CN109688074B - 一种基于压缩感知的ofdm系统的信道估计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于压缩感知的OFDM系统的信道估计方法。本发明在不需要已知稀疏度的条件下误比特率可以达到和OMP算法相差不大，均方误差仅比OMP算法稍逊一筹的水平，本发明相比于SAMP算法误比特率和均方误差都大幅度降低，这极大的提升了在信道稀疏度未知的情况下的信道估计的性能。

Description

一种基于压缩感知的OFDM系统的信道估计方法

技术领域

本发明涉及信息与通信技术领域，具体涉及一种基于压缩感知的OFDM系统的信道估计方法。

背景技术

压缩感知理论起源于Kashin的逼近论和范函分析中的某些抽象结论，并由CandesRomberg，Tao以及Domoho等人进行进一步的理论研究，该理论自提出以来，受到了广泛的研究。Candes Romberg证明了若信号在某个正交空间能够被稀疏表示，那么就可以用比较低的频率对该信号采样，并且通过一定的重构算法能以很高的概率恢复该信号。压缩感知理论指出：只要信号是可压缩的或在某个变换域是稀疏的，那么就可以用一个与变换基不相关的观测矩阵将变换所得高维信号投影到一个低维空间上，然后通过求解一个最优化问题就可以从这些少量的投影中以高概率重构出原信号。压缩感知理论主要包括三部分：信号的稀疏表示、观测矩阵的设计以及重构算法。

(1)信号的稀疏表示：如果信号x的长度为N，在一组正交向量基Ψ_i(i＝1，2，...，N)上能够表示为：

式中，c_i为信号x在基向量Ψ上的投影系数。可以将信号x表示为向量形式

x＝Ψc

式中，Ψ＝[Ψ₁，Ψ₂，Ψ₃，…，Ψ_N]是将Ψ_i写成N×N的矩阵形式。c是信号x在Ψ域的表示。若c中非零元素的个数K远远小于信号的长度N，即K＜＜N，那么信号x在Ψ域为可压缩的或者稀疏的，该信号可以表示成K稀疏信号。

(2)观测矩阵的设计：压缩感知理论表明，对于长度为N的信号x，如果其在某个基矩阵Ψ下的系数是K稀疏的，则可以通过观测矩阵从信号X中选取M(M＜＜N)个样本，保证能从中恢复出长度为N的信号x或者基矩阵Ψ下的系数。通常我们用一个与基矩阵Ψ不相关的M×N维观测矩阵O对信号x进行线性变换，得到M个样本，可以用下式表示：

y＝Ox＝OΨc＝Ac

其中，y为M×1观测向量，既由M个样本值组成的向量，O为M×N维观测矩阵，A＝OΨ为M×N维测量矩阵。

对于给定的观测向量y，若要直接求出x非常困难，因为M＜＜N，对于此类欠定问题一般来说是没有确定解的。然而如果信号x是稀疏的，并且稀疏度小于样本数，即K≤M，则有可能求出确定的解。需要注意的是，只有测量矩阵A满足有限等距性质(RIP)，上述问题才存在确定解，即：对于任意K稀疏的信号V，若存在常数δ∈(0，1)，满足

然而，在实际应用中，要判断测量矩阵是否满足RIP性质是一个非线性规划问题，能够简单的找出一种判断矩阵是否满足RIP性质是设计观测矩阵F的关键。

对于有限等距性质的判定，Baraniuk指出，如果保证观测矩阵O与基矩阵Ψ互不相干，则测量矩阵A就能在很大概率上满足性质；高斯随机矩阵与大多数正交基矩阵都不相干，这就说明，当观测矩阵选择高斯随机矩阵时，测量矩阵满足RIP性质。Donoho总结了观测矩阵所需满足的条件，同时指出，大多数一致分布的随机矩阵，均满足上述条件，均可作为观测矩阵，例如，Rademacher矩阵、部分哈达玛矩阵、部分傅里叶矩阵、伯努利分布矩阵、一致分布的随机投影矩阵等。

(3)信号的重构算法：信号的重构是压缩感知理论的核心问题。当前，压缩感知理论中关于信号的重建问题，主要集中在如何构造稳定的、计算复杂度较低的、对观测矩阵数量要求宽松的重构算法，来恢复原始信号。目前重建算法主要的算法包括三类：凸优化方法、贪婪算法和组合算法。凸优化方法：此类方法本职是对非凸优化问题向凸优化问题进行转化，从而找到信号的近似逼近。其代表性算法如BP算法等；贪婪迭代算法：这类算法的基本思想是每一次迭代时选取一个与信号最匹配的解来逐步逼近原始信号，并计算信号的残差，然后从残差中找出最优的解，反复迭代多次，其代表性算法包括MP算法，OMP算法，SAMP算法等；组合算法：这类算法支持信号进行分组来获取重构结果，代表性算法如傅里叶采样、链式追踪等。

宽带无线通信信道通常具有多径效应，在此种情况下，传输信号的波形将会同时出现幅度和相位上的失真，从而受到频率选择性衰落的影响。在这种信道中，假设在一个OFDM符号内，信道的冲激响应不随时间的变化而产生变化。此时,长度为L的稀疏多径信道h＝[h₀，h₁，...，h_L-1]^T的时域冲激响应为：

式中，a_j为第j条路径的复增益，d_j为第j条路径的时延。如果在这些信道抽头中只有K个抽头的值是非零的，且K＜＜N，那么就称这种信道为稀疏信道，其稀疏度为K。

假设一个OFDM系统中存在N个子载波，且加在其符号之前的循环前缀长度比信道的最大时延扩展还要大，则经过无线信道的传输后的OFDM信号，在接收端去除循环前缀并进行N点DFT变换后可以表示为：

Y＝XH+N＝XFh+Z

式中，Y＝[Y₀，Y₁，...，Y_N-1]^T，X＝diag[X(0)，X(1)，...，X(N-1)]，H＝Fh为信道的频域值，F为离散傅里叶变换矩阵，Z为方差为σ²的N维复高斯白噪声。

如果在OFDM的N个子载波中选取P个子载波用来传输导频符号，接收的导频信号为：

Y_P＝X_PF_Ph+N_P＝Ah+Z_p

其中，P×1维向量Y_P为接收的导频信号；P×P维矩阵X_P为对角矩阵，其对角线上元素为发送的P个导频符号；P×N维的矩阵F_P为仅选择导频行的离散傅里叶变换矩阵，P×1向量Z_P为导频行对应的信道噪声。Y_P、X_P、F_P在接收端均为已知信号。F_P为离散傅里叶变换矩阵的一部分，满足有限等距性质。因此上式中的A＝X_PF_P相当于测量矩阵，Y_P相当于观测向量。另外目前已有学者证明了OFDM信道的稀疏性，所以能够利用压缩感知重构算法得到信道的时域响应值h，再将所得到的h带入到公式H＝Fh中，就可以得到信道的频域响应值H。

正交匹配追踪(OMP)算法：OMP算法在每次的迭代中，在观测矩阵中选取一个与目标矩阵最为接近的原子，将该原子与支撑集中其他原子进行正交化处理，经处理后的原子加入支撑集中，并计算与目标矩阵的残差，当迭代次数达到设定值时，迭代停止并从支撑集中恢复原始信号。

目前基于压缩感知的大部分算法(如OMP算法)都需要已知信道的稀疏度K，但在信道估计中信号的稀疏度K很多时候是未知的，所以只能采用稀疏度自适应匹配(SAMP)算法。SAMP算法虽然可以在信号稀疏度未知的情况下采用步长逐步逼近稀疏度的方法来达到精确重建原始信号的目的，但SAMP算法仍有不足之处。比如：在噪声存在时，SAMP算法选择的迭代终止条件设为硬阈值不一定是合理的值。SAMP算法的迭代终止条件可以表示为：

||r||₂≤ε

其中，ε为固定的阈值，对于信噪比SNR比较大的信号，ε的值对信号重构精度影响不大。当信噪比SNR较小时，信号中噪声的方差比有用信号的方差较大，ε的值就不易设定。

发明内容

针对现有技术中的上述不足，本发明提供的一种基于压缩感知的OFDM系统的信道估计方法解决了信道估计不准确的问题。

为了达到上述发明目的，本发明采用的技术方案为：一种基于压缩感知的OFDM系统的信道估计方法，包括以下步骤：

S1、初始化残差r₀＝y，索引集

步长L＝s，迭代次数k＝1；y为观测向量，s为步长；

S2、计算测量矩阵A与残差向量内积的绝对值u，从绝对值u中寻找最大的L个值对应的测量矩阵A的列序号构成索引集合S；

S3、令集合C_k＝Λ_k-1∪S，，并更新集合A_k＝{a_j1}，a_j1为测量矩阵A的第j1列，j1∈C_k，Λ_k-1为第k-1次迭代的索引值集合；

S4、计算最小二乘解

并在

中选择对应于索引集合S中的向量

S5、对向量

进行正则化，在索引集合S中寻找子集S₀，子集S₀为满足

的子集中具有最大能量的集合，S_i、S_j∈S，其中，i，j均表示索引集合S的下标；

S6、令集合F＝Λ_k-1∪S₀，并更新集合A_k＝{a_j2}，j2∈F；

S7、通过观测向量y和集合A_k计算残差；

S8、通过残差计算残差比；

所述步骤S8中残差比的计算公式为：

上式中，η为残差比，ξ为加权因子，计算公式为：

S9、当残差比小于常数σ时，进入步骤S10，否则进入步骤S11；

S10、令Λ_k＝F，r_k＝r，进入步骤S14，r为残差，r_k为第k次迭代时的残差；

S11、当

时，进入步骤S12，否则进入步骤S13，r_k-1为第k-1次迭代时的残差；

S12、令步长L加s，返回步骤S2继续迭代；

S13、令Λ_k＝F，r_k＝r，令k加1，返回步骤S2继续迭代；

S14、重构信道估计值

信道估计值

在Λ_k处是非零项，且该非零项为

在Λ_k处的值时，输出该信道估计值

进一步地：所述步骤S2中绝对值u的计算公式为：

u＝abs[A^Tr_k-1]

上式中，abs[]为取绝对值运算，r_k-1为第k-1次迭代时的残差。

进一步地：所述步骤S4中最小二乘解

的计算公式为：

进一步地：所述步骤S7中残差的计算公式为：

r＝y-A_k(A_k ^TA_k)^-1A_k ^Ty

上式中，r为残差。

本发明的有益效果为：本发明在不需要已知稀疏度的条件下误比特率可以达到和OMP(正交匹配)算法相差不大，均方误差仅比OMP算法稍逊一筹的水平，本发明相比于SAMP(稀疏度自适应匹配追踪)算法误比特率和均方误差都大幅度降低，这极大的提升了在信道稀疏度未知的情况下的信道估计的性能。

附图说明

图1为本发明的流程图；

图2为本发明与其他重构算法的误比特率随信噪比SNR的变化曲线图；

图3为本发明与其他重构算法的均方误差随信噪比SNR的变化曲线图。

具体实施方式

下面对本发明的具体实施方式进行描述，以便于本技术领域的技术人员理解本发明，但应该清楚，本发明不限于具体实施方式的范围，对本技术领域的普通技术人员来讲，只要各种变化在所附的权利要求限定和确定的本发明的精神和范围内，这些变化是显而易见的，一切利用本发明构思的发明创造均在保护之列。

如图1所示，一种基于压缩感知的OFDM系统的信道估计方法，包括以下步骤：

S1、初始化残差r₀＝y，索引集

步长L＝s，迭代次数k＝1；y为观测向量，s为步长；

S2、计算测量矩阵A与残差向量内积的绝对值u，从绝对值u中寻找最大的L个值对应的测量矩阵A的列序号构成索引集合S；

绝对值u的计算公式为：

u＝abs[A^Tr_k-1]

上式中，abs[]为取绝对值运算，r_k-1为第k-1次迭代时的残差。

S3、令集合C_k＝Λ_k-1∪S，并更新集合A_k＝{a_j1}，a_j1为测量矩阵A的第j1列，j1∈C_k，Λ_k-1为第k-1次迭代的索引值集合；

S4、计算最小二乘解

并在

中选择对应于索引集合S中的向量

最小二乘解

的计算公式为：

S5、对向量

进行正则化，在索引集合S中寻找子集S₀，子集S₀为满足

的子集中具有最大能量的集合，S_i、S_j∈S，，其中，i，j均表示索引集合S的下标；

S6、令集合F＝Λ_k-1∪S₀，并更新集合A_k＝{a_j2}，j2∈F；

S7、通过观测向量y和集合A_k计算残差；

残差的计算公式为：

r＝y-A_k(A_k ^TA_k)^-1A_k ^Ty

上式中，r为残差。

S8、通过残差计算残差比；

残差比的计算公式为：

上式中，η为残差比，ξ为加权因子，

S9、当残差比小于常数σ时，计入步骤S10，否则进入步骤S11；

S10、令Λ_k＝F，r_k＝r，进入步骤S14，r为残差，r_k为第k次迭代时的残差；

S11、当

时，进入步骤S12，否则进入步骤S13，r_k-1为第k-1次迭代时的残差；

S12、令步长L加s，返回步骤S2继续迭代；

S13、令Λ_k＝F，r_k＝r，令k加1，返回步骤S2继续迭代；

S14、重构信道估计值

信道估计值

在Λ_k处是非零项，且该非零项为

在Λ_k处的值时，输出该信道估计值

本发明针对SAMP基于残差固定阈值作为迭代终止条件的不足，将残差比阈值作为迭代终止条件；利用正则化过程对估计值进行二次筛选，保证了支撑集原子的有效性。下面将分别介绍这两处改进：

基于残差比阈值的改进：

信号y可分解为：

y＝y′+e

上式中，y′无噪声时信号，e为高斯白噪声。采用MP算法进行分解时，z与原子库的原子正交，那么第k-1次迭代残差

与第k次迭代残差

分别为：

从上式可以看出，在信噪比SNR较低时，

较大，所以我们不能选择残差

作为迭代终止条件。我们可以利用残差之差小于某一固定阈值作为迭代条件，但是在信噪比较低情况下，算法迭代到一定次数时，K个原子组合逼近原始含噪信号，但由于噪声方差较大导致第k次迭代残差变化过小，算法难以终止，重构精度也大幅度下降。所以在迭代中选择残差比小于某一阈值作为迭代终止条件：

上式中，加权因子

ξ能有效抑制相邻残差过大、过小的趋势，有利于提高低信噪比下稀疏度估计的精度。

基于正则化进行二次筛选的改进：

正则化过程用来对原子进行二次筛选，根据下式将S中索引值对应的原子的估计值

分成若干组：

其中，i，j均表示索引集合S的下标。

然后选择能量最大的一组估计值对应的原子索引作为支撑集。该正则化过程能够保证没有选入支撑集的原子的能量一定远小于被选入原子的能量，是一种简单有效的原子筛选方法。正则化作为一种数据筛选方法，在压缩感知的重构算法中一般被用来对相关系数u进行筛选，本发明将正则化用来对估计值

进行筛选取得了很好的效果。

下面介绍所采用的OFDM系统模型，系统分为发送端，信道和接收端。

发送端的发送序列通过调制编码后需要进行串并变换，再插入导频信号，在接收端可以利用这些导频进行信道估计。之后通过IDFT变换进行OFDM调制，为了克服符号间串扰，在调制后的信号中插入循环前缀(CP)，然后将信号并串变换后发送出去。本系统在发射端采用QPSK调制编码，IDFT的长度N为512，随机导频的个数为64，CP的个数为64。

信号在传输过程中会经历多径信道，多径信道模型在前面已经介绍过了，在此不在赘述，本系统所采用的信道为瑞利衰落多径信道，信道稀疏度K为5，信道时延为5,15,25,35,55，单位为纳秒，每一条多径的增益为0，-1，-2，-3，-3，单位为dB。

接收端接收到信号之后首先要进行串并转换，去除信号中的循环前缀，之后通过DFT进行OFDM解调，再根据接收信号中的导频信息进行信道估计。通过大量的仿真来测试采用OMP、SAMP和MRAMP重构算法对信道进行估计时的系统性能。性能的比较参数主要是采用误比特率和均方误差。公式如下：

图2和图3分别为OFDM系统在使用OMP、SAMP和MRAMP重构算法进行信道估计时的误比特率及均方误差随信噪比SNR变化曲线。

仿真结果表明：系统的误比特率和均方误差均随着SNR的增大逐步减小，但是，需要已知稀疏度K的OMP算法的性能明显要好于不需要已知稀疏度K的SAMP算法。而本发明提出的MRAMP算法在不需要已知稀疏度K的条件下误比特率可以达到和OMP算法相差不大，均方误差仅比OMP算法稍逊一筹的水平，MRAMP算法相比于SAMP算法误比特率和均方误差都大幅度降低，这极大的提升了在信道稀疏度未知的情况下的信道估计的性能。

Claims (4)

1.一种基于压缩感知的OFDM系统的信道估计方法，其特征在于，包括以下步骤：

S1、初始化残差r₀＝y，索引集

步长L＝s，迭代次数k＝1；y为观测向量，s为步长；

S2、计算测量矩阵A与残差向量内积的绝对值u，从绝对值u中寻找最大的L个值对应的测量矩阵A的列序号构成索引集合S；

S3、令集合C_k＝Λ_k-1∪S，并更新集合A_k＝{a_j1}，a_j1为测量矩阵A的第j1列，j1∈C_k，Λ_k-1为第k-1次迭代的索引值集合；

S4、计算最小二乘解

并在

中选择对应于索引集合S中的向量

S5、对向量

进行正则化，在索引集合S中寻找子集S₀，子集S₀为满足

的子集中具有最大能量的集合，S_i、S_j∈S，其中，i，j均表示索引集合S的下标；

S6、令集合F＝Λ_k-1∪S₀，并更新集合A_k＝{a_j2}，j2∈F；

S7、通过观测向量y和集合A_k计算残差；

S8、通过残差计算残差比；

所述步骤S8中残差比的计算公式为：

上式中，η为残差比，ξ为加权因子，计算公式为：

S9、当残差比小于常数σ时，进入步骤S10，否则进入步骤S11；

S10、令Λ_k＝F，r_k＝r，进入步骤S14，r为残差，r_k为第k次迭代时的残差；

S11、当

时，进入步骤S12，否则进入步骤S13，r_k-1为第k-1次迭代时的残差；

S12、令步长L加s，返回步骤S2继续迭代；

S13、令Λ_k＝F，r_k＝r，令k加1，返回步骤S2继续迭代；

S14、重构信道估计值

信道估计值

在Λ_k处是非零项，且该非零项为

在Λ_k处的值时，输出该信道估计值

2.根据权利要求1所述的基于压缩感知的OFDM系统的信道估计方法，其特征在于，所述步骤S2中绝对值u的计算公式为：

u＝abs[A^Tr_k-1]

上式中，abs[]为取绝对值运算，r_k-1为第k-1次迭代时的残差。

3.根据权利要求1所述的基于压缩感知的OFDM系统的信道估计方法，其特征在于，所述步骤S4中最小二乘解

的计算公式为：

4.根据权利要求1所述的基于压缩感知的OFDM系统的信道估计方法，其特征在于，所述步骤S7中残差的计算公式为：

r＝y-A_k(A_k ^TA_k)^-1A_k ^Ty

上式中，r为残差。

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