骤3：高斯过程的模拟

谱表示法是一种利用谱分解和三角函数技术叠加来模拟随机过程样本的传统方法；以一维单变量零均值平稳高斯随机过程为例，该方法表示为：

A_l＝(2S_Z(ω_l)△ω)^1/2,l＝0,1,2,....,N-1 (11b)

ω_l＝l△ω,l＝0,1,2,....,N-1 (11c)

△ω＝ω_u/N (12)

其中，为模拟的平稳高斯过程样本；N为频率分段数，一般取N＝2^μ，μ为正整数，以便于进行快速傅里叶变换；S_Z为高斯过程的目标功率谱；ω_l为频率；△ω为频率间隔；ω_u是上截频率，其值的确定见Shinozuka和Deodatis(1991)；φ_l为随机相位，取0～2π之间的随机数；

步骤4：功率谱密度匹配关系

在模拟得到了高斯平稳随机样本后，将这些样本通过Johnson转换模型即得到相应的平稳非高斯随机样本；但模拟前往往只知道非高斯过程X(t)的功率谱或相关函数；高斯与非高斯过程的功率谱密度函数存在偏差；因此，需要先基于X(t)的功率谱或相关函数得到相应的高斯过程的功率谱或相关函数；

Grigoriu(1998)给出了非高斯过程X(t)的自相关系数函数ρ_NG(τ)为：

其中，z₁＝z(t)，z₂＝z(t+τ)，表示二元标准高斯向量的联合概率密度函数，其表达式为：

当采用Johnson转换模型时，对于S_L和S_U转换模型，由式(13)获得求解ρ_NG(τ)的解析式：

(1)，对数高斯转换，即S_L转换

(2),无界转换，即S_U转换

对于S_B转换模型，式(13)很难获得ρ_NG(τ)的解析式，但能通过近似得到其解为

式中，该公式推导如下：

基于Hermite多项式，公式(14)展开为

式中：He_s(·)是s阶Hermite多项式，由下式计算

当|ρ_G|＜1时，式(16)会收敛，否则会发散；

将式(16)代入式(13),ρ_NG(τ)表示为

式中，由于Hermite多项式的正交性，I_1,0＝I_2,0＝0；

忽略s>M的项，式(18)近似为

当引入Gauss-Hermite求积公式，I_k,s近似表示为

式中，d是样本数目且建议d＝9～11；z_gh,a是Hermite多项式的解；w_gh,a是相应的权重，表示为

已知ρ_NG(τ)，通过牛顿迭代法求解上述非线性方程(15)从而求出ρ_G(τ)；其中ρ_NG(τ)和ρ_G(τ)应满足以下关系：

|ρ_NG(τ)|≤|ρ_G(τ)| (22)

上述公式的解不一定存在，当ρ_G(τ)＝-1和1时，相应的ρ_NG(τ)值分别为和当ρ_NG(τ)的取值区间在内时，上述公式有解；假如有解，还需要验证ρ_G是非负定矩阵(Gioffre et al.2000)；其中，ρ_G为

式中，τ_ij＝t_i-t_j,i,j＝1,2,...k，k为正整数；

假如上述矩阵不满足非负定，这就意味着指定的非高斯过程X(t)的功率谱密度函数S_X(ω)和概率分布F_X不匹配；此时，通过Shields et al.(2011)提出的方法来解决；

步骤5：整体模拟流程

基于Johnson转换模型的非高斯平稳随机过程整体模拟流程如下：

1，根据非高斯平稳随机过程Y(t)的目标功率谱密度S_Y(ω)和前四阶统计矩：μY,σ_Y,α₃,α₄，

获得标准化非高斯平稳随机过程X(t)的目标功率谱密度S_NG(ω)和前四阶统计矩：μ_X＝0,σ_X＝1,α₃,α₄；

2，根据非高斯过程X(t)的前四阶矩，确定Johnson转换类型及相应Johnson模型的参数；

3，基于功率谱密度和概率分布是否匹配，分为下面两种方式进行模拟：

3.1当功率谱密度和概率分布是匹配的时候,整个模拟过程如下：先基于逆傅里叶变换将S_NG(ω)转换为ρ_NG(τ)，将ρ_NG(τ)代入式(13)或(15a)、(15b)、(15c)进行迭代计算得到ρ_G(τ)，将ρ_G(τ)进行傅里叶变换得到S_Z(ω)，基于谱表示法模拟得到高斯过程的样本再将其代入(3a)式得到非高斯的模拟样本

3.2当功率谱密度和概率分布不匹配的时候，则模拟按照下面进行

3.2.1假定S_NG(ω)为S_G(ω)的初值

3.2.2，将进行IFFT得到 通过(14)式计算求得将进行傅里叶变换(FFT)得到使用作为下一个高斯分布的估计值:

式中，表示作为第J_k+1次迭代高斯过程的谱密度；κ是优化迭代收敛速率的指数，当1.3≤κ≤1.5，迭代速度和精度都能够得到较好的保证(e.g.,Shields et al.2011)；

3.2.3，用更新的高斯过程的谱密度替换重复3.2.2，直到迭代产生的相对误差稳定在一常数值(或进一步迭代不能够得到更小的相对误差)，迭代结束；相对误差按下式计算：

4，根据得到的高斯过程的功率谱密度，采用谱表示法模拟并得到标准高斯过程样本再将通过Johnson转换模型得到归一化的非高斯过程模拟样本再由关系得到非高斯过程Y(t)的模拟样本。