CN109720609A - 一种悬吊式微重力模拟装置及控制方法 - Google Patents

Abstract

一种悬吊式微重力模拟装置及控制方法。它涉及视觉位姿测量。它解决了随动偏差导致吊丝在水平方向产生一干扰力矩，破坏微重力模拟的力学环境的问题。本发明的装置由支撑旋转模块、臂上模块和吊点模块组成，支撑旋转模块与臂上模块连接，臂上模块中的吊索与吊点模块中的轻质铝盘连接；方法以吊点位置偏移、吊丝倾角以及吊丝拉力作为输入计算旋转和平移的位置与速度控制参数，并对位置与速度实时反馈，实现吊点径向及旋转跟踪。本发明保证空间任务地面模拟的真实性、稳定性以及可靠性的优点。

Description

一种悬吊式微重力模拟装置及控制方法

技术领域

本发明涉及视觉位姿测量装置及方法，具体涉及一种悬吊式微重力模拟装置及控制方法。

背景技术

目前,为保证空间任务的可靠性，需在空间任务执行前进行大量的实验。其中，微重力条件作业作为空间中的重要特性之一更需要得到充分地测试验证，在地面建立空间微重力环境的模拟平台开展空间任务试验研究是目前最经济、最有效的方法。

目前可采用多种方法进行空间微重力地面模拟试验，包括落塔法、水浮法、气浮法和悬吊法等。悬吊法作为一种结构相对简单且易于实现的方法，在许多微重力模拟试验方面广泛使用。悬吊法的主要原理为通过绳索机构及滑轮组，并利用配重来抵消空间机构自身重力，即采用吊丝系统补偿空间机构竖直向下的重力，装置由吊丝、滑轮、导轨、桁架等组合而成，采用随动恒张力的控制方法来使吊丝拉力始终等于恒定值以抵消空间机构的部分重力。重力补偿悬吊系统主要采用主动重力补偿(采用可控电机调整卷绳拉力)和被动重力补偿(通过配重抵消重力，保持吊丝恒张力)两种形式。而悬吊法模拟过程中悬吊点必须跟随被测试目标运动，由于随动偏差的存在导致吊丝在水平方向产生一干扰力矩，破坏微重力模拟的力学环境，保证较小随动偏差成为了悬吊微重力模拟的关键问题。

发明内容

本发明为了解决现有随动偏差的存在导致吊丝在水平方向产生一干扰力矩，破坏微重力模拟的力学环境，保证较小随动偏差的问题，提供了一种悬吊式微重力模拟装置及控制方法，构建以视觉伺服的方式进行微重力环境模拟的随动控制系统，结合稳定的控制策略，在悬吊式微重力模拟装置工作过程中保证高模拟精度，解决该问题的具体技术方案如下：

本发明的一种悬吊式微重力模拟装置，由支撑旋转模块1、臂上模块2和吊点模块3组成，支撑旋转模块与臂上模块2连接，臂上模块2中的吊索2-6与吊点模块3中的轻质铝盘3-1连接；

所述的支撑旋转模块由支撑立柱1-1、旋转臂驱动电机1-2和圆光栅测角1-3组成，旋转臂驱动电机1-2设在支撑立柱1-1的上部，圆光栅测角1-3设在支撑立柱1-1的上端，旋转臂驱动电机1-2与臂上模块的导轨台2-1连接，

所述的臂上模块由导轨台2-1、平移车2-2、视觉传感器2-3、激光测距仪2-4、倾角传感器2-5、吊索2-6、直线运动驱动电机2-7、直线位移光栅尺2-8、工控机2-9和电源2-10组成，平移车2-2设在导轨台2-1上，视觉传感器2-3、激光测距仪2-4、倾角传感器2-5、吊索2-6、直线运动驱动电机2-7、直线运动光栅尺2-8、工控机2-9和电源2-10均设在平移车2-2上；

所述的吊点模块由轻质铝盘3-1、LED激光光源3-2、变送器3-3、无线模块3-4、电源3-5、吊索拉力传感器3-6和C形吊架3-7组成；多个LED激光光源3-2均匀设在轻质铝盘3-1的圆周上方，变送器3-3、无线模块3-4和电源3-5设在轻质铝盘3-1下面，轻质铝盘3-1的圆心处开有孔与吊索2-6连接，吊索拉力传感器3-6设在轻质铝盘3-1和C形吊架3-7之间；

本发明所述的控制方法为：

以吊点位置偏移、吊丝倾角以及吊丝拉力作为输入计算旋转和平移的位置与速度控制参数，并对位置与速度实时反馈，实现吊点径向及旋转跟踪。

本发明的一种悬吊式微重力模拟装置及控制方法的特点在于：以视觉伺服的方式解决表取采样装置空间微重力环境的模拟，保证空间任务地面模拟的真实性、稳定性以及可靠性。适用于特定的表取采样装置微重力模拟，也适用于扩展到其他需要进行重力补偿的空间任务中。

附图说明

图1是本发明的模拟装置的结构示意图，图2是图1中臂上模块的俯视结图，图3是图1中吊点模块的俯视图，图4是是图1中吊点模块的侧视图，图5是位置的视觉伺服系统结构框图，图6是平移系统传动模型图，图7是电机速度控制方框图，图8是系统控制方框图，图9是位置—速度双闭环控制方式流程图，图10是速度控制方式流程图，图11是速度控制策略流程图，图12是位移增量控制策略流程图，图13是视觉位姿测量原理图，图14是标靶成像示意图，图15是图像检测示意图，图16是坐标变换示意图，图17是C形吊架的结构示意图。

具体实施方式

具体实施方式一：结合图1、图2、图3和图4描述本实施方式。本实施方式的装置，由支撑旋转模块1、臂上模块2和吊点模块3组成，支撑旋转模块与臂上模块2连接，臂上模块2中的吊索2-6与吊点模块3中的轻质铝盘3-1连接；

所述的支撑旋转模块由支撑立柱1-1、旋转臂驱动电机1-2和倾角测量仪1-3组成，旋转臂驱动电机1-2设在支撑立柱1-1的上部，倾角测量仪1-3设在支撑立柱1-1的上端，旋转臂驱动电机1-2与臂上模块的导轨台2-1连接，

所述的臂上模块由导轨台2-1、平移车2-2、视觉传感器2-3、激光测距仪2-4、倾角传感器2-5、吊索2-6、直线运动驱动电机2-7、直线位移光栅尺2-8、工控机2-9和电源2-10组成，平移车2-2设在导轨台2-1上，视觉传感器2-3、激光测距仪2-4、倾角传感器2-5、吊索2-6、直线运动驱动电机2-7、直线运动光栅尺2-8以及工控机2-9和电源2-10设在平移车2-2上；

所述的吊点模块由轻质铝盘3-1、LED激光光源3-2、变送器3-3、无线模块3-4、电源3-5、吊索拉力传感器3-6和C形吊架3-7组成；多个LED激光光源3-2均匀设在轻质铝盘3-1的圆周上方，变送器3-3、无线模块3-4和电源3-5设在轻质铝盘3-1下方，轻质铝盘3-1的圆心处开有孔与吊索2-6连接，吊索拉力传感器3-6设在轻质铝盘3-1和C形吊架3-7之间；

具体实施方式二：结合图1和图2描述本实施方式。本实施方式所述的平移车2-2上分别设置25mm和50mm相机2-3以及两台同型号的激光测距仪2-4。

具体实施方式三：结合图1和图2描述本实施方式。本实施方式所述的相机采用3.69um像元30mm。测量误差小于0.5mm，典型值在0.1-0.3mm，像元分辨率1mm，直线拟合亚像素分辨率可达0.5mm。

具体实施方式四：结合图1描述本实施方式。本实施方式所述的激光测距仪2-4采用200mW功率的780nm红外光源，保证恶劣环境下的光线穿透能力。

具体实施方式五：结合图1和图3描述本实施方式。本实施方式所述的多个LED激光光源向吊点中央打出放射状光线，光线宽度1mm，长度120mm。构建准确、可靠的标靶形状。

具体实施方式六：结合图5描述本实施方式。本实施方式所述的控制方法为：

针对给定位姿，通过控制算法保证跟踪与恒力系统的快速响应。同时，视觉传感器传入图像实时计算的吊点位置，与实时位置和速度反馈给控制系统构成闭环，实现吊点径向与旋转的跟踪稳定性与安全性。

具体实施方式七：结合图5、图6和图8描述本实施方式。本实施方式所述的视觉控制方式，通过计算，完成信息从图像空间向笛卡尔空间的转化，预先对摄像机参数进行标定。平随动系统包括两个方向，平移运动和旋转运动，两个方向各自己独立，结构基本相同。平移运动系统采用直流电机减速器驱动，直流电机在电枢电流的作用下产生输出力矩，通过减速器驱动同步驱动带动行走小车运动，行走小车采用滑动导轨，传动机构减速比大，忽略传动机构刚度的影响，此机构可简化为一个惯量—阻尼系统，如附图6所示，其中T为电机电磁力矩、为电机转子转动角速度、L为行走小车移动位移、M为行走小车质量、T_L为摩擦阻力矩、传动比i、大齿轮分度圆直径d。

a)回路方程：设电动机电枢电感为L_a，回路电阻为R_a，电枢电压为U，电枢电流为I_a，反电动势为E，可得电机电枢回路方程：

反电动势：

式中，C_e为反电动势常数，为电机转子角速度。执行单元主要对电机进行闭环控制。执行单元控制两个个向服电机的协同工作，实现极坐标随动系统的高精度的位姿跟踪。

b)力矩方程：

T＝C_mI_a (3)

式中，T为旋转力矩，C_m为力矩常数，I_a为电枢电流。

c)力平衡方程：

式中，J_e为折算到电机轴上的转动惯量，B_e为折算到电机轴上的阻尼系数。

d)位移方程：

将式1和式2联立，经过拉式变换得直流电动机的电回路模型：

将式3和式4联立进行拉式变换后与式6联立得电枢电流与输出转速之间的模型：

由式6和式7得到的电机速度控制方框图附图5所示。

将式5进行拉式变换：

由式6、式7、式8得到控制系统方框图如附图8所示，可知行走小车的速度和位置由电枢电压和磨擦阻力矩共同决定，摩擦阻力矩不变，改变电枢的电压就可以改变电机的转速，进而改变行走小车的速度和位移。本发明通过对电枢电压的控制实现对行走小车速度和位置的控制，同时对行走小车的速度或位置进行反馈，通过闭环控制实现对行走小车速度和位置的精确控制，进而实现对悬挂点的径向跟踪，旋转的跟踪类似。

具体实施方式八：结合图11和图12描述本实施方式。本实施方式所述的具体实施方式七控制方法中水平随动控制采用增量控制策略和速度控制策略两种方式，位移增量控制器采用的是增量式PID算法，速度控制器采用的是位置式PID控制算法；

a)速度控制策略：将传感器输出的速度信号作为控制输入信号，通过控制器对电机转速进行控制，即

式中为电机转速控制输入信号，为摆角传感器输出角速度，K_v为电机转速控制输入与摆角传感器输出之间的比例系数。电机转速、传感器输出、吊丝摆动角度三者之间均为线性关系，随动系统速度控制策略如附图11所示。r_v为悬吊点运动运速度，G_B为摆角传感器模型，为摆角传感器输出角速度，为给定速度，为反馈速度，为速度偏差，G_C为速度控制器，G_C为电机模型，为电机转速，K_E为光电测角，G_M为执行机构模型，V为执行机构即小车运动速度。其作用是通过对驱动电机转速进行控制，从而使执行机构输出的跟踪速度与悬吊点运动速度保持一致。当悬吊点以一定的速度运动时，摆角传感器则输出相应的角速度，经过计算求得需要的电机转速送给控制器控制电机转动，使行走小车以相应的速度来跟踪悬吊点运动。

b)位移增量控制策略：将传感器输出的角度信号作为控制输入信号，通过控制器对系统输出位移增量进行控制，系统的机械系统完成对位移增量的积分，即

ΔS＝K_sβ (10)

式中，ΔS为系统位移增量控制输入信号，β为视觉摆角传感器输出角度，K_S为系统位移控制输入与摆角传感器输出之间的比例系数。系统位移与传感器输出角度为线性关系，随动系统位移增量控制策略如附图12所示,r_S为机械臂悬吊点运动位移，G_B为摆角传感器模型，β为摆角传感器输出角度，ΔS为由视觉传感器折算的位移增量，δ_S为系统输出的位移增量，为电机转速，K_E电机编码器位置信息，e_ΔS为位置偏差，θ_S为速度给定，e_θ为速度偏差，G_C为位置控制器，G_V为速度控制器，G_S为电机模型，G_M为执行机构模型，S为执行机构位移。

具体实施方式九：结合图14、图15和图16描述本实施方式。本实施方式所述的具体实施方式七控制方法中位姿测量偏移检测的步骤为：

a)标靶成像图如附图14所示，八条线段的延长线交于一点，相邻两条线段的夹角相等(等于45度)。通过霍夫变换对图像中的直线进行提取；

b)从霍夫变换得到的直线中，去掉斜率相同的直线，最终将得到4条直线，沿着这四条直线的方向，收集到该条直线上的点，其作用是删除冗余直线，保证直线提取的准确性；

c)在获取直线斜率后，在斜率k的范围(-1,1)之间时，对图像采取列扫描，其他情况采用行扫描，同时扫描过程中采取一定步长进行取点，如附图15所示，其作用是提高直线拟合的效率；

d)通过最小二乘法拟合出四条直线的斜率和截距，得到直线方程，并计算两两交点求取平均为四条直线的交点，并根据与静止条件下拍摄到的标靶图像中点的像素坐标比较计算出实际像素偏移；

e)由像素偏移得到物体实际偏移，如附图16所示：

(i)O为悬挂重物的直线中心，O_f为成像原点，O′为悬挂重物的直线中心在

图像上的投影，令O′在X_fO_fY_f平面内的坐标为(u₀，v₀)。另外，P在世界坐标系的值为(X_w，Y_w，Z_w)，P_u是P在像平面坐标系的投影点，其相机坐标系的值为(X_u，Y_u，Z_u)。θ是相机坐标系Z轴与像平面夹角，一般情况下z轴与像平面垂直，θ值为90°,且相机坐标系xOy与像平面x_fO_fy_f平行，f为相机的焦距，其结果为相机标定的结果；

(ii)令x方向一个像素对应的世界坐标的实际距离为w_x，y方向一个像素对应的世界坐标的实际距离为w_y，f_x为标定的x轴方向的焦距，单位为像素，f_y为标定的y轴方向的焦距，单位为像素，在像素距离对应的世界坐标系中的距离如下：

其中，Z_w＝f×p_x+L，f为标定结果，单位为像素，p_x为一个像素的大小，L是激光测距的结果，即物体到相机的距离。

(iii)设悬挂重物的中心点O的Z坐标为0，(X_u，Y_u，Z_u)是点P_u在x_fO_fy_f坐标下的坐标，则有Z_u＝f，计算物体实际的偏移量X_w，Y_w的公式如下：

物体移动的距离S_w为：

当S_w大于某个阀值时，则移动机械臂，使物体移动到中心点的位置，设在x方向移动的距离为M_x，在y方向移动的距离为M_y：

M_x＝(X_u-u₀)×w_x，M_y＝(Y_u-v₀)×w_y (14)

具体实施方式十：本实施方式所述的控制系统完成对吊点位置、吊丝夹角及吊丝拉力多输入信号的快速解析，确保执行机构跟踪与恒力系统的快速响应，同时，控制系统时刻分析运行位置速度，确保运动可靠性，保证整个系统的有效性及鲁棒性。

工作原理：

本发明以视觉反馈方式结合控制系统构成测试验证系统，视觉位姿测量系统包括臂上模块和吊点模块，通过臂上模块的多目相机对吊点模块的视觉标靶进行测量，获得当前吊点的位置信息，同时臂上模块的倾角传感器测量此时吊丝与铅直方向的夹角，吊点模块的吊丝拉力传感器测量此时的吊丝拉力，采集到的信息通过网络接口传输到综控单元PC机上。综控单元采用位置—速度双闭环控制方式进行控制，保证跟踪和恒力系统的快速响应。

Claims (9)

1.一种悬吊式微重力模拟装置，它由支撑旋转模块1、臂上模块2和吊点模块3组成，其特征在于：支撑旋转模块与臂上模块2连接，臂上模块2中的吊索2-6与吊点模块3中的轻质铝盘3-1连接；

所述的支撑旋转模块由支撑立柱1-1、旋转臂驱动电机1-2和圆光栅测角1-3组成，旋转臂驱动电机1-2设在支撑立柱1-1的上部，圆光栅测角1-3设在支撑立柱1-1的上端，旋转臂驱动电机1-2与臂上模块的导轨台2-1连接，

所述的臂上模块由导轨台2-1、平移车2-2、视觉传感器2-3、激光测距仪2-4、倾角传感器2-5、吊索2-6、直线运动驱动电机2-7、直线位移光栅尺2-8、工控机2-9和电源2-10组成，平移车2-2设在导轨台2-1上，视觉传感器2-3、激光测距仪2-4、倾角传感器2-5、吊索2-6、直线运动驱动电机2-7、直线运动光栅尺2-8、工控机2-9和电源2-10均设在平移车2-2上；

所述的吊点模块由轻质铝盘3-1、LED激光光源3-2、变送器3-3、无线模块3-4、电源3-5、吊索拉力传感器3-6和C形吊架3-7组成；多个LED激光光源3-2均匀设在轻质铝盘3-1的圆周上方，变送器3-3、无线模块3-4和电源3-5设在轻质铝盘3-1下面，轻质铝盘3-1的圆心处开有孔与吊索2-6连接，吊索拉力传感器3-6设在轻质铝盘3-1和C形吊架3-7之间。

2.根据权利要求1所述的一种悬吊式微重力模拟装置，其特征在于：所述的平移车2-2上分别设置25mm和50mm相机2-3以及两台同型号的激光测距仪2-4。

3.根据权利要求1所述的一种悬吊式微重力模拟装置，其特征在于：所述的相机采用3.69um像元30mm。测量误差小于0.5mm，典型值在0.1-0.3mm，像元分辨率1mm，直线拟合亚像素分辨率可达0.5mm。

4.根据权利要求1所述的一种悬吊式微重力模拟装置，其特征在于：所述的激光测距仪2-4采用200mW功率的780nm红外光源，保证恶劣环境下的光线穿透能力。

5.根据权利要求1所述的一种悬吊式微重力模拟装置，其特征在于：所述的多个LED激光光源向吊点中央打出放射状光线，光线宽度1mm，长度120mm。

6.权利要求1一种悬吊式微重力模拟装置的控制方法为：

以吊点位置偏移、吊丝倾角以及吊丝拉力作为输入计算旋转和平移的位置与速度控制参数，并对位置与速度实时反馈，实现吊点径向及旋转跟踪。

7.根据权利要求6所述的一种悬吊式微重力模拟装置的控制方法，其特征在于：所述的视觉控制方式，通过计算，完成信息从图像空间向笛卡尔空间的转化，预先对摄像机参数进行标定，平随动系统包括两个方向，平移运动和旋转运动，两个方向各自己独立，结构基本相同。平移运动系统采用直流电机减速器驱动，直流电机在电枢电流的作用下产生输出力矩，通过减速器驱动同步驱动带动行走小车运动，行走小车采用滑动导轨，传动机构减速比大，忽略传动机构刚度的影响，此机构可简化为一个惯量—阻尼系统，如附图3所示，其中T为电机电磁力矩、为电机转子转动角速度、L为行走小车移动位移、M为行走小车质量、T_L为摩擦阻力矩、传动比i、大齿轮分度圆直径d；

a)回路方程：设电动机电枢电感为L_a，回路电阻为R_a，电枢电压为U，电枢电流为I_a，反电动势为E，可得电机电枢回路方程：

反电动势：

式中，C_e为反电动势常数，为电机转子角速度。执行单元主要对电机进行闭环控制，执行单元控制两个个向服电机的协同工作，实现极坐标随动系统的高精度的位姿跟踪；

b)力矩方程：

T＝C_mI_a (3)

式中，T为旋转力矩，C_m为力矩常数，I_a为电枢电流。

c)力平衡方程：

式中，J_e为折算到电机轴上的转动惯量，B_e为折算到电机轴上的阻尼系数。

d)位移方程：

将式1和式2联立，经过拉式变换得直流电动机的电回路模型：

将式3和式4联立进行拉式变换后与式6联立得电枢电流与输出转速之间的模型：

由式6和式7得到的电机速度控制方框图；

将式5进行拉式变换：

由式6、式7、式8得到控制系统方框图，可知行走小车的速度和位置由电枢电压和磨擦阻力矩共同决定，摩擦阻力矩不变，改变电枢的电压就可以改变电机的转速，进而改变行走小车的速度和位移。

8.根据权利要求6所述的一种悬吊式微重力模拟装置的控制方法，其特征在于：所述的控制方法中水平随动控制采用增量控制策略和速度控制策略两种方式，位移增量控制器采用的是增量式PID算法，速度控制器采用的是位置式PID控制算法；

a)速度控制策略：将传感器输出的速度信号作为控制输入信号，通过控制器对电机转速进行控制，即

式中为电机转速控制输入信号，为摆角传感器输出角速度，K_v为电机转速控制输入与摆角传感器输出之间的比例系数。电机转速、传感器输出、吊丝摆动角度三者之间均为线性关系，r_v为悬吊点运动运速度，G_B为摆角传感器模型，为摆角传感器输出角速度，为给定速度，为反馈速度，为速度偏差，G_c为速度控制器，G_c为电机模型，为电机转速，K_E为光电测角，G_M为执行机构模型，V为执行机构即小车运动速度；

b)位移增量控制策略：将传感器输出的角度信号作为控制输入信号，通过控制器对系统输出位移增量进行控制，系统的机械系统完成对位移增量的积分，即

ΔS＝K_sβ (10)

式中，ΔS为系统位移增量控制输入信号，β为视觉摆角传感器输出角度，K_S为系统位移控制输入与摆角传感器输出之间的比例系数。系统位移与传感器输出角度为线性关系，r_S为机械臂悬吊点运动位移，G_B为摆角传感器模型，β为摆角传感器输出角度，ΔS为由视觉传感器折算的位移增量，δ_S为系统输出的位移增量，为电机转速，K_E电机编码器位置信息，e_ΔS为位置偏差，θ_S为速度给定，e_θ为速度偏差，G_C为位置控制器，G_V为速度控制器，G_S为电机模型，G_M为执行机构模型，S为执行机构位移。

9.根据权利要求6所述的一种悬吊式微重力模拟装置的控制方法，其特征在于：所述的控制方法中位姿测量偏移检测的步骤为：

a)标靶成像由八条线段的延长线交于一点，相邻两条线段的夹角相等为45度，通过霍夫变换对图像中的直线进行提取；

b)从霍夫变换得到的直线中，去掉斜率相同的直线，最终我们将得到4条直线，沿着这四条直线的方向，收集到该条直线上的点，其作用是删除冗余直线，保证直线提取的准确性；

c)在获取直线斜率后，在斜率k的范围-1,1之间时，对图像采取列扫描，其他情况采用行扫描，同时扫描过程中采取一定步长进行取点；

d)通过最小二乘法拟合出四条直线的斜率和截距，得到直线方程，并计算两两交点求取平均为四条直线的交点，并根据与静止条件下拍摄到的标靶图像中点的像素坐标比较计算出实际像素偏移；

e)由像素偏移得到物体实际偏移，

(i)O为悬挂重物的直线中心，O_f为成像原点，O′为悬挂重物的直线中心在图像上的投影，令O′在X_fO_fY_f平面内的坐标为(u₀，v₀)，另外，P在世界坐标系的值为(X_w，Y_w，Z_w)，P_u是P在像平面坐标系的投影点，其相机坐标系的值为(X_u，Y_u，Z_u)，θ是相机坐标系Z轴与像平面夹角，一般情况下z轴与像平面垂直，θ值为90°，且相机坐标系xOy与像平面x_fO_fy_f平行，f为相机的焦距；

(ii)令x方向一个像素对应的世界坐标的实际距离为w_x，y方向一个像素对应的世界坐标的实际距离为w_y，f_x为标定的x轴方向的焦距，单位为像素，f_y为标定的y轴方向的焦距，单位为像素，在像素距离对应的世界坐标系中的距离如下：

其中，Z_w＝f×p_x+L，f为标定结果，单位为像素，p_x为一个像素的大小，L是激光测距的结果，即物体到相机的距离；

(iii)设悬挂重物的中心点O的Z坐标为0，(X_u，Y_u，Z_u)是点P_u在x_fO_fy_f坐标下的坐标，则有Z_u＝f，计算物体实际的偏移量X_w，Y_w的公式如下：

物体移动的距离S_w为：

当S_w大于某个阀值时，则移动机械臂，使物体移动到中心点的位置，设在x方向移动的距离为M_x，在y方向移动的距离为M_y：

M_x＝(X_u-u₀)×w_x，M_y＝(Y_u-v₀)×w_y (14)。