CN109783768A - 基于波形松弛迭代的时域多导体传输线电磁脉冲响应快速建模方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于波形松弛迭代的时域多导体传输线电磁脉冲响应快速建模方法，本发明在时域建立了基于波形松弛算法和解析迭代求解电磁脉冲对多导体传输线耦合的时域计算模型，通过利用联合电压波方程和BLT超矩阵方程，将传输线之间互耦的影响等效为在传输线上连续分布的虚拟激励源，推导给出了传输线沿线电压、电流响应的解析表达式，把大规模矩阵求逆运算转换为一系列的迭代过程，同时每一步迭代都可以给出解析解，避免了耗时的数值积分，提高了计算效率。

Description

基于波形松弛迭代的时域多导体传输线电磁脉冲响应快速建 模方法

技术领域

本发明涉及时域多导体传输线电磁脉冲响应快速建模方法，具体涉及一种基于波形松弛迭代的时域多导体传输线电磁脉冲响应快速建模方法。

背景技术

高空核爆电磁脉冲(HEMP)一般由爆高在30km以上的核爆炸产生，其中的E1成分频谱覆盖范围包括中频、高频、甚高频甚至一些超高频波段的信号，具有辐射范围广，峰值场强高和频谱宽的特点，会在多导体传输线上耦合感应出幅值较高的感应电压和电流，对于由大量多导体传输线构成的各类电子、电气设备和系统具有严重威胁。HEMP对电子、电气系统产生影响的本质机理是电磁场对多导体传输线的耦合。构建HEMP对多导体传输线的耦合作用模型对于分析耦合响应进而开展防护研究具有非常重要的现实意义。

在EMP对多导体传输线耦合作用研究中，理论建模研究是其中的重要手段，研究多导体传输线EMP响应计算模型不仅有助于揭示EMP对传输线的耦合机理，同时兼具经济性等优点，在当前的传输线EMP响应分析中被广泛采用。频域方法可以方便的处理包含有频变参数的线性传输线问题，例如地面是有损地面等情况。但在实际情况中，传输线的端接负载通常具有时变非线性特性，例如电力线所端接的避雷器或电路中的TVS二极管等，对于此类问题，无法利用频域方法进行建模，而只能通过建立时域模型的方式进行求解。然而，传统的FDTD时域多导体传输线模型由于存在数值色散和Courant稳定性条件的限制，在进行时间和空间的离散时，其尺寸大小被限制在一定范围之内，而存在较大数量的离散点。当传输线数量较多时，传输线相互之间的互耦计算过程会造成极大的计算机资源消耗从而明显降低整个计算的效率。因此，提出一种时域的解析迭代方法，对于深入的研究EMP对多导体传输线的耦合作用规律进而开展防护技术研究具有非常重要的学术意义。

发明内容

本发明的目的在于提供一种基于波形松弛迭代的时域多导体传输线电磁脉冲响应快速建模方法，以克服现有技术的缺陷，本发明可以有效处理不同耦合因子、不同端接负载等各类情况，且传输线数目较多时计算效率相比传统链参数矩阵方法有大幅提高。

为达到上述目的，本发明采用如下技术方案：

基于波形松弛迭代的时域多导体传输线电磁脉冲响应快速建模方法，包括以下步骤：

步骤一：列出多导体传输线的时域传输线模型方程组，所述时域传输线模型方程组是每根线上的时域电流和电压关于变量位置x和时间t的2N元一阶偏微分方程组，其中N为线缆的根数，对方程组进行离散化，得到关于某一根线缆的方程组，将方程中线缆之间的互耦项与外界激励一起构成等效激励源；

步骤二：开始第一步迭代，假设在第一步迭代时每根线缆只收到外界电磁场的激励，而不考虑线缆之间的互耦效应，略去方程中的互耦项；

步骤三：将整体的时域偏微分方程转化到拉普拉斯域，将迭代形式的传输线模型方程组转化为联合电压波方程，将其变量转化为线缆上的正、反向联合电压波；

步骤四：将联合电压波方程组联立，求得其通解，再将其变回到时域，其时域通解包括两个部分，第一个部分是线缆首末端端点处的边界条件，第二个部分是联合电压波在沿线的积分，其形式由时域的时延项组成；

步骤五：利用BLT超矩阵方程求解边界条件，首先将BLT方程变换到拉普拉斯域，将拉普拉斯域的BLT方程展开，利用短除法将其写为无数个指数项的求和形式，再将其变换到时域，即是由无数个时延项所组成的BLT方程的时域形式，由于在平面波条件下外界场激励函数是双指数函数，传输线方程里面的源项的所有表达式都由指数函数构成，即可解析求得联合电压波时域沿线积分；

步骤六：通过线缆上的电压和电流与联合电压波的关系求得沿线响应的解析表达式，由此得到第一步迭代后的每根线缆上的电压和电流响应的解析表达式；

步骤七：得到每根线缆上的电流和电压响应之后求得线缆之间的互耦作用，将其带入步骤三，开始进行第二步迭代，通过步骤三至步骤六求得第二步迭代沿线的电压和电流的响应解析表达式，然后依次进行第三步以及更多步的迭代，在每次迭代中均求得沿线响应的解析表达式，经过若干步迭代即求得误差允许范围内的结果。

进一步地，所述时域传输线模型方程组为Taylor方程或Agrawal方程；

所述Taylor方程如下所示：

所述Agrawal方程如下所示：

式中：v——响应全电压矩阵；i——响应全电流矩阵；L_w′——单位长度传输线电感矩阵；C_w′——单位长度传输线电容矩阵；v_s′——Taylor模型等效分布电压激励源矩阵；i_s′——Taylor模型等效分布电流激励源矩阵；v^s——响应散射电压矩阵；v_s1′——Agrawal模型等效分布电压激励源矩阵；i_s1′——-Agrawal模型等效分布电流激励源矩阵。

进一步地，步骤一中当采用Taylor方程时，对Taylor方程进行离散化，得到其离散形式，则对于第i根传输线，其时域电报方程为：

式中：v——时域响应全电压；i——时域响应全电流；L_w′——单位长度传输线电感；C_w′——单位长度传输线电容；v_s′——等效分布电压激励源；i_s′——等效分布电流激励源。

进一步地，将第i根传输线的时域电报方程写为联合电压波形式：

式中：w₊——沿线正向联合电压波；w_-——沿线负向联合电压波；

联合电压波方程由时域电报方程变化而来，其中的沿线正、负项联合电压波均由沿线电流和电压的组合而成，如下式：

w₊＝v+Z_ci

w_-＝v-Z_ci

w₊′＝v_s′+Z_ci_s′

w_-′＝v_s′-Z_ci_s′

式中：Z_c——传输线的特征阻抗；k_w——传输线的波数。

进一步地，步骤四中将联合电压波方程组进行拉普拉斯变换得到：

式中：s——拉普拉斯算子；

则上式的通解为：

式中：x——沿传输线方向的坐标；

引入时移算子D，对于任意函数f(t)，有：

D^mf(t)＝f(t+m)

式中：m——任意时延；

则将通解转化到时域：

式中：L——传输线长度；

进一步地，步骤五中BLT超矩阵方程采用拉普拉斯域的BLT函数，在拉普拉斯域中，BLT函数为：

式中，ρ₁——传输线首端的反射系数；ρ₂——传输线末端的反射系数；S₊——BLT方程的第一个源项；S_-——BLT方程的第二个源项；

将BLT函数变为展开式为：

将展开式利用短除法展开，其展开式为：

上述展开式由无穷多个级数所组成，其形式能够直接变为时域，则其时域形式为：

其中源函数的时域表达式为：

进一步地，步骤六中第一步迭代后沿线的响应电压和电流表示为：

式中，ψ——电磁场极化方向的仰角；

其中g_n,v1 ⁽¹⁾～g_n,v3 ⁽¹⁾、g_n,i1 ⁽¹⁾～g_n,i3 ⁽¹⁾均为相关函数。

进一步地，步骤七中第一步迭代后沿线的响应电压和电流表示为：

其中g_n,v1 ⁽²⁾～g_n,v5 ⁽²⁾、g_n,i1 ⁽²⁾～g_n,i5 ⁽²⁾均为相关函数。

与现有技术相比，本发明具有以下有益的技术效果：

本发明提出一种时域的解析迭代方法，无需将传输线分段，只需将传输线之间的互耦作用等效为沿传输线分布的分布激励源，并通过解析的方式推导得到每一步迭代后的响应表达式，具有计算效率高等优点。

本发明提出的基于解析Jacobi迭代的多导体传输线EMP响应计算模型，该模型将传输线之间的互耦作用等效为在传输线上分布的分布激励源，利用Jacobi迭代的方式推导得到每一步迭代后的响应公式，从而不用再对传输线进行分段处理。该模型在第1步迭代时，对于每根传输线单独处理，不考虑线缆之间的耦合作用，而在第二步及以后的迭代中，不仅考虑电磁波对每根导线的作用，同时考虑线缆之间的相互作用。模型在计算临近导线的耦合作用时，将其上一步迭代后的结果带入计算，使得计算效率相比传统的链参数矩阵模型有了大幅的提高。通过一系列多种不同模型算例的验证，证明Jacobi-DARIT-field模型可以有效处理不同耦合因子、不同端接负载等多种不同模型，通过大规模多导体传输线的算例验证，Jacobi-DARIT-field模型相比传统链参数模型计算效率大幅提高。

附图说明

图1为地面上多导体传输线几何结构。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明作进一步详细描述：

考虑如图1所示的由N根传输线组成的多导体传输线结构，图中线缆间距为d，线长为L，线径为r，首末端的端接负载分别为Z₁和Z_L。地面为有耗大地，考虑其大地阻抗，零电位参考点选取为地面以下的趋肤深度处。当传输线受到外界电磁场激励时其响应电压和响应电流由矩阵形式的电报方程所描述。根据电报方程形式的不同，目前主要存在Taylor方程和Agrawal方程等几种不同类型的电报方程，其中Taylor方程如式(a)所示，Agrawal方程如式(b)所示：

式中：v——响应全电压矩阵；i——响应全电流矩阵；L_w′——单位长度传输线电感矩阵；C_w′——单位长度传输线电容矩阵；v_s′——Taylor模型等效分布电压激励源矩阵；i_s′——Taylor模型等效分布电流激励源矩阵；v^s——响应散射电压矩阵；v_s1′——Agrawal模型等效分布电压激励源矩阵；i_s1′——-Agrawal模型等效分布电流激励源矩阵。

考虑如图1所示的理想大地上由N根传输线组成的多导体传输线结构，其响应电压和响应电流的时域电报方程如式(1)所示：

式中：v——响应全电压矩阵；i——响应全电流矩阵；L_w′——单位长度传输线电感矩阵；C_w′——单位长度传输线电容矩阵；v_s′——Taylor模型等效分布电压激励源矩阵；i_s′——Taylor模型等效分布电流激励源矩阵。

首先将其表示为第i根线缆的电报方程：

式中：v_i——第i根传输线响应全电压；i_i——第i根传输线响应全电流；L_w,ii′——第i根传输线单位长度传输线自电感；C_w,ii′——第i根传输线单位长度传输线自电容；L_w,ij′——第i根与第j根传输线之间的互感；C_w,ij′——第i根传输线与第j根传输线之间的互容。

无论采用Jacobi迭代还是Gauss-Seidel迭代，第一步的迭代都是忽略线缆间的耦合效应，而只考虑电磁脉冲对每根线缆单独的影响，其求解过程与单根线缆的求解过程相一致。

以下将首先对单根线缆时域电报方程的解析解进行推导。单根线缆的时域Taylor电报方程为：

式中：v——时域响应全电压；i——时域响应全电流；L_w′——单位长度传输线电感；C_w′——单位长度传输线电容；v_s′——等效分布电压激励源；i_s′——等效分布电流激励源。

将以上方程写为联合电压波形式：

式中：w₊——沿线正向联合电压波；w_-——沿线负向联合电压波。

联合电压波方程由时域电报方程变化而来，其中的沿线正、负项联合电压波均由沿线电流和电压的组合而成，如下式：

w₊＝v+Z_ci

w_-＝v-Z_ci

w₊′＝v_s′+Z_ci_s′

w_-′＝v_s′-Z_ci_s′

式中：Z_c——传输线的特征阻抗；k_w——传输线的波数。

将(4)式进行拉普拉斯变换为：

式中：s——拉普拉斯算子。

则式(6)的通解可求得为：

引入时移算子D：

D^mf(t)＝f(t+m) (8)

则将通解(7)转化到时域为：

对于边界条件的确定依然可以通过将拉普拉斯域的BLT函数变到时域来实现，在拉普拉斯域中，BLT函数为：

式中：ρ₁——传输线首端的反射系数；ρ₂——传输线末端的反射系数；S₊——BLT方程的源项；S_-——BLT方程的源项。

将式(10)变为展开式为：

由于式(11)整体为分式形式，无法直接将其变为时域形式，为了转换到时域，首先将其利用短除法展开，其展开式为：

观察式(12)，其由无穷多个级数所组成，其形式可以直接变为时域，则其时域形式为：

其中源函数的时域表达式为：

在时域解析迭代计算时，每一步迭代公式推导中的关键步骤在于推导沿线分布激励场的沿线积分解析表达式。在时域，由于积分公式中涉及到大量的时移函数，故应在场激励函数中加入相应的阶跃函数，若依旧采用IEC标准波形作为EMP电场波形标准，则在时域计算中其形式为：

E(t)＝E₀k₀(e^-βt-e^-αt)H(t)＝E_b(t)-E_a(t)

式中：H(t)——阶跃函数。

可看出，激励源电场信号是双指数函数，由两个指数项组成，且各自的指数系数不同，为了在积分运算中方便表示，可将其分为E_a和E_b两部分，每个部分都是单独的指数函数，可分别求得其响应，最终总的响应可由其分别的响应组合而成。

则第一步迭代后沿线的响应电压和电流可表示为：

其中g_n,v1 ⁽¹⁾～g_n,v3 ⁽¹⁾、g_n,i1 ⁽¹⁾～g_n,i3 ⁽¹⁾均为相关函数。

第2步迭代的解为：

其中g_n,v1 ⁽²⁾～g_n,v5 ⁽²⁾、g_n,i1 ⁽²⁾～g_n,i5 ⁽²⁾均为相关函数。

Claims (8)

1.基于波形松弛迭代的时域多导体传输线电磁脉冲响应快速建模方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤一：列出多导体传输线的时域传输线模型方程组，所述时域传输线模型方程组是每根线上的时域电流和电压关于变量位置x和时间t的2N元一阶偏微分方程组，其中N为线缆的根数，对方程组进行离散化，得到关于某一根线缆的方程组，将方程中线缆之间的互耦项与外界激励一起构成等效激励源；

步骤二：开始第一步迭代，假设在第一步迭代时每根线缆只收到外界电磁场的激励，而不考虑线缆之间的互耦效应，略去方程中的互耦项；

步骤三：将整体的时域偏微分方程转化到拉普拉斯域，将迭代形式的传输线模型方程组转化为联合电压波方程，将其变量转化为线缆上的正、反向联合电压波；

步骤四：将联合电压波方程组联立，求得其通解，再将其变回到时域，其时域通解包括两个部分，第一个部分是线缆首末端端点处的边界条件，第二个部分是联合电压波在沿线的积分，其形式由时域的时延项组成；

步骤五：利用BLT超矩阵方程求解边界条件，首先将BLT方程变换到拉普拉斯域，将拉普拉斯域的BLT方程展开，利用短除法将其写为无数个指数项的求和形式，再将其变换到时域，即是由无数个时延项所组成的BLT方程的时域形式，由于在平面波条件下外界场激励函数是双指数函数，传输线方程里面的源项的所有表达式都由指数函数构成，即可解析求得联合电压波时域沿线积分；

步骤六：通过线缆上的电压和电流与联合电压波的关系求得沿线响应的解析表达式，由此得到第一步迭代后的每根线缆上的电压和电流响应的解析表达式；

步骤七：得到每根线缆上的电流和电压响应之后求得线缆之间的互耦作用，将其带入步骤三，开始进行第二步迭代，通过步骤三至步骤六求得第二步迭代沿线的电压和电流的响应解析表达式，然后依次进行第三步以及更多步的迭代，在每次迭代中均求得沿线响应的解析表达式，经过若干步迭代即求得误差允许范围内的结果。

2.根据权利要求1所述的基于波形松弛迭代的时域多导体传输线电磁脉冲响应快速建模方法，其特征在于，所述时域传输线模型方程组为Taylor方程或Agrawal方程；

所述Taylor方程如下所示：

所述Agrawal方程如下所示：

式中：v——响应全电压矩阵；i——响应全电流矩阵；L_w'——单位长度传输线电感矩阵；C_w'——单位长度传输线电容矩阵；v_s'——Taylor模型等效分布电压激励源矩阵；i_s'——Taylor模型等效分布电流激励源矩阵；v^s——响应散射电压矩阵；v_s1'——Agrawal模型等效分布电压激励源矩阵；i_s1'——-Agrawal模型等效分布电流激励源矩阵。

3.根据权利要求2所述的基于波形松弛迭代的时域多导体传输线电磁脉冲响应快速建模方法，其特征在于，步骤一中当采用Taylor方程时，对Taylor方程进行离散化，得到其离散形式，则对于第i根传输线，其时域电报方程为：

式中：v——时域响应全电压；i——时域响应全电流；L_w'——单位长度传输线电感；C_w'——单位长度传输线电容；v_s'——等效分布电压激励源；i_s'——等效分布电流激励源。

4.根据权利要求3所述的基于波形松弛迭代的时域多导体传输线电磁脉冲响应快速建模方法，其特征在于，将第i根传输线的时域电报方程写为联合电压波形式：

式中：w₊——沿线正向联合电压波；w_-——沿线负向联合电压波；

联合电压波方程由时域电报方程变化而来，其中的沿线正、负项联合电压波均由沿线电流和电压的组合而成，如下式：

w₊＝v+Z_ci

w_{_}＝v-Z_ci

w₊'＝v_s'+Z_ci_s'

w_-'＝v_s'-Z_ci_s'

式中：Z_c——传输线的特征阻抗；k_w——传输线的波数。

5.根据权利要求4所述的基于波形松弛迭代的时域多导体传输线电磁脉冲响应快速建模方法，其特征在于，步骤四中将联合电压波方程组进行拉普拉斯变换得到：

式中：s——拉普拉斯算子；

则上式的通解为：

式中：x——沿传输线方向的坐标；

引入时移算子D，对于任意函数f(t)，有：

D^mf(t)＝f(t+m)

式中：m——任意时延；

则将通解转化到时域：

式中：L——传输线长度。

6.根据权利要求5所述的基于波形松弛迭代的时域多导体传输线电磁脉冲响应快速建模方法，其特征在于，步骤五中BLT超矩阵方程采用拉普拉斯域的BLT函数，在拉普拉斯域中，BLT函数为：

式中，ρ₁——传输线首端的反射系数；ρ₂——传输线末端的反射系数；S₊——BLT方程的第一个源项；S_-——BLT方程的第二个源项；

将BLT函数变为展开式为：

将展开式利用短除法展开，其展开式为：

上述展开式由无穷多个级数所组成，其形式能够直接变为时域，则其时域形式为：

其中源函数的时域表达式为：

7.根据权利要求6所述的基于波形松弛迭代的时域多导体传输线电磁脉冲响应快速建模方法，其特征在于，步骤六中第一步迭代后沿线的响应电压和电流表示为：

式中，ψ——电磁场极化方向的仰角；

其中g_n,v1 ⁽¹⁾～g_n,v3 ⁽¹⁾、g_n,i1 ⁽¹⁾～g_n,i3 ⁽¹⁾均为相关函数。

8.根据权利要求7所述的基于波形松弛迭代的时域多导体传输线电磁脉冲响应快速建模方法，其特征在于，步骤七中第一步迭代后沿线的响应电压和电流表示为：

其中g_n,v1 ⁽²⁾～g_n,v5 ⁽²⁾、g_n,i1 ⁽²⁾～g_n,i5 ⁽²⁾均为相关函数。