CN109584557B - 一种基于动态分解模式和矩阵填充的交通流预测方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于动态分解模式和矩阵填充的交通流预测方法，本方法从设置在道路上的各种交通探测器中得到的交通数据，将其处理成m‑1列的数据快照矩阵的形式，然后分成两个快照矩阵来分别代表原始数据的前m列和后m列。之后利用低秩矩阵填充中的映射算子方法生成对应于每一个数据快照矩阵的映射矩阵P，然后将映射矩阵与对应的数据快照矩阵进行点乘操作，最后通过基于动态模式分解方法的模型进行交通预测得到待估计的交通量。在动态模式分解进行交通流预测的模型基础上，考虑了由于外界天气或交通设备自身会发生失灵等问题，会造成交通数据发生丢失的问题。

Description

一种基于动态分解模式和矩阵填充的交通流预测方法

技术领域

本发明涉及动态模式分解和矩阵填充以及矩阵的低秩特性，并被应用在交通领域中的交通流预测相关研究之中。

背景技术

动态模式分解(Dynamic Mode Decomposition，DMD)是一种可以用来降维的方法，而后又被提出可以作为一种用来提取本质动态特性的有效手段。

动态模式分解提取出原始数据中的隐含动态特征，要求原始数据的形式如下：

并且认为相邻的向量之间存在着线性对应关系，具体关系表示如下：

v_i+1≈Av_i (2)

值得注意的是，相邻向量的对应关系不是严格线性的，其实之间是存在一个非常小的残留误差：

v_i+1＝Av_i+γ (3)

其中，γ是残留误差。

又因为动态模式分解与动力学中的非线性系统Koopman光谱分析有关，所以引入Koopman算符来表示两个相邻向量之间的近似线性关系。

y_k+1＝Ky_k (4)

使用动态模式分解方法来处理的原始数据通常用数据快照矩阵的形式表现：

其中，Y₁代表时间序列0帧到m-1帧的交通数据；而Y₂代表时间序列 1帧到m帧的交通数据。所以引入Koopman算符后，两个相邻数据快照矩阵之间的关系如下：

Y₂＝KY₁ (6)

在交通预测问题中，所需要用到的交通数据大多数来自于道路上的交通探测器，但是由于天气的原因，数据大多数会受到外部因素影响，而造成部分偏差，所以在交通流预测中测量值通常会加上高斯噪声项 E使其更加接近真实交通数据。所以公式(6)就变成了：

Z₂+E₂＝K(Z₁+E₁) (7)

其中Z₁，Z₂分别代表对应于数据快照矩阵(5)的通过交通探测器得到的交通数据矩阵；E₁,E₂则分别对应于数据快照矩阵(5)的高斯噪声矩阵；K表示交通流相邻时刻变化的关系。

另外通过式(5)可知第一个数据快照矩阵的后m-1列与第二个快照矩阵的前m-1列相同，所以对于作用在这部分上的高斯噪音项E 也要存在同样的相等关系，所以定义了两个操作分别是||⁰、||₀，其中

||⁰＝[0|I_m-1]' (8)

||₀＝[I_m-1|0]' (9)

即：||⁰表示去掉矩阵的第一列；||₀表示去掉矩阵的最后一列。

所以高斯噪声项E₁和E₂之间要满足的约束是：

E₁||⁰＝E₂||₀ (10)

表示加在交通矩阵上相同位置的噪声是一致的。所以利用动态模式分解进行交通预测的模型如下：

其中e₀表示噪声矩阵的第一列。

公式(11)的思想是在两个交通快照矩阵的对应线性关系和噪声项对应关系确定的约束下，保证交通流相邻时间之间的对应关系K 准确和噪声项最小，从而得到准确的交通状态估计值。

发明内容

本发明提出了一种基于动态模式分解并结合了矩阵填充相关技术的交通预测方法。此方法能够直接处理从交通探测器得到的交通数据所形成的数据快照矩阵。与传统的动态模式分解方法相比，本方法针对交通数据部分会出现丢失的现象，结合了映射算子使交通预测更符合实际情况，并且提升了预测准确率。

在传统的动态模式分解进行交通流预测的模型(式11)基础上，考虑了由于外界天气或交通设备自身会发生失灵等问题，会造成交通数据发生丢失的问题。对于缺失的部分需要与已知的部分进行分开处理，所以考虑引入矩阵填充中的相关技术解决这一问题。

对于矩阵填充问题，假设原始数据中部分发生丢失，则最标准的矩阵填充问题可以利用秩最小化的约束来进行求解，其具体表达内容如下：

其中，rank(X)表示交通数据矩阵X的秩，P_Ω表示数据快照矩阵对应的映射算子，若矩阵中某一位置交通数据已知，则对应的P_Ω为1，反之则为0，具体数学表达式为：

(式13)表示若交通矩阵某位置数据为M且该位置未发生丢失，则经过映射算子作用后值认为M；反之为0。

所以本发明中的交通流预测模型的形式就变成了：

其中，K为相邻时间交通矩阵之间的对应关系矩阵，P₁和P₂分别是对应数据快照矩阵(5)的两个映射算子矩阵。||K||_*代表求解矩阵K的核范数；

代表求矩阵的F范数的平方；

表示求向量的2范数的平方，Z₁，Z₂表示交通流的观测数据矩阵，E₁,E₂代表加在交通矩阵上的噪声矩阵。

预测模型的主要思想就是在确定两个噪声项的关系以及数据快照矩阵之间的对应关系，考虑了交通数据的缺失这一系列约束下，使得K和噪声最小，从而得到准确的交通估计值。

预测模型(14)中关于K的核范数求解先将K表示为L和R的表达形式：K＝LR'，其中：L∈R^N×r，R∈R^N×r。这样处理减少后续相关计算的复杂性。所以K的核范数表示为如下的形式：

所以将模型(14)中所有的K都以L和R的形式进行替换，得到如下模型(16)：

将有约束的待求解问题转化为无约束问题，所以引入了拉格朗日算子，模型变成：

其中，令C＝R'(P₁⊙(Z₁+E₁)) (18)

H₁＝P₁⊙E₁ (19)

H₂＝P₂⊙E₂ (20)

其中，C,H₁,H₂为辅助变量，P,Q,W,A₁,A₂是拉格朗日乘子，μ,η,ρ， β₁,β₂是增广拉格朗日参数。然后对各个变量分别进行求解，即将所有包含该变量的表达式放到一起并进行计算，具体各个变量的计算过程如下：

变量L的求解：

变量C的求解：

变量R的求解：

变量H₁的求解：

变量H₂的求解：

本模型的主要思想是：从设置在道路上的各种交通探测器中得到的交通数据，将其处理成m-1列的数据快照矩阵的形式，然后分成两个快照矩阵来分别代表原始数据的前m列和后m列。之后利用低秩矩阵填充中的映射算子方法生成对应于每一个数据快照矩阵的映射矩阵P，然后将映射矩阵与对应的数据快照矩阵进行点乘操作，最后通过基于动态模式分解方法的模型进行交通预测得到待估计的交通量。

附图说明

图1是利用低秩动态模式分解做交通流预测的整体流程。

具体实施方式

步骤1：通过探测器得到交通数据，处理得到交通矩阵(每一行代表某路段从0时刻到M时刻的交通流量，每一列代表某时刻不同相邻路段的交通流量)；

步骤2：将交通矩阵分解为两个数据快照矩阵，得到对应于每一个快照矩阵的映射算子矩阵；

步骤3：利用动态模式分解，结合低秩约束，迭代计算得到两个相邻时间矩阵的关系K，进而进行交通预测。

本发明中所做的所有实验选择了青岛市道路交通探测器于2017 年1月份所采集的路段数据。通过青岛市道路探测器所能得到的交通流相关指标有交通流量、速度、密度、车道编号、记录时间等，在本实验中只选择车道编号，路段编号、流量指标。

一共做了以时间间隔为区分指标的三组实验，间隔分别为5分钟、10分钟和20分钟。为了对比不同方法的准确率如何，引入了两个误差指标—平均绝对误差(MeanAbsoluteError，MAE)和均方根误差(RootMean Square Error，RMSE)。两个误差的数学公式为：

其中，predicted_t表示t时刻的交通流量预测结果；observed_t则表示t时刻的交通流量观测值。

在预测方法上，选择了交通预测领域经典的方法卡尔曼方法以及神经网络并且还利用了在时序方面非常著名的ARIMA模型作为对比实验。同样选择了最近很流行的深度学习方法LSTM(Long Short-Term Memory)进行对比。最后将本发明中的方法与传统的动态模式分解方法进行比较。具体的实验结果如下表所示：

表1基本的DMD相对其它预测方法的误差率对比

表1是传统的动态模式分解和一些常见的交通预测方法的对比结果，不难发现在大多数情况下，动态模式分解方法的误差率均小于其他四种传统的方法，但在个别时刻动态模式分解方法的误差率会略大于ARIMA方法，却仍小于剩下的三种方法，可以分析出动态模式分解在某些情况下对于个别路段的估计值会偏差大于使用其他方法，但是从整体来看预测准确率却是要高于其他方法的。所以整体来看动态模式分解方法是这五种方法中预测准确度最好的。

表2基本的DMD与结合矩阵填充的DMD的误差率对比

表2是传统动态模式分解和本发明提出的方法之间的预测误差率对比，可以发现两者的误差率并没有相差太多，但是本发明中提出的方法误差率无论在哪种情况下误差率都是低于传统的动态模式分解，所以结合了矩阵填充中的映射算子技术的动态模式分解方法要优于传统的动态模式分解方法。

Claims (1)

1.一种基于动态分解模式和矩阵填充的交通流预测方法，该方法包括如下步骤，步骤1：通过探测器得到交通数据，处理得到交通矩阵；每一行代表某路段从0时刻到M时刻的交通流量，每一列代表某时刻不同相邻路段的交通流量；

步骤2：将交通矩阵分解为两个数据快照矩阵，得到对应于每一个快照矩阵的映射算子矩阵；

步骤3：利用动态模式分解，结合低秩约束，迭代计算得到两个相邻时间矩阵的关系K，进而进行交通预测；

假设原始数据中部分发生丢失，则最标准的矩阵填充问题利用秩最小化的约束来进行求解，其具体表达内容如下：

其中，rank(X)表示交通矩阵X的秩，P_Ω表示数据快照矩阵对应的映射算子，若矩阵中某一位置交通数据已知，则对应的P_Ω为1，反之则为0，具体数学表达式为：

式(13)表示若交通矩阵某位置数据为M且该位置未发生丢失，则经过映射算子作用后值认为M；反之为0；

所以交通流预测模型的形式就变成了：

其中，K为相邻时间交通矩阵之间的对应关系矩阵，P₁和P₂分别是对应数据快照矩阵的两个映射算子矩阵；||K||_*代表求解矩阵K的核范数；

代表求矩阵的F范数的平方；

表示求向量的2范数的平方，Z₁，Z₂表示交通流的观测数据矩阵，E₁,E₂代表加在交通矩阵上的噪声矩阵；

预测模型的主要思想就是在确定两个噪声项的关系以及数据快照矩阵之间的对应关系，考虑了交通数据的缺失这一系列约束下，使得K和噪声最小，从而得到准确的交通估计值；

预测模型(14)中关于K的核范数求解先将K表示为L和R的表达形式：K＝LR'，其中：L∈R^{N ×r}，R∈R^N×r；这样处理减少后续相关计算的复杂性；所以K的核范数表示为如下的形式：

所以将预测模型(14)中所有的K都以L和R的形式进行替换，得到如下模型(16)：

s.t P₂⊙(Z₂+E₂)＝LR'P₁⊙(Z₁+E₁)

E₁||⁰＝E₂||₀ (16)

将有约束的待求解问题转化为无约束问题，所以引入了拉格朗日算子，模型(16)

变成：

其中，令C＝R'(P₁⊙(Z₁+E₁)) (18)

H₁＝P₁⊙E₁ (19)

H₂＝P₂⊙E₂ (20)

其中，C,H₁,H₂为辅助变量，P,Q,W,A₁,A₂是拉格朗日乘子，μ,η，ρ，β₁，β₂是增广拉格朗日参数；然后对各个变量分别进行求解，即将所有包含该变量的表达式放到一起并进行计算，具体各个变量的计算过程如下：

变量L的求解：

变量C的求解：

变量R的求解：

变量H₁的求解：

变量H₂的求解：

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