CN109861764B - 用于水声ofdm迭代接收机的压缩感知信道估计方法 - Google Patents

Abstract

用于水声OFDM迭代接收机的压缩感知信道估计方法，涉及水声通信领域。进行信道估计；进行信道均衡；进行交织；进行SISO译码。提出一种改进的SAMP算法——MSAMP算法。MSAMP算法不仅能够消除离散冲激响应的时域泄露问题，还继承了SAMP算法的优势，不需要稀疏度先验信息，只需要设定步长和时域扩展参数，即可进行准确的信道估计。MSAMP算法具有稀疏度自适应能力，能够在稀疏度未知的情况下，通过阶段性的增加I的大小来不断逼近实际信道的稀疏度，从而获得准确的信道估计。最大的创新点在于，本算法克服了离散冲激响应时域泄漏的影响，使得结果更加准确。

Description

用于水声OFDM迭代接收机的压缩感知信道估计方法

技术领域

本发明涉及水声通信领域，尤其是涉及用于水声OFDM迭代接收机的压缩感知信道估计方法。

背景技术

经过多年的发展，OFDM技术日渐成熟。由于OFDM技术能够有效地对抗水声信道时延扩展引起的码间干扰(Inter Symbol Interference)并且具有较高的频带利用率，因而被广泛的应用于高速水声通信。但水声信道是一个典型的时变信道，水声信道的时变特性会引起严重的多普勒扩展，使得OFDM水声通信系统的子载波之间发生载波间干扰(InterChannel Interference)，导致系统的误码率性能严重恶化。迭代接收机是抵抗时变、抑制载波干扰的一种行之有效的方法。迭代接收即对信道进行估计和均衡，产生先验信息，根据先验信息将接收到的信号进行译码，并对码字检验不符合要求的信号重复均衡和译码(即迭代)以达到译码性能的接收方式。例如，参考文献[1]中的一种宽带自适应大迭代接收机就将传统的最小均方误差接收机和Turbo/LDPC码译码器结合在一起，构成了可以提供干扰抵消的大迭代接收机，参考文献[2]中的LDPC调制系统的联合迭代接收机线性优化方法也提出了一种能够提高LDPC编码调制性能的迭代接收机。

OFDM迭代接收机的两个核心部件分别是信道均衡器和信道估计器。目前OFDM水声通信系统中应用比较广泛的时变信道均衡算法主要有迫零(ZF)均衡和最小均方误差(MMSE)均衡。ZF均衡算法的复杂度主要由矩阵求逆决定，其复杂度为O(K³)，K为子载波个数。ZF均衡具有噪声增强效应，因此性能比较差。而MMSE均衡能够抑制噪声增强，性能明显优于ZF均衡，但是MMSE均衡也需要进行矩阵求逆，因此复杂度也为O(K³)。为了降低矩阵求逆复杂度，参考文献[3]中提出了采用带状近似的OFDM频域信道矩阵进行分块均衡，显著降低了ICI均衡的复杂度，因而被广泛采用。用于水声OFDM通信系统的信道均衡器依赖于反映水声信道特性的频域信道矩阵，如何准确估计时变水声信道成为均衡的关键。

由于水声信道具有较大的时延扩展，离散信道冲激响应的长度通常比较大，如果要完整地计算出冲激响应，需要计算的抽头系数数量会很庞大，复杂度也相当高，难以实现。幸运的是大量水声实验证明水声信道具有稀疏特性，在如此情况下，虽然离散信道冲激响应序列较长，但其中大部分抽头系数很小甚至低于噪声门限，计算时可以忽略。因此，可以利用水声信道的稀疏特性，采用压缩感知理论，对少数比较大的抽头系数进行估计，从而实现信道估计。参考文献[4]利用水声信道在时延-多普勒频移域的稀疏特性，将压缩感知信道估计应用于时间频率双选择性信道估计中，采用OMP算法进行信道估计。参考文献[5]对OFDM水声通信系统压缩感知信道估计的几种常用稀疏重构算法进行对比。

实现压缩感知的信号重构方法有：凸优化算法和贪婪算法。由于凸优化算法的计算复杂度比较高，实际应用中难以实现，因此贪婪算法的应用更加广泛。贪婪算法中，有一类具有稀疏度自适应能力的算法，其最大特点是不需要稀疏度先验信息，最典型的是SAMP(Sparsity Adaptive Matching Persuit)算法。参考文献[6]详细介绍了SAMP算法。

SAMP算法引入了一个步长因子s，并将整个迭代过程分成不同的阶段。首先是初始化阶段，设置一个支撑集表示第k次迭代的索引集合，集合大小为一个步长因子。然后是迭代阶段，每次迭代过程中都会选取当前参数最小二乘解中最大的前s个索引集合放入支撑集中，同时计算当前迭代的残差的模值。若该模值不小于上一次迭代的残差模值，则重复迭代过程，并让支撑集增加一个步长因子。最后，如果满足当前残差的值小于某一阈值，或者当前残差模值小于上一次残差模值，即停止迭代，当前的支撑集大小就是稀疏度。由于SAMP算法采用了回溯的思想，同时使用后向追踪的方法，使其能够对先前迭代过程中的已选原子进行不断的回退筛选，从而保证了重建的全局最优性，并且具有较高的精度。但是，在OFDM时变稀疏信道估计中，水声系统的频带有限，接收端观测的离散冲激响应存在时域泄漏问题，即原来的非零抽头附近出现了一些幅度比较大的假抽头，使得系数比较小的抽头受到其影响而无法被分辨出来，导致SAMP算法在进行相关性检测时发生误判从而失效。

参考文献：

[1]中国专利CN 102325001A。

[2]中国专利CN 106506278B。

[3]Philip Schniter.Low-Complexity Equalization of OFDM in DoublySelective Channels[J].IEEE Transactions on Signal Processing,2004,52(4):1002-1011。

[4]吴少娟.基于压缩感知的水声信道估计技术研究[D].华南理工大学,2013。

[5]Y.Huang,L.Wan,S.Zhou,et al.Comparison of sparse recoveryalgorithms for channel estimation in underwater acoustic OFDM with data-driven sparsity learning[J].Physical Communication,2014,13:156-167。

[6]Thong T.Do，Lu Gan，NamNguyen，Trac D.Tran.Sparsityadaptive matchingpursuit algorithm for practical compressed sensing[C].AsilomarConference onSignals，Systems，andComputers，Pacific Grove，California，2008，10：581-587。

发明内容

本发明的目的是为了提高OFDM水声通信系统的可靠性和鲁棒性，用于解决普通压缩感知算法对水声信道稀疏度先验信息的依赖问题，同时解决在离散冲激响应求解过程中带来的时域泄漏问题，提供用于水声OFDM迭代接收机的压缩感知信道估计方法。

本发明包括以下步骤：

1)进行信道估计；

在步骤1)中，所述进行信道估计的具体方法可为：输入观测的导频向量z_P、恢复矩阵Ψ、步长s和时延域扩展搜索参数Δ，输出抽头系数

采用MSAMP算法，所述MSAMP算法可采用MSAMP信道估计器，其具体步骤为：

步骤1.1：输入观测的导频向量z_P、恢复矩阵Ψ、步长s、时延域扩展搜索参数Δ；然后初始化，令残差r＝z_P，索引集

时域索引集

D和S的大小为I，初始阶段I＝s，即初始大小为一个步长；

步骤1.2：a_j＝0，计算矩阵Φ(a_j)的每一列与残差r的内积绝对值并找出其中的极大值，将极大值最大的I列在Φ(a_j)中的索引加入时延域索引集D；

步骤1.3：令

对时延域索引集D中的每一个元素d_k，k＝1,2,3,…,I，确定一个搜索区间[d_k-Δ，d_k+Δ]，在区间内沿着多普勒域进行搜索，得到一个最匹配的原子，即对所有a_j，计算Φ(a_j)的第d_k-Δ至d_k+Δ列与残差r的内积绝对值，找到最大的内积绝对值所对应的列，将该列在Ψ中的索引加入索引集Λ；

步骤1.4：更新索引集，令S′＝S∪Λ，计算

取ξ′中绝对值最大的I个元素组成集合

步骤1.5：计算残差

步骤1.6：迭代条件判断，若满足停止条件，则停止迭代，并输出

否则，若

则令I＝I+s，重复步骤1.2～1.6；若

则令

重复步骤1.2～1.6。

2)进行信道均衡；

在步骤2)中，所述进行信道均衡的具体方法可为：输入观测的导频向量Z_P、带状信道频域近似矩阵

采用MMSE均衡算法，假设以第k个子载波的为中心，Z_k表示导频向量Z_P在[k-D，k+D]范围内的子向量，H_k表示带状信道频域近似矩阵

在[k-D，k-2D]到[k+D，k+2D]范围内的子矩阵，则得到发送信号的矩阵s[k]的估计值：

式中

其中，h_k＝[H[k-D,k],…,H[k+D,k]]^T，

表示频域噪声方差，I表示K×K的单位矩阵；由于MMSE均衡器要求输出外部信息，因此令

且

由于OFDM水声通信系统采用基于GF(4)的LDPC码，在QPSK调制下，一个码符号刚好可以映射为一个星座符号，因此信道均衡的具体步骤为：

步骤2.1：将码符号c[n]经过星座映射和交织后成为数据符号s[m]，即：

P(s[m]＝α_i)＝P^ext(c[n]＝φ^-1(α_i))

步骤2.2：计算数据符号s[m]的均值

和方差

步骤2.3：计算s[k]的估计值：

3)进行交织；

在步骤3)中，所述进行交织的具体方法可为：将信道均衡得到的估计矩阵按行存入，按列读取。

4)进行SISO译码。

在步骤4)中，所述进行SISO译码的具体方法可为：输入交织后的信号，采用LDPC译码算法进行译码。

为了消除离散冲激响应的时域泄漏问题，本发明提出一种改进的SAMP算法——MSAMP(Modified SAMP)算法。MSAMP算法不仅能够消除离散冲激响应的时域泄露问题，还继承了SAMP算法的优势，不需要稀疏度先验信息，只需要设定步长和时域扩展参数，即可进行准确的信道估计。

本发明采用上述技术方案具有如下有益效果：

MSAMP算法具有稀疏度自适应能力，能够在稀疏度未知的情况下，通过阶段性的增加I的大小来不断逼近实际信道的稀疏度，从而获得准确的信道估计。最大的创新点在于，本算法克服了离散冲激响应时域泄漏的影响，使得结果更加准确。具体表现在步骤三，为了在离散的时延-多普勒域内估计出I个实际抽头所在的位置，先从时延域进行搜索，获得I个抽头在时延域的大致位置；然后根据这I个抽头的大致位置，沿多普勒域进行搜索，最终获得I个抽头的确定位置。在时延域内的搜索先进行极大值的判定，使假抽头被最大限度地排除在外，然后再进行最大值判定，就可以估计出时延域中实际抽头的所在位置。而SAMP算法相当于直接在时延-多普勒域内搜索I个实际抽头的所在位置，因此不可避免地受到假抽头的影响，从而导致算法失效。

由于MSAMP算法的影响，使得本迭代接收机不需要先验信息即可进行准确的信道估计与均衡，大大增加了本发明的适用范围和灵活性。

附图说明

图1是基于MSMP算法的OFDM迭代接收机结构。

图2是带状信道频域近似矩阵示意图。

图3是MSAMP算法的原理图。

图4是MSAMP算法的实现程序框图。

具体实施方式

以下实施例将结合附图对本发明作进一步的说明。

本发明实施例包括以下步骤：

1)进行信道估计，具体方法为：输入观测的导频向量z_P、恢复矩阵Ψ、步长s和时延域扩展搜索参数Δ，输出抽头系数

采用MSAMP算法，所述MSAMP算法可采用MSAMP信道估计器，其具体步骤为：

步骤1.1：输入观测的导频向量z_P、恢复矩阵Ψ、步长s、时延域扩展搜索参数Δ；然后初始化，令残差r＝z_P，索引集

时域索引集

D和S的大小为I，初始阶段I＝s，即初始大小为一个步长；

步骤1.2：a_j＝0，计算矩阵Φ(a_j)的每一列与残差r的内积绝对值并找出其中的极大值，将极大值最大的I列在Φ(a_j)中的索引加入时延域索引集D；

步骤1.3：令

对时延域索引集D中的每一个元素d_k，k＝1,2,3,…,I，确定一个搜索区间[d_k-Δ，d_k+Δ]，在区间内沿着多普勒域进行搜索，得到一个最匹配的原子，即对所有a_j，计算Φ(a_j)的第d_k-Δ至d_k+Δ列与残差r的内积绝对值，找到最大的内积绝对值所对应的列，将该列在Ψ中的索引加入索引集Λ；

步骤1.4：更新索引集，令S′＝S∪Λ，计算

取ξ′中绝对值最大的I个元素组成集合

步骤1.5：计算残差

步骤1.6：迭代条件判断，若满足停止条件，则停止迭代，并输出

否则，若

则令I＝I+s，重复步骤1.2～1.6；若

则令

重复步骤1.2～1.6。

2)进行信道均衡，具体方法为：输入观测的导频向量z_P、带状信道频域近似矩阵

采用MMSE均衡算法，假设以第k个子载波的为中心，z_k表示导频向量z_p在[k-D，k+D]范围内的子向量，H_k表示带状信道频域近似矩阵

在[k-D，k-2D]到[k+D，k+2D]范围内的子矩阵，则得到发送信号的矩阵s[k]的估计值：

式中

其中，h_k＝[H[k-D,k],…,H[k+D,k]]^T，

表示频域噪声方差，I表示K×K的单位矩阵。通常MMSE均衡器要求输出外部信息，因此令

且

由于OFDM水声通信系统采用基于GF(4)的LDPC码，在QPSK调制下，一个码符号刚好可以映射为一个星座符号，因此信道均衡的具体步骤为：

步骤2.1：将码符号c[n]经过星座映射和交织后成为数据符号s[m]，即：

P(s[m]＝α_i)＝P^ext(c[n]＝φ^-1(α_i))

步骤2.2：计算数据符号s[m]的均值

和方差

步骤2.3：计算s[k]的估计值：

3)进行交织，具体方法为：将信道均衡得到的估计矩阵按行存入，按列读取。

4)进行SISO译码，具体方法为：输入交织后的信号，采用LDPC译码算法进行译码。

以下给出具体实施例。

水声OFDM迭代接收机如图1所示。由基于MSAMP信道估计器、软输入软输出(Soft-In Soft-Out，SISO)均衡器、SISO译码器组成，信道编码采用低密度奇偶校验码(Low-density Parity-check，LDPC)。水声OFDM迭代接收机在初次迭代过程中，信道估计利用导频符号估计频域信道矩阵；在后续的迭代过程中，信道估计不仅利用导频符号，还将SISO译码器输出的数据符号的软信息作为额外的导频符号进行频域信道矩阵的估计，以提高信道估计的精度。SISO均衡器的主要任务是根据接收的数据符号、信道估计得到的频域信道矩阵以及SISO译码器提供的先验信息，生成数据符号的后验信息。在初次迭代过程中，由于译码器没有提供先验信息，因此先验信息是基于数据符号等概率的假设生成的。SISO译码器只接收来自SISO均衡器的外部信息，因此SISO均衡器输出的后验信息要先去除SISO译码器上一次迭代过程中提供的先验信息，再经过解交织器才能送给SISO译码器。随后，SISO译码器将SISO均衡器提供的外部信息当作先验信息，计算每一个码符号的后验信息。同样SISO均衡器只接收来自SISO译码器的外部信息，因此SISO译码器输出的后验信息要去除SISO均衡器提供的先验信息，再经过交织器才能送给SISO均衡器。

以上所述水声OFDM迭代接收机具有如下特点：OFDM迭代接收机在迭代过程中译码器不断地提高输出的软信息的可信度；信道估计器则将译码器输出的数据符号的软信息作为额外导频，获得更为准确的信道估计；SISO均衡器则得益于信道估计精度的提高以及译码器提供的更为可靠的先验信息，获得更好的均衡效果，进而改善译码结果。

所述水声OFDM迭代接收机采用的信道估计器为基于MSAMP的信道估计器，技术方案如下所述。

首先建立基于压缩感知理论的信道估计模型。时变水声信道下OFDM系统的频域输入输出关系可以表示为：

z＝H_Ds+w

式中，Z表示接受向量，s表示发送向量，w表示等效噪声向量(包含环境噪声和带外码间干扰)，H_D表示带状信道频域近似矩阵(图2)：

其中，Γ_D(a_p)表示Γ(a_p)的带状近似矩阵，其中第(m,k)个元素为

接着分别对时延域和多普勒域进行离散化，令

a_j∈{a_max，-a_max+Δa，…，a_max}

时延域的分辨率为

多普勒域的分辨率为Δa，那么OFDM频域信道矩阵可以表示为

式中，N_r＝T_CP/(T/N)+1，/N_a＝2a_max，ξ_i，j表示时延域为τ_i，多普勒因子为a_j的网格点上的抽头系数。

假设导频子载波组成的集合为S_p，导频子载波数量为K_P＝|S_P|，则对于接收端来说，发送向量中只有导频子载波上的发送符号为已知，即

则OFDM时变稀疏信道估计模型为

式中

式中，w包含了导频子载波的频域噪声和未知数据符号对导频的码间干扰。z_P表示K_P×1的接收导频向量，S表示选择矩阵，它是由K×K的单位矩阵中抽取导频位置所对应的K_p行组成。ξ是一个N_rN_a×1的向量，其中的元素表示时延-多普勒域离散网格点上的抽头系数。由水声信道的稀疏特性可知，只有少数几个抽头系数的幅度比较大，其他的可以忽略，因此可以采用压缩感知的方法估计出ξ，从而获得OFDM频域信道矩阵

为了估计出ξ，采用MSAMP算法。算法的原理图见图3，具体描述如下：

(1)输入：观测的导频向量z_P，恢复矩阵Ψ，步长s，时延域扩展搜索参数Δ。

(2)初始化：残差r＝z_P，索引集

时延域索引集

I＝s。

(3)令a_j＝0，计算矩阵Φ(a_j)的每一列与残差r的内积绝对值并找出其中的极大值，将极大值最大的I列在Φ(a_j)中的索引加入时延域索引集D。

(4)对时延域索引集D中的每一个元素d_k,k＝1,…,I，确定一个搜索区间[d_k-Δ,d_k+Δ]。在区间[d_k-Δ,d_k+Δ]内沿着多普勒域进行搜索，得到一个最匹配的原子，即对所有a_j，计算Φ(a_j)的第d_k-Δ至d_k+Δ列与残差r的内积绝对值，找到最大的内积绝对值所对应的列，将该列在Ψ中的索引加入索引集Λ。

(5)令S′＝S∪Λ，计算

取ξ′中绝对值最大的I个元素索引组成集合

(6)计算残差

(7)如果满足停止条件，则输出

并退出迭代；否则判断

是否成立。若成立，则令I＝I+s，重复步骤(3)至(7)；若不成立，则令

重复步骤(3)至(7)。

MSAMP算法在每一个阶段中，为了在离散的时延-多普勒域内估计出I个实际抽头的所在位置，它先在时延域进行搜索，获得I个抽头在时延域的大致位置；然后根据这I个抽头在时延域的大致位置，沿着多普勒域进行搜索，最终得到这I个抽头在时延-多普勒域中的位置。在时延域内的搜索先进行极大值的判定，使假抽头被最大限度地排除在外，然后再进行最大值判定，就可以估计出时延域中实际抽头的所在位置。

信道均衡器基于以上结果，采用基于带状信道矩阵的MMSE均衡。带状近似频域信道矩阵如图2所示，其中白色部分表示值为零的元素，灰色部分表示值为非零的元素，参数D越大说明对频域信道矩阵的近似程度越高，考虑的ICI范围也越大。采用带状近似的频域信道矩阵可以将OFDM的频域输入输出关系表示为

z＝H_Ds+w

式中，H_D表示带状近似的频域信道矩阵。基于带状近似的频域信道矩阵我们可以采用分块的MMSE均衡算法。假设以第k个子载波的为中心，则有

z_k＝H_ks_k+w_k

式中

z_k＝[z[k-D],…,z[k+D]]^T

s_k＝[s[k-2D],…,s[k+2D]]^T

w_k＝[w[k-D],…,w[k+D]]^T

则根据MMSE准则可以得到s[k]的估计值为

式中

其中，h_k＝[H[k-D,k],…,H[k+D,k]]^T，

表示频域噪声方差。通常MMSE均衡器要求输出外部信息，因此令

且

在OFDM迭代接收机中，上式的先验信息来自于LDPC译码器输出的外部信息。数据符号s[m]的均值和方差可以表示为

式中，α_i表示星座符号，在QPSK调制下M＝4。假设LDPC译码器输出的外部信息为对数似然比的形式L^ext[n]＝L^post[n]-L^ch[n]，则基于该外部信息可以得到每一个码符号c[n]的外部概率

其中，a₀,a₁,…,a_q-1表示GF(q)上的元素。由于OFDM水声通信系统采用基于GF(4)的LDPC码，在QPSK调制下，一个码符号刚好可以映射为一个星座符号。假设码符号c[n]经过星座映射和交织后成为数据符号s[m]，则

P(s[m]＝α_i)＝P^ext(c[n]＝φ^-1(α_i))

其中，φ^-1(·)表示星座符号到码符号的逆映射。

在OFDM迭代接收机中，均衡器要求能够输出外部软信息，因此我们需要将MMSE均衡器的输出表示成对数似然比的形式。假设

服从均值为μ_k,i，方差为

高斯分布，则有

其中的均值和方差分别为

则外部信息的对数似然比形式可以由

计算。

MSAMP算法流程图见图4，即以下初始化和迭代部分。

1、初始化：

r＝z_P{初始化残差}

{初始化索引集}

{初始化时延域索引集}

L＝s{初始化索引集的大小为一个步长}

aj＝0{初始化多普勒频偏为}

2、迭代：

{更新时延域索引集}

{设置临时索引集}

S_k＝S_k-1∪Λ{更新索引集}

{计算抽头系数}

{最大I个抽头系数的索引集}

{更新残差}

如果满足迭代终止条件(例如，达到预设的抽头个数或者迭代次数达到预设)则停止迭代。

否则，如果

那么更新索引集大小为I＝I+s，更新多普勒频偏系数j＝j+1，继续迭代。

如果

那么更新索引集

更新残差

迭代次数增加k＝k+1，继续迭代。

3、均衡：

计算带状信道频域近似矩阵

计算h_k＝[H[k-D,k],…,H[k+D,k]]^T

表示频域噪声方差。通常MMSE均衡器要求输出外部信息，因此令

根据MMSE准则得到

4、交织：将发送信号矩阵的估计值

按行存入，按列读取，并进行LDPC译码，判断译码结果是否满足迭代接收机终止条件，若不满足，则回到迭代步骤；否则输出译码结果。

Claims (1)

1.一种用于水声OFDM迭代接收机的压缩感知信道估计方法，其特征在于所述水声OFDM迭代接收机由基于MSAMP信道估计器、软输入软输出均衡器、SISO译码器组成，信道编码采用低密度奇偶校验码；水声OFDM迭代接收机在初次迭代过程中，信道估计利用导频符号估计频域信道矩阵；在后续的迭代过程中，信道估计不仅利用导频符号，还将SISO译码器输出的数据符号的软信息作为额外的导频符号进行频域信道矩阵的估计，以提高信道估计的精度；SISO均衡器根据接收的数据符号、信道估计得到的频域信道矩阵以及SISO译码器提供的先验信息，生成数据符号的后验信息；在初次迭代过程中，由于译码器没有提供先验信息，因此先验信息是基于数据符号等概率的假设生成的；SISO译码器只接收来自SISO均衡器的外部信息，SISO均衡器输出的后验信息要先去除SISO译码器上一次迭代过程中提供的先验信息，再经过解交织器才能送给SISO译码器；SISO译码器将SISO均衡器提供的外部信息当作先验信息，计算每一个码符号的后验信息；同样SISO均衡器只接收来自SISO译码器的外部信息，因此SISO译码器输出的后验信息要去除SISO均衡器提供的先验信息，再经过交织器才能送给SISO均衡器；

所述水声OFDM迭代接收机采用的信道估计器为基于MSAMP的信道估计器包括以下步骤：

首先建立基于压缩感知理论的信道估计模型，时变水声信道下OFDM系统的频域输入输出关系表示为：

z＝H_Ds+w

式中，z表示接收向量，s表示发送向量，w表示等效噪声向量(包含环境噪声和带外码间干扰)，H_D表示带状信道频域近似矩阵：

其中，Γ_D(a_p)表示Γ(a_p)的带状近似矩阵，第(m,k)个元素为：

接着分别对时延域和多普勒域进行离散化，令

a_j∈{a_max，-a_max+Δa，…，a_max}

时延域的分辨率为

多普勒域的分辨率为Δa，那么OFDM频域信道矩表示为：

式中，N_r＝T_CP/(T/N)+1，N_a＝2a_max，ξ_i，j表示时延域为τ_i，多普勒因子为a_j的网格点上的抽头系数；

假设导频子载波组成的集合为S_P，导频子载波数量为K_P＝|S_P|，则对于接收端来说，发送向量中只有导频子载波上的发送符号为已知，即：

则OFDM时变稀疏信道估计模型为：

式中

式中，w包含了导频子载波的频域噪声和未知数据符号对导频的码间干扰，z_P表示K_P×1的接收导频向量，S表示选择矩阵，是由K×K的单位矩阵中抽取导频位置所对应的K_p行组成；ξ是一个N_rN_a×1的向量，其中的元素表示时延-多普勒域离散网格点上的抽头系数；采用压缩感知的方法估计出ξ，从而获得OFDM频域信道矩阵：

为了估计出ξ，采用MSAMP算法，具体描述如下：

(1)输入：观测的导频向量z_P，恢复矩阵Ψ，步长s，时延域扩展搜索参数Δ；

(2)初始化：残差r＝z_P，索引集

时延域索引集

I＝s；

(3)令a_j＝0，计算矩阵Φ(a_j)的每一列与残差r的内积绝对值并找出其中的极大值，将极大值最大的I列在Φ(a_j)中的索引加入时延域索引集D；

(4)对时延域索引集D中的每一个元素d_k,k＝1,…,I，确定一个搜索区间[d_k-Δ,d_k+Δ]；在区间[d_k-Δ,d_k+Δ]内沿着多普勒域进行搜索，得到一个最匹配的原子，即对所有a_j，计算Φ(a_j)的第d_k-Δ至d_k+Δ列与残差r的内积绝对值，找到最大的内积绝对值所对应的列，将该列在Ψ中的索引加入索引集Λ；

(5)令S′＝S∪Λ，计算

取ξ′中绝对值最大的I个元素索引组成集合；

(6)计算残差

(7)如果满足停止条件，则输出

并退出迭代；否则判断

是否成立；若成立，则令I＝I+s，重复步骤(3)～(7)；若不成立，则令

重复步骤(3)～(7)；

MSAMP算法在每一个阶段中，为了在离散的时延-多普勒域内估计出I个实际抽头的所在位置，它先在时延域进行搜索，获得I个抽头在时延域的大致位置；然后根据这I个抽头在时延域的大致位置，沿着多普勒域进行搜索，得到这I个抽头在时延-多普勒域中的位置；在时延域内的搜索先进行极大值的判定，使假抽头被最大限度地排除在外，然后再进行最大值判定，就估计出时延域中实际抽头的所在位置；

采用基于带状信道矩阵的MMSE均衡，参数D越大说明对频域信道矩阵的近似程度越高，考虑的ICI范围也越大；采用带状近似的频域信道矩阵将OFDM的频域输入输出关系表示为：

z＝H_Ds+w

式中，H_D表示带状近似的频域信道矩阵，基于带状近似的频域信道矩阵我们可以采用分块的MMSE均衡算法；假设以第k个子载波为中心，则有：

z_k＝H_ks_k+w_k

式中

z_k＝[z[k-D],…,z[k+D]]^T s_k＝[s[k-2D],…,s[k+2D]]^T

w_k＝[w[k-D],…,w[k+D]]^T

则根据MMSE准则得到s[k]的估计值为：

式中

其中，h_k＝[H[k-D,k],…,H[k+D,k]]^T，

表示频域噪声方差，MMSE均衡器要求输出外部信息，因此令

且：

在OFDM迭代接收机中，上式的先验信息来自于LDPC译码器输出的外部信息，数据符号s[m]的均值和方差表示为

式中，α_i表示星座符号，在QPSK调制下M＝4，假设LDPC译码器输出的外部信息为对数似然比的形式L^ext[n]＝L^post[n]-L^ch[n]，则基于该外部信息得到每一个码符号c[n]的外部概率：

其中，a₀,a₁,…,a_q-1表示GF(q)上的元素；由于OFDM水声通信系统采用基于GF(4)的LDPC码，在QPSK调制下，一个码符号映射为一个星座符号；假设码符号c[n]经过星座映射和交织后成为数据符号s[m]，则：

P(s[m]＝α_i)＝P^ext(c[n]＝φ^-1(α_i))

其中，φ^-1(·)表示星座符号到码符号的逆映射；

在OFDM迭代接收机中，均衡器要求能够输出外部软信息，因此需要将MMSE均衡器的输出表示成对数似然比的形式；假设

服从均值为μ_k,i，方差为

高斯分布，则有：

其中的均值和方差分别为

则外部信息的对数似然比形式由

计算；

MSAMP算法的初始化和迭代部分为：

1、初始化：

r＝z_P{初始化残差}

{初始化索引集}

{初始化时延域索引集}

L＝s{初始化索引集的大小为一个步长}

a_j＝0{初始化多普勒频偏为}

2、迭代：

{更新时延域索引集}

{设置临时索引集}

S_k＝S_k-1∪Λ{更新索引集}

{计算抽头系数}

{最大I个抽头系数的索引集}

{更新残差}

若满足迭代终止条件，则停止迭代；

否则，如果

那么更新索引集大小为I＝I+s，更新多普勒频偏系数j＝j+1，继续迭代；

如果

那么更新索引集

更新残差

迭代次数增加k＝k+1，继续迭代；

3、均衡：

计算带状信道频域近似矩阵

计算h_k＝[H[k-D,k],…,H[k+D,k]]^T

表示频域噪声方差，MMSE均衡器要求输出外部信息，因此令

根据MMSE准则得到

4、交织：将发送信号矩阵的估计值

按行存入，按列读取，并进行LDPC译码，判断译码结果是否满足迭代接收机终止条件，若不满足，则回到迭代步骤；否则输出译码结果。

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